Parte I – MATEMÁTICA FINANCEIRA
Relações de Equivalência
Prof. Wanderson S. Paris, M.Eng.
Relação entre P e F
P
0 n 0 n
Relação entre P e F
Demonstração da relação:
Principal + juros = P + iP = P (1+i)
Dívida + juros = P (1+i) + iP (1+i) = P (1+i)2
Dívida + juros = P (1+i)2 + iP (1+i)2 = P (1+i)3
Logo:
Relação entre P e F
F = P (1+i)
n èF = P . (F/P;i;n)
P = F / (1+i)
n èP = F . (P/F;i;n)
Relação entre P e F
Exercício 01
Paulo conseguiu um papagaio (emprésMmo) de $ 100.000,00 em um banco que cobra 5% ao
mês de taxa de juros. Quanto deverá pagar se o prazo do emprésMmo for de cinco meses?
Relação entre P e F
Exercício 02
Após quantos meses um capital empregado a 5% ao mês duplica seu valor?
Relação entre P e F
Exercício 03
Caso a inflação esteja estabilizada em 20% ao ano, calcule em quantos anos os preços
triplicam.
Relação entre P e F
Exercício 04
Paulo emprestou a um amigo $ 2.500,00 o qual liquidou a dívida pagando $ 2.730,00 após dois meses. Qual a taxa de juros envolvida na
transação?
Relação entre P e F
Períodos não inteiros: Neste, o fluxo de caixa
pode ser feito de duas formas:
• Convenção Linear
Relação entre P e F
Exercício 05
Qual o montante obMdo pela aplicação de $ 10.000,00 a 5% a.m. durante 14 meses e 15 dias? (linear e exponencial)
Relação entre P e F
Exercício 06
Se um etulo paga 5% líquido, efeMvo ao mês, calcule qual o montante obMdo aplicando-‐se $ 100.000,00 durante 45 dias.
Relação entre F e A
Aqui, o que se busca é obter um valor futuro F equivalente a uma série uniforme de
pagamentos A, e vice-‐versa.
A
0 n 0 n
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Relação entre F e A
2. Matemática financeira
= A ( F/A , i , n )
= F ( A/F , i , n )
RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA
Relação entre F e A
F = A
( 1 + i )
1
i
n!
"
#
$
%
&
'
A = F
i
( 1 + i ) - 1
n"
#
$
%
&
'
2. Matemática financeira
....
G
2G
3G
(n - 1) G
P = G ( P/G , i , n )
A = G ( A/G , i , n )
F = G ( F/G , i , n )
RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA
Séries em gradiente
0
1
2
n
2. Matemática financeira
= A ( F/A , i , n )
= F ( A/F , i , n )
RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA
Relação entre F e A
F = A
( 1 + i )
1
i
n!
"
#
$
%
&
'
A = F
i
( 1 + i ) - 1
n"
#
$
%
&
'
2. Matemática financeira
....
G
2G
3G
(n - 1) G
P = G ( P/G , i , n )
A = G ( A/G , i , n )
F = G ( F/G , i , n )
RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA
Séries em gradiente
0
1
2
n
Relação entre F e A
Considere a seguinte situação:
Se eu invesMr $ 100,00 por mês, empregado a uma taxa de 5%a.m., quanto terei ao final do sexto mês?
Combinação de Fatores
UMlizando o exemplo anterior, considerando os 6 depósitos de $ 100,00, mas reMrando o
dinheiro apenas no oitavo mês. Como resolveria?
Relação entre P e A
Busca-‐se obter um valor presente P equivalente a uma série uniforme de pagamentos A, e vice-‐ versa.
A
0 n 0 n
Prof. Wanderson S. Paris -‐ [email protected] Engenharia Econômica e Custos
Relação entre P e A
2. Matemática financeira
= A ( P/A , i , n ) = P ( A/P , i , n )RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA
Relação entre P e A P = A ( 1 + i ) 1 ( 1 + i ) i n n ! " # $ % & ' A = P ( 1 + i ) i ( 1 + i ) - 1 n n " # $ % & '2. Matemática financeira
RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA
Relação entre F e A A A A A A F F = A + A ( 1 + i ) 1 + A ( 1 + i ) 2 + . . . + A ( 1 + i ) n-1 0 n F = A [ 1 + ( 1 + i ) 1 + ( 1 + i ) 2 + . . . + ( 1 + i ) n-1 ]2. Matemática financeira
= A ( P/A , i , n ) = P ( A/P , i , n )RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA
Relação entre P e A P = A ( 1 + i ) 1 ( 1 + i ) i n n ! " # $ % & ' A = P ( 1 + i ) i ( 1 + i ) - 1 n n " # $ % & '2. Matemática financeira
RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA
Relação entre F e A A A A A A F F = A + A ( 1 + i ) 1 + A ( 1 + i ) 2 + . . . + A ( 1 + i ) n-1 0 n F = A [ 1 + ( 1 + i ) 1 + ( 1 + i ) 2 + . . . + ( 1 + i ) n-1 ]Relação entre P e A
Exercício 07
Paulo está interessado em comprar uma moto, cujo preço a vista é $ 4.000,00. Se Paulo der
uma entrada de $ 500,00 e pagar o restante em 24 meses, qual será o valor da prestação se a
taxa for de 5%a.m.?
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Séries Perpétuas
• Também chamadas infinita ou custo capitalizado,
tem estes nomes devido a possuírem um grande número de períodos. Este é um fato comum em aposentadorias, mensalidades, obras públicas, etc...
Capítulo 2 – Matemática Financeira 2. 15
Estas séries também chamadas infinita ou custo capitalizado tem estes nomes devido a possuírem um grande número de períodos. Este é um fato comum em aposentadorias, mensalidades, obras públicas, etc...
O valor presente da série uniforme infinita é:
» » ¼ º « « ¬ ª i . i) + (1 n 1 -i) (1 n A = P » » ¼ º « « ¬ ª f o i . i) + (1 n 1 -i) (1 n A lim n = P i 1 . A = P .i i) + (1 n 1 i 1 limn A = P » » ¼ º « « ¬ ª f o
EXEMPLO II.14 - Quanto deverei depositar em um fundo com a finalidade de receber para
sempre a importância anual de R$ 12.000,00 considerando ser a taxa anual de juros igual a 10%?
EXEMPLO II.15 - Qual a menor quantia que um grupo deve cobrar hoje, para dar uma renda
anual de R$ 6.000?
Séries Perpétuas
Exercício:
Determine o valor presente de uma série infinita de depósitos de $1.000,00, os quais ocorrem a cada ano, sabendo-‐se que a taxa de juros é de 12%a.a.
Série Gradiente
Série Gradiente
Q As series em gradiente caracterizam-se por
apresentarem um valor de crescimento constante (G). Exemplo : Q [0 (-P), 1(100), 2(150), 3(200), 4(250), 5(300), 6(350), 7(400)] Q P = 100 (P/A);5%;7) + 50 (P/G);5%;7) = 1390,24
°¿°¾ ½ °¯ ° ® » ¼ º « ¬ ª n n i i n i i G P 1 1 1 1 2
¿¾½ ¯ ® 1 1 1 n i i i n i G A
Série Gradiente
Qual é o valor presente do fluxo de caixa abaixo a uma taxa de 5%? Resp.: $ 1.390,24 100 150 200 250 300 350 400
