Modelos de Processos Linearização de modelos não lineais

(1)

TEQ102

TEQ102-- CONTROLE DE PROCESSOS

CONTROLE DE PROCESSOS

Modelos de Processos

Linearização de modelos não lineais

Departamento de Engenharia Química e de Petróleo – UFF

1

Linearização de modelos não lineais

Profa. Ninoska Bojorge

Seguindo a malha de controle feedback...

2

Controlador Atuador PROCESSO

Sensor Sensor

(2)

Dinâmica dos processos

3

O controle do processo é inerentemente

relacionado com o comportamento do mesmo

no estado instável (ou seja, “com a resposta

transitória", "dinâmica do processo")

Modelagem de Processo

4

O objetivo da modelagem é determinar uma representação

matematicamente tratável para o processo físico/químico.

A essa representação damos o nome de modelo.

Portanto, um modelo é uma idealização da realidade que retém

suas principais característica e que é matematicamente tratável.

A modelagem é uma etapa importante no projeto de sistemas de

controle, posto que o êxito dessa tarefa dependerá do modelo

criado para o sistema em questão.

A modelagem matemática de um sistema dinâmico é constituída

por um conjunto de equações diferenciais (EDO e/ou EDP)

que representam a dinâmica do sistema com precisão ou, pelo

menos, de uma forma aceitável.

(3)

Métodos para Determinação de Modelos

Matemáticos

5

Existem dois métodos básicos de modelagem:

1) Modelagem Teórica (ou Fenomenológica)

Utiliza os princípios da física e da química e/ou biológico

para obter as equações diferenciais que regem o processo

a ser modelado

.

2) Modelagem Experimental (ou Empírica)

Usa a observação direta dos dados operacionais do

processo para obter as equações diferenciais que o

descrevem.

Geralmente, aplica-se uma sinal de entrada conhecido e

mede-se a saída correspondente.

Métodos para Determinação de Modelos

Matemáticos

6

Black box (empírico)

• Grande número de parâmetros pode ser obtidos rapidamente (por

exemplo, regressão linear) exemplo, regressão linear)

• Estrutura do modelo é subjetiva • Perigoso para extrapolar

Semi-empírico

• Estrutura do modelo pode ser mais simples

Tipicamente 2-10 parâmetros físicos estimados (regressão não linear)

• Tipicamente 2-10 parâmetros físicos estimados (regressão não linear) • Boa versatilidade, pode ser extrapolada

(4)

Métodos para Determinação de Modelos

Matemáticos

7

Por regressão linear:

Por regressão não-linear :

2 2 1 0

c

x

c

x

c

y

=

+

(

/τ

)

1 e

t

K

y

=

−

O número de parâmetros afeta a precisão do modelo, mas

os limites de confiança dos parâmetros embutidos devem

ser avaliados

função objetivo para ajuste dos dados - minimizar soma

dos quadrados dos erros entre os pontos de dados e

previsões dos modelos (utiliza-se código de otimização

para se ajustar os parâmetros)

modelos não lineares, tais como redes neurais estão se

tornando populares (modelagem automática)

Métodos para Determinação de Modelos

Matemáticos

8

Usos da Modelagem Matemática

para melhorar a compreensão do processo

para otimizar condições do processo de concepção /

operacionais

para projetar uma estratégia para o controle de processo

para treinar o pessoal de operação

(5)

Modelos teóricos de processos

9

Equações de conservação

Base fundamental para o desenvolvimento do modelo Conservação de massa, energia & momentum

Conservação de massa, energia & momentum EDOs não-lineares

Relações constitutivas

Relações semi-empíricas necessárias para completar o modelo Taxa cinéticas, taxa de calor, etc.

Equações algébricas lineais e não lineais

Estimação de parâmetros

Necessários para determinar os parâmetros desconhecidos Necessários para determinar os parâmetros desconhecidos

Constantes de velocidade de reação, coeficientes de transferência de calor, etc., etc.

Estimação do valores dos parâmetros que melhor se encaixam aos dados disponíveis

Variáveis de Estado

As

variáveis de estado

são o conjuntos de variáveis que

permitem representar o comportamento dinâmico do

sistema.

10

sistema.

O valor deste conjunto de variáveis de estado num

determinado instante de tempo é chamado de estado.

As equações que relacionam as variáveis de estados ás

perturbações são ditas de equações de estados e são

derivadas das equações que resultam da aplicação dos

princípios de conservação.

(6)

Grau de Liberdade, N

_L

N_L : número de variáveis que podem ser especificadas independentemente.

11

E V

L

N

=

−

N_L : número de variáveis que podem ser especificadas independentemente. N_V : número total de variáveis desconhecidas .

N_E : número de equações (diferenciais e algébricas.)

• N_L = 0 → Sistema determinado. Solução única. (caso satisfatório) • N_L > 0 → Sistema sub-determinado, ou seja N_V > N_E. Infinita

A solução do modelo depende do N_L:

• N_L > 0 → Sistema sub-determinado, ou seja N_V > N_E. Infinita

soluções. N_L podem especificar-se arbitrariamente.

