IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 1
Nome: ______________________________ Nº ____
Curso: Mecânica Integrado
Disciplina: Matemática I
1°Ano Prof. Leonardo Data:__ /__ /2016
Matemática I – Teoria dos Conjuntos
1. IntroduçãoComo em qualquer assunto a ser estudado, a Matemática também exige uma linguagem adequada para o seu desenvolvimento.
A Teoria dos Conjuntos representa instrumento de grande utilidade nos diversos desenvolvimentos da Matemática, bem como em outros ramos das ciências físicas e humanas.
Devemos aceitar, inicialmente, a existência de alguns conceitos primitivos (noções que adotamos sem definição) e que estabelecem a linguagem do estudo da Teoria dos Conjuntos.
Adotaremos a existência de três conceitos primitivos: elemento, conjunto e pertinência. Assim é preciso entender que, cada um de nós é um elemento do conjunto de moradores desta cidade, ou melhor, cada um de nós é um elemento que pertence ao conjunto de habitantes da cidade, mesmo que não tenhamos definido o que é conjunto, o que é elemento e o que é pertinência.
1.1 – Notação e Representação
A notação dos conjuntos é feita mediante a utilização de uma letra maiúscula do nosso alfabeto e a representação de um conjunto pode ser feita de diversas maneiras, como veremos a seguir.
1.1.1 – Listagem dos Elementos
Apresentamos um conjunto por meio da listagem de seus elementos quando relacionamos todos os elementos que pertencem ao conjunto considerado e envolvemos essa lista por um par de chaves. Os elementos de um conjunto, quando apresentados na forma de listagem, devem ser separados por vírgula ou por ponto-e-vírgula, caso tenhamos a presença de números decimais.
Exemplo 1:
Seja A o conjunto das cores da bandeira brasileira, então:
A = {verde, amarelo, azul, branco}
Exemplo 2:
Seja C o conjunto dos algarismos do sistema decimal de numeração, então:
C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
1.1.2 – Uma propriedade de seus elementos
A apresentação de um conjunto por meio da listagem de seus elementos traz o inconveniente de não ser uma notação prática para os casos em que o conjunto apresenta uma infinidade de elementos. Para estas situações, podemos fazer a apresentação do conjunto por meio de uma propriedade que sirva a todos os elementos do conjunto e somente a estes elementos.
IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 2 Exemplo 1:
Seja B o conjunto das vogais do nosso alfabeto, então:
B = {x / x é vogal do nosso alfabeto}
Exemplo 2:
Seja C o conjunto dos algarismos do sistema decimal de numeração, então:
C = {x/x é algarismo do sistema decimal de numeração}
1.2 Diagrama de Euler – Venn
A apresentação de um conjunto por meio do diagrama de Euler-Venn é gráfica e, portanto, muito prática. Os elementos são representados por pontos interiores a uma linha fechada não entrelaçada. Dessa forma, os pontos exteriores à linha representam elementos que não pertencem ao conjunto considerado.
Exemplo:
1.3 – Relações de Pertinência
Quando queremos indicar que um determinado elemento x faz parte de um conjunto A, dizemos que o elemento x pertence ao conjunto A e indicamos:
𝑥 ∈ 𝐴
em que o símbolo ∈ é uma versão da letra grega epsílon e está consagrado em toda matemática como símbolo indicativo de pertinência. Para indicarmos que um elemento x não pertence ao conjunto A, indicamos:
𝑥 ∉ 𝐴 Exemplo:
Consideremos o conjunto: A = {0, 2, 4, 6, 8}
O algarismo 2 pertence ao conjunto A: 2 ∈ A O algarismo 7 não pertence ao conjunto A: 7 ∉ A 1.4 – Relações de Inclusão - Subconjuntos
Dizemos que o conjunto A está contido no conjunto B se todo elemento que pertencer a A, pertencer também a B. Indicamos que o conjunto A está contido em B por meio da seguinte simbologia:
A⊂B (lê-se: A contido em B)
OBS: Podemos encontrar em algumas publicações uma outra notação para a relação de inclusão:
B ⊃ A (lê-se: B contém A)
O conjunto A não está contido em B quando existe pelo menos um elemento de A que não pertence a B. Indicamos que o conjunto A não está contido em B desta maneira:
IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 3 Se o conjunto A está contido no conjunto B, dizemos que A é um subconjunto de B. Como todo elemento do conjunto A pertence ao conjunto A, dizemos que A é subconjunto de A e, por extensão, todo conjunto é subconjunto dele mesmo.
Importante – A relação de pertinência relaciona um elemento a um conjunto e a relação de inclusão refere-se, sempre, a dois conjuntos. Errado: 2 ⊂ {0,2,4,6,8} {2} ∈ {0,2,4,6,8} Correto: 2 ∈ {0,2,4,6,8} {2} ⊂ {0,2,4,6,8} {2} ∈ {0, {2}, 4,6,8} {2} ⊄ {0, {2}, 4,6,8}
Podemos notar que existe uma diferença entre 2 e {2}. O primeiro é o elemento 2, e o segundo é o conjunto formado pelo elemento 2. Um par de sapatos e uma caixa com um par de sapatos são coisas diferentes e como tal devem ser tratadas.
Podemos notar, também, que, dentro de um conjunto, um outro conjunto pode ser tratado como um de seus elementos. Vejamos o exemplo a seguir:
{1, 2} é um conjunto, porém no conjunto A = {1, 3, {1, 2}, 4} ele será considerado um elemento, ou seja, {1, 2} ∈ A. Uma cidade é um conjunto de pessoas que representam os moradores da cidade, porém uma cidade é um elemento do conjunto de cidades que formam um Estado.
1.5 – Conjuntos Especiais
Embora conjunto nos ofereça a idéia de “reunião” de elementos, podemos considerar como conjunto agrupamentos formados por um só elemento ou agrupamentos sem elemento algum.
Chamamos de conjunto unitário aquele formado por um só elemento. Exemplo 1:
Conjunto dos números primos, pares e positivos: {2}
Exemplo 2:
Conjunto dos satélites naturais da Terra: {Lua}
Chamamos de conjunto vazio aquele formado por nenhum elemento. Obtemos um conjunto vazio considerando um conjunto formado por elementos que admitem uma propriedade impossível.
Exemplo 1:
Conjunto das raízes reais da equação:
IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 4 Exemplo 2:
Conjunto:{𝑥/𝑥 ≠ 𝑥}
O conjunto vazio pode ser apresentado de duas formas: ∅ ou { }. ∅ ( é uma letra de origem norueguesa). Não podemos confundir as duas notações representando o conjunto vazio por {∅}, pois estaríamos apresentando um conjunto unitário cujo elemento é o ∅ .
O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto e, por isso, é considerado subconjunto de qualquer conjunto, inclusive dele mesmo.
Que pertence ao conjunto vazio e que não pertence ao conjunto A, o que é um absurdo, pois o conjunto vazio não tem elemento algum. Conclusão: o conjunto vazio está contido no conjunto A, qualquer que seja A.
1.5.1 – Conjunto Universo
Quando desenvolvemos um determinado assunto dentro da matemática, precisamos admitir um conjunto ao qual pertencem os elementos que desejamos utilizar. Este conjunto é chamado de conjunto universo e é representado pela letra maiúscula U.
Uma determinada equação pode ter diversos conjuntos solução de acordