Cap06

Bancos de Dados

6. Álgebra Relacional e

Álgebra Relacional

• Além da definição da estrutura e das restrições do banco de dados, o modelo de dados deve incluir um conjunto de

operações para manipular os dados

• A álgebra relacional é o conjunto de operações previsto no modelo relacional

• Essas operações possibilitam a especificação de operações básicas de recuperação de dados

• Uma seqüência de operações forma uma expressão da álgebra relacional

Álgebra Relacional

• Operações de conjunto

– UNIÃO (UNION)

– INTERSEÇÃO (INTERSECTION)

– DIFERENÇA entre conjuntos (DIFFERENCE)

• Operações concebidas especificamente para BD relacionais

– SELECIONAR (SELECT) – PROJETAR (PROJECT) – JUNTAR (JOIN)

• Operações adicionais

– RENAME, produto cartesiano, DIVISÃO

– SUM, AVERAGE, MAXIMUM, MINIMUM, COUNT – Fechamento recursivo, outer join, outer union,

SELECT

• A operação SELECT é usada para selecionar um

subconjunto das tuplas de uma relação que satisfaça a uma condição de seleção

• A condição de seleção constitui um filtro, e é uma

expressão booleana especificada sobre os atributos da relação

• Ex.: selecionar empregado cujo departamento seja 4

σ

• Ex.: selecionar empregado cujo salário seja inferior a 2000

SELECT

• Notação genérica

σ

– R é uma expressão da álgebra relacional, cujo resultado é uma relação; a expressão mais simples é o nome de uma relação – A relação resultante de

σ

operadores booleanos ou de comparação

SELECT

• SELECT é um operador unitário, ou seja, é aplicado a apenas uma relação

• A condição de seleção é aplicada a cada tupla

individualmente, e portanto as condições de seleção não podem envolver mais de uma tupla

• O grau da relação resultante é o mesmo de R

• O número de tuplas da relação resultante é menor que ou igual ao número de tuplas em R

• A fração das tuplas selecionadas é chamada de seletividade da condição

SELECT

• SELECT é comutativa:

σ

σ

σ

σ

• Uma cascata de seleções pode ser combinada usando “E”

PROJECT

• Enquanto SELECT filtra algumas linhas da tabela, PROJECT seleciona algumas colunas

• É usada quando se tem interesse em apenas alguns dos atributos de uma relação, daí o nome: “projetar” a relação ao longo desses atributos

• Ex.:

π

PROJECT

• Caso a lista de atributos inclua somente atributos que não são chave de R, é possível que ocorram tuplas duplicadas, o que faria com que o resultado não fosse uma relação

válida

– PROJECT elimina tuplas duplicadas do resultado

– Se a lista de atributos for uma superchave de R, então o número de tuplas resultante é igual ao número de tuplas de R

• O grau da relação resultante é sempre menor que ou igual ao grau de R

• O número de tuplas da relação resultante é sempre menor que ou igual ao número de tuplas em R

PROJECT

• Propriedades:

π_{<lista 1>}(π_{<lista 2)} (R)) = π_{<lista 1>}(R)

– (apenas se lista 2 contiver os atributos de lista 1, senão a expressão é inválida)

RENAME e seqüências de

operações

• As relações exibidas na fig. 7.8 não têm nome

• Pode ser interessante atribuir um nome a uma relação

resultante de uma expressão algébrica, para uso futuro ou como resultado intermediário de uma operação mais

complexa

• Ex.: listar nome e salário dos empregados do depto. 5

π

σ

• Equivale a:

– DEP5_EMP <-

σ

RENAME e seqüências de

operações

• É possível renomear atributos:

TEMP <-

σ

R(N, SN, SAL) <-

π

• Notação

ρ

ρ

ρ

Operações da Teoria de

Conjuntos

• A álgebra relacional inclui operações típicas de conjuntos, como UNIÃO, INTERSEÇÃO e DIFERENÇA entre

conjuntos

• Servem para combinar resultados

– Ex.: empregados que trabalham no depto 5 OU que supervisionam diretamente um empregado do depto 5

