Matemática 11 a a - Testes

(1)

TESTE DIAGNÓSTICO

Parte I

A Parte I deste teste é constituída por cinco perguntas de “escolha múlti- pla”. Na resposta, indique apenas a letra que corresponde à opção certa.

Observe a seguinte sequência de figuras.

trabalhadores (t) Número de dias que leva

a apanha da uva (d)

A expressão do termo geral da sequência do número de retângulos de cada figura é:

(A) 4

n

– 2 (B) 4

n

+ 2 (C) 6

n

(D) 6

n

+ 4

GAVE Banco de Itens (adaptado)

Considere as retas

r

,

s

e

t

representadas no referencial o.m. O

xy

e designemos os seus declives, respetivamente por

m

r,

m

s e

m

t.

Das seguintes afirmações, apenas uma é falsa. Indique-a:

r

•

a

,

b

e

c

são as medidas de comprimento dos seus lados, em cm. •

x

é a medida de amplitude de um dos seus ângulos, em graus.

x Apresentam-se em seguida quatro igualdades. Apenas uma está cor-

reta. Qual? (A) sen

x

=

100 50 25

1 2 4

3.

Para planear a apanha da uva, na quinta de Alzubar, construiu-se a tabela apresentada abaixo:

As variáveis

t

e

d

referem-se a grandezas inversamente proporcionais.

Número de

Na figura está representado um triângulo retângulo em que:

4.

b

c

1.

2.

Qual a expressão analítica que define a relação entre o número de trabalhadores (

t

) e o número de dias (

d

) necessário para apanhar a uva, na quinta de Alzubar?

t

d

= 100 (D)

t

*

d

= 100 (A) 100

t

=

d

(B)

t

+

d

= 1 (C)

b

c

a

b

a

a x (A)

m

t *

m

s > 0 t (B)

m

r *

m

s > 0 (C)

m

t <

m

r (D)

m

r >

m

s s y O (C) sen

x

= (B) sen

x

= (D) sen

x

=

(2)

Para determinar a altura (

h

) de uma antena cilíndrica, o Paulo aplicou o que aprendeu nas aulas de Matemática, porque não conseguia che- gar ao ponto mais alto dessa antena.

No momento em que a amplitude do ângulo que os raios solares faziam com o chão era de 43º, parte da sombra da antena estava pro- jetada sobre um terreno irregular e, por isso, não podia ser medida. Nesse instante, o Paulo colocou uma vara perpendicularmente ao chão, de forma que as extremidades das sombras da vara e da antena coincidissem. A vara, com 1,8 m de altura, estava a 14 m de distância da antena.

h

1,8 m 14 m

Na figura acima, que não está desenhada à escala, pode ver um esquema que pretende ilustrar a situação descrita.

Qual é a altura (

h

) da antena?

Na sua resposta, indique o resultado arredondado às unidades e a unidade de medida. Apresente todos os cálculos que efetuar. Sempre que, nos cálculos intermédios, proce- der a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais.

Exame Nacional de Matemática A, 1.ª fase, 2.ª chamada, 2007

5.

6.

6.1.

6.2.

No referencial da figura estão definidas graficamente duas funções

7.

quadráticas,

f

e

g

. y 4 f 2 1 2 – 2 g – 4

Qual dos seguintes conjuntos pode ser a solução da condição

f

(

x

) *

g

(

x

) ≤ 0? O x – 2 – 1 43º (B) [– 2, 2] (D) R – ]– 2, – 1[ (A) ]– ?, – 2] ∂ [2, + ?[ (C) [– 2, – 1] Parte II

Responda às questões da Parte II com frases completas, apresentando os cálculos, as justificações e os raciocínios que utilizou na resolução.

No mesmo referencial, desenhe gráficos de: a) uma proporcionalidade direta de constante 2; b) uma proporcionalidade inversa de constante 3.

(3)

9.1. Determine as coordenadas dos pontos C e H.

9.2. Utilizando as letras assinaladas na figura, indique: » 9.2.1. D – FB » » 9.2.2. EG + OA » » 9.2.3. OA + OB

9.3. Escreva uma equação das retas AC e FB.

9.4. Escreva uma equação do plano 9.4.1. BFH.

9.4.2. que passa em B e é paralelo ao plano ACE.