• N_L < 0 → Sistema sobre-determinado. Têm menos variáveis que

equações. Sistema não tem solução.

Formulação da modelagem

Os princípios teóricos nos quais se baseiam os modelos do

processo para sua modelagem dinâmica e de controle de

12

processo para sua modelagem dinâmica e de controle de

processos são fundamentalmente baseadas nas Leis de

Conservação.

(7)

Modelos teóricos de processos

Equações de conservação

base fundamental para o desenvolvimento do modelo Conservação de massa, energia & momentum

13

Conservação de massa, energia & momentum EDOs lineais e não-lineares

Relações constitutivas

relações semi-empíricas necessárias para completar o modelo taxas cinéticas, taxas de calor, etc.

equações algébricas não lineares

Estimação de parâmetros

necessários para determinar os parâmetros desconhecidos tais como: necessários para determinar os parâmetros desconhecidos tais como: constantes de velocidade de reação, os coeficientes de transferência de calor, etc., etc.

estimação dos valores dos parâmetros que mais se aproximam aos dados disponíveis

Leis de Conservação

Considere-se um processo, onde tem-se n

entradas e n saídas e onde as letras Q e W representam calor e trabalho realizado pelo sistema, respectivamente.

14

Saídas Entradas

W

sistema, respectivamente. Saídas

Q

O principio de conservação estabelece qualquer quantidade acumulada dentro do limite de contorno de um sistema é a diferencia entre o que foi adicionado e o que foi retirado do sistema, mais o que foi gerado dentro do sistema.

ou ainda, filosoficamente falando,

(8)

Leis de Conservação

Resumindo:

15 Saídas Entradas W Saídas Q

Acumulado = entra – sai + gerado – consumido

Leis de Conservação

Balanço de Massa Global (massa/tempo)

16           −           =           saída massa de Taxa entra massa de Taxa acumulada massa de Taxa     

acumulada entra saída

          +           −           =           saí A compon do formação de velocidade saída na A componente do molar vazão entrada na A componente do molar vazão Sistema no A componente do molar iação var da Taxa .

Balanço por Componente (mol/tempo)

Balanço de Energia (Joule/tempo)

          −           +           −           =           realizado trabalho pelo gasta energía de Taxa gerada energía de Taxa saída energía de Taxa entrada energía de Taxa acumulada energía de Taxa         

acumulada entrada saída gerada trabalhorealizado

Balanço de Movimento           +           −           =           movimento de geração de taxa sistema do saí que movimento taxa sistema ao entra que movimento taxa tempo ao respeito com movimento de iação var da Taxa Relações constitutivas

(9)

Balanço de Massa

17           −           =           saída massa de Taxa entrada massa de Taxa acumulada massa de Taxa ou: Saídas Entradas     

acumulada entrada saída

S

m

e dt dm • • − = m : massa total = V⋅ρ

m_e: taxa mássica entra = F_e⋅ρ_e m_s: taxa mássica saí = F_s⋅ρ_s

Em termos matemáticos, Entradas

dt

dm

Saída

m

• entra

m

• (1.1) S S

F

dt

V

d

e e

ρ

₌

_⋅

₋

_⋅

m_s: taxa mássica saí = F_s⋅ρ_s

F: vazão volumétrica (volume/tempo)

ρ: densidade (massa/volume)

(1.2)

Balanço por componentes

18         +         −         =         saí A compon do formação de velocidade saída na A componente do molar vazão entrada na A componente do molar vazão Sistema no A componente do molar iação var da Taxa .                       

 noSistema naentrada nasaída compon. Asaí

V

r

C

F

C

Fe

dt

dn

A A S Ae A S

+

⋅

−

⋅

=

sendo n_A = C_A⋅V r_A = k⋅[C_A]

k : coeficiente cinético , depende da ordem

(1.3)

V

C

k

C

F

C

Fe

dt

V

C

d

A AS S Ae A

)

=

⋅

−

⋅

+

⋅

(

k : coeficiente cinético , depende da ordem da reação :[tempo]-1_{[concentração]}1-n

(10)

Balanço de Energia

Em sistema de engenharia química, as variações de energia cinética (E_K) e potencial (E_Φ) são geral// desprezíveis, e por tanto

,

19       −       +       −       =       pelo gasta energía de Taxa energía de Taxa energía de Taxa energía de Taxa energía de Taxa         −         +         −         =         trabalhorealizado pelo gasta gerada energía saída energía entrada energía acumulada energía

V

e

E

Eke

U

d

VE

d

(

ρ

)

(

_E

+

φ

)

ρ

=

Saída Energia Energia entra

_dt

dE

(1.5)

dt

V

e

E

Eke

U

d

dt

VE

d

(

ρ

)

(

_E

+

φ

)

ρ

=

W Q s E Eks U s Fs e E Eke U e Fe dt VE d nS i i S nE i i E + + − + + + − =

∑

= = ) ( ) ( ) (

ρ

_ρ

_φ

_ρ

_φ

(1.5) (1.6)

Balanço de Energia

20 W Q s E Eks U s Fs e E Eke U e Fe dt VE d nS i i S nE i i E + + − + + + − =

∑

= = ) ( ) ( ) (

ρ

_ρ

_φ

_ρ

_φ

(1.6)

Para os processos e exemplos considerados aqui. É conveniente fazer duas suposições:

1. Variações na energia potencial e energia cinética podem ser

desprezíveis, por serem pequenas em comparação com as mudanças na energia interna.

