Frac¸˜oes Cont´ınuas e a Construc¸˜ao de Calend´arios
Cleonice F´atima Bracciali
Depto de Matem´atica Aplicada
UNESP - Universidade Estadual Paulista
IBILCE -Campus de S˜ao Jos´e do Rio Preto
Semana da Matem´atica
UEM - 2016
Construc¸˜ao do Calend´ario
•
Um calend´ario anual, contado em dias, depende do tempo da revoluc¸˜ao da Terra em torno do Sol que ´e chamado de ano tropical. Sua durac¸˜ao ´e de aproxi-madamente365.24219878125 dias.
Note que 0.24219878125 do dia equivale a 05h 48m 46s.
•
A revoluc¸˜ao da Lua em torno da Terra dura 29.530589 dias.•
Como365.24219878125
29.530589
= 12.36826664
temosaproximadamente 12.37 meses lunares de29.53 dias em um ano tropical.
O que levar em considerac¸˜ao para um calend´ario anual?
•
Fazer com que um equin´ocio (quando a noite tem a mesma durac¸˜ao do dia)ocorra sempre no mesmo dia.
Oequin´ocio de marc¸omarca o in´ıcio daprimavera no hemisf´erio nortee o in´ıcio do outono no hemisf´erio sul.
20 ou 21 de marc¸o ?
Oequin´ocio de setembromarca o in´ıcio dooutono no hemisf´erio nortee o in´ıcio da primavera no hemisf´erio sul.
N˜ao se esquec¸am: o ano tropical tem
365.24219878125 dias ou 365 dias 05h 48m 46s.
•
O mais antigo calend´ario babilˆonio era lunar. Tinha 12 meses que eram intercalados entre 29 e 30 dias. Num total de 354 dias.•
Foi substitu´ıdo pelo calend´ario eg´ıpcio que tinha 12 meses de 30 dias. Apenas 360 dias.•
Logo percebeu-se a discrepˆancia com o ano tropical e 5 dias foram acrescentados ao calend´ario, estes dias s˜ao chamados de dias epagomenais.⇒
365 dias. Este calend´ario durou at´e o ano 238 A.C.•
Quando um sexto dia epagomenal foi acionado a cada 4 anos, que ficou co-nhecido calend´ario alexandrino e365.25 dias por ano.365.24219878125 dias ou 365dias 05h 48m 46s
•
Durante suas viagens ao Egito, J´ulio C´esar tomou conhecimento docalend´ario alexandrino, percebeu que era mais preciso do que o calend´ario romano de 365 dias.
Com a ajuda de astrˆonomos, no ano 46 A.C., J´ulio C´esar introduziu o
calend´ario juliano, de 12 meses de 365 dias. E, determinou-se que anos m´ultiplos de 4 seriam de 366 dias (bissexto).
•
Assim, o ano juliano tinha em m´edia365.25 dias = 365 +
1
4
dias
ou seja, 05h 48m 46s foi aproximado por
0.25 do dia
=
1
•
Desta forma o ano juliano corre mais r´apido que o ano tropical. A cada 128 anos o calend´ario juliano est´a 1 dia adiantado.•
Depois de 15 s´eculos de uso, havia uma grande diferenc¸a entre o calend´ario juliano e movimento real da Terra em torno do Sol (ano tropical). Os equin´ocios estavam ocorrendo 11 dias ap´os a data prevista.•
Em 1582, o Papa Greg´orio XIII, com ajuda de astrˆonomos, proclamou uma revis˜ao do calend´ario baseada na aproximac¸˜ao do ano tropical por365 +
97
400
dias = 365.2425 dias,
uma aproximac¸˜ao melhor para 365.24219878125 dias. Assim ´e necess´ario apenas 97 anos bissextos em 400 anos.
O calend´ario gregoriano, que ´e usado at´e hoje, omite 3 anos bissextos em 400 anos. Nem todos os anos m´ultiplos de 4 s˜ao bissextos. Determinou-se que os anos seculares (m´ultiplos de 100) s˜ao bissextos quando tamb´em s˜ao m´ultiplos de 400. Por exemplo, 1600, 2000, 2400 s˜ao bissextos, mas 1700, 1800, 1900, 2100, 2200 e 2300 n˜ao s˜ao bissextos.