9.5. Determine o perímetro do quadrado obtido por interseção do prisma com o plano

z

= 2.

9.6. Calcule a área da secção produzida no prisma pelo plano BCH.

i j k G C Questões 1. a 5. 6.1. 6.2. 7. 8.1. 8.2. 8.3. 8.4. 9.1. 9.2. 9.3. 9.4. 9.5. 9.6. Total Cotação 5 * 10 15 10 15 10 15 10 15 10 10 10 10 10 10 200 — —

[ABCD] é um retângulo de lados AB = 7 cm e AD = 5 cm

Sobre cada lado do retângulo, considerem-se os pontos M, N, P e Q — — — —

tais que AM = BN = CP = DQ =

x

, em que 0 <

x

< 5.

8.

8.1. 8.2. 8.3. 8.4.

9.

B N C A M Q D G

Demonstre que [MNPQ] é um paralelogramo.

Exprima em função de

x

, a área A(

x

) de [MNPQ] e verifique que A(

x

) = 2(

x

– 3)2 + 17

Mostre que 17 é o valor mínimo da função definida por A(

x

). Qual é o valor máximo?

Que valor atribuir a

x

para que A(

x

) = 19?

O referencial o.n. (O, » , » , ») tem origem no centro da base [ABCD] do prisma quadrangular regular.

z F B y H E (1,0,3) (1,0,0) A x D O

(4)

21

TESTE 1

Parte I

A Parte I deste teste é constituída por perguntas de “escolha múltipla”. Indique apenas a letra que corresponde à resposta certa (mas certifique- se que saberia justificar a sua escolha se tal lhe fosse solicitado).

1.

O arco AB de uma circunferência tem de comprimento 13 cm e é definido por um ângulo ao centro de 2 rad.

O comprimento do raio dessa circunferência é:

(A)

13 cm

(B)

26 cm

(C)

6,5 cm

(D)

2 p cm

2.

Das afirmações seguintes, apenas uma é falsa. Qual é?

(A) O seno do dobro de um ângulo é o dobro do seno desse ângulo. (B) Sendo a do terceiro quadrante, sen a . cos a > O.

(C) Sendo a < b, então tg a < tg b, quaisquer que sejam os ângulos a e b pertencentes a [0º, 90º[.

(D) Há ângulos cuja tangente é maior do que 1.

3.

Um ponto P do plano fica determinado quando se conhece a distância de P à origem O do referencial, e o ângulo b de lado origem O

x

e lado

•

5 4

Uma gaivota de cima de um rochedo R vê um peixe no mar. Num voo em linha reta, apa-

nha-o em P e, em seguida e também em linha reta, vai para cima da falésia F onde o come. A altura da falésia

BF

é de 100 m. TEMA 1 P α

4.

5.

(A) a- (C) a- y O "2b "2,

Na figura está representado o círculo trigonométrico e um triângulo [OPR]. O ponto P desloca-se ao longo da cir- cunferência, no primeiro quadrante. O ponto R desloca-se ao longo do eixo O

x

, de tal modo que o triângulo [OPR] é sempre isósceles. , "2 "2b 2 2 p, são:

6.

"2b extremidade OP.

As coordenadas (

x

,

y

) do ponto P, quando OP = 3 e b = "2b , - 2 "2 2 "2, - 3 2 x R

Sendo a a amplitude, em radianos, do ângulo ROP, qual das expres- sões seguintes dá a área do triângulo [OPR], em função de a?

(A) sen a.cos a (B) 2.sen a.cos a

. 11 + cos a2 sen a 2 1 + sen a cos a 2 (C) . (D)

Indique as soluções da equação 3 – 2 sen

x

= 4 que pertencem ao intervalo [0, 2p]. 7 e pπ p 6 p 3 (C) p e 7 6 11 6 p 6 pπ (D) 5 p (A) e 4 p 6 (B) e 5 6 3 Parte II

Responda às questões da Parte II com frases completas, apresentando os cálculos, as justificações e os raciocínios que utilizou na resolução. • (B) a- (D) a- 3 2 3 2 F B R 90º A 25º 120º 90º P 3 2 1 km

(5)

TEMA 1 A que distância

PB

da falésia a gaivota apanha o peixe?