2. A taxa líquida de trabalho pode ser desprezível pois é pequena em

E ≅ U , W ≅ 0

2. A taxa líquida de trabalho pode ser desprezível pois é pequena em comparação com as taxas de transferência e convecção de calor .

(11)

Por estas suposições razoáveis, o balanço de energia em Eq. (1.6) pode ser escrita como:

21

Balanço de Energia

( )

int

_(2-10)

dU

wH

Q

dt

= −∆

+

)

(1.7) sistema do interna energia int = U massa de unidade por entalpia ^ = H massica vazão = w assim saída; e entrada de correntes as entre diferencia a representa = ∆ massica vazão = w sistema o para calor transf. de taxa = Q saída. de corrente a menos entrada que corrente da entalpia de taxa =       ∆ − wHΛ

H

≈

Balanço de Energia

Para Líquido puro, a pressões moderadas ou baixas,

U

_int 22

ˆ

int

U

=

H

int

ˆ

_(2-29)

dU

=

dH

=

CdT

C é a capacidade de calor a pressão constante (assumida como sendo constante). A energia interna total do líquido no tanque é:

C

h

a

p

te

r

2

(1.8) int

ˆ

int

(2-30)

U

=

ρ

VU

_(1.9) int

_(2-31)

dU

dT

VC

dt

=

ρ

dt

(1.10)

(12)

Balanço de Energia (cont.)

Assim, o balanço simplificado de energia , considerando que o calor especifico cte e o trabalho mecânico realizado pelo sistema é nulo. 23 Saída Energia

dE

nulo. Tem-se que: Energia entra

dt

dE

)

(

)

(

T

Vr

UA

Ta

T

Cp

F

dt

dT

Cp

V

ρ

=

ρ

_in

−

+

_Q

+

−

(1.11)

onde as unidades de cada termo da equação de balanço são unidades de energia/tempo (Joule/s). Esta equação pode ser aplicada a reatores batelada, batelada alimentada e contínuos

Balanço de Movimento

Equações de balanço de movimento são importante em problemas que envolvem escoamento de fluidos.

Momentum (movimento) é definido como o produto da massa e sua velocidade, tal como afirmado pela segunda lei de Newton, a força de um sistema em movimento é igual á

24

afirmado pela segunda lei de Newton, a força de um sistema em movimento é igual á massa pela aceleração, também, é igual a “taxa da variação do movimento”.

A equação de equilíbrio geral para a transferência de movimento é expressa por:

          +           −           =           movimento de geração de taxa sistema do saí que movimento taxa sistema ao entra que movimento taxa tempo ao respeito com movimento de iação var da Taxa   

Taxadavariação somadetodas

ou (1.12)           =           sistema no atuando forças as todas de soma tempo ao respeito com movimento de iação da Taxa var ou Assim:

∑

=

n i i

_Fij

dt

M

d

1

)

(

υ

i υ : velocidade na direção i

(13)

Relações constitutivas

Equação de estado termodinâmico:

25

Leis dos gases ideais: PV = nRT

RT a

Eq. de van der Waals 2 b -V RT = P V a −

∫

= T T CpdT h 0 ∑ ∑ = = = _NC j NC j XjMj XjhjMj h 1 1 _{Xj : fração molar} Mj: peso molecular Entalpia : dado Cp = A₁+ A₂T Liquido: Vapor: H = h + λ_V

Equação de equilíbrio termodinâmico:

Lei de Dalton: Pi = Yi.P (vapor) Lei de Raoult Pi = Xi.P (Liquido)

Equações cinéticas Arrhenius K = Koexp(-E/RT) E: energia de ativação R : Cte. dos gases =

j 1

Metodologia de Modelagem

A modelagem de processos pode ser realizada de duas

formas:

26

Metodologia Fenomenológica (Leis fundamentais de

física e química),

Metodologia Empírica (informação contida nas variáveis

de processo registradas ao longo do tempo) .

das quais nenhuma destas metodologias é autocontida e

simplesmente foram definidas de forma diferentes levando

em consideração a ênfase que se dá à fonte primária de

informação ou conhecimento.

(14)

Metodologia de Modelagem Fenomenológica

27 Diagrama esquemático do processo

Definir limites físicos

Selecionar variáveis perturbação e resposta Formular hipóteses simplificadoras

Fixar as variáveis de operação e parâmetros (ctes) Aplicar as leis para descrever estados em regime

estacionário /dinâmico estacionário /dinâmico

Verificar a consistência matemática do modelo Verificar os resultados

Modelagem Dinâmica de Processos

28

Para obter as equações dinâmicas de um processo, os

seguintes passos devem ser seguidos:

1)

Definição das variáveis significativas (de entrada e de

saída);

2)

Escrever as relações sistêmica (relações de equilíbrio

ou de compatibilidade inter-elementos);

3)

Escrever as relações constitutivas para cada elemento

3)

Escrever as relações constitutivas para cada elemento

(são puramente empíricas) ; e

4)

Combinar as relações obtidas, obtendo as equações

(15)

Modelagem Dinâmica de Processos

29

Sistemas de nível de líquido são aqueles que envolvem o

fluxo de fluidos e o seu armazenamento em tanques.

Exemplo 1

fluxo de fluidos e o seu armazenamento em tanques.

Exemplo típico: um tanque com vazão de entrada e vazão

de saída, sendo esse último modulado por uma válvula

(Sistema Real).

Modelamento Físico

Pode-se imaginar para o sistema físico real o modelo físico

mostrado a seguir:

Modelagem Dinâmica de Processos

30

Exemplo 1

h(t)

(16)

Modelagem Dinâmica de Processos

31

Obtenção das Equações Dinâmicas

Variáveis utilizadas: Vazão, Q(t) e Nível, h(t). Sistemas de Nível de Líquido

Equação de Sistema - balanço de massa

Assumindo que:

Ah

m

=

ρ

_m s s e e m

Q

dt

dh

A

dt

dm

ρ

=

−

=

Assumindo que:

– A massa específica do fluido é constante, isto é, ρm = ρe = ρs;

– As dilatações térmicas do tanque são desprezível, portanto, sua área é constante. Então:

A

Q

-Q

dt

dh

_ent _sai

=

Modelagem Dinâmica de Processos

32

Equação Constitutiva - vazão de saída através da válvula

como função da perda de pressão:

Para escoamento laminar:

Q_s =C_v∆P =C_v(P_m −P_a )

Para escoamento laminar:

Para escoamento turbulento:

onde o parâmetro C_v é uma característica da válvula

Porém, sabendo que:

) ( _m _a v v s C P C P P Q = ∆ = − ) ( _m _a v v s C P C P P Q = ∆ = −

gh

Pa

Pm

=

+

ρ

• Para escoamento laminar:

• Para escoamento turbulento:

gh

C

Q

_s

=

_v

ρ

gh

C

Q

_s

=

_v

ρ

(17)

Modelagem Dinâmica de Processos

33

Equação Dinâmica - introduzindo a equação constitutiva

na

equação de sistema, temos:

Para escoamento laminar:

dh

=

Q

e

−

C

v

ρ

gh

Para escoamento laminar:

• Para escoamento turbulento:

– Parâmetro do sistema: Cv, ρ, g e A;

A

gh

C

Q

dt

dh

_e

−

_v

ρ

=

A

gh

C

Q

dt

dh

_e

−

_v

ρ

=

– Variáveis externas a serem fornecida em função do tempo para que a equação tenha solução: Qe(t);

– Incógnita: h(t);

– Condição inicial: h(0); e

– Caso se tome dh(t)/dt = 0, tem-se o modelo estacionário.

Exemplo 2

: Processo de mistura no tanque agitado

1 1

w

x

2 2

w

x

34

balanço de massa em estado transiente para o sistema de mistura:

w

x

balanço de massa em estado transiente para o sistema de mistura:

          −           =           saí massa de Taxa entra massa de Taxa de Taxa tanque no acumulada massa (2.1)

(18)

ou

onde w

₁

, w

₂

, e w are taxa mássica.

( )

1 2

ρ

(2-2)

d V

w

dt

=

+

−

35

Balanço por componentes

( )

1 1 2 2

ρ

(2-3)

d V x

w x

wx

dt

=

+

−

Logo, eqs (2.2 ) e (2.3) m estado de equilíbrio

1 2 1 1 2 2

0 (2-4)

0 (2-5)

w

w x

wx

=

+

−

=

+

−

Para ρ constante, Eqs. 2-2 e 2-3, temos:

Exemplo 2

: Processo de mistura no tanque agitado...cont.

36 1 2

(2-12)

dV

w

dt

ρ

=

+

−

( )

1 1 2 2

(2-13)

d Vx

w x

wx

dt

ρ

=

_{1 1}

+

_{2 2}

−

dt

(19)

Simplificado a eq. 2-13 através da expansão do termo acumulação com a "regra da cadeia" para a diferenciação de um produto:

( )

_(2-14)

d Vx

_dx

_dV

V

x

dt

ρ

=

ρ

+

ρ

37

dt

Substituindo a (2-14) em (2-13) temos: 1 1 2 2

(2-15)

dx

dV

V

x

w x

wx

dt

ρ

+

ρ

=

+

−

Substituição o balanço de massa em (2-12) de em (2-15) dá:

ρ

_{dV dt}

_/

(

1 2

)

1 1 2 2

(2-16)

dx

V

x w

w

w x

wx

dt

ρ

+

−

=

+

−

Depois de cancelar termos comuns e reorganizando (2-12) e (2-16), uma forma do modelo mais conveniente é obtida:

38

Exemplo 2

: Processo de mistura no tanque agitado...cont.

(

)

(

)

(

)

1

2

1

2

1

2

1 (2-17)

(2-18)

dV

w

dt

w

dx

x

dt

V

ρ

=

+

−

=

− +

−

dt

V

ρ

V

ρ

(20)

39

Exemplo 2

: Processo de mistura no tanque agitado...cont.

Existe uma resposta da composição do processo de mistura no tanque agitado para mudanças em:

b) vazão w b) vazão w₁ c) vazão w₂

d) vazão w₁ e composição x₁

e) resposta normalizada para a parte (b) - (d)

Processos de Aquecimento em tanque agitado

i

w

T

40

C

h

a

p

te

r

2 Q

Sistema de aquecimento

V

_w

T

i

w

(21)

Suposições:

1. Mistura perfeita; assim, a temperatura de saída T é

Processo de Aquecimento em tanque agitado

…cont

₄₁

1. Mistura perfeita; assim, a temperatura de saída T é

também

≅

temperatura do conteúdo no tanque.

2. V

liquido

é constante, porque as taxas de fluxo de entrada e

saída são iguais.

3. A densidade

ρ

e a capacidade de calor C do líquido são

assumidos constantes. Assim, a sua dependência da

temperatura é desprezível.

C

h

a

p

te

r

2 temperatura é desprezível.

4. As perdas de calor são desprezíveis.

42

• Variáveis utilizadas:

– Temperatura: T(t) [°C]

Obtenção das Equações Dinâmicas

– Quantidade de calor armazenado em um corpo: q(t) [kcal]

– Fluxo de calor: Q(t) [kcal/s]

• Relações de Sistema:

– Quando dois corpos de temperaturas diferentes são postos

em contato, fluirá calor do mais quente para o mais frio, até

que as temperaturas do dois se igualem.

(22)

o modelo dinâmico, assumindo V_liq. e vazões constantes:

(

_i

)

(1)

dT

V C

wC T

T

Q

dt

ρ

=

−

+

Suponha que a condições iniciais do processo em estado de equilíbrio :

43

( )

0 ,

_i

( )

0

_i

,

( )

0 ( )

2 T

=

T T

=

T

Q

=

Q

onde valor em estado de equilibrio da T, etc. Para as condições em estado de equilibrio:

(

)

0 =

wC T

_i

−

T

+

Q

(3)

T

= Subtraindo (3) de (1):

(

_i _i

) (

)

(

)

(4)

dT

V C

wC

T

Q Q

dt

ρ

₌



_

₋



_

₊

₋

mas,

Assim, substituindo em eq(4) obtem-se,

(

)

(6)

dT

V C

ρ

′

=

wC T

′

−

T

′

+

Q

′

(

)

because

is a constant

(5)

d T

T

dT

T

dt

−

=

porque _{é uma constante}

44

(

_i

)

(6)

dT

V C

wC T

T

Q

dt

ρ

′

=

′

−

′

+

′

,

_i _i _i

,

T

′

= −

T

′

= −

T

Q

′

= −

Q Q

onde:

“variáveis desvios”, também chamada como “variáveis de perturbação”.

Aplicando TL em (6) : ou,

[

sT

´(

s

)

T

´(

t

0 )

]

wC

[

T

´

(

s

)

T

´(

s

)

]

Q

´(

s

)

C

V

ρ

−

=

_i

+

[

sT

´(

s

)

T

´(

0 )

]

wC

[

T

´

(

s

)

T

´(

s

)

]

Q

´(

s

)

C

V

ρ

−

=

_i

+

(23)

Avaliando

T t

′ =

(

0 .

)

Por definição, Assim em, t = 0,

( ) ( )

0

0 (9)

T

′

=

T

−

T

.

T

′

=

T

−

T

45

( ) ( )

Mas como assumiu-se que a condição inicial do processo era que

inicialmente estava em estado estacionário, i.e. , decorre de (9) que:

Nota: A vantagem de utilizar variáveis de desvio é que o termo condição

( )

0 T

=

T

( )

0

0. T

′

=

Nota: A vantagem de utilizar variáveis de desvio é que o termo condição inicial torna-se zero. Isto simplifica a análise posterior.

onde

( )

:

T s

′

Reordenando (8) para resolver para

( )

1 ( )

(10)

1

i

K

T s

Q s

T s

s

τ









′

=





′

+





′

+









46 onde

(s)

T

(s)

G

(s)

Q

(s)

(s)=G

T

′

₁

′

+

₂ _i

′

ou

1 and

V

K

wC

w

ρ

τ

=

e

=

(11) + +

(24)

A função de transferência entre e :

Q

′

T

′

47

(s)

T

(s)

G

(s)

Q

(s)

(s)=G

T

′

₁

′

+

₂ _i

′

Assim,

(11)

Suponha que é uma constante no estado de equilíbrio. ou seja,

Então, podemos substituir em (10) e reordenando a FT desejada:

i

T

( )

0 ( )

0.

i i i i

T t

=

T

⇒

T t

′

=

⇒

T s

′

=

( )

1 (12)

T s

_K

Q s

τ

s

′

=

′

+

T

′

T

i

′

:

Suponha-se Q é uma constante no estado de equilíbrio:

( )

0 ( )

0 Q t

=

Q

⇒

Q t

′

=

⇒

Q s

′

=

A função de transferência entre e

.