•
Para que o equin´ocio da primavera, que estava atrasado em relac¸˜ao ao calend´ario, voltasse a ocorrer em 21 de marc¸o, foi publicado um decreto no qual o dia ap´os 04 de outubro de 1582 deveria ser 15 de outubro de 1582.•
O ano gregoriano ainda corre mais r´apido do que o ano tropical. Mas, a diferenc¸a ser´a de mais 1 dia somente depois de 3320 anos.ano juliano
365
14 dias =365.25
diasano gregoriano
365
40097 dias =365.2425
diasOutras aproximac¸˜oes para
0.24219878125
erro365
14 =365.25
-0.007801219 +1 dia em 128 anos365
30073 =365.24333333333
-0.001134552 +1 dia em 881 anos365
40097 =365.2425
-0.000301219 +1 dia em 3320 anos365
121500 =365.242
0.000198781 -1 dia em 5032 anos365
320000007750361 =365.24219878125
erro = 365.25 − 365.24219878125 = −0.007801219.
7Qual a melhor aproximac¸˜ao racional?
•
1
4
= 0.25
´e uma boa aproximac¸˜ao racional para0.24219878125...
?•
97
400
= 0.2425
´e uma boa aproximac¸˜ao racional para0.24219878125...
?•
242
1000
= 0.242
´e uma boa aproximac¸˜ao racional para0.24219878125...
?•
7750361
32000000
´e uma boa aproximac¸˜ao racional para0.24219878125...
?•
Qual a melhor aproximac¸˜ao racional para0.24219878125...
?π = 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751
•
Qual ´e o racional que a melhor aproxima o valorπ
?Aproximac¸˜oes racionais para n ´umeros irracionais
Objetivo: Dado um n´umero irracional
x
, encontrar um n´umero racional irredut´ıvela
b
que melhor aproximex
.Problema: Definir melhor aproximac¸˜ao colocando restric¸˜ao para o numerador
a
ou para o denominadorb
.Definic¸˜ao: Encontrar o racional
a
b
tal quex −
a
b
<
x −
p
q
,
para qualquer outro racional
p
q
6=
a
b
, tal que0 < q ≤ b
.Frac¸˜oes Cont´ınuas
Uma
frac¸˜ao cont´ınua
´e uma express˜ao da forma (finita ou infinita):
a
0+
b
1a
1+
b
2a
2+
b
3a
3+
b
4a
4+ . . .
a
0, a
1, a
2, . . . e b
1, b
2, b
3, . . . - n´umeros ou func¸˜oes reais ou complexos.
Notac¸˜ao mais simplificada:
a
0+
b
1a
1+
b
2a
2+
b
3a
3+
b
4a
4+
b
5a
5+
b
6a
6+ · · ·
.
Frac¸˜ao cont´ınua simples:
a
0+
1
a
1+
1
a
2+
1
a
3+
. . .=
a
0+
1
a
1 +1
a
2 +1
a
3 +· · ·
a
1, a
2, a
3, . . .
- inteiros positivosa
0 - inteiro qualquer.Frac¸˜ao cont´ınua simples finita:
a
0+
1
a
1 +1
a
2 +· · ·
+1
a
n= [a
0; a
1, a
2, . . . , a
n]
Exemplo:2 +
1
4 +
1
2 +
1
7
= 2 +
1
4 +
1
15
7
= 2 +
1
4 +
7
15
= 2 +
1
67
15
=
149
67
.
11Frac¸˜oes Cont´ınuas - Aspectos Hist´oricos
•
Frac¸˜oes cont´ınuas foram utilizadas durante s´eculos antes de seu pr´oprio descobrimento.•
O primeiro uso conhecido de frac¸˜oes cont´ınuas foi dado porBombelli (1526-1573) em 1572 na aproximac¸˜ao de√
13
:√
13 ' 3 +
4
6 +
4
6
.
•
No s´eculo XVI conhecia-se a aproximac¸˜ao:√
a
2+ b ' a +
b
2a +
b
2a
•
Cataldi (1548-1626) (italiano considerado o descobridor das frac¸˜oes cont´ınuas), em 1613, obteve (±
15 termos):√
18 ' 4&
2
8&
2
8&
2
8
. . .&
2
8
=
4 +
2
8 +
2
8 +
2
8 +
. . .+
2
8
.
que ele abreviou como
4 &
2
8.
&
2
8.
&
2
8.
· · · &
2
8.
.
13•
A primeira expans˜ao em frac¸˜ao cont´ınua infinita envolvendoπ (' 1658)
, sem prova, foi dada por Lord Brouncker (1620 - 1686)4
π
= 1 +
1
22 +
3
22 +
5
22 +
7
22 +
9
22 +
. . .= 1 +
1
22
+3
22
+5
22
+7
22
+9
22
+ . . .,
demonstrada por Euler (1707-1783) em 1775.•
Euler sistematizou o desenvolvimento da teoria de frac¸˜oes cont´ınuas. Em 1737, encontrou o desenvolvimento para o n´umeroe
:e = 2 +
1
1 +
1
2 +
1
1 +
1
1 +
1
4 +
1
1 +
1
1 +
. . . ou,e = 2 +
1
1
+1
2
+1
1
+1
1
+1
4
+1
1
+1
1
+1
6
+1
1
+1
1
+1
8
+· · · .
15•
Lambert, em 1766, mostrou quee
x− 1
e
x+ 1
=
1
2
x
+
1
6
x
+
1
10
x
+
1
14
x
+
. . ..
Frac¸˜oes Cont´ınuas Simples Finitas
−→
N ´umeros Racionaisa
0+
1
a
1=
a
0a
1+ 1
a
1a
0+
1
a
1+
1
a
2=
a
0(a
1a
2+ 1) + a
2a
1a
2+ 1
a
0+
1
a
1+
1
a
2+
1
a
3=
a
0[a
1(a
2a
3+ 1) + a
3] + (a
2a
3+ 1)
a
1(a
2a
3+ 1) + a
3 ... 17N ´umeros Racionais
−→
Frac¸˜oes Cont´ınuas Simples Exemplo:87
59
= 1 +
28
59
= 1 +
1
59
28
= 1 +
1
2 +
3
28
= 1 +
1
2 +
1
28
3
= 1 +
1
2 +
1
9 +
1
3
= [1; 2, 9, 3].
Exemplo:67
29
=
2 +
9
29
=
2 +
1
29
9
=
2 +
1
3 +
2
9
=
2 +
1
3 +
1
=
2 +
1
3 +
1
Exemplo:
59
87
= 0 +
1
87
59
= 0 +
1
1 +
1
2 +
1
9 +
1
3
= [0; 1, 2, 9, 3].
Exemplo:−
87
59
= −1 −
28
59
= −1 −
28
59
+
59
59
− 1 = −2 +
31
59
= −2 +
1
59
31
= −2 +
1
1 +
28
31
= −2 +
1
1 +
1
31
28
= −2 +
1
1 +
1
1 +
3
28
= −2 +
1
1 +
1
1 +
1
28
3
= −2 +
1
1 +
1
1 +
1
9 +
1
3
= [−2; 1, 1, 9, 3].
19Irracionais
−→
FC simples infinitas Exemplo√
2
=
1 − 1 +
√
2
=
1 + (−1 +
√
2)
1 +
√
2
1 +
√
2
=
1 +
1
1 +
√
2
√
2
=
1 +
1
1 +
√
2
=
1 +
1
1 + 1 +
1
1 +
√
2
=
1 +
1
2 +
1
1 +
√
2
√
2
=
1 +
1
2 +
1
1 +
√
2
=
1 +
1
2 +
1
2 +
1
1 +
√
2
√
2
=
1 +
1
1
=
1 +
1
1
Expans˜ao de n ´umeros irracionais em FC simples
x −
irracional ea
0= bxc
. Ent˜ao,x = a
0+
1
x
1,
0 <
1
x
1< 1.
Logo,
x
1> 1
−
e ´e irracional. Assim,x
1= a
1+
1
x
2,
ondea
1= bx
1c ≥ 1,
0 <
1
x
2< 1.
Obtemos
x
2> 1 −
ainda irracional. Repetindo, obtemosx = a
0+
1
x
1,
x
1> 1.
x
1= a
1+
1
x
2,
x
2> 1
,
a
1≥ 1,
...x
n−1= a
n−1+
1
x
n,
x
n> 1,
a
n−1≥ 1,
x
n= a
n+
1
x
n+1,
x
n+1> 1,
a
n≥ 1.
