O COMPUTADOR COMO CRONÔMETRO

O COMPUTADOR COMO CRONÔMETRO

CEFET/RJ – UnED Nova Iguaçu e Programade Pós-Graduação Interunidades em Ensino de Ciências (IF/USP), martamaximo@yahoo.com

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UFRJ / Instituto de Física, carlos@if.ufrj

Resumo

Experimentos de mecânica frequentemente envolvem medidas de intervalos de tempo muito pequenos, da ordem de décimos ou centésimos de segundo, difíceis de executar com um cronômetro manual. Neste trabalho apresentamos um método para realizar tais medidas com alta precisão, utilizando um computador equipado com placa de som e microfone. A idéia é simples: a placa de som pode gravar sinais de áudio com frequência de vários quilohertz, o que significa que ela é capaz de registrar tempos separados por uma fração de milésimo de segundo. Como muitos experimentos de mecânica têm sua evolução temporal marcada pela emissão de sons, nessas situações uma gravação de áudio pode fornecer medidas precisas dos intervalos de tempo de interesse. Descrevemos dois experimentos didáticos que utilizam gravações digitais como registro de tempo. Em um deles determinamos a velocidade de uma bola de futebol chutada por estudantes e no outro medimos o tempo de queda livre de um corpo. Relatamos a aplicação desses experimentos em escolas e apresentamos alguns dos resultados obtidos pelos alunos.

Palavras-chave: computador, placa de som, medida de tempo

Introdução

Medidas de tempo são fundamentais para a investigação de muitos fenômenos físicos, sobretudo para o estudo dos movimentos. Nos laboratórios escolares, o instrumento de medida de tempo mais utilizado – e muitas vezes o único disponível – é o cronômetro manual. Isso impõe limitações ao que pode ser realizado nesses laboratórios, pois experimentos didáticos frequentemente requerem o registro de intervalos de tempo bem menores que um segundo, tarefa difícil de executar com cronômetros comuns. Embora a precisão de cronômetros manuais chegue atualmente a milésimos de segundo, não é possível utilizá-los para medir acuradamente intervalos de tempo inferiores ao tempo de reação humano, que é da ordem de décimo de segundo. Esse problema geralmente é resolvido com auxílio de

photogates acoplados a cronômetros eletrônicos. Entretanto, tais equipamentos são

relativamente caros e a maioria das escolas brasileiras não possui recursos para adquiri-los.

Neste trabalho discutiremos uma técnica simples que permite medir com boa precisão intervalos de tempo muito inferiores a um décimo de segundo. A medida é realizada utilizando recursos de gravação e análise de som disponíveis em qualquer computador pessoal. Atualmente muitas escolas, mesmo as mais carentes, possuem

computadores para uso dos professores e alunos. Como veremos, esses computadores podem ser facilmente transformados em cronômetros capazes de medir intervalos da ordem de milissegundos.

A idéia básica tem origem em duas observações. A primeira é que o computador (ou melhor, a placa de som) pode gravar sinais de áudio com frequência de vários quilohertz. Isso significa que podemos distinguir na gravação intervalos que duram frações de milissegundo, uma resolução temporal comparável à dos melhores photogates. A segunda observação é que muitos experimentos de mecânica podem ser cronometrados a partir do som que produzem. Nesses casos, o registro sonoro do experimento fornece com grande precisão os intervalos de tempo que se deseja medir.

Propostas desse tipo já foram utilizadas algumas vezes [Stensgaard 2001, Cavalcante 2002, Aguiar 2003, Hunt 2005, White 2007, Barrio-Perotti 2009]. No presente trabalho nós descrevemos sua aplicação em dois experimentos. Em um deles nós medimos a velocidade de uma bola de futebol chutada pelos alunos. No outro, obtemos o tempo de queda livre de um corpo.

Com que velocidade você chutou a bola?

