Engenharia de Telecomunicações (1º Ano 2º Semestre) ISUTIC - Instituto Superior para as Tecnologias de Informação e Comunicação. Disciplina de Cálculo

Engenharia de Telecomunicações (1º Ano – 2º Semestre)

ISUTIC - Instituto Superior para as

Tecnologias de Informação e

Comunicação

Disciplina de Cálculo

Numérico

ÍNDICE

Capítulo 1 – ERROS

Capítulo 2 – ZEROS DAS FUNÇÕES

Capítulo 3 – SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES – SELA`s Capítulo 4 – INTERPOLAÇÃO

Capítulo 5 – AJUSTE DE CURVA Capítulo 6 – INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

CAPÍTULO

1

ERROS

1.1 – INTRODUÇÃO

A obtenção de uma solução numérica para um problema físico por meio de métodos numéricos nem sempre fornece valores dentro de limites razoáveis. Esta afirmação é correta mesmo quando se aplica um método adequado e os cálculos são efetuados de uma maneira correta.

Esta diferença é chamada erro e é inerente ao processo, não podendo, em muitos casos, ser evitada.

Exemplo 1: O modelo matemático que descreve o estudo do movimento de um corpo sujeito a uma aceleração constante é: _{o o}

a

t

2

2

1

t

v

x

x

=

+

+

Um engenheiro quer determinar a altura do edifício do prédio central. Para isso dispõe apenas de uma bolinha de metal, cronômetro e a fórmula acima. Ele sobe no edifício, solta a bolinha e mede o tempo que a bolinha gasta para tocar o solo: 3 segundos.

2 o o

a

t

2

1

t

v

x

x

=

+

+

m

1

,

44

9

9

,

4

3

8

,

9

2

1

t

0

0

x

=

+

×

+

×

×

2

=

×

=

No modelo matemático não foram consideradas outras forças: resistência do ar, velocidade do vento, peso da bolinha, etc.

Outro fator: precisão da leitura do cronômetro. Uma pequena variação devido a uma imprecisão do experimentador no momento da leitura do dado, como por exemplo, se

t

=

3

,

5

s

, a altura do prédio seria:

m

60

5

,

3

8

,

9

2

1

5

,

3

0

0

x

=

+

×

+

×

×

2

=

Ou seja, uma variação de 17% na leitura do tempo acarreta 36% de variação na distância percorrida.

Exemplo 2: A variação no comprimento de uma barra de metal sujeita a certa variação de temperatura é dada pela seguinte fórmula:

∆

l

=

l

_o

(

α

t

+

β

t

2

)

distância percorrida distância inicial aceleração velocidade inicial tempo Variação do comprimento Comprimento inicial Temperatura

Constantes específicas para cada material

Um físico quer determinar a variação no comprimento de uma barra de metal quando sujeita a uma variação de temperatura de 10ºC, sendo:

m

1

o

=

l

000068

,

0

001253

,

0

=

β

=

α

Então:

m

0,019330

)

10

.

0,000068

10

.

(0,001253

.

1

+

2

=

=

∆

l

Como os valores de

α

e

β

foram obtidos experimentalmente com a precisão da ordem de

10

−6, tem-se:

001254

,

0

001252

,

0

<

α

<

000069

,

0

000067

,

0

<

β

<

Então:

m

0,019220

)

10

.

0,000067

10

.

(0,001252

.

1

+

2

=

>

∆

l

m

0,019440

)

10

.

0,000069

10

.

(0,001254

.

1

+

2

=

<

∆

l

Logo:

m

0,019440

019220

,

0

<

∆

l

<

Ou, ainda:

m

10

0,0193

±

−4

=

∆

l

OBS: Veja que uma imprecisão na sexta casa decimal de

α

e

β

implicou numa imprecisão na quarta casa decimal de

∆

l

.

Neste caso temos uma imprecisão dos dados de entrada.

O processo de uma solução numérica de um problema físico por meio da aplicação de métodos numéricos é representado segundo o diagrama:

PROBLEMA FÍSICO MODELO MATEMÁTICO SOLUÇÃO modelagem resolução Através de um dado problema físico

Raramente se tem uma descrição correta desse fenômeno

Constrói-se um

Instrumentos de cálculo que necessitam que sejam feitas certas aproximações Obtém-se a solução com a aplicação de métodos numérico Obtidos experimentalmente

Os erros são cometidos em todos os passos do esquema: MODELAGEM: erros iniciais ou inerentes

RESOLUÇÃO: erros de arredondamento e truncamento

É de vital importância conhecer os tipos de erros a que estão sujeitos os métodos numéricos para identificá-los, quantifica-los, evita-los, minimiza-los e controla-los.

Na engenharia, muitas vezes:

Método numérico: todo algarismo composto de uma lista de instruções envolvendo apenas operações

com números: operações aritméticas elementares, cálculo de funções, consulta a tabela de valores, arbitramento de um valor, que tem por objetivo determinar um valor aproximado da solução exata dentro de uma precisão estabelecida.

Número aproximado: é aquele cuja representação se difere do número exato. 1.2 – ERRO ABSOLUTO

É a diferença, em módulo, entre o valor exato de um número X e de seu valor aproximado X’.

'

X

X

EA

_(X')

=

−

Exemplos:

1) Qual é o erro absoluto cometido ao substituirmos

2

por 1,41?

...

0042135

,

0

41

,

1

....

4142135

,

1

41

,

1

2

EA

_(x'=1,41)

=

−

=

−

=

2) Ao substituirmos

0

,

66666

...

3

2

₌

por 0,66 cometemos o seguinte erro absoluto:

...

0066

,

0

66

,

0

...

6666

,

0

EA

_(0,66)

=

−

=

OBS: Quando não se conhece o valor exato X, o erro absoluto é indeterminado.