DEP5_EMP <- σ_NUD=5(EMPREGADO))

RESULTADO1 <- π_NSS(DEP5_EMP)

RESULTADO2(NSS) <- π_NSSSUPER(DEP5_EMP)

RESULTADO <- RESULTADO1 RESULTADO2 ∪

Operações da Teoria de

Conjuntos

• As operações UNIÃO, INTERSEÇÃO e DIFERENÇA são binárias, ou seja, cada uma é aplicada a dois conjuntos

• Quando adaptadas a BD relacionais, definiu-se que as duas relações devem possuir o mesmo tipo de tuplas:

compatibilidade para união

• Duas relações R(A₁, A₂, ..., A_n) e S(B₁, B₂, ..., B_n) são consideradas compatíveis para união quando

– possuem o mesmo grau (n)

Operações da Teoria de

Conjuntos

• Definições (aplicam-se a relações compatíveis para união):

– UNIÃO: O resultado, , é uma relação que inclui todas as tuplas que estão em R ou em S ou em ambos. Tuplas duplicadas são eliminadas.

– Interseção: o resultado, , é uma relação que inclui todas as tuplas que estão tanto em R quanto em S

– Diferença: o resultado, R-S, é uma relação que inclui todas as tuplas que estão em R, porém não estão em S.

• R – S <> S – R

• Adota-se a convenção de que a relação resultante possui os mesmos nomes de atributos que a primeira relação (R)

S R ∪

S R ∩

Operações da Teoria de

Conjuntos

Produto Cartesiano

• Também conhecida como “produto cruzado” (cross product) ou “junção cruzada” (cross join), serve para combinar exaustivamente tuplas de duas relações

) , , , , , , , ( ) , , , ( ) , , , (A₁ A₂ A_n S B₁ B₂ B_m Q A₁ A₂ A_n B₁ B₂ B_m R K × K → K K

Produto Cartesiano

• A relação resultante Q tem n + m atributos, ou seja, a soma do grau das duas relações R e S originais

• Se R possui n_R tuplas, e S possui n_S tuplas, então Q terá n_R * n_S tuplas

• Aplicada individualmente, a operação de produto

cartesiano faz pouco sentido; deve ser seguida por uma seleção

• Ex.: selecionar empregados do sexo feminino e seus dependentes ) _ ( ) _ ( _ _ _ ) _ ( _ ) ( _ _ , , , , " " ATUAIS S DEPENDENTE RESULTADO EMP S DEPENDENTE ATUAIS S DEPENDENTE DEPENDENTE EMP NOMES EMP S DEPENDENTE MULHERES EMP EMP NOMES EMPREGADO MULHERES EMP dependente nome sobrenome nome NSSE NSS nss sobrenome nome F sexo π σ π σ ← ← × ← ← ← = =

Produto Cartesiano

• O que faz sentido no produto cartesiano é a seleção de

combinações de tuplas apenas no caso em que existe algum relacionamento, como no exemplo

• Como esse tipo de operação é realizado com muita freqüência, o modelo relacional inclui uma operação

especial, chamada JUNÇÃO, para fazer todas as operações como as do exemplo em um único passo

JOIN

• Utilizada para combinar tuplas relacionadas de duas relações em uma única tupla

• É a operação que viabiliza os relacionamentos entre relações

• Nesse caso, JOIN substitui um produto cartesiano seguido de uma seleção

• Ex:

GER_DEP <- DEPARTAMENTO _NSSGER=NSS EMPREGADO

JOIN

• Na operação anterior, NSSGER é uma chave estrangeira de DEPARTAMENTO em EMPREGADO

• A operação é viabilizada pela restrição de integridade referencial, que garante que existam tuplas relacionadas • O mesmo resultado pode ser obtido usando:

• Ou: ) _ ( _ _ _ EMP S DEPENDENTE ATUAIS S DEPENDENTE DEPENDENTE EMP NOMES EMP S DEPENDENTE NSSE NSS= ← × ← σ

JOIN

• Notação completa: a junção de duas relações R(A₁, A₂, ..., A_n) e S(B₁, B₂, ..., B_m) é denotada por