...a
0, a
1, . . . , a
n, . . . ∈
Z,
x
1, x
2, . . . , x
n+1, . . . ∈
I .Obtemos, ent˜ao, a FC simples infinita
x = a
0+
1
x
1= a
0+
1
a
1+
1
x
2= a
0+
1
a
1+
1
a
2+
1
x
3= . . . .
= a
0+
1
a
1+
1
Exemplo: Expans˜ao de
π
em FC simples.Note que
bπc = b3.1415926535897932...c = 3.
Logo,a
0= 3
.π = 3 + 0.14159265358979... ⇒
1
x
1= 0.14159265358979...
⇒ x
1=
1
0.14159265358979...
⇒ x
1= 7.06251331041...
⇒ x
1= 7 + 0.06251331041...
Logo,a
1= 7
.
1
x
2= 0.06251331041... ⇒ x
2=
1
0.06251331041...
= 15.9965932606...
⇒ x
2= 15 + 0.9965932606...
Logo,a
2= 15
.
231
x
3= 0.9965932606... ⇒ x
3= 1.00341838495...
⇒ x
3= 1 + 0.00341838495...
Logo,a
3= 1
.
1
x
4= 0.00341838495... ⇒ x
4= 292.535807004...
⇒ x
4= 292 + 0.535807004...
Logo,a
4= 292
.
Continuando desta forma, encontramos,
a
5= 1
a
6= 1,
a
7= 1,
a
8= 2,
... .
Logo,
Outros exemplos de expans˜oes em FC simples
e
= 2 +
1
1
+1
2
+1
1
+1
1
+1
4
+1
1
+1
1
+1
6
+1
1
+1
1
+1
8
+1
1
+1
1
+ . . .e − 1
e + 1
=
1
2
+1
6
+1
10
+1
14
+1
18
+1
22
+1
26
+1
30
+1
34
+1
38
+1
42
+ . . .e − 1
2
=
1
1
+1
6
+1
10
+1
14
+1
18
+1
22
+1
26
+1
30
+1
34
+1
38
+1
42
+ . . .√
e
= 1 +
1
1
+1
1
+1
1
+1
5
+1
1
+1
1
+1
9
+1
1
+1
1
+1
13
+1
1
+1
1
+1
17
+ . . . 25Convergentes de Frac¸˜ao Cont´ınua
a
0+
b
1a
1 +b
2a
2 +b
3a
3 + . . ..
(1) Consideremos as FC finitas:c
0=
a
01
c
1= a
0+
b
1a
1c
2= a
0+
b
1a
1 +b
2a
2c
3= a
0+
b
1a
1 +b
2a
2 +b
3a
3 ...b
b
Note que
c
0=
a
01
=
p
0q
0.
Assim,p
0= a
0 eq
0= 1
.c
1= a
0+
b
1a
1=
a
0a
1+ b
1a
1=
p
1q
1.
Logo,p
1= a
0a
1+ b
1 eq
1= a
1.c
2= a
0+
b
1a
1 +b
2a
2= a
0+
b
1a
1+
b
2a
2= a
0+
b
1a
2a
1+ b
2a
2= a
0+
a
2b
1a
2a
1+ b
2=
a
0(a
2a
1+ b
2) + b
1a
2a
2a
1+ b
2=
a
2(a
0a
1+ b
1) + b
2a
0a
2a
1+ b
21
=
a
2p
1+ b
2p
0a
2q
1+ b
2q
0=
p
2q
2.
Ent˜ao,p
2= a
2p
1+ b
2p
0 eq
2= a
2q
1+ b
2q
0. 27Teorema 1. Os numeradores
p
i e os denominadoresq
i doi
-´esimo conver-gentec
i=
p
iq
i da FC (1) satisfazem:p
i= a
ip
i−1+ b
ip
i−2q
i= a
iq
i−1+ b
iq
i−2,
i = 2, 3, . . . ,
(2) com as condic¸˜oes iniciais
p
0= a
0q
0= 1
ep
1= a
1a
0+ b
1q
1= a
1.
(3)Corol´ario 1. Considere a frac¸˜ao cont´ınua simples
a
0+
1
a
1 +1
a
2 +1
a
3 + . . ..