A física dos esportes costuma despertar interesse e curiosidade entre os estudantes. Em particular, medidas de desempenho esportivo individual sempre atraem muita atenção. Descreveremos nesta seção uma forma de medir a velocidade com que uma bola de futebol é chutada por um aluno. Estamos interessados na velocidade da bola logo após o chute, não na sua velocidade média ao longo da trajetória. Essa última depende de muitos fatores – quiques no chão, altura máxima atingida, resistência do ar, etc. – que tornam difícil comparar diferentes chutes. A velocidade média não dependerá tanto desses fatores se for medida num pequeno trajeto partindo do ponto de chute; nesse caso obteremos, em boa aproximação, a velocidade instantânea que a bola adquire ao ser chutada. Contudo, é difícil medir o tempo que uma bola chutada com força leva para percorrer uma distância de poucos metros. Tempos típicos são da ordem de décimos de segundo, de modo que cronômetros manuais não podem ser utilizados com eficiência. Mesmo photogates não são muito úteis nesse caso, pois necessitariam de modificações para protegê-los dos efeitos potencialmente destrutivos de uma bolada.

Com um computador munido de placa de som e microfone, podemos medir a velocidade da bola facilmente. A montagem do experimento está esquematizada na figura 1. A bola é colocada a uma distância conhecida D de uma parede. O microfone é conectado à placa de som do computador e colocado em um ponto (protegido de boladas acidentais) aproximadamente equidistante da bola e da parede. A medida consiste, basicamente, em fazer um aluno chutar a bola em direção à parede enquanto o computador registra os sons produzidos no processo.

Existem muitos programas que podem controlar a gravação e exibir graficamente a forma de onda obtida. Nós utilizamos o Audacity, um editor de áudio gratuito, de alta qualidade e disponível na internet1. A figura 2 mostra o resultado de

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uma gravação típica, exibida no editor de áudio. O registro da onda sonora apresenta dois pulsos distintos, que correspondem ao chute na bola e à colisão desta com a parede. O início de cada pulso pode ser determinado com precisão de milissegundo com o editor de áudio (programas desse tipo sempre possuem recursos de zoom capazes de expandir a escala de tempo). O tempo de vôo da bola,

T, é a diferença entre esses dois instantes, como mostrado na figura 2. Dado o

tempo T e a distância D, a velocidade da bola é V = D / T. Para o chute mostrado na figura 2, D = 2,5 m e T = 0,214 s, de modo que V = 42 km/h. Vemos que o intervalo de tempo é bem curto, de modo que a velocidade média V pode ser considerada como uma boa aproximação para a velocidade instantânea logo após o chute.

D

D

Figura 1: Montagem para medida da velocidade da bola.

chute batida na parede T

chute batida na parede T

Figura 2: Onda sonora registrada durante um chute na bola.

A medida do tempo de vôo da bola é tão precisa que a principal fonte de erro no cálculo da velocidade é a incerteza no deslocamento da bola. Na maioria dos chutes a bola não percorre o caminho mais curto até a parede, de modo que o comprimento D é, na verdade, um limite inferior para a distância percorrida. Uma forma de minimizar essa incerteza é desenhar uma ‘área-alvo’ na parede e aceitar apenas chutes que a atingem. Se essa área for suficientemente pequena é possível manter a incerteza na distância dentro de limites aceitáveis.

Nós realizamos o experimento descrito acima em turmas do ensino médio de diversas escolas do estado do Rio de Janeiro. As medidas foram feitas com facilidade mesmo quando as turmas eram relativamente grandes. Utilizamos computadores portáteis (netbooks), que eram compartilhados por grupos de 3–4 alunos durante a aquisição e análise de dados. Se computadores portáteis não estiverem disponíveis, ou não forem em número suficiente, uma alternativa é utilizar gravadores de mp3 (algo que os alunos frequentemente carregam consigo) e mais tarde transferir o arquivo de áudio para o computador onde será feita a análise.

Os resultados de medidas realizadas pelos alunos podem ser usados para introduzir métodos estatísticos de análise de dados. A velocidade média dos chutes, a dispersão em torno dessa média, a correlação da velocidade com características físicas do autor do chute (altura, idade, etc.) são temas que interessam aos estudantes e podem ser explorados com proveito. A figura 3 mostra um exemplo disso. O histograma à esquerda (figura 3.a) descreve a distribuição das velocidades obtidas com 80 alunos de três turmas da mesma escola, cada um dando um único chute. A velocidade média das bolas foi 38 km/h, com um desvio padrão de 12 km/h. O gráfico na figura 3.b mostra a velocidade da bola versus a altura do estudante que a chutou; os pontos claros correspondem a alunas e os escuros representam os alunos. Pode-se notar que, em média, os alunos chutam um pouco mais forte. Curiosamente, dentro de grupos do mesmo sexo não parece haver correlação entre a altura dos estudantes e a velocidade que eles imprimem à bola.