• O resultado da junção é uma relação Q(A₁, A₂, ..., A_n, B₁, B₂, ..., B_m), com n+m atributos

• Q possui uma tupla para cada combinação de tuplas de R e de S que satisfaça à condição de junção

JOIN

• A condição geral de junção é da forma

– <condição> E <condição> E ... E <condição>

– Cada condição individual é da forma A_i θ B_j, sendo θ um dos operadores de comparação (<, >, =, <>, >=, <=)

– Ai é um atributo de R, Bj é um atributo de S, e o domínio de ambos é o mesmo

– Tuplas cujos atributos de junção sejam nulos não aparecem no resultado

– JUNÇÃO TETA

• Quando a operação é apenas a igualdade, a operação é denominada EQUIJUNÇÃO (EQUIJOIN)

JUNÇÃO NATURAL

• No resultado da equijunção, um par de atributos com

valores idênticos faz parte do resultado, o que é supérfluo • A junção natural é definida como uma equijunção seguida

da remoção desses atributos, e é denotada com “*”

• Na junção natural exige-se que os nomes dos dois atributos sejam idênticos Æ atributo de junção

• Ex: renomear o atributo NUMERODEP para NUMD e realizar a junção natural

Álgebra Relacional: operações

• Foi demonstrado matematicamente que o conjunto básico de operações da álgebra relacional (σ, π,U, -, X) é completo

– Qualquer uma das outras operações da álgebra pode ser definida em função dessas operações

– Interseção pode ser definido em função de união e diferença

– Junção pode ser definida em função de produto cartesiano e seleção – Junção natural pode ser definida em função de produto cartesiano,

renomear, selecionar e projetar

• No entanto, não é conveniente especificar operações complexas sempre que for necessário usar algumas dessas operações

DIVISION

• Útil para alguns tipos especiais de consulta

– Ex.: recuperar os nomes dos empregados que trabalham nos mesmos os projetos nos quais “John Smith” trabalha

SMITH Å

σ

SMITH_NUMPS Å

π

NSS_NUMPS Å

π

NSSS(NSS) Å NSS_NUMPS

÷

DIVISION

• A definição formal de DIVISION é a seguinte:

– R(Z) ÷ S(X), onde X está contido em Z e ambos são conjuntos de atributos

– Seja Y = Z – X (ou seja, Z é a união de X e Y, e Y é o conjunto de atributos de R que não estão em S)

– O resultado da divisão é uma relação T(Y) que inclui cada tupla t para a qual t_R[Y] = t e t_R[X] = t_S para todas as tuplas t_S em S.

– Para figurar no resultado, os valores em t devem aparecer em R em combinação com todas as tuplas de S

Operações Relacionais

Adicionais

• Agregação e agrupamento • Fechamento recursivo

Agregação e Agrupamento

• Operações como SUM, AVERAGE, MAXIMUM, MINIMUM, COUNT aplicadas a grupos de tuplas ou a toda a relação

• Notação:

– _{<atributos de agrupamento>}

F

• Exemplo:

ρ_{R(NUD,NUM_EMPR,MÉDIA_SAL)}(_NUD F _{COUNT NSS, AVERAGE SALARIO}(EMPREGADO))

• Caso nenhum atributo de agrupamento seja especificado, o resultado é uma relação com uma única tupla

– Mesmo que a tupla resultante tenha um só atributo, ainda assim o resultado é uma relação

Operações de Fechamento

Recursivo

• Aplicada a auto-relacionamentos

• Exemplo: selecionar todos os empregados supervisionados por um empregado dado, em todos os níveis (ou seja,

retornar os supervisionados diretos, mais os supervisionados destes, e assim por diante)

• Em geral não é possível especificar esse tipo de consulta com um número indeterminado de níveis sem recorrer a algum mecanismo de looping

Outer Join e Outer Union

• Extensões de Join e de Union

• Na junção natural R * S apenas figuram tuplas que se

combinam, portanto as demais são eliminadas do resultado, junto com tuplas com nulo nos atributos de junção

