segmentos proporcionais teorema de tales.docx

Prefeitura Municipal de Paracambi

Prefeitura Municipal de Paracambi

Escola Municipal Hortência Phirro do Valle

Escola Municipal Hortência Phirro do Valle

Professora:

Professora: Renata

Renata Ramalho

Ramalho Aluno(a):__________________

Aluno(a):___________________

_ n°:

n°: ______

______ Turma:_____

Turma:_____ 9°

9° ano

ano

1.

1. RAZÃO

RAZÃO ENTRE

ENTRE SEGMENTOS:

SEGMENTOS:

⇒

⇒

Sejam os segmentos

Sejam os segmentos

ee

::

A

A

B

B

C

C

D

D

2

2 cm

cm

5

5 cm

cm

♣

♣ A razão entre  A razão entre e e seráserá

::

ou seja ou seja

♣

♣  A razão entre  A razão entre e e seráserá

::

ou seja ou seja

Definição:

Definição:

⇒

⇒

A razão entre d

A razão entre dois segmentos é o

ois segmentos é o quociente entre as

quociente entre as

suas medidas, tomadas na mesma unidade.

suas medidas, tomadas na mesma unidade.

2. SEGMENTOS PROPORCIONAIS:

2. SEGMENTOS PROPORCIONAIS:

⇒

⇒

Sejam os segmentos

Sejam os segmentos

da figurada figura

::

A

A

B

B

E

E

F

F

2

2 cm

cm

4

4 cm

cm

C

C

D

D

G

G

H

H

3

3 cm

cm

6

6 cm

cm

Temos:

Temos:

☞

☞Como Como ; ; então então é é umauma

Proporção.

Proporção.

☎

☎

 Lembrando:

 Lembrando:

Numa proporção, o produto dos extremosNuma proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.

é igual ao produto dos meios.

☎

☎

  Assim:

  Assim:

ee formam uma proporção, poisformam uma proporção, pois ..

3.

3. FEIXE DE

FEIXE DE RETAS PA

RETAS PARALELAS:

RALELAS:

⇒

⇒ Chama-seChama-se

feixe de paralelas

feixe de paralelas

o conjunto de três ou maiso conjunto de três ou mais retas paralelas de um plano. Se uma reta intercepta retas paralelas de um plano. Se uma reta intercepta essas paralelas, ela se chama Transversal.

essas paralelas, ela se chama Transversal.

r r

aa

b

b

cc

d

d

transversal

transversal

♣ ♣

  PROPRIEDADE:

  PROPRIEDADE:

Quando um feixe de paralelas determina segmentos Quando um feixe de paralelas determina segmentos congruentes sobre uma transversal, então determinará congruentes sobre uma transversal, então determinará segmentos congruentes sobre qualquer outra transversal. segmentos congruentes sobre qualquer outra transversal.

4.

4. TEOREMA

TEOREMA DE

DE TALES:

TALES:

⇒

⇒ Quando três retas paralelas são cortadas por duas retasQuando três retas paralelas são cortadas por duas retas transversais, os segmentos determinados numa das transversais, os segmentos determinados numa das retas transversais são proporcionais aos segmentos retas transversais são proporcionais aos segmentos determinados na outra

determinados na outra

..

☞

☞

Veja a

Veja a prova d

prova dessa afirmação:

essa afirmação:

s

s

tt

A

A

D

D

aa

u

u

vv

u

u

v

v

b

b

B

B u

u

v

v E

E

U

U

vv

C

C u

u

v

v F

F

C

C

⇒

⇒ Medindo Medindo os os segmentos segmentos e e na na unidadeunidade

u,

u,

temos

temos

::

⇒

⇒ Pelos Pelos pontos pontos de de divisão divisão dos dos segmentos segmentos ee

,,

traçamos paralelas às retas do feixe. Essas paralelas traçamos paralelas às retas do feixe. Essas paralelas dividem

dividem e e em em segmentos segmentos congruentescongruentes

..