1.3 – COTA SUPERIOR DE ERRO ABSOLUTO

Seja

c

>

0

um valor tal que, MODELOS

MATEMÁTICOS

PROBLEMAS CUJA SOLUÇÃO EXATA DEMANDA MUITO ESFORÇO PARA SER DETERMINADA OU SIMPLESMENTE NÃO PODE SER DETERMINADA

Conduzem

Usam-se métodos que forneçam uma aproximação da solução dentro de um grau de precisão desejado

c

'

X

X

EA

_(X')

=

−

<

Onde

c

=

0

,

5

×

10

−m. O valor de m indica que a aproximação X’ do valor exato X possui pelo menos as m primeiras casas decimais corretas.

Exemplo: se tomarmos a aproximação 3,1428 para o número irracional

π

=

3

,

141592

....

, o erro absoluto cometido nesta aproximação é da ordem de:

2 ) 1428 , 3 (

π

3

,

1428

0

,

001207

0

,

5

10

EA

=

−

=

<

×

−

A aproximação

π

'

de

π

possui somente as duas primeiras casas decimais corretas.

1.4 – ERRO RELATIVO

O erro relativo é definido como:

( )

'

X

'

X

X

'

X

EA

ER

_(X')

=

X'

=

−

Erro percentual relativo é:

ER

100

EPR

=

×

Exemplos:

00005

,

0

'

X

00006

,

0

X

=

=

( )

( )

0

,

2

20%

ER

00001

,

0

EA

' X ' X

=>

=

=

100000

'

Y

100500

Y

=

=

( )

( )

0

,

005

0,5%

ER

500

EA

' Y ' Y

=>

=

=

Qual foi a aproximação mais precisa?

( )

X'

EA

( )

Y'

EA

<

=> a aproximação utilizada para X é mais precisa que Y

( )

X'

ER

( )

Y'

ER

>

=> Y é mais preciso

OBS: Quanto menor for o erro relativo maior será a precisão do resultado da equação.

1.5 – ERROS DE ARREDONDAMENTO

Erro cometido quando se assume uma representação decimal finita para um número real que admite representação infinita, através do abandono das casas decimais de mais baixa ordem.

2

m

=

De modo a limitar esse erro a meia unidade da última casa decimal conservada, adota-se o critério universal de arredondamento.

• 1º algarismo decimal a ser eliminado <5, o último algarismo conservado fica como está.

• 1º algarismo decimal a ser eliminado

≥

5

, o último algarismo conservado é aumentado de uma unidade.

Exemplos:

1) Valor exato:

3

=

1

,

7320508

....

Valor aproximado: 1,732 2) Valor exato:

π

2

=

1

,

5707963

....

Valor aproximado: 1,571

1.6 – ERROS DE TRUNCAMENTO

Erros provenientes da utilização de processos que deveriam ser infinitos (ou grandes) para a determinação de um valor e que, por razões práticas, são truncados. Essa interrupção gera o erro de truncamento.

Esses processos são utilizados na avaliação de funções matemáticas: exponenciação, logaritmos, funções trigonométricas, etc.

Exemplos: 1)

....

!

7

x

!

5

x

!

3

x

x

)

x

(

sen

7 5 3

+

−

+

−

=

2)

...

!

3

x

!

2

x

x

1

e

3 2 x

₌

₊

₊

₊

₊

3)

...

!

4

1

!

3

1

!

2

1

!

1

1

1

e

=

+

+

+

+

+

1.7 - ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS

Na matemática aplicada, algarismos significativos são utilizados para monitorar os erros ao se representar números reais na base 10.

Diz-se que uma representação tem n algarismos significativos quando admite-se um erro no algarismo seguinte da representação.

Exemplos:

1/7 = 0,14 com dois algarismos significativos (já que o erro está na terceira casa decimal: 1/7 = 0,142857142857...).

1/30 = 0,0333 com três algarismos significativo (erro na quinta casa decimal). Dada uma representação decimal:

Exemplos: em 001234,56 os dois primeiros zeros não são significativos; em 0,000543 os quatro primeiros zeros não são significativos.

2. os algarismos zero que correspondem às menores ordens, se elas são fracionárias, são significativos.

Exemplo: em 12,00 os dois últimos zeros são significativos . 3. os algarismos de 1 a 9 são sempre significativos.

4. zeros entre algarismos de 1 a 9 são significativos. Exemplo: em 1203,4 todos algarismos são significativos.

5. Se existir uma vírgula decimal, todos os zeros à direita da vírgula decimal são significativos (ex: 1,000 e 33,30 possuem 4 algarismos significativos).

Exemplos: 157,0 4 algarismos significativos. 157 3 algarismos significativos. 0,00157 3 algarismos significativos. 1,3800 5 algarismos significativos. 35,6 3 algarismos significativos. 3,56 3 algarismos significativos. 0,356 3 algarismos significativos. 0,00356 3 algarismos significativos. Exemplos com potência de 10:

3200 ou 3,2 x 103 2 algarismos significativos 3200, ou 3,200 x 103 4 algarismos significativos 3200,0 ou 3,2000 x 103 5 algarismos significativos 32.050 ou 3,205 x 104 4 algarismos significativos 0,032 ou 3,2 x 10-2 2 algarismos significativos 0,03200 ou 3,200 x 10-2 4 algarismos significativos

OBS: A posição da vírgula não influi no número de algarismos significativos, por exemplo, o comprimento de 0,0240m possui três algarismos significativos e pode ter a posição da vírgula alterado de várias formas usando uma potência de dez adequada, e sem alterar o seu número de algarismos significativos. Veja abaixo:

dm

240

,

0

m

10

240

,

0

m

0240

,

0

=

×

−1

=

cm

40

,

2

m

10

40

,

2

m

0240

,

0

=

×

−2

=

mm

0

,

24

m

10

0

,

24

m

0240

,

0

=

×

−3

=

Observe que o número de algarismos significativos é sempre três, independentemente da forma que o número foi escrito e da posição de sua vírgula. Outro ponto importante é que o valor da medida é sempre a mesma, visto que:

EXERCÍCIOS

1) Se

A

=

3876

,

373

e só desejarmos a parte inteira A’, qual será o erro absoluto e a cota superior de erro absoluto cometidos nesta aproximação?