(4) Ent˜ao,p
i= a
ip
i−1+ p
i−2q
i= a
iq
i−1+ q
i−2i = 1, 2, . . . ,
Exemplo: Considere a FC simples
x = 1 +
1
2
+1
2
+1
2
+1
2
+1
2
+ . . ..
Primeiros convergentes:c
0=
p
0q
0=
1
1
= 1
= 1,
c
1=
p
1q
1= 1 +
1
2
=
3
2
= 1.5,
c
2=
p
2q
2=
a
2p
1+ p
0a
2q
1+ q
0=
2 · 3 + 1
2 · 2 + 1
=
7
5
= 1.4,
c
3=
p
3q
3=
a
3p
2+ p
1a
3q
2+ q
1=
2 · 7 + 3
2 · 5 + 2
=
17
12
= 1.4166667,
c
4=
p
4q
4=
a
4p
3+ p
2a
4q
3+ q
2=
2 · 17 + 7
2 · 12 + 5
=
41
29
= 1.4137931,
c
5=
p
5q
5=
a
5p
4+ p
3a
5q
4+ q
3=
2 · 41 + 17
2 · 29 + 12
=
99
70
= 1.4142857,
29Sobre os convergentes de uma frac¸˜ao cont´ınua simples
c
n= a
0+
1
a
1+
1
a
2+
1
. . .+
1
a
n=
a
0+
1
a
1 +1
a
2 +· · ·
+1
a
n Teorema 2.• c
2m< c
2n+1,
n, m ≥ 0;
• c
n est´a entrec
n−1 ec
n−2,
n ≥ 2
;•
a sequˆencia de convergentes{c
n}
∞n=0 satisfazTeorema 3. A sequˆencia de convergentes
{c
n}
∞n=0 ´e convergente e seu limite,l
, ´e dado porl = lim
n→∞
c
2n= lim
n→∞c
2n+1.
Teorema 4. A sequˆencia dos convergentes
{c
n}
∞n=0 converge para um n´umero irracional.Teorema 5. Se um n´umero irracional positivo
x
´e expandido em uma frac¸˜ao cont´ınua simples infinita[a
0; a
1, a
2, . . .]
, ent˜aolim
n→∞
c
n= x,
onde
{c
n}
´e a sequˆencia dos convergentes da frac¸˜ao cont´ınuax
=
[a
0; a
1, a
2, . . .]
.•
Desses resultados, podemos concluir que, para a frac¸˜ao cont´ınua1 +
1
2 +
1
2 +
1
2 + · · ·
,
lim
n→∞c
n=
√
2.
31Corol´ario 2. Seja
x
um n´umero real positivo e{c
n}
∞n=0 a sequˆencia dos con-vergentes da frac¸˜ao cont´ınua simples associada ax
. Ent˜ao,|x − c
k| < |x − c
k−1|,
k ≥ 1.
Teorema 6. Seja
x
um n´umero real positivo e{c
n}
∞n=0 a sequˆencia dos conver-gentes da frac¸˜ao cont´ınua simples associada ax
. Ent˜ao,1
2q
kq
k+1<
x −
p
kq
k<
1
q
kq
k+1<
1
q
k2,
k ≥ 1,
ondec
k=
p
kq
k.
•
•
•
•
•
•
•
Exemplo: Considere a expans˜ao de
π
π = 3 +
1
7 +
1
15 +
1
1 +
1
292 +
1
1 +
1
1 +
1
1 +
1
2 +
1
1 +
1
3 +
1
1 +
1
14 + . . .
= 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751 . . .
Primeiros convergentes:c
0=
3
1
= 3
c
1=
22
7
= 3.142857142857
c
2=
333
106
= 3.141509433962
c
3=
355
113
= 3.141592920354
c
4=
103993
33102
= 3.141592653012
c
5=
104348
33215
= 3.141592653921
c
6=
208341
66317
= 3.141592653467
c
7=
312689
99532
= 3.141592653619
c
8=
833719
265381
= 3.141592653581
c
9=
1146408
364913
= 3.141592653591
Aproximac¸˜oes racionais para n ´umeros irracionais (reais)
Objetivo: Dado um n´umero irracional
x
, encontrar um n´umero racional irredut´ıvela
b
que melhor aproximex
.Problema: Encontrar a melhor aproximac¸˜ao impondo alguma restric¸˜ao para o denominador
b
.Natural seria encontrar
a
b
tal quex −
a
b
<
x −
p
q
,
(5)para qualquer racional
p
q
6=
a
b
, tal que0 < q ≤ b
.Por quest˜oes pr´aticas definimos
Definic¸˜ao: Consideramos o n´umero racional
a
b
a melhor aproximac¸˜ao racional|bx − a| < |qx − p|,
com
q ≤ b
⇒
x −
a
b
<
x −
p
q
.