48

Assím, reordenando

( )

1

1 (13)

i

T s

τ

s

′

=

′

+

Obs:

1. As FT das eqs (12) e (13) mostram o efeito

individual

de

Q e T

_i sobre

T.

(25)

• Da eq.(10), a mesma FT é valida para mudanças simultâneas

( )

1 ( )

(10)

1

i

K

T s

Q s

T s

s

τ









′

=





′

+





′

+









49 Resposta:

• Note que eq (10) mostra os efeitos das mudanças tanto em Q como em

Ti e são aditivos. Isso sempre ocorre para, os modelos dinâmicos lineares (como FT) porque o princípio da superposição é válido.

2. O modelo FT nos permite determinar a resposta de saída a

( )

1

i

s

τ









+









qualquer mudança na entrada.

3. Emprega-se as variáveis de desvio para eliminar as condições iniciais dos modelos em FT.

Graus de liberdade para o Análise do Modelo do tanque

agitado :

3 parâmetros: 4 variáveis: 1 equação: Eq. 12

, ,

V

ρ

C

, , ,

_i

T T w Q

50

Assim, os graus de liberdade são

N

_L

=

4 - 1 = 3 As variáveis de processo são classificadas :

1 variável saída:

T

3 variáveis entradas:

T

i

, w, Q

1 equação: Eq. 12

Para efeitos de controle de temperatura, é razoável classificar as três entradas como:

2 variáveis de perturbação

: T

i

, w

(26)

aquecimento com vapor :

= ∆

_s _v

Q

w H

(

)

(1)

=

i

− + ∆

s v

dT

V C

wC T

T

w H

dt

ρ

51

Ts

w

Exemplo 4:

(

)

(1)

=

i

− + ∆

s v

V C

wC T

T

w H

dt

ρ

0 =

wC T

(

_i

− + ∆

T

)

w

s

H

_v

(2)

Subtraindo (2) de (1)

(

) (

)

=

− +

−

s

∆

dT

V C

ρ

wC T

T

w

H

w

_s

(

) (

)

=

− +

_s

−

s

∆

_v

V C

wC T

T

w

H

dt

ρ

dividindo por

wC

(

)

∆

= − +

v

−

s s

H

V

dT

T

w

w dt

wC

ρ

Definição de variáveis de desvio (do set point)

is desired operating point

( ) from steady state

s s s

y

T

u

w

w T

ρ

= −

=

−

∆

52

é a temperatura desejada de operação do regime operacional (equilíbrio)

1

V

note that

and

w

dy

note when

0 dt

General linear ordinary differential equation solution:

v v p p p

H

V dy

y

u

K

w dt

wC

y

K u

dy

y

K u

dt

ρ

_τ

τ

∆

= − +

=

= − +

sum of exponential(s)

note que note que note qdo e

General linear ordinary differential equation solution:

1

sum of exponential(s)

Suppose u

1 (unit step response)

( )

1

t p

y t

K

e

τ −

=





=



_

−



_





A solução geral de uma EDO linear: suma de exponenciais. Suponhamos u = 1 (resposta para degrau unitário)

(27)

53

A resposta para um sistema de 1ª ordem e obtenção gráfica da constate de tempo

τ

Tempo morto

O tempo morto puro (t_mou θ) é uma quantidade finita de tempo que o liquido leva para se mover da saída do reservatório ao ponto onde está o sensor.

54

sensor.

Em geral, nos equipamentos que modelamos por parâmetros distribuídos, i. e, a variável do processo é distribuída por todo o equipamento. As funções de transferência para tais sistemas geralmente contêm no mínimo, um termo de tempo morto, o qual só para simplificar cálculos, desconsideramos.

Uma estimativa de aproximação do tempo morto é realizada utilizando a aproximação de Padé de primeira ordem, dada por

aproximação de Padé de primeira ordem, dada por

s

e

s

2

1

2

1 θ

θ

+

−

≈

−

(28)

Exemplo 5 : Se o sensor de temperatura é instalado na corrente de saída do tanque aquecido (atraso de transporte)

Tempo morto: w= velocidade do fluído, m/s

w

L

=

θ

55

f

L

A. =

L = comprimento ou distância, m w= velocidade do fluído, m/s Tanque: ₁ 1 1

K

T(s)

G =

=

U(s)

1+ s

τ

e

K

(s)

T

-θs

L A = área transversal da tubulação, m2

f = fluxo volumétrico, m3_/s

Sensor:

Função transferência global :

+

1 e

K

=

T(s)

(s)

T

=

G

H s -H m H

s

τ

θ

)

1 )(

1 (

₁ 1 1

s

e

K

G

U

T

U

T

H s H H m m

τ

θ

+

=

⋅

=

⋅

=

−

7. Reações Biológicas

Reações biológicas que envolvem microrganismos e de enzimas catalisadoras estão presentes e desempenham um papel crucial no mundo natural.