2) Seja o número

x

=

2113

representado por

x

'

=

2112

,

9

e seja o número

y

=

5

,

2

representado por

y

'

=

5

,

3

. Pode-se dizer que ambos os números estão representados com a mesma precisão? 3) Qual a cota superior de erro absoluto da aproximação

!

3

)

(

3

h

h

h

sen

=

−

para

h

=

−

0

,

5

?

4) Suponhamos que o valor

y

'

=

0

,

6640

é um valor aproximado de Y=2/3. Das 6 afirmativas abaixo, estão corretas:

a) o valor aproximado tem 5 algarismos significativos; b) o valor aproximado só tem 4 algarismos significativos; c) o valor aproximado só tem 3 algarismos significativos; d) só tem 3 algarismos significativos corretos;

e) só tem 2 algarismos significativos corretos; f) só tem 1 algarismo significativo correto.

5) Arredonde e trunque cada um dos números abaixo para 4 algarismos significativos: a)

85

,

432431

b)

0

,

003134499

c)

998

,

075414

6) Para o número arredondado para 4 algarismos significativos do exercício 5-a), determine o erro absoluto, a cota superior de erro absoluto, o erro relativo e o erro percentual relativo.

7) Determine o erro relativo cometido no cálculo do valor numérico de

y

(

x

)

=

3

x

2

+

2

x

−

5

, sendo

x

=

3

,

16

e o erro absoluto cometido nesta medida igual a

0

,

001

.

CAPÍTULO 2

ZEROS DE FUNÇÕES

2.1 – INTRODUÇÃO

Em muitos problemas de Ciência e Engenharia, há necessidade de se determinar um número

α

para o qual uma função f(x) seja zero, ou seja,

f

(

α

)

=

0

. O número

α

é chamado raiz da equação

f

(

x

)

=

0

ou zero da função f(x).

Para a determinação aproximada de uma raiz, têm-se duas etapas: ETAPA DE ISOLAMENTO e ETAPA DE REFINAMENTO.

1 – Etapa de Isolamento: achar um intervalo [a,b], o menor possível, que contenha uma e somente uma raiz da equação

f

(

x

)

=

0

.

Enumerar – localizar

2 – Etapa de Refinamento: melhorar o valor da raiz aproximada, isto é, refiná-la, através de métodos iterativos até o grau de exatidão requerido.

Calcular seus valores, se não exatos, aproximados

2.2 – ETAPA DE ISOLAMENTO

Utilizam-se dois métodos distintos para separar as raízes reais de uma função: - Método do TABELAMENTO

- Método GRÁFICO

2.2.1 – Método do Tabelamento

Nós intervalos em que f(x) for contínua e mudar de sinal enquanto sua derivada f’(x) mantiver seu sinal constante, tem-se garantida a existência de uma única raiz real.

Equações Algébricas: quando nas expressões que definem f(x), a variável independente x estiver submetida apenas às operações fundamentais da álgebra

(

+

,

−

,

×

,

/,

a

b

,

)

.

Ex:

x

3

x

4

3

5

x

)

x

(

f

=

4

−

3

+

+

x

3

x

4

1

x

3

)

x

(

f

=

+

+

2

−

Equações Transcendentes: quando nas expressões que definem f(x), a variável independente x estiver submetida às operações logarítmicas, exponenciais, trigonométricas e suas inversas.

Ex:

f

(

x

)

=

e

x

−

senx

−

2

2

)

x

(

arctg

)

x

(

f

=

+

Algumas equações algébricas de 1º e 2º graus, certas classes de 3º e 4º graus e algumas equações transcendentes podem ter suas raízes computadas através de métodos analíticos.

Para polinômios de grau maior que 4 e para a grande maioria das equações transcendentes o problema de se calcular as raízes só pode ser resolvido através de métodos que aproximam as soluções. NÃO SE TEM UMA FÓRMULA PARA ACHAR AS RAÍZES.

Embora estes métodos não forneçam raízes exatas, elas podem, a menos de limitações de máquinas, serem calculadas com a exatidão que o problema requeira, desde que certas condições sobre f sejam satisfeitas.

2.2.2 – Teorema da Existência e Unicidade – T.E.U

I – Seja uma função contínua no intervalo [a,b]. OBS: Continuidade:

Dizer que uma função é contínua em

x

=

c

significa que o gráfico de f(x) não tem interrupções em c.

Uma função é descontínua quando:

1 – A função não está definida em x = c. 2 – O limite de f(x) não existe em x = c. - comportamento ilimitado

- comportamentos diferentes à esquerda e à direita (saltos) 3 – O limite de f(x) existe em x = c, mas não é igual a f(c).

II – A função assume valores com sinais diferentes (opostos) nos pontos extremos do intervalo [a,b] , ou seja,

f

(

a

)

.

f(b)

<

0

. Neste caso, a função corta o eixo das abscissas uma vez ou um número ímpar de vezes.

III – A derivada de 1ª ordem de

f

(

x

)

existe e não muda de sinal dentro do intervalo [a,b], ou seja,

0

)

x

(

'

f

>

ou

f

'

(

x

)

<

0

para

a

<

x

<

b

. 1

α

α

2

α

3

α

4 x f(x) a b 1

α

x f(x) a b x c f(c) f(x) x c1 f(x) c2 c2 c3

* Com a prova do TEU fica garantida a existência de apenas uma raiz real no intervalo [a,b]. * O atendimento apenas de II e III não garante a existência de uma única raiz no intervalo [a,b].

* O atendimento apenas de I e II não garante a existência de uma única raiz no intervalo [a,b].

Exemplo: Localizar as raízes da função

f

(

x

)

=

e

x

+

x

2

−

4

x

2

e

)

x

(

'

f

=

x

+

x

−

∞

-10 -3 -2 -1 0 1 2 10

∞

)

x

(

f

+ + 96 + 5 + 0,13

−

₂

_,

₆

−

₃

−

₀

_,

₂₈

+ 7,38 + 22,1 +

)

x

(

'

f

- - -

−

₃

_,

₈

−

₁

_,

₆

+ 1

+

₄

_,

₇₁

+

₁₁

_,

₃

+ + Decrescente Crescente

Logo, podemos concluir que em cada um dos intervalos

[

−

2

,

−

1

]

e [1,2] existe apenas uma única raiz.

2.2.3 – Método Gráfico

Para a análise gráfica da função

f

(

x

)

, ou seja, na análise de

f

(

x

)

=

0

podemos usar um dos seguintes processos: 2

α

x f(x) a b

b]

[a,

x

,

0

)

x

(

'

f

>

∀

∈

2

α

x f(x) a b

b]

[a,

x

,

0

)

x

(

'

f

<

∀

∈

f(x) x crescente crescente 1

α

α

2

α

3

α

5 x f(x) a b + 4

α

1º) Consiste em plotar o gráfico de

y

=

f

(

x

)

Uma raiz real de uma função é o ponto onde a função f(x) toca o eixo dos x’s.

1

α

,

α

₂,

α

₃ e

α

₄ são raízes de f(x) no intervalo [a,b].

0

)

(

f

)

(

f

)

(

f

)

(

f

α

₁

=

α

₂

=

α

₃

=

α

₄

=

2º) Consiste em substituir f(x) por duas funções g(x) e h(x) equivalentes a f(x), ou seja,

)

x

(

h

)

x

(

g

)

x

(

f

=

−

0

)

x

(

f

=

0

)

x

(

h

)

x

(

g

−

=

)

x

(

h

)

x

(

g

=

)

(

h

)

(

g

0

)

(

f

→

α

=

→

α

=

α

α

=> funções que têm a mesma raiz.

As raízes reais de f(x) corresponderão às abscissas dos pontos de interseção do gráfico de g(x) com o gráfico de h(x)

1

α

,

α

₂ e

α

₃ são raízes reais de

f

(

x

)

=

g

(

x

)

−

h

(

x

)

no intervalo [a,b].

No 2º processo, representar a função em análise através da subtração de duas componentes e não realizar operações na determinação dessas componentes para não alterar a definição da função original, pode-se perder raízes ou surgir raízes “estranhas”.

Exemplos:

0

)

x

(

f

=

=>

g

(

x

)

−

h

(

x

)

=

0

=>

g

(

x

)

=

h

(

x

)

1)

f

(

x

)

=

x

3

−

2

x

2

−

20

x

+

30

=

0

2)

f

(

x

)

=

e

x

−

sen

(

x

)

−

2

=

0

1

α

α

2

α

3

α

4 x f(x) a _b 1

α

3

α

α

₃ x f(x) a b g(x) h(x)

2 3

₂

_x

x

)

x

(

g

=

−

g

(

x

)

=

e

x

30

x

20

)

x

(

h

=

−

h

(

x

)

=

sen

(

x

)

+

2

3)

f

(

x

)

=

log(

x

2

)

+

sen

(

x

)

4)

f

(

x

)

=

x

−

x

+

1

)

x

log(

)

x

(

g

=

2

g

(

x

)

=

x

)

x

(

sen

)

x

(

h

=

−

h

(

x

)

=

x

−

1

OBS:

0

)

x

(

sen

)

x

log(

)

x

(

f

=

2

+

=

f

(

x

)

=

x

−

x

+

1

=

0

)

x

(

sen

)

x

log(

2

=

−

x

=

x

−

1

)

x

(

sen

)

x

log(

2

=

−

x

=

(

x

−

1

)

2

)

x

(

sen

5

,

0

)

x

log(

=

−

x

=

x

2

−

2

x

+

1

? ? ? ?

Exemplo Aula: Encontrar as raízes da função

f

(

x

)

=

x

3

−

9

x

+

3

, usando os dois métodos gráficos: 1º Método:

3

x

9

x

)

x

(

f

=

3

−

+

9

x

3

)

x

(

'

f

=

2

−

3

x

0

)

x

(

'

f

=

⇒

=

±

x f(x) f’(x)

4

−

−

25

39

3

−

3 18 13,3923 0

1

−

11 -6 0 3 -9 1 -6

3923

,

7

−

0 2

−

₇

3 3 3 18 2º Método:

3

x

9

x

)

x

(

f

=

3

−

+

3

x

)

x

(

g

=

3

x

9

)

x

(

h

=

−

3

−

5

−

3

]

3

,

2

[

]

1

,

0

[

]

3

,

4

[

3 2 1

∈

α

∈

α

−

−

∈

α

]

3

,

2

[

]

1

,

0

[

]

3

,

4

[

3 2 1

∈

α

∈

α

−

−

∈

α

2.3 – ETAPA DE REFINAMENTO

O método do ISOLAMENTO é uma aproximação inicial da raiz exata

α

. Esta aproximação é grosseira e precisa ser refinada.

Os métodos de aproximação da raiz exata são iterativos.

Um método iterativo consiste em uma sequência de instruções que são executadas passo a passo, algumas das quais são repetidas em ciclos (iterações).

Os resultados obtidos em cada iteração do processo dependem dos valores calculados na iteração anterior.

Principais Métodos:

Método da Bissecção (dicotomia) – divisão ao meio - Método das Partes Proporcionais (da falsa posição) - Método da Iteração Linear

Método de Newton-Raphson - Método das secantes

Torna-se necessário estabelecer critérios de parada para esses processos iterativos, porque em alguns casos você realiza infinitas iterações e não determina o valor exato.

2.3.1 – Método da Bissecção

- Simples: fácil de aplicar

- Seguro: inexistência de descontinuidade no intervalo [a,b]

- Pouco eficiente: de convergência lenta, muitas iterações até que seja atingida a precisão desejada do valor aproximado da raiz (leva à raiz muito lentamente).

- Estrutura baseada no TEU: ter uma única raiz real contida no intervalo de análise [a,b]

Consiste em, obtido um intervalo contendo uma única raiz, ir dividindo-o ao meio, sucessivamente, mantendo a raiz enquadrada (num intervalo) até aproximar-se suficientemente dela.

Método:

)

x

(

f

=> contínua no intervalo [a,b]

0

f(b)

.

)

a

(

f

<

=> número ímpar de raízes

0

)

x

(

'

f

<

ou

f

'

(

x

)

>

0

em [a,b] => uma única raiz

Divide-se [a,b] ao meio, obtém-se xo e tem-se dois subintervalos [a,xo] e [xo,b]:

• Se

f

(

x

_o

)

=

0

→

a raiz

α

é xo (exato)

• Senão, ela estará no subintervalo onde a função tem sinais opostos nos pontos extremos.

• Se

f

(

a

)

.

f(x

_o

)

<

0

,

α

∈

[

a

,

x

_o

]

• Senão se

f

(

a

)

.

f(x

_o

)

>

0

,

α

∈

[

x

_o

,

b

]

O novo intervalo

[

a

₁

,

b

₁

]

que contém

α

é dividido ao meio e obtém-se x1 e o processo se repete até que se obtenha uma “boa” aproximação para a raiz exata

α

.

O processo se repete até que se obtenha uma boa aproximação para a raiz exata

α

. (atenda-se a tolerância

ε

)

Número mínimo de iterações necessárias para se alcançar a tolerância pré-fixada:

1

2

ln

)]

/

)

a

b

ln[(

n

≥

−

ε

−

OBS: Se o intervalo inicial é tal que

b

−

a

>>

ε

, a convergência será muito lenta, pois, o numero de interações tende a um número muito grande.

Por exemplo, se

b

−

a

=

3

e

ε

=

10

−7 =>

n

=

25

Exemplo Aula: Encontrar a raiz da função

f

(

x

)

=

x

3

−

9

x

+

3

, que se encontra no intervalo

]

1

,

0

[

I

₂

=

com erro de

ε

<

10

−2. Usar quatro casas decimais.

Número de interações:

1

2

ln

)]

10

/

)

0

1

ln[(

n

2

−

−

≥

− =>

n

≥

5

,

64

=>

n

=

6

n an + bn - xn f(xn)

ε

0 0 1 0,5 -1,3750 0,5 1 0 0,5 0,25 +0,7656 0,25 2 0,25 0,5 0,375 -0,3223 0,125 3 0,25 0,375 0,3125 +0,2180 0,0625 4 0,3125 0,375 0,3438 -0,0536 0,0313 5 0,3125 0,3438 0,3282 +0,0816 0,0157 6 0,3282 0,3438 0,3360 0,0139 0,0078

<

10

−2 Então,

α

=

x

₆

=

0

,

3360

f(x) x o

x

a b 1

x

x

₂

[ ]

[

]

[

]

[

]

M

o 2 o 1 o

x

,

x

x

,

x

x

,

a

b

,

a

∈

α

∈

α

∈

α

∈

α

Exemplo 1: Calcular a raiz da equação

f

(

x

)

=

x

3

−

10

, com

ε

<

0

,

1

e

α

∈

[

2

,

3

]

. Usar quatro casas decimais.

Teste do TEU:

1) Contínua no intervalo definido.

2)

f

(

a

)

=

f

(

2

)

=

−

2

f

(

a

)

.

f(b)

<

0

17

)

3

(

f

)

b

(

f

=

=

2

a

b

−

=

ε

3)

f

'

(

x

)

=

3

x

2

+

=

12

)

2

(

'

f

Crescente

+

=

27

)

3

(

'

f

+

=

3

.

2,5

)

5

,

2

(

'

f

Número de interações: Se o intervalo é [2,3] e

ε

<

0

,

1

1

2

ln

)]

1

,

0

/

)

2

3

ln[(

n

≥

−

−

=>

n

≥

2

,

32

=>

n

=

3

n an - bn + xn f(xn)

ε

0 2 3 2,5 +5,625 0,5 1 2 2,5 2,25 +1,3906 0,25 2 2 2,25 2,125 -0,4043 0,125 3 2,125 2,25 2,1875 +0,4675 0,0625

α

≅

x

₃

=

2

,

1875

2.3.2 – Método de Newton-Raphson

- Validas todas as condições do TEU

- As derivadas

f

'

(

x

)

(

f

'

(

x

)

≠

0

)

e

f

'

'

(

x

)

devem também ser contínuas e preservarem o sinal do intervalo.

- Método mais rápido (processo leva à raiz mais rapidamente). - O método pode divergir.

O método de Newton-Raphson é equivalente a substituir um pequeno arco de curva

y

=

f

(

x

)

por uma reta tangente, traçada a partir de um ponto da curva.

Observação:

Derivada de 1ª ordem de uma função:

Traçar uma reta tangente à curva

y

=

f

(

x

)

num ponto é obter a inclinação da curva neste ponto (a tangente do ângulo que esta reta faz com o eixo x é a inclinação)

2

2

4

adjacente

cateto

oposto

cateto

tg

θ

=

=

=

=>

y

'

(

x

)

=

2

f(x) x 4 2 1 2

x

2

y

=

θ

Interpretação geométrica do método:

Para se obter uma melhor aproximação x1 da raiz

α

, traça-se uma reta tangente à curva

y

=

f

(

x

)

a partir do ponto

B

_o

[

x

_o

,

f

(

x

_o

)]

que intercepta o eixo x no ponto x1.

- Do ponto

B

₁

[

x

₁

,

f

(

x

₁

)]

traça-se outra tangente à curva que corta o eixo x no ponto x2, obtendo-se uma melhor aproximação da raiz.

- O processo se repete até encontrar

x

_n

≅

α

com a exatidão requerida. Portanto,

)

x

(

'

f

x

x

)

x

(

f

tg

_o 1 o o

₌

−

=

α

2 1 1

x

x

)

x

(

f

tg

−

=

β

1 o o o

x

x

)

x

(

f

)

x

(

'

f

−

=

2 1 1 1

x

x

)

x

(

f

)

x

(

'

f

−

=

)

x

(

'

f

)

x

(

f

x

x

o o 1 o

−

=

)

x

(

'

f

)

x

(

f

x

x

1 1 2 1

−

=

)

x

(

'

f

)

x

(

f

x

x

o o o 1

=

−

)

x

(

'

f

)

x

(

f

x

x

1 1 1 2

=

−

Generalizando tem-se:

)

x

(

'

f

)

x

(

f

x

x

n n n 1

n+

=

−

p/

n

=

0

,

1,

2,

...