Qual foi a distância percorrida pela gaivota desde que parte para apanhar o peixe e o momento em que para para o comer?

(Apresente resultados aproximados a dm.)

Nota: tanto em

h

como em

m

, o argumento da função cosseno está expresso em radianos.

Verifique que o ponteiro dos minutos tem mais 20 cm do que o ponteiro das horas.

Mostre que 3600 é período da função

m

e interprete este valor no contexto da situação apresentada.

9.3. Seja A a extremidade do ponteiro das horas e seja B a extremidade do ponteiro dos minutos.

Tal como a figura junta ilustra, passado pouco tempo das zero horas, a reta AB é paralela à barra na qual o relógio está apoiado.

Pouco antes da 1 hora (da manhã), há outro instante em que isso acontece.

Determine-o, apresentando o resultado em horas, minutos e segundos (segundos arredondados às unidades).

Sugestão: equacione o problema e, recorrendo à sua calculadora, resolva graficamente a equação obtida.

Teste Intermédio de Matemática B, 11.º ano, maio, 2006 FIM

Questões 1. a 5. 6.1. 6.2. 7.1. 7.2. 8. 9.1. 9.2 9.3 Total

Cotação 5 * 10 15 20 20 20 20 15 20 20 200

1800 p

• a distância (em metros), da extremidade do ponteiro dos minutos à

cos a tb A D 9.1. 1 1 6.1. 6.2.

7.

7.1. 7.2.

8.

9.

barra, é dada por

m

(

t

) = 1 + 7 10

3 2

p α

3 2 B 1 C

Determine

f

apb e interprete geometricamente o resultado obtido, p 2 5 13 2 cos Qp + aR – sen (3p + a) + tg (p – a) p 3 2 2

caracterizando o quadrilátero que se obtém para a = .

Sendo cos a = e – p_{< a < 0 determine o valor exato de}

2

Seja

f

a função, de domínio Tp , S, definida por

f

(

x

) = sen

x

(1 – cos

x

) e seja [ABCD] um trapézio isósceles em que AB = BC = CD = 1 e

a é a amplitude do ângulo ABC Qa å Tp, p SR.

Mostre que para cada a å Tp_{, S, a área do} trapézio é igual a

f

(a).

21 600 p 11 10 8 7 cos a tb

Na figura está representado um relógio de uma estação de caminho de ferro. O mostra- dor é um círculo e está apoiado numa barra.

9 Sabe-se que,

t

segundos após as zero horas, • a distância (em metros), da extremidade

do ponteiro das horas à barra, é dada por

5 10 9.2. A B 12 6 1 2 3 4 5

h

(

t

) = 1 +

(6)

23

TESTE 2

Parte I

Considere as seguintes afirmações:

(I) Sendo a e b dois ângulos quaisquer, se a < b então tg a < tg b. (II) Sendo a e b dois ângulos quaisquer se a < b e sen a > sen b então

a e b pertencem ao 3.º ou 4.º quadrantes.

(III) Qualquer que seja a amplitude a de um ângulo existe uma ampli- tude b tal que sen a + cos b = 0.

(A) São todas falsas. (B) São todas verdadeiras. (C) Só a primeira é falsa. (D) Só a terceira é verdadeira.

Na figura estão representados em referencial o.m.

x

O

y

:

y A

4.

α x TEMA 1 • um quarto de círculo, de centro na origem e raio 1.

• uma semirreta paralela ao eixo O

y

, com origem no ponto (1, 0). • um ponto A pertencente a esta semirreta.

• um ângulo de amplitude a, cujo lado origem é o semieixo O

x

, e cujo •

lado extremidade é a semirreta OA.

Qual das expressões seguintes representa a área da região som- breada, em função de a? •

1.

2.

tg a 2 tg a 2 (A) p + (B) p + (D) p + 4 2 tg a 2 tg a p ₊ 4 (C)

3.