Sem tais biorreações, plantas e vida animal, como a conhecemos,

56

simplesmente não poderiam existir.

Biorreações também fornecem a base para a produção de uma ampla variedade de produtos nas industrias farmacêuticas e médicas e de alimentos.

Importantes processos industriais que envolvem biorreações incluem processos de fermentação e tratamento de águas residuais.

Os engenheiros químicos estão fortemente envolvidos com os Os engenheiros químicos estão fortemente envolvidos com os processos bioquímicos e biomédicos.

(29)

Bioreações

• Normalmente são realizados num reator descontínuo ou descontínuo com alimentação.

• Fed-batch é sinônimo de semi-batelada.

• Reatores Fed-batch são amplamente utilizados na indústria

57

• Reatores Fed-batch são amplamente utilizados na indústria farmacêutica e outros processos industriais.

produtos

células

mais

susbtrato

células

+

→

consumido

subtrato

massa

formadas

células

de

massa

Y

_XS₌ (7.1)

consumido

subtrato

massa

formada

produto

de

massa

Y

_pS₌ (7.2)

Bioreator Fed-Batch

Equação de Monod

58 Substrato, Falim, Sf

Equação de Monod

Taxa específica de crescimento

(2-93)

g

r

=

µ

X

max

(2-94)

s

S

K

S

µ

=

µ

+

V S P X (7.3) (7.4)

Bioreator Fed-batch para uma bioreação.

s

(30)

Suposições

1. A fase de crescimento exponencial de células é de

interesse.

2. O reator em batelada alimentada é perfeitamente

59

2. O reator em batelada alimentada é perfeitamente

misturado.

3. Efeitos de calor são pequenos para que o funcionamento

do reator isotérmico pode ser assumido.

4. A densidade do líquido é constante.

5. O mosto no biorreator consiste de material líquido, mais

sólido, a massa de células. Esta mistura heterogênea pode

ser aproximada como um líquido homogêneo.

6. A taxa de crescimento das células r

_g

é dada pela equação

de Monod (7.3) e (7.4).

7. A taxa de formação de produto por unidade de volume

r

_p pode ser expresso como /

(2-95)

p P X g

r

=

Y

r

60

Suposições ... cont.

(7.5) / p P X g

onde o coeficiente de rendimento Y_P/X é definido como:

8. A corrente de alimentação é estéril e, portanto, não contém células. (7.6)

formadas

células

nova

massa

formada

produto

de

massa

Y

_p/X₌

• De modo geral, cada balanço

8. A corrente de alimentação é estéril e, portanto, não contém células.

          −           =           saída massa de Taxa entra massa de Taxa acumulada massa de Taxa

(31)

Células: Produto:

(

)

(2-98)

g

d XV

V r

dt

=

( )

d PV

=

61 (7.7)

Balanço por componentes

Produto: Substrato: Balanço Global

1

1 (2-100)

f g P X / S P / S

d( SV )

F S

V r

dt

=

−

Y

−

Y

( )

d V

( )

_(2-99)

p

d PV

Vr

dt

=

(7.8) (7.9)

( )

(2-101)

d V

F

dt

=

(7.10)

1. Ganho em estado de equilíbrio

A FT em estado de equilíbrio pode ser usado para calcular a resposta (saída) no estado estacionário devido a uma mudança de estado na entrada. Por exemplo,

8. Propriedades da Função de Transferência dos

Modelos

62

estado estacionário devido a uma mudança de estado na entrada. Por exemplo, suponha que conhecemos dois estados estacionários para a entrada, u, e da saída, y. Então, podemos calcular o ganho em estado estacionário, K, a partir da entrada, u, e da saída, y. Logo, podemos calcular o ganho em estado de

equilíbrio, K, como:

2 1

_(4-38)

y

K

=

−

(8.1)

Para um sistema linear, K é uma constante. Mas, para um sistema não-linear, K vai depender da condição operacional

( )

_{u y}

_,

_.

2 1 2 1

(4-38)

K

u

=

−

(8.1)

(32)

Se um modelo FT tem um ganho em estado estacionário, então :

( )

=

Calculo do ganho do Processo, K

63

( )

0

lim

(14)

s

K

G s

→

=

• Este importante resultado é consequência do Teorema do Valor Final

Nota: Alguns modelos de FT não têm ganho em estado de equilíbrio

(8.2)

(Exemplo: processo integrador).

Considere EDO linear geral de ordem n, :

1 n n m

d y

dy

d u

a

a y

b

− −

+

K

+

=

+

Ordem do Modelo da Função de Transferência

64

Aplicando TL, e assumindo que as condições iniciais são zero. Reordenando, resulta na seguinte FT:

1 ₁ 1 0 1 1 ₁ 1 0

(4-39)

n _n n _n m _m m m _m

a

a y

b

dt

d

u

du

b

b u

dt

− ₋ − − ₋

+

=

+

+ +

+

K

(8.3)

( )

_{( )}

0 0

(4-40)

m i i i n i i i

b s

Y s

G s

U s

a s

= =

=

∑

(8.4)

(33)

A ordem da FT é definida para ser a ordem do polinômio do denominador.

obs.: A ordem da FT do denominador é igual á ordem da EDO.