⇒

⇒ Comparando Comparando e e , , temostemos

::

 AB  AB CDCD  AB  AB CDCD cm cm cm cm CD CD  AB  AB 5 5 2 2   5 5 2 2   CD CD  AB  AB CD CD _ABAB cm cm cm cm  AB  AB CD CD 2 2 5 5   2 2 5 5    AB  AB CD CD 6 6 4 4 :: 6 6 4 4 3 3 2 2 :: 3 3 2 2













































GH  GH   EF   EF  razão razão cm cm GH  GH  cm cm  EF   EF  CD CD  AB  AB razão razão cm cm CD CD cm cm  AB  AB 6 6 4 4 3 3 2 2   GH  GH   EF   EF  CD CD  AB  AB   3 3 2 2 6 6 4 4 12 12 4 4 3 3 6 6 2 2_{   } c c b b a a//// ////  AB  AB BBC C 

  

11 3 3 2 2 :: 3 3 2 2























 B  BC C   AB  AB  Então  Então u u  B  BC C  u u  AB  AB  AB  AB BBC C   DE 

 DE  EF EF 

  

22 3 3 2 2 :: 3 3 2 2























 EF   EF   DE   DE   Então  Então v v  EF   EF  v v  DE   DE 

  

11

  

₂₂

Exemplo 1:

Calcular

x,

sabendo que .

a

3

x

b

12

16

c

Solução:

Exemplo 2:

Calcular

x,

sabendo que .

a

b

c

24

18

9

x

Solução:

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1. (FRANCO)

Calcule

x,

 sabendo que

:

a)

a

x

3

b

8

4

c

b)

a

2x

 _–

 2

4

b

3x + 1

7

c

c)

a

x

9

b

x + 2

12

c

d)

a

b

c

x

6

1, 8

4

e)

a

b

c

10

6

x

4

f)

a

x

5

b

7, 5

6

c

 EF   DE   BC   AB  c b a// // 4 12 48 48 12 16 3 . 12 16 12 3           x  x  x  x  x c b a// // 12 18 216 216 18 24 9 . 18 24 18 9           x  x  x  x  x c b a// //

g)

a

3

b

6

x

6

c

h)

a

8

b

10

x

c

6

2. (FRANCO)

Calcule

x, y

e

z

sabendo que

:

a)

a

b

c

d

x

6

y

25

5

16

b)

a

9 x

3

b

z

4

2

c

12

y

4

d

5. TEOREMA DE TALES NOS TRIÂNGULOS:

⇒ Toda reta paralela a um dos lados de um triângulo determina, sobre os outros dois lados, segmentos proporcionais

.

☞

  Veja:

A

D E

☞ Podemos concluir que

:

Exemplo 1:

Calcule

x,

sabendo que :

A

2

X

E

F

4

6

B

C

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1. (FRANCO) Calcule

x,

sabendo que

:

a)

A

8

10

20

E

F

x

B

C

Resp:

b)

A

x

5

E

F

x + 4

7

B

C

Resp:

c)

B

6

E

4

A

10

F

x

C

Resp:

d)

4x + 1

F 3

A

C

3x

E

2

B

d  c b a// // //  EC   AE   DB  AD   EF   BC //  EF   BC //

Solução:

3 12 4 6 2 . 4 6 4 2         x  x  x  x

Resp:

e)

B

C

x

2

E

F

A

Resp:

T E S T E S

1. (FRANCO)

Na figura . O valor de

x

é

:

A

x

5

D

E

x + 4

7

B

C

a) 9

b) 10

c) 12

d)

2. (FRANCO)

Nos triângulos abaixo, . Assim podemos afirmar que

:

A

3

P

Q

2

4

B

C

a)

b)

c)

d)

3. (FRANCO)

Na figura, os segmentos e são

paralelos, , e . A

medida do segmento é, em metros

:

A

a) 6

b) 10

c) 12

d) 18

D

E

B

C

4. (FRANCO)

Na figura , Quanto vale

x ?

a) 10

2

b) 5

c)

x

5. (FRANCO)

Na figura, as retas

a, b

e

c

são paralelas. Então, o valor de

x

é

:

a

b

c

a) 8

b) 10

8

6

c) 11

d) 12

4

x

6. (FRANCO)

Na figura, sendo

,

o valor de

x

é

:

a

b

c

a) 1

3

b) 2

c) 3

4x+1

d)

2

3 x

7. (FRANCO)

 As retas

r, s

e

t

são paralelas e os comprimentos dos segmentos de transversais são indicados na figura. Então

x

é igual a

:

a) 5

b) 6

r

c)

x

d)

s

15

8. (FRANCO)

Na figura abaixo, o valor de

x

é

:

a) 4

b) 5

r // s

c) 6

d) 7

x - 3

x

s // t

x + 2

x - 2

t

9. (FRANCO)

Na figura, o valor de

x

é

:

a) 14

15

b) 16

10

c) 18

d) 20

4 1 2 2 1 1  BC   DE // 12 15

 BC 

 PQ

// 5 

 AQ

 AC 6 10   AC 

 AQ

10  BC  _DE  m

 AB15  AD5m  AE 6m

CE 

  

 

 10 3 c b a// // 2 3 5 8 5 1 1 2 15

d)

3

5

X

12

3 10  