Considere num referencial o.n.

x

O

y

as retas

p

e

q

, definidas respetivamente por:

p

:

y

= - 2

x

- 3

q

: (

x

,

y

) = (8, 5) +

k

(- 2, 4),

k

å R

Qual é a amplitude, em graus, do ângulo formado pelas duas retas:

(A) 0º

(B)

180º

(C)

90º

(D)

45º

Considere num referencial o.n. O

xyz

, dois planos concorrentes a e b de equações

a:

x

-

y

+ 3

z

= 1 e b:

x

+

y

- 4

z

= 7

Seja

r

a reta de interseção dos dois planos. Qual dos pontos seguintes pertence a

r

?

(A)

(4, 3, 0)

(B)

(5, 5, 0)

(C)

(1, 0, 0)

(D)

(0, 0,

-

1)

(7)

TEMA 1 Os pontos A e B são os pontos de interseção da circunferência com o semieixo positivo O

x

e com o semieixo negativo O

y

, respetivamente. Considere que um ponto Q se desloca ao longo do arco AB, nunca coincidindo com o ponto A, nem com o ponto B.

Para cada posição do ponto Q, sabe-se que: • o ponto P é o ponto do eixo O

y

tal que

QO = QP

• a reta

s

é a mediatriz do segmento [OP]

• o ponto S é o ponto de interseção da reta

s

com o eixo O

y

• a é a amplitude, em radianos, do ângulo AOQ Qa å T- , 0S R

Qual é o valor máximo que a função objetivo, definida por

z

=

x

+

y

, pode alcançar nesta região?

(A) 7 (B) 9 (C) 11 (D) 13

Teste intermédio de matemática A, 11.º ano, maio 2007

Parte II

Seja q um número real, pertencente ao intervalo T- Determine o valor de (sen q + cos q)2.

Considere agora o caso em que a abcissa do ponto Q é 12.

Determine a equação reduzida da reta tangente à circunferência no ponto Q. d d y

x

≥ 0

y

≥ 0 d d a d d c b

x

≤ 5 , 0S, definida por Seja

g

a função, de domínio T -

y

≤ 6 2

x

+

y

≤ 12 O p 2 x p 2

g

(

x

) = - 169 sen

x

cos

x

Resolva os itens seguintes sem recorrer à calculadora.

, 0S, tal que

g

(q) = 13. Mostre que a área do triângulo [OPQ] é dada por

g

(a).

Determine o valor de a, pertencente ao intervalo T-

se tem

g

(a) = 169 sen2 a 2

p , 0S, para o qual 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. y O α B P

6.

Na figura, está representada, em referencial o.n.

x

O

y

, a circunfe- rência de centro 0 e raio 13.

s A Q p 2 x

5.

Na figura junta está representada a região admissível de um pro-

(8)

25

Na figura está representado, num referencial o.n. O

xyz

, um octaedro

8.

[ABCDEF], dual do cubo [PQRSOTUV].

z A E Q B F 1 2 3 4 T x Sabe-se que:

• O vértice B tem coordenadas (1, 0, 1); • O vértice E tem coordenadas (0, 1, 1); • O vértice F pertence ao plano

x

O

y

; • O vértice A tem coordenadas (1, 1, 2).

Para cada um dos seguintes conjuntos de pontos, escreva a(s) equa- ção(ões) cartesiana(s) que o define(m):

a) Plano ACD;

b) Plano perpendicular ao plano ACD e que passa por B; c) Reta paralela a CD e que passa no ponto F;

d) Superfície esférica que passa nos vértices do octaedro. Determine o volume do octaedro dado.

Considere um ponto X pertencente à aresta UR do cubo do qual se

»

sabe que

OS . OX

= 6. Determine as coordenadas de X.

TEMA 1 Na figura está representado num referencial o.n. O

xy

o quadrado [ABCO]. y

7.

7.1. 7.2. 7.3. P A R E D x 6 5 4 3 2 1 O B H G C 5 6 S V y O C F U

• As coordenadas do vértice A são (0, 5); • AE = BH = CG = OF = 1.

Mostre, recorrendo às propriedades que conhece sobre vetores, que [EFGH] é também um quadrado.