De fato,q ≤ b ⇒
1
b
≤
1
q
mas
|bx − a| < |qx − p|
⇒
1
b
(bx − a)
<
1
q
(qx − p)
⇒
x −
a
b
<
x −
p
q
.
35Dos resultados do Teorema 6,
1
2q
kq
k+1<
x −
p
kq
k<
1
q
kq
k+1<
1
q
k2,
k ≥ 1,
´e poss´ıvel mostrar que:
•
1
q
k+ q
k+1< |q
kx − p
k| <
1
q
k+1≤
1
2
.
(7) poisq
k+1> q
k> · · · > q
2= a
1a
2+ 1 ≥ 2,
Teorema 7. Seja
x
um n´umero irracional. Qualquer melhor aproximac¸˜ao raci-onal dex
, ´e um convergente da expans˜ao dex
em frac¸˜ao cont´ınua simples.De fato: Seja
x = [a
0; a
1, a
2, . . .]
ec
k=
p
kq
kseus convergentes. Vimos que
a
0=
p
0q
0<
p
2q
2< · · · < x < · · · <
p
3q
3<
p
1q
1.
Suponhamos, por absurdo, que a melhor aproximac¸˜ao
a
b
n˜ao ´e um convergente.1) Se
a
b
<
p
0q
0= a
0< x,
ent˜ao|bx − a| = b
x −
a
b
≥
x −
a
b
> |x − a
0|,
que contradiz o fato de
a
b
ser melhor aproximac¸˜ao.2) Se
a
b
>
p
1q
1> x,
temos que|bx − a| = b
x −
a
b
≥ b
p
1q
1−
a
b
≥ b
1
q
1b
=
1
q
1=
1
a
1> |x − a
0|,
poisa
b
>
p
1q
1⇒ bp
1− aq
1> 0
ex − a
0=
1
a
1+ · · ·
<
1
a
1,
que tamb´em contradiz o fato de
a
3) Se
a
b
est´a entrep
0q
0 ep
1q
1e n˜ao ´e um convergente, ent˜ao deve estar entre dois convergentes de valores consecutivos, por exemplo,
p
0q
0<
p
2q
2< · · · <
p
k+1q
k+1< · · · x · · · <
p
k+2q
k+2<
a
b
<
p
kq
k< · · · <
p
1q
1.
Assim, da f´ormula do determinante e das desigualdades acima, temos
1
q
kq
k+1=
p
k+1q
k+1−
p
kq
k>
a
b
−
p
kq
k>
1
q
kb
,
e, ent˜ao,b > q
k+1. Mas,|bx − a| = b
x −
a
b
> b
p
k+2q
k+2−
a
b
≥ b
1
q
k+2b
=
1
q
k+2> |q
k+1x − p
k+1|,
pois, por (7),|q
k+1x − p
k+1| <
1
q
k+2 ,a
b
n˜ao pode ser melhor aproximac¸˜ao.Exemplo: Considere a expans˜ao de
π
π = 3 +
1
7 +
1
15 +
1
1 +
1
292 +
1
1 +
1
1 +
1
1 +
1
2 +
1
1 +
1
3 + . . .
= 3.141592653589793 . . .
Primeiros convergentes:c
0=
3
1
= 3
c
1=
22
7
= 3.142857142857
c
2=
333
106
= 3.141509433962
c
3=
355
113
= 3.141592920354
c
4=
103993
33102
= 3.141592653012
c
5=
104348
33215
= 3.141592653921
•
355
Construc¸˜ao do Calend´ario
A construc¸˜ao de um “bom” calend´ario depende de uma “boa” aproximac¸˜ao ra-cional para
c = 0.24219878125 dias.