0 5 10 15 20 25 30 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 ball speed (km/h) n u m b er of s tud ent s 0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 5 10 15 20 25 30 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 ball speed (km/h) n u m b er of s tud ent s 0 10 20 30 40 50 60 70 80 velocidade da bola (km/h) 0 20 40 60 80 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 height (m) ball s pee d ( k m /h ) girls boys ve locida de da bola (km/h ) altura do aluno (m) númer o de a lunos meninas meninos 0 5 10 15 20 25 30 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 ball speed (km/h) n u m b er of s tud ent s 0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 5 10 15 20 25 30 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 ball speed (km/h) n u m b er of s tud ent s 0 10 20 30 40 50 60 70 80 velocidade da bola (km/h) 0 20 40 60 80 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 height (m) ball s pee d ( k m /h ) girls boys ve locida de da bola (km/h ) altura do aluno (m) númer o de a lunos meninas meninos meninas meninos

Figura 3: (a) Distribuição das velocidades das bolas chutadas por 80

alunos. (b) Velocidade da bola vs. altura do estudante que a chutou.

As medidas de velocidade da bola também são um bom ponto de partida para discussões sobre a física do futebol. É possível, por exemplo, investigar se a resistência do ar é importante quando a bola move-se com as velocidades típicas encontradas no experimento [Wesson 2002, Aguiar 2004]. Outra possibilidade interessante é usar leis de conservação para estimar quão rapidamente o pé deve mover-se para imprimir essas velocidades à bola [Vieira 2006].

Tempo de queda livre

A segunda aplicação que faremos da ‘cronometragem sonora’ é na medida do tempo de queda de um corpo. Para um objeto que cai de uma altura h, partindo do repouso, o tempo de queda é dado por

g h

t = 2 / (1) onde g é a aceleração da gravidade. Esse é um dos resultados mais conhecidos por estudantes de cursos introdutórios de mecânica. Surpreendentemente, é difícil encontrar experimentos didáticos simples, com régua e cronômetro, que verifiquem sua validade. É fácil de ver o motivo disso. Para alturas da ordem de um metro, o tempo de queda é cerca de meio segundo, muito pequeno para ser medido acuradamente com cronômetros manuais. Podemos ter tempos de queda maiores partindo de alturas maiores, mas a raiz quadrada na equação (1) não favorece muito essa solução: para dobrar o tempo de queda precisamos quadruplicar a altura. Uma queda de dois segundos, por exemplo, necessita de uma altura inicial de aproximadamente vinte metros, muito grande para experimentos realizados no interior de uma sala de aula ou laboratório. Outro problema de se usar grandes alturas é que altas velocidades são alcançadas ao final da queda, e nesse caso a resistência do ar pode tornar inútil a equação (1).

Galileu superou essas dificuldades com auxílio de seu plano inclinado, e os laboratórios didáticos modernos fazem isso com photogates. As gravações de áudio possibilitam uma alternativa mais precisa que a de Galileu e mais econômica que os

photogates. O procedimento é simples e está esquematizado na figura 4

[Hunt 2005]. tira de papel moeda h tira de papel moeda h tira de papel moeda h

Figura 4: Experimento para medida do tempo de queda de um corpo.

Um objeto (uma moeda, por exemplo) é colocado sobre uma tira de papel que está a uma dada altura h do solo. Em seguida, a tira é golpeada com força, de modo a rompê-la. Com isso o objeto perde a sustentação do papel e cai. A figura 5 mostra a gravação do som produzido nesse processo. Dois pulsos sonoros podem ser vistos (e ouvidos). O primeiro corresponde ao golpe dado na tira de papel e o segundo ao choque do corpo com o chão (os pulsos seguintes são produzidos pelos quiques do objeto após a queda e outros ruídos). O intervalo entre os dois primeiros pulsos é o tempo de queda t. No experimento mostrado na figura 5, o objeto caiu de

uma altura h = 96,1 m. Tomando g = 9,79 m/s2 (a aceleração da gravidade no Rio de Janeiro segundo o Observatório Nacional), o tempo de queda previsto pela equação (1) é t = 0,443 s. O tempo de queda medido na gravação da figura 5 é

t = 0,449 s. A diferença entre o resultado previsto pela equação (1) e o encontrado

na medida é da ordem de 1%, uma ótima precisão para um experimento tão simples, impossível de ser alcançada com cronômetros manuais

pancada na tira de papel moeda cai no chão

t

t

Figura 5. Gravação do som produzido durante o experimento.