Fórmula do Método de Newton

1 n n

x

x

−

₋

=

ε

Condições e observações para a convergência do método de Newton-Raphson (de Fourier: estabelecem duas condições para garantir a convergência)

)

x

(

'

'

f

não deve se anular no intervalo.

Se

f

'

'

(

x

)

=

0

, então

f

(

x

)

sofre mudança de concavidade no intervalo.

2ª) A escolha de xo

A má escolha pode causar divergência no método.

xo deve ser o ponto extremo de [a,b] onde a função f(x) apresenta o mesmo sinal de f’’(x).

0

ou

0

0

)

(x

'

f'

.

)

x

(

f

_{o o}

>

−

−

>

+

+

>

1º Caso:

0

)

a

(

f

<

0

)

b

(

f

>

0

)

x

(

'

'

f

>

(concavidade para cima) Em qual extremo

f

(

x

)

.

f'

'

(x

)

>

0

?

0

)

(b

'

f'

.

)

b

(

f

>

=>

x

_o

=

b

f(x) x a b x1 x2

0

)

x

(

''

f

=

As tangentes podem conduzir a aproximações fora do intervalo.

f(x) x 1

'

x

b

=

0

)

x

(

''

f

=

1

x

a

=

Aproximações repetidas. f(x) x

b

a

1

x

2º Caso:

0

)

a

(

f

<

0

)

b

(

f

>

f

''

(

x

)

<

0

(concavidade para baixo)

0

)

(a

'

f'

.

)

a

(

f

>

=>

x

_o

=

a

3º Caso:

0

)

a

(

f

>

0

)

b

(

f

<

0

)

x

(

''

f

>

0

)

(a

'

f'

.

)

a

(

f

>

=>

x

_o

=

a

4º Caso:

0

)

a

(

f

>

0

)

b

(

f

<

0

)

x

(

''

f

<

0

)

(b

'

f'

.

)

b

(

f

>

=>

x

_o

=

b

Exemplo 1: Calcular a raiz

α

∈

[

0

,

5

,

1,5]

de

f

(

x

)

=

x

3

−

5

x

2

+

x

+

3

com

ε

≤

10

−3

≅

0

,

001

TEU: 1) contínua => OK 2)

0

.

0

)

b

(

f

).

a

(

f

<

−

+

<

=> OK 3)

f

'

(

x

)

<

0

no intervalo => OK

3

x

x

5

x

)

x

(

f

=

3

−

2

+

+

1

x

10

x

3

)

x

(

'

f

=

2

−

+

10

x

6

)

x

(

''

f

=

−

f(x) x

b

a

x

₁

Tangente que diverge f(x) x

b

a

1

x

f(x) x

b

a

1

x

)

(

375

,

2

)

5

,

0

(

f

=

+

)

(

375

,

3

)

5

,

1

(

f

=

−

−

)

(

25

,

3

)

5

,

0

(

'

f

=

−

−

)

(

25

,

7

)

5

,

1

(

'

f

=

−

−

)

(

6

)

1

(

'

f

=

−

−

)

(

7

)

5

,

0

(

''

f

=

−

−

)

(

1

)

5

,

1

(

'

'

f

=

−

−

Escolha de xo

0

0

)

b

(

''

f

).

b

(

f

>

−

−

>

=>

x

_o

=

b

)

x

(

'

f

)

x

(

f

x

x

n n n 1 n+

=

−

e

ε

=

x

n

−

x

n−1 n xn

f

(

x

)

n

f

'

(

x

n

)

ε

0 1,5 - 3,3750 - 7,2500 ---- 1 1,0345 - 0,2093 - 6,1344 0,4655 2 1,0004 - 0,0024 - 6,0016 0,0341 3 1,0000 0

1

x

₃

=

=

α

(neste caso a raiz é exata)

Não se deve usar esse método quando f(x) próxima do ponto de interseção com x é quase horizontal (

f

'

(

x

)

≈

0

→

f(x)/f'

(x)

=

???

).

Exemplo Aula: Considerando a função

f

(

x

)

=

x

3

−

9

x

+

3

, determinar a raiz que está no intervalo

]

1

,

0

[

I

₂

=

com erro de

ε

=

10

−2. TEU: 1) contínua => OK 2)

0

.

0

)

b

(

f

).

a

(

f

<

−

+

<

=> OK 3)

f

'

(

x

)

<

0

no intervalo => OK

3

x

9

x

)

x

(

f

=

3

−

+

=>

f

'

(

x

)

=

3

x

2

−

9

=>

f

'

'

(

x

)

=

6

x

3

)

0

(

f

=

+

(+)

f

'

(

0

)

=

−

9

(

−

)

f

''

(

0

)

=

0

muda concav.

)

(

5

)

1

(

f

=

−

−

f

'

(

1

)

=

−

6

(

−

)

f

''

(

1

)

=

6

x 0 0,2 1 f(x)

+

₃

1,208

−

₅

f'(x)

−

₉

−

₈

_,

₈₈

−

₆

)

(

208

,

1

)

2

,

0

(

f

=

+

f

'

(

0

,

2

)

=

−

8

,

88

(

−

)

f

''

(

0

,

2

)

=

1

,

2

(

+

)

)

(

5

)

1

(

f

=

−

−

f

'

(

1

)

=

−

6

(

−

)

f

''

(

1

)

=

6

(

+

)

Escolha de xo

0

0

)

a

(

''

f

).

a

(

f

>

+

+

>

=>

x

_o

=

a

=

0

,

2

)

x

(

'

f

)

x

(

f

x

x

n n n 1 n+

=

−

n xn

f

(

x

)

n

f

'

(

x

n

)

ε

0 0,2 1,208

−

₈

_,

₈₈

---- 1 0,33604 0,01359

−

₈

_,

₆₆₁₂₃

0,13604 2 0,33761 ₆

10

04

,

9

×

−

−

−

8

,

65806

0,00157

33761

,

0

x

₃

=

=

α

EXERCÍCIOS 1) Isolar todas as raízes da função pelo método do tabelamento.

30

x

20

x

2

x

)

x

(

f

=

3

−

2

−

+

Tabela de valores de f(x): x -10 -8 -5 -4 -2 -1 0 1 2 3 4 5 10 f(x) -970 -450 -45 14 54 47 30 9 -10 -21 -18 5 630 2) Localizar as raízes da função contínua pelo método do tabelamento.

11

x

20

x

5

,

7

x

2

x

)

x

(

f

=

4

+

3

−

2

−

−

Tabela de sinais de f(x) e f’(x): x -6 -4 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 2 3 4 sinais f(x) + + + - - + + - - - + f’(x) - - - - + + - - - + + +

3) Faça a tabela de valores da função

f

(

x

)

=

x

3

+

3

x

−

1

e indique o(s) intervalo(s) em que houver zeros reais.

4) Ao estudar as raízes reais da função

sen

(

x

)

x

1

)

x

(

f

=

+

, foi montada a seguinte tabela de sinais: x (em radianos) -12 -10 -4,5 -2 1 3 10 12

sinal de f(x) + + + - + + - -

E chegou-se à conclusão que esta função possui raízes reais únicas nos intervalos [-4,5 , -2], [-2, 1] e [3, 10]. Verifique se esta conclusão é verdadeira justificando sua resposta.

5) Localize pelo método do tabelamento as raízes das equações a seguir: a)

4

cos(

x

)

−

e

2x

=

0

b)

1

−

x

ln(

x

)

=

0

6) Localize graficamente as raízes das equações a seguir: a)

2

x

−

3

x

=

0

b)

x

3

+

x

−

1000

=

0

7) Calcular, usando o método da bissecção, o valor aproximado da raiz pertencente ao intervalo [0,5, 1] da função

f

(

x

)

=

x

4

+

2

x

3

−

x

−

1

sabendo-se que esse valor aproximado deverá ter 2 casas decimais corretas.

8) Calcular pelo método da bissecção a raiz da equação

f

(

x

)

=

x

2

+

ln(

x

)

com є ≤ 0.01 no intervalo [0,5 , 1,0].

9) O polinômio

x

21

5

x

9

10

x

)

x

(

p

=

5

−

3

+

tem cinco zeros reais, todos no intervalo [-1,1]. Encontre pelo método da bissecção a maior raiz negativa com є ≤ 10-5.

10)Achar pelo método de Newton-Raphson a raiz de

f

(

x

)

=

2

x

3

+

ln(

x

)

−

5

, com є ≤ 10-7 no intervalo [1, 2].

11)Calcular a raiz negativa pelo método de Newton-Raphson de

f

(

x

)

=

x

3

−

5

x

2

+

x

+

3

com є ≤ 10-5.

12)Use o método de Newton-Raphson para obter a menor raiz positiva das equações a seguir com precisão є ≤ 10-4: a)

tg

(

x

)

0

2

x

₋

₌

b)

2

e

)

x

cos(

2

=

x c)

x

5

−

6

=

0

13)Aplique o método de Newton-Raphson à equação

x

3

−

2

x

2

−

3

x

+

10

=

0

com x0=1,9. Justifique o que acontece.

CAPÍTULO 3

SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES – SELAs

3.1 – DEFINIÇÃO

Um sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas na forma















=

+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

n n nn 3 3 n 2 2 n 1 1 n 2 n n 2 3 23 2 22 1 21 1 n n 1 3 13 2 12 1 11

b

x

a

...

x

a

x

a

x

a

b

x

a

...

x

a

x

a

x

a

b

x

a

...

x

a

x

a

x

a

s

M

∑

=

=

=

n 1 j i j ij n

a

x

b

s

p

/

i

=

1

,

2

,

3

,...,

n

Onde,

→

ij

a

Coeficientes das incógnitas

→

j

x

Incógnitas

→

i

b

Termos independentes Pode ser colocado sob a forma

























=

























×

























n 2 1 n 2 1 nn 2 n 1 n n 2 22 21 n 1 12 11

b

b

b

x

x

x

a

a

a

a

a

a

a

a

a

M

M

L

M

L

L

Vetor dos termos independentes

Matriz de coeficiente Vetor das incógnitas

O sistema pode ainda ser colocado sob a forma matricial mais compacta => A.X = b

Matriz ampliada ou matriz aumentada

























n nn 2 n 1 n 2 n 2 22 21 1 n 1 12 11

b

a

a

a

b

a

a

a

b

a

a

a

L

M

L

L

Vetor solução





























=

n 2 1

x

x

x

x

M

3.2 – CLASSIFICAÇÃO

Natureza dos coeficientes e termos independentes:

• Reais: todos os coeficientes e termos independentes são números reais.

• Complexos: pelo menos um coeficiente ou termo independente for número complexo. Valor dos termos independentes:

• Homogêneo: todos os termos independentes são nulos (b = 0).

• Heterogêneo: pelo menos um termo independente não é nulo. Número de soluções:

• Possível e Determinado: uma única solução.

• Possível e Indeterminado: infinitas soluções.

• Impossível /Incompatível: não possui soluções. Exemplo 1: Seja o sistema:







=

→

=

−

−

=

→

=

+

2 1 2 1 2 1 2 1

x

x

0

x

x

x

x

0

x

x

Qual é a solução do sistema? Um ponto comum entre as retas.

Possui uma única solução:

(

0

,

0

)

=> origem

OBS: De acordo com a Regra de Cramer, se o

det(

A

)

≠

0

, o sistema é possível e determinado.













−

=

1

1

1

1

A

=>

1

1

2

0

1

1

1

1

)

A

det(

=

−

−

=

−

≠

−

=

Logo, o sistema é real, homogêneo, possível e determinado.

Exemplo 2: Seja o sistema:

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

x

x

x

2

x

2

0

x

2

x

2

x

x

0

x

x

−

=







−

=

→

=

+

−

=

→

=

+

Qual é a solução do sistema?