Ano tropical = 365.24219878125 dias.
Ano juliano
365 +
14 dias. Ano gregoriano365 +
40097 dias.A expans˜ao de
c
em frac¸˜ao cont´ınua simples ´ec = 0 +
1
4
+1
7
+1
1
+1
3
+1
5
+1
6
+1
1
+1
1
+1
3
+1
1
+1
7
+1
7
+1
1
+1
1
+1
1
+1
1
+1
2
dias.
Os primeiros convergentes de
c
s˜ao dados pork
0 1 2 3 4 5 6p
kq
k0
1
1
4
7
29
8
33
31
128
163
673
1009
4166
.•
O calend´ario juliano ´e a implementac¸˜ao do primeiro convergente dec
,1
4
.•
A aproximac¸˜ao melhor aproximac¸˜ao dec
´e7
29
. Calend´ario dif´ıcil!!!Construc¸˜ao do Calend´ario
•
Para construir um calend´ario baseado em um ciclob
diferente do denomi-nador de um convergente dec
, precisamos encontrar a quantidadea
de anos bissextos que devemos incluir durante o ciclo de modo que|bc − a|
seja o menor poss´ıvel.Problema: Como encontrar uma aproximac¸˜ao racional
a
b
para um n´umeroreal positivo
x
, cujo denominadorb 6= q
k, k ≥ 0
, ondeb < q
N +1, para algumN ≥ 0
.Soluc¸˜ao: Algoritmo de Ostrowski
Como a sequˆencia de denominadores
{q
k}
satisfaz1 = q
0< q
1< q
2< q
3< · · · ,
´e poss´ıvel expressar um n´umero inteiro
b < q
N +1 comoN
Exemplo: Considere a expans˜ao de c = 0.24219878125 em FC simples
c =
1
4
+1
7
+1
1
+1
3
+1
5
+1
6
+1
1
+1
1
+1
3
+1
1
+1
7
+1
7
+1
1
+1
1
+1
1
+1
1
+1
2
.
Os primeiros convergentes de
c
s˜ao dados pork
0 1 2 3 4 5 6p
kq
k0
1
1
4
7
29
8
33
31
128
163
673
1009
4166
Vamos escolherb = 400
. Como400 < q
5= 673
ent˜ao400 = 3 ·
128
+ 16.
Como
16 < q
2= 29
ent˜ao16 = 4 ·
4
+ 0.
Logo,400 = 3 ·
128
+ 0 ·
33
+ 0 ·
29
+ 4 ·
4
+ 0 ·
1
400 = 3 ·
q
4+ 0 ·
q
3+ 0 ·
q
2+ 4 ·
q
1+ 0 ·
q
0onde
α
4= 3, α
3= 0, α
2= 0, α
1= 4, α
0= 0.
•
Sejax = a
0+
1
a
1 +1
a
2 +1
a
3 +· · ·
e
c
k=
p
kq
kseus convergentes.
Primeiramente expressamos
b
comob =
N X k=0α
kq
k.
Depois calculamosA =
N X k=0α
kp
k.
´E poss´ıvel mostrar que
|bx − A| < 1
.Queremos encontrar o denominador
a = a(A)
tal que|bx − a| < 1/2,
ou seja, constru´ımos uma aproximac¸˜ao racional
a
Queremos encontrar o denominador
a = a(A)
tal que|bx − a| < 1/2.
Como|bx − A| < 1
, se tomarmosa = a(b) =
A,
se|bx − A| ≤ 1/2,
A + 1,
sebx − A > 1/2,
A − 1,
sebx − A < −1/2.
ent˜ao|bx − a| ≤ 1/2
,−1
−
1
2
0
1
2
1
1
2
< bx − A < 1
−1 < bx − A < −
1
2
−
1
2
< bx − A − 1 < 0
0 < bx − A + 1 <
1
2
|bx − (A + 1)| <
1
2
|bx − (A − 1)| <
1
2
E assim constru´ımos uma aproximac¸˜ao racional
a
b
comb 6= q
ke|bx−a| ≤ 1/2
. 45Exemplo: Agora podemos encontrar a melhor aproximac¸˜ao racional
a
b
parac = 0.24219878125 com
b = 400.