• Outer Joins permitem manter todas as tuplas de R (ou de S), mesmo que não possuam correspondente na outra relação

Outer Join

• Exemplo: listar todos os empregados e os departamentos que gerenciam, caso gerenciem algum departamento

– Usa LEFT OUTER JOIN

TEMP Å EMPREGADO _NSS=NSSGERDEPARTAMENTO)

Outer Join: outras formas

• LEFT OUTER JOIN • RIGHT OUTER JOIN • FULL OUTER JOIN

Outer Union

• Realiza a união entre duas relações mesmo que elas não sejam totalmente compatíveis para união

– É esperado que a lista de atributos compatíveis para união inclua uma chave para ambas as relações

– Tuplas com a mesma chave são representadas apenas uma vez, com valores para todos os atributos

– Atributos não compatíveis para união são mantidos no resultado, e tuplas que não possuem valores para esses atributos recebem valor nulo

• Ex: ALUNO(Nome, CPF, Departamento, Nota) e PROFESSOR (Nome, CPF, Departamento, Disciplina) retorna R(Nome, CPF, Departamento, Nota, Disciplina)

– Tuplas de alunos terão valor nulo em DISCIPLINA e tuplas de professores terão valor nulo em NOTA

Exemplos de Consultas

• Vide seção 6.5 do livro texto

• Essas consultas são repetidas no cap. 8, sob a forma de expressões SQL

Cálculo Relacional

• O cálculo relacional (também chamado de cálculo

relacional de tuplas) é uma linguagem formal de consultas voltada ao modelo relacional

• Enquanto a álgebra relacional é uma linguagem procedural, o cálculo relacional é uma linguagem declarativa (não-procedural)

• A ordem de comandos na álgebra relacional influencia a estratégia para a avaliação da consulta

• No cálculo relacional, a maneira que uma expressão é composta não indica como deve ser avaliada

Cálculo Relacional

• Foi demonstrado que a álgebra relacional e o cálculo relacional têm exatamente o mesmo poder de expressão • Outras linguagens de consulta são definidas por

comparação ao cálculo relacional

– Uma linguagem de consulta L é dita relacionalmente completa se for possível expressar em L qualquer consulta que possa ser

formulada em cálculo relacional

• A maioria das linguagens de consulta é relacionalmente completa, e tem poder de expressão maior do que o do cálculo relacional, devido ao acréscimo de operações

Variáveis de Tupla

• Uma variável de tupla cobre toda uma relação, ou seja, a variável pode assumir, como valor, qualquer tupla da relação

• As expressões do CR são definidas como conjuntos

– {t | COND(t)} Æ conjunto das tuplas t que atendem à condição COND

– {t | EMPREGADO(t) AND t.salario > 1000} Æ

conjunto dos dados (tupla completa) de empregado cujo salário seja maior que 1000.

• EMPREGADO(t) define que a relação de extensão da tupla é a relação empregado

– {t.nome, t.dn | EMPREGADO(t) AND t.salario > 1000} Æ retorna apenas o nome e a data de nascimento, dentre os atributos de empregado

Variáveis de Tupla

• Uma expressão do CR contém:

– Para cada variável de tupla t, a relação de extensão para t, na forma R(t)

– Uma condição para selecionar tuplas particulares, que será

avaliada para cada combinação possível de relações de extensão das variáveis de tupla envolvidas

– Um conjunto de atributos que serão recuperados para cada combinação de tuplas que tenha sido selecionada

Expressões e Fórmulas

• Uma expressão do CR é da forma

{t₁.A_j, t₂.A_k, ..., t_nA_m | COND(t₁, t₂, ..., t_n, t_n+1,... t_n+m)}

– t₁, t₂, ..., t_n, t_n+1,... t_n+m são variáveis de tupla

– Cada Ai é um atributo da relação sobre a qual t_i se estende – COND é uma fórmula (ou fórmula bem formada, well-formed

Expressões e Fórmulas

• A fórmula é formada por átomos do cálculo de predicados, que podem ser:

– Um átomo na forma R(t), que especifica a relação de extensão – Um átomo na forma t_i.A op t_j.B, onde op é um operador de

comparação (=, <>, <, >, >=, <=), t_i e t_j são variáveis de tupla, A é um atributo da relação pela qual t_i se estende e B é um atributo da relação pela qual t_j se estende

– Um átomo na forma t_i.A op c ou c op t_j.B, onde c é uma constante

• Cada átomo é avaliado para um valor booleano, chamado valor

verdade do átomo

Expressões e Fórmulas

• A fórmula pode ser definida recursivamente:

1. Cada átomo é uma fórmula

2. Se F1 e F2 são fórmulas, então (F1 AND F2), (F1 OR F2), NOT(F1) e NOT(F2) também são fórmulas

Quantificadores

• Dois símbolos adicionais podem aparecer em fórmulas

– Quantificador universal ( ) – Quantificador existencial ( )

• Uma variável de tupla é livre ou limitada em uma fórmula de acordo com as seguintes regras:

– A ocorrência de uma variável de tupla em uma fórmula F que é um átomo é livre em F

– A ocorrência de uma variável de tupla t é livre ou limitada em uma

fórmula composta por operadores AND, OR, NOT (como F1 AND F2) se ela for livre ou limitada em F1 ou em F2

• Observe que uma variável de tupla pode ser livre em F1 e limitada em F2, ou vice-versa

– Todas as ocorrências livres de uma variável de tupla t em F são limitadas em uma fórmula F’ da forma

ou seja, a variável de tupla fica limitada pelo quantificador especificado em F’ ∀ ∃ ) )( ( ' __ __ ) )( ( ' t F ou F t F F = ∃ = ∀

Quantificadores

• Exemplo

• A variável de tupla d está livre em F1 e F2, mas limitada pelo quantificador em F3 ) ' 333445555 ' . )( ( : 3 ) . . )( ( : 2 ' ' . : 1 = ∀ = ∃ = MGRSSN d d F DNO t DNUMBER d t F RESEARCH DNAME d F

Expressões e Fórmulas,

• A fórmula pode ser definida recursivamente:

1. Cada átomo é uma fórmula

2. Se F1 e F2 são fórmulas, então (F1 AND F2), (F1 OR F2), NOT(F1) e NOT(F2) também são fórmulas

3. Se F é uma fórmula, então também é, e é verdadeira se F puder ser avaliada como verdadeira para alguma (pelo menos uma) tupla designada para ocorrências livres de t em F

4. Se F é uma fórmula, então também é, e é verdadeira se F puder ser avaliada como verdadeira para todas as tuplas (do universo) designadas para ocorrências livres de t em F

) )( (∃t F ) )( (∀t F

Exemplos

• Recuperar os nomes e endereços de todos os empregados que trabalham para o departamento ‘Pesquisa’

• Mais exemplos: seções 6.6.4, 6.6.5, 6.6.6

)} . . __ __ ' ' . __ __ ) ( )( ( __ __ ) ( | . , . { NUMDEP t NUMERODEP d AND Pesquisa NOMEDEP d AND d DEPTO d AND t EMPREGADO ENDERECO t NOME t = = ∃

Expressões Seguras

• Uma expressão segura do cálculo relacional é aquela que, garantidamente, produz um número finito de tuplas como resultado.

• A expressão {t | NOT (EMPREGADO(t))} é insegura,

pois retorna todas as tuplas do universo que não pertencem à relação empregado.

Cálculo Relacional de Domínio

• O cálculo relacional de tuplas é a base para o SQL, e foi desenvolvido em um centro de pesquisa da IBM

• O cálculo relacional de domínio foi desenvolvido ao

mesmo tempo em outro centro de pesquisa da IBM, e é a base para a linguagem QBE (Query By Example)

Referências

• Capítulo 6 de Elmasri & Navathe

• Codd, E. A Relational Model for Large Shared Data Banks. Communications of the ACM 13:6, June 1970.