O experimento foi testado com sucesso em turmas do ensino médio de escolas do Rio de Janeiro. Assim como nas medidas de velocidade da bola relatadas na seção anterior, utilizamos em cada turma um conjunto de netbooks compartilhados por pequenos grupos de alunos. Como os grupos quase sempre escolhem alturas h diferentes para suas medidas, é interessante combinar os resultados obtidos por diferentes equipes. A figura 6 mostra as medidas realizadas por grupos de duas turmas, agregadas em gráficos de h vs. t (fig. 3.a) e h vs. ½ t2 (fig. 3.b). No primeiro gráfico, a curva representa a “lei de queda dos corpos”

h = ½ g t2, com g = 9,79 m/s2. Podemos notar que os pontos medidos pelos

diferentes grupos estão próximos do que é previsto por essa relação. Com o gráfico da direita podemos medir a aceleração gravitacional g, dada pelo coeficiente angular da reta h × ½ t2. A reta que melhor descreve os pontos medidos pelos alunos tem coeficiente angular g = 9,83 m/s2. A diferença entre essa medida o valor de g esperado no Rio de Janeiro é de 0,4%, uma discrepância notavelmente pequena.

A possibilidade de se obter esses resultados utilizando cronômetros manuais foi investigada por alguns grupos de alunos. Os resultados estão mostrados na figura 7. A diferença em relação às medidas feitas com o som é facilmente percebida. Com cronômetros, não é evidente que a relação h = ½ g t2 esteja correta. Mesmo que ela seja aceita como tal, o valor da aceleração gravitacional obtido desses dados é g = 8,70 m/s2. A discrepância com o valor esperado é de 10%, muito maior que a diferença de 0,4% encontrada através da gravação.

Queda Livre (turmas 21A e B) 0 50 100 150 200 0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 tempo (s) a ltu ra ( c m) dados cálculo y = 982.97x 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 0 0.05 0.1 0.15 0.2 t2/2 (s2) h ( c m )

Figura 6. (a) Comparação entre as medidas de diferentes grupos de estudantes e a “lei de

queda dos corpos” h = ½ g t2. (b) Gráfico de h vs. ½ t2, mostrando os pontos medidos e a reta que melhor se ajusta a esses pontos. Do ajuste obtém-se que g = 9,83 m/s2.

Queda Livre (turmas 21A e B): com cronômetro

0 50 100 150 200 0 0.2 0.4 0.6 0.8 tempo (s) a ltu ra (c m) dados (cron.) cálculo y = 869.89x 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 t2/2 (s2) h ( c m )

Figura 7. O mesmo que a figura 6, com medidas realizadas com cronômetros

manuais. O valor de g obtido dessa maneira é 8,70 m/s2.

Comentários finais

Um computador equipado com placa de som e microfone é um instrumento de laboratório útil e versátil, embora nem sempre isso seja percebido. O estudo de fenômenos sonoros é a primeira (e mais óbvia) utilização que se costuma imaginar para esse equipamento, mas aplicações em muitas outras áreas são possíveis. Neste trabalho nós mostramos como os recursos de áudio do computador podem ser usados para realizar experimentos didáticos de mecânica. Com uma gravação digital somos capazes de medir intervalos de tempo da ordem de centésimo de segundo (e até menos), o que nos permite realizar experimentos que seriam impraticáveis com cronômetros manuais. As medidas da velocidade da bola e do tempo de queda que descrevemos no presente trabalho são bons exemplos do que pode ser feito com essa técnica, mas nem de longe esgotam suas possibilidades de aplicação.

Agradecimentos

Este trabalho foi financiado pela Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio de Janeiro (Faperj).

Referências

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