Retas coincidentes => infinitas soluções

OBS:













=

2

2

1

1

A

=>

2

2

0

2

2

1

1

)

A

det(

=

=

−

=

1

2 2 1

1

2 2 1













=

0

2

0

1

A

_I =>

0

0

0

0

2

0

1

)

A

det(

_I

=

=

−

=

Det(AI) => substitui-se a i-ésima coluna de A pelo vetor coluna dos termos independentes. Se o

det(

A

)

=

det(

A

_I

)

=

0

, o sistema é possível e indeterminado

Logo, o sistema é real, homogêneo, possível e indeterminado.

Exemplo 3: Seja o sistema:







−

=

→

=

+

−

=

→

=

+

2 1 2 1 2 1 2 1

x

1

x

1

x

x

x

x

0

x

x

Qual é a solução do sistema?

Retas paralelas => não têm ponto em comum => não tem solução OBS:













=

1

1

1

1

A

=>

1

1

0

1

1

1

1

)

A

det(

=

=

−

=













=

1

1

0

1

A

_I =>

1

0

1

1

1

0

1

)

A

det(

_I

=

=

−

=

Se o

det(

A

)

=

0

e o

det(

A

_I

)

≠

0

, o sistema é impossível. Logo, o sistema é real, heterogêneo e impossível.

3.3 – SISTEMA TRIANGULAR SUPERIOR

Um sistema é chamado triangular superior se é da forma

















=

=

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

+

=

n n nn 3 n n 3 3 33 2 n n 2 3 23 2 22 1 n n 1 3 13 2 12 1 11

b

x

a

b

x

a

...

x

a

b

x

a

...

x

a

x

a

b

x

a

...

x

a

x

a

x

a

s

M

e é chamada triangular inferior se é da forma

1

2

2 1

















=

+

+

+

+

=

+

+

=

+

=

=

n n nn 3 3 n 2 2 n 1 1 n 3 3 33 2 32 1 31 2 2 22 1 21 1 1 11

b

x

a

...

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

b

x

a

s

M

Exemplo 1: Resolver o sistema linear triangular abaixo:















=

=

−

−

=

−

+

−

=

+

−

+

=

2

x

2

3

x

5

x

4

1

x

2

x

x

10

x

x

5

x

4

x

3

s

4 4 3 4 3 2 4 3 2 1

























−

=

1

2

1

1

x

2

x

2

₄

=

4

x

₃

−

5

x

₄

=

3

x

₂

+

x

₃

−

2

x

₄

=

−

1

10

x

x

5

x

4

x

3

1

+

2

−

3

+

4

=

−

1

x

₄

=

4

x

₃

−

5

(

1

)

=

3

x

₂

+

2

−

2

(

1

)

=

−

1

10

1

)

2

(

5

)

1

(

4

x

3

₁

+

−

−

+

=

−

2

x

₃

=

x

₂

=

−

1

x

₁

=

1

Exemplo 2:















=

=

−

=

−

−

=

+

−

+

=

2

x

2

3

x

5

x

4

0

x

2

x

10

x

x

5

x

4

x

3

s

4 4 3 4 3 4 3 2 1





























α

α

+

−

=

1

2

3

4

1

x

2

x

2

₄

=

4

x

₃

−

5

x

₄

=

3

0

x

₂

+

x

₃

−

2

x

₄

=

0

10

x

x

5

x

4

x

3

1

+

2

−

3

+

4

=

−

1

x

₄

=

4

x

₃

−

5

(

1

)

=

3

0

x

₂

+

2

−

2

(

1

)

=

0

10

1

)

2

(

5

4

x

3

₁

+

α

−

+

=

−

2

x

₃

=

0

x

₂

=

0

→

x

₂

=

α

3

4

1

x

₁

=

−

+

α

Obs: x2 pode assumir qualquer valor. É uma variável livre (ou independente) Exemplo 3:















=

=

−

−

=

−

−

=

+

−

+

=

2

x

2

3

x

5

x

4

1

x

2

x

10

x

x

5

x

4

x

3

s

4 4 3 4 3 4 3 2 1

2

x

2

₄

=

4

x

₃

−

5

x

₄

=

3

0

x

₂

+

x

₃

−

2

x

₄

=

−

1

1

x

₄

=

4

x

₃

−

5

(

1

)

=

3

0

x

₂

+

2

−

2

(

1

)

=

−

1

2

x

3

=

0

x

2

=

−

1

→

Nenhum valor de x2 satisfaz a equação O sistema é impossível (ou incompatível).

3.4 – SISTEMA INSTÁVEL

Em um sistema instável, uma pequena alteração em um dos coeficientes provoca uma grande alteração na solução do sistema.







=

+

=

+

=

01

,

2

x

.

01

,

1

x

2

x

x

S

2 1 2 1







=

+

=

+

=

01

,

2

x

.

01

,

1

x

2

x

x

.

99

,

0

S

2 1 2 1

_











=

1

1

x

_











−

=

101

100

x

Para verificar se um sistema é instável, calcula-se a grandeza do determinante da matriz A. O sistema será instável se

det(

norm

(

A

))

≅

0

.

n 2 1

.

...

)

A

det(

))

A

(

norm

det(

α

α

α

=

onde, 2 in 2 2 i 2 1 i i

=

(

a

)

+

(

a

)

+

...

+

(

a

)

α

p

/

i

=

1

,

2

,...,

n

Para o exemplo anterior:

2

1

1

)

a

(

)

a

(

12 2 2 2 2 11 1

=

+

=

+

=

α

0201

,

2

01

,

1

1

)

a

(

)

a

(

₂₁ 2 ₂₁₂ 2 2 2 2

=

+

=

+

=

α

005

,

0

01

,

2

01

,

0

0201

,

2

.

2

1

1

1

01

,

1

))

A

(

norm

det(

=

×

−

×

=

≅

Logo, o sistema é instável, pois, comparando este resultado com a unidade,

det(

norm

(

A

))

≅

0

3.5 – RESTOS OU RESÍDUOS

Restos ou Resíduos da solução de Sistemas Lineares é definido como:

X

.

A

B