J´a vimos que os primeiros convergentes de
c
s˜ao dados pork
0 1 2 3 4 5 6p
kq
k0
1
1
4
7
29
8
33
31
128
163
673
1009
4166
e queb = 400 = 3 ·
128
+ 0 ·
33
+ 0 ·
29
+ 4 ·
4
+ 0 ·
1
b = 400 = 3 ·
q
4+ 0 ·
q
3+ 0 ·
q
2+ 4 ·
q
1+ 0 ·
q
0.
Logo,A = 3 ·
p
4+ 0 ·
p
3+ 0 ·
p
2+ 4 ·
p
1+ 0 ·
p
0A = 3 ·
31
+ 0 ·
8
+ 0 ·
7
+ 4 ·
1
+ 0 ·
0
= 97
Como
|bc − A| = |400 · 0.24219878125 − 97| = 0.12048752 < 1/2
ent˜ao
a = A = 97
e a melhor aproximac¸˜ao racional comb = 400
´ec '
a
b
=
97
400
.
Que ´e a implementac¸˜ao do calend´ario gregoriano.
Outros exemplos para b:
•
Utilizandob = 300
, encontramosb = 2 · q
4+ 1 · q
3+ 0 · q
2+ 2 · q
1+ 3 · q
0A = 2 · p
4+ 1 · p
3+ 0 · p
2+ 2 · p
1+ 3 · p
0= 72.
|bc − A| ' 0.6596 > 1/2
e, assim,a = A + 1 = 73
. E,c '
73
300
= 0.24333333.
O erro ´ec −
73
300
' −0.00113455,
•
Tomandob = 500
, obtemosb = 3 · q
4+ 3 · q
3+ 0 · q
2+ 4 · q
1+ 1 · q
0,
A = 3 · p
4+ 3 · p
3+ 0 · p
2+ 4 · p
1+ 1 · p
0== 121
|bc − A| < 1/2
, logoa = 121
. E,c '
121
500
= 0.242.
O erro ´ec −
121
500
' 0.000198781,
que equivale a uma perda de 1 dia a cada 5032.
Exemplo: Considere a expans˜ao de
π
π = 3 +
1
7
+1
15
+1
1
+1
292
+1
1
+1
1
+1
1
+1
2
+1
1
+1
3
+1
1
+1
14
+ . . ..
Convergentes:k
0 1 2 3 4p
kq
k3
1
22
7
333
106
355
113
103993
33102
b = 2000
. Como2000 < q
4= 33102
ent˜ao2000 = 17 · 113 + 79
Como79 < q
2= 106
ent˜ao79 = 11 · 7 + 2 = 11 · 7 + 2 · 1,
2000 = 17 · 113 + 0 · 106 + 11 · 7 + 2 · 1
2000 = 17 · q
3+ 0 · q
2+ 11 · q
1+ 2 · q
0.
Exemplo: Considere a expans˜ao de
π
π = 3 +
1
7
+1
15
+1
1
+1
292
+1
1
+1
1
+1
1
+1
2
+1
1
+1
3
+1
1
+1
14
+ . . ..
Encontre a melhor aproximac¸˜ao racionala
b
comb = 57
. Primeiros convergentes:k
0 1 2 3 4p
kq
k3
1
22
7
333
106
355
113
103993
33102
.Como
57 < 106
, pelo algoritmo de Ostrowski obtemosb = 8 · 7 + 1 · 1 = 8 · q
1+ 1 · q
0= 57
ent˜ao,
A = 8 · p
1+ 1 · p
0= 8 · 22 + 1 · 3 = 179
que satisfaz
|bπ − A| = 0.07078125 < 1/2
e, assim,a = 179
.A melhor aproximac¸˜ao racional para
π,
denominadorb = 57,
´e179
57
=
3.140350.
Referˆencias
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[11] H.S. Wall, Analytic Theory of Continued Fractions, The University Series in Higher Mathematics, vol. 1, Van Nostrand, New York, 1948.
P´aginas interessantes sobre o assunto http://mathworld.wolfram.com/ContinuedFraction.html http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/cfINTRO.html http://archives.math.utk.edu/articles/atuyl/confrac/ http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?module=tool/number/contfrac.en http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/index.html http://www.observatorio.ufmg.br/pas39.htm http://www.ip.pt/ ip200650/calendario.htm