Definição

65

obs.: A ordem da FT do denominador é igual á ordem da EDO. Viabilidade Física:

Para qualquer sistema físico, em (18). Caso contrário, o sistema de resposta a uma entrada degrau será um impulso.(Isso não pode acontecer)

Exemplo:

n

≥

m

Exemplo:

0 1 0

and step change in

(4-41)

du

a y

b

b u

u

dt

=

+

e mudança degrau em u

Conversão entre

Conversão entre ttipos

ipos de

de m

modelo

odelos

s

66 Primeiro Modelo (Princípios) Linearização Modelo variável de estado Modelo Função de Transferência Transformada Laplace Realização Linear Não-linear Realização

(34)

• Até agora, temos enfatizado modelos lineares que podem ser transformados em modelos FT.

9. Linearização

9. Linearização de Modelos não lineares

de Modelos não lineares

67

• Mas a maioria dos processos físicos e modelos da engenharia química são modelos não-lineares.

- que durante um pequeno intervalo nas condições de operação, o comportamento pode ser aproximadamente linear.

- Conclusão: aproximações lineares podem ser úteis.

• A aproximação de modelos lineares podem ser obtidas analiticamente através da técnica chamada de "linearização“, baseada na série de Taylor de uma função não-linear sobre um ponto de operação

especificado.

• Uma boa aproximação se obtém-se perto de um determinado ponto de operação.

• O Ganho e a constante de tempo podem mudar com o ponto de operação. Considere um modelo dinâmico não linear, relacionando 2 variáveis do

68

9. Linearização

9. Linearização de Modelos não lineares

de Modelos não lineares

)

,

(

y

u

f

dt

dy

₌

(9.1) (9.2) ) ( ) ( ) , ( ) , ( , , u u u f y y y f u y f u y f u y u y − ∂ ∂ + − ∂ ∂ + ≅

Considere um modelo dinâmico não linear, relacionando 2 variáveis do processo, u e y:

Expansão da Série de Taylor:

u u f y y f dt y d s s ′ ∂ ∂ + ′ ∂ ∂ = ′ _(9.3) Equilíbrio (ponto de operação)

Substituindo e subtraindo a equação do estado de equilíbrio, o modelo dinâmico linearizado é:

(35)

69

Linearização de Modelos não lineares

Aproximação Linear da Expansão de Série de Taylor, truncada para primeira ordem:

) ( ... ) ( ) ( ) ,..., , ( ) ( 0 0 0 2 2 2 1 1 1 2 1 n no x x n o x x o x x o n o o x x x g x x x g x x x g x x x g t y ⋅ − ∂ ∂ + + − ⋅ ∂ ∂ + − ⋅ ∂ ∂ + = = = =

A expansão em Serie de Taylor em torno do ponto de operação x₁,x₂,...,x_n, é útil para se obter uma aproximação linear da função não linear

0 0 0 x x x x x x= = = Exemplo Exemplo 6:6: q: vazão de saída,

q_i: vazão de entrada (perturbação) h: nível do tanque (VC)

q

dt

dh

A

=

_i

−

_(6.1) q h V q_i 70 Solução: usando T.L (desvios)

Supondo “q” é constante, de modo que , obtém-se:

∆

q

=

0 q

q

dt

A

=

_i

−

_(6.1) 0

( )

_i

( )

AsH s

=

q s

−

q s

Bomba

As

s

q

s

AsH

_i

1 )

(

Q

H(s)

),

(

)

(

i

=

→

=

Integrador puro (rampa), para a

mudança degrau de qi

(36)

71 q_i q h V Exemplo Exemplo 6b6b::

R_V: resistência linear na linha

h

R

q

V

1 =

Caso a) A vazão de saída, q, é função linear da resistência da válvula e h, temos:

1 dh

57)

-(2

1 h

R

q

dt

dh

A

v i

−

=

P

=

p

+

ρ

gh

EDO linear

72 q_i q h V Exemplo Exemplo 6b6b::

h

C

q

=

_v*

Caso b) A vazão de saída é função do C_v e h

pressure

ambient

:

P

-P

=

q

C

_v* _a _a

gh

P

=

p

+

ρ

pressão ambiente q_i

elemento não linear

*

(2-61)

i v i v

dh

A

q

C

ρ

gh

q

C

h

dt

= −

EDO NÃO Linear

(37)

Linearizando o termo anterior e substituindo-o na eq. (3.1) , tem-se:

73 (6.2)

Caso b) A vazão de saída é função do C_v e h .... Cont.

( )

_





Λ





+

=

q

Cv

h

q

f

v

a equação (3.1) em estado de equilíbrio é:

Subtraindo (3.3) de (3.2) e fazendo , notando que

q

_i

′ = −

q

_i

q

_i

dh

=

dh

′

0 = −

q

_i

C

_v

h

(6.3

(7)

)

( )

_









+

=

h

q

h

q

f

2

Subtraindo (3.3) de (3.2) e fazendo , notando que resulta o modelo linearizado: i i i