FIM

Questões 1. a 5. 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 7.1.1. 7.1.2. 7.1.3. 7.1.4. 7.2. 7.3. 8. Total

(9)

TESTE 3

Parte I

Considere a função

g

, real de variável real, definida por

g

(

x

) = cos(

x

+

p

) - 1. O contradomínio de

g

é

(A) [- 2, 0] (B) [- 1 + p, 1 + p]

– 2 – 1

(C) [- 1, 1] (D) ]- 2, 0[

– 1 Considere, num referencial o.n. do espaço, o vetor

»

(2, 1, - 4), o

ponto A(1, 1, 1) e a família de planos a: -

kx

+ 2

y

+ 3

z

+ 1 = 0, com

k

å R. Então, para que A +

»

pertença a um plano daquela família, terá

1 3

Parte II

Seja

h

a função definida, em R, por

h

(

x

) = 5 - 2

x

2 e

t

a reta tangente ao gráfico de

h

no

ponto de abcissa . Então, a inclinação da reta

t

é

(A)

p

rad (B) rad (C) rad (D) rad

TEMA 2

5.

Na figura, a curva C representa a função derivada de uma função

f

.

Então, podemos concluir que, no intervalo [- 2, 1], a função

f

y 2 c 1 x 1 2 O

1.

2.

3.

4.

v

(A) é positiva. (B) é constante.

(C) tem dois zeros. (D) é crescente.

v

de ser (A) k = 3 4 (D) k = - 4 3 (B) k = 4 3 (C) k = - ≤ 0 é, em R, O conjunto-solução da condição x x + 2 + 5 (A) [- 5, - 2] (B) ]- ?, - 5[∂[- 2, + ?[ (C) ]- 5, - 2[ (D) ]- 5, - 2]

6.

Considere a função real de variável real definida por

1 4 x2 - 3x + 2 3x - x3

f

(

x

) = 2p 3 p 4

Determine, analiticamente, os intervalos em que o gráfico da função se situa abaixo do eixo O

x

.

3p 4

(10)

35

Um derrame de crude, de grandes proporções, causado pelo encalha- mento de um petroleiro, vai ser combatido com envolvimento de todos os meios disponíveis para tentar evitar sérios danos económi- cos e ambientais. Suponha que o custo C da remoção de

x

% do crude derramado é dado, em milhões de €, pela seguinte fórmula:

- 0,5x x - 100 Qual o domínio de C(

_x

)?

8.4. Qual o custo da remoção de 50% do crude derramado? E de 60%? E

de 90%?

Comente a possibilidade de ser removida a totalidade do crude derramado (recorra à calculadora para fundamentar a sua resposta). Supondo que a verba disponibilizada pelas autoridades para a opera- ção não ultrapassaria 1,5 milhões de €, que percentagem de crude poderia ser removida? (Use processos exclusivamente analíticos.) Recorrendo à calculadora, obtenha os valores de C'(70), C'(80) e C'(95) e interprete-os no contexto do problema.

Questões 1. a 5. 6. 7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 8.1. 8.2. 8.3. 8.4. Total

Cotação 5 * 10 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 200

TEMA 2 Considere o plano a definido pela equação

x

+

y

-

z

- 4 = 0, a reta

r

definida pelas equações cartesianas x + 1 = 2 –

y

=

z

e o ponto P (2, - 1, 3). Indique dois pontos distintos da reta

_r

e outros dois do plano

a

. Diga, justificando, qual é a posição relativa da reta em relação ao plano.

Defina, por uma equação cartesiana, o plano paralelo ao plano

_x

O

_z

a que pertence o ponto P.

Determine o ângulo formado pelos vetores OP e

»

= (- 2, - 1, 0) (apresente o resultado em graus, arredondado às unidades).

FIM

8.

8.1. 8.2. 8.3.

7.

7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 2 C(

x

) = »

_v

(11)

TESTE 4

Parte I

Numa certa unidade, a área do quadrado, de centro O, [ABCD] tem área

a

.

» » Em função de

a

o valor de AB .OD é: (A) a

A taxa de variação média de uma função

g

no intervalo [

a

,

b

] é nula, então pode concluir-se que:

(A)

g

é constante em [

a

,

b

] (B)

g

(

a

) =

b

e

g

(

b

) =

a

(C)

g

(

a

) =

g

(

b

) = 0

(D)

g

toma o mesmo valor nos extremos do intervalo. Na figura está representada parte do

gráfico de uma função

f

derivável em R e a reta tangente à curva no ponto de abcissa 0.

Qual pode ser o valor de quando

h

tende para zero?

(B)

f

(2) (C) - 5 (D) 5 O – 1 TEMA 2 6 (C) y 1 – 2 – 1 – 1 – 2 – 3 y 4 2 O – 4 – 8 – 12 (D) – 6 x _{2 4} 1 2 O x

1.

2.

3.

D C O A B p S (D) - (B) - a

a

2

tem no intervalo T - p,

4.

5.

a 2 (C) 3 2 1 2 A condição cos

x

= - (A) 2 soluções. (C) 3 soluções. (B) 4 soluções.

(D) um número infinito de soluções.

A figura representa o gráfico da função

f

– 3 Qual dos seguintes poderá representar

o gráfico da função definida por

f

(2

x

)?

(A) (B) y 1 x x y 2 1 O – 1 – 2 y 1 O – 1 1 2 1 x f 1h2 - f 102 h – 1 – 2 – 3 O y 5 4 3 2 1 – 4 – 3 – 2 – 1 c 1 2 3 4 1 f102 x (A) 1 2

(12)

37

Parte II

Seja a um ângulo no círculo trigonométrico e A o ponto de interseção do lado extremidade do ângulo a com a circunferência que delimita o círculo.

Mostre que, quando a 0

k

p,

k

å Z, a tangente à referida circunferência no ponto A tem equação

y

= –

x

+ .

O sinal de uma função cúbica

f

, definida em R é dado pelo seguinte quadro:

x

sinal de f(x)

Pronuncie-se sobre a existência da função inversa de

f

. Determine o domínio das funções

g

e

h

definidas por

1 f 1x2

Determine a equação das assíntotas da função

h

. Proponha um gráfico para a função |

f

|.

Sabendo que

f

(1) = 8, escreva a expressão algébrica

f

(

x

).

Por via exclusivamente analítica, determine os extremos relativos da função

f

.

(Ao caso de não ter determinado, na alínea anterior, a expressão

f

(

x

) considere

f

(

x

) = - 2

x

(

x

2 - 4).) Questões 1. a 5. 6. 7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6. 8.1. 8.2. 8.3. Total Cotação 5 * 10 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 200

6.

7.

7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6. cos a 1 sen a sen a 2 – ? – 3 0 3 + ? 0 0 – 0 +

g

(

x

) =

"f 1x2

e

h

(

x

) = + – 2 TEMA 2

8.

Um peça metálica tem a forma de um trapézio em que

AB = BC = AD = 2 dm

A B

α

C D

Designe por a a medida da amplitude, em radianos, do ângulo agudo BCD.

8.1. Prove que a área A(a) do triângulo é dada em dm2 por A(a) = 4 sen a (1 + cos a)

8.2. Sabendo que cosap_{- ab = 0,4, determine o valor exato de A(a).}

8.3. Determine o valor de a para o qual A(a) = Aap - ab.

(13)

TESTE 5

Parte I

e a å 4.º Q. Qual é o valor de tg(a)?

(B) -

x Considere um referencial o.n. O

xyz

do espaço. Seja a o plano de

equação

x

+ 4

y

+

z

= 6 e a reta

r

, definida por

y

= 4

x

+ 3 ‹

y

- 3 = 4

z

. (A) r é paralela ao plano a.

(B) r é perpendicular ao plano a. (C) r é oblíqua em relação ao plano a. (D) r interseta o plano no ponto (0, 3, 0).

Num certo problema de programação linear pretende-se minimizar a função objetivo, a qual é definida por L = 3

x

+

y

.

Na figura está representada a região admissível.

Qual é a solução desse problema? (A) x = 1 e y = 1 (B) x = 0 e y = 3 (C) x = 0 e y = 5 (D) x = 3 e y = 5 TEMA 3 Seja

f

a função cujo gráfico está representado na figura.

Seja

g

a função de domínio R, definida por

g

(

x

) =

x

2 -

x

.

y 4

4.

5.

2 2 "2 3 Se cos ap_{+ ab =} – 2 – 1 A B a 1 2 3 4 5 6 C 3 2 1 O – 1 – 2 – 3 "2 4 "2 4 2 "2 3

1.

2.

3.

1 3 (A) (C) - (D)

Seja (

x

n) a sucessão de termo geral

x

n = a1 +

Qual é o valor de

g

o

f

(4)? (O símbolo o designa a composição de fun- ções.)

(A) 3 (B) 0 (C) - 1 (D) não existe

Seja (

y

n) a sucessão de termo geral

y

n = 1 + onde

e

é número de 1b n n

g

x

n D = (3, 5) x C = (0, 5) B = (0, 3) A = (1, 1) y 5 4 3 2 1 O (B) 1 Neper.

Qual é o valor de lim

y

n?

(14)

TEMA 3 • O ponto A(6, 0, 0) • O ponto B(0, 0, 5) • O ponto C(1, 2, 3) • A reta AC • A reta AB

Justifique que as retas AC e BC são complanares e mostre que o plano a por elas definido, admite como equação 10

x

+ 7

y

+ 12

z

= 60. Determine uma equação vetorial da reta interseção do plano a com o plano

x

O

y

.

Determine o volume da pirâmide [OBAC].

Determine, com aproximação às décimas, o ângulo das retas AC e BC em radianos.

Suponha que o valor das vendas diárias (em dólares)

t

dias após o tér- mino de uma campanha publicitária seja dado por

V(

t

) = 1000 +

Determine, analiticamente, para que valores de

t

, o valor das vendas é superior a 1100 dólares.

Qual é a taxa de variação do valor das vendas no terceiro dia?

Que lhe parece que acontecerá ao valor das vendas passado muitos e muitos dias após o término da campanha publicitária.

(

x

- 3)2 +

y

2 + (

z

+ 1)2 = 28. Para um certo valor de a pertencente ao intervalo T de coordenadas

, p S , o ponto T,

Parte II

Considere, num referencial o.n. O

xyz

, a superfície esférica E, de equação

6.

7.

7.1. 7.2. 7.3. 7.4.

8.

8.1. 8.2. 8.3.

p

2

(3tg a + 3; sen a; - 1 + cosa) pertence à superfície esférica E. Determine os valores numéricos das coordenadas do ponto T.

Considere num referencial 0.n. O

xyz

:

z B 5 C O = (0, 0) 1 2 y O A x

400 t + 1

com

t

≥ 0

(15)

Considere:

• a função

f

, de domínio R\{3} definida por

f

(

x

) = 2 + • a função

g

, de domínio R, definida por

g

(

x

) =

x

3 - 4

x

2.

Resolva os itens 4.1 e 4.2, usando exclusivamente métodos analíticos. Nota: a calculadora pode ser utilizada em cálculos numéricos.

Seja P, o ponto do gráfico da função

f

que tem abcissa igual a 3. Seja

r

, a reta tangente ao gráfico da função

f

no ponto P.

Determine a equação reduzida da reta

r

.

Na figura está representado num referencial o.n. parte do gráfico da função

g

. As abcissas dos pontos O e B são os zeros de

g

e a ordenada de A é o mínimo relativo de

g

. Determine a área do triângulo [OAB].

y 4 2 x Questões 1. a 5. 6. 7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 8.1. 8.2. 9.1. 9.2. 9.3. Total Cotação 5 * 10 20 20 10 10 10 15 15 10 20 10 10 200 TEMA 3 9.3. A equação

f

(

x

) -

g

(

x

) = 0 tem exatamente duas soluções, uma posi-

tiva outra negativa. Determine a solução positiva, utilizando as capa- cidades gráficas da sua calculadora. Apresente essa solução arredon- dada às centésimas. Apresente o(s) gráfico(s) visualizados na calculadora e assinale o ponto relevante para a resolução do problema. FIM

9.

9.1. 9.2.

3

.

x

– 1 g O O – 2 - 4 – 6 – 8 – 10 a 1 2 3 c A B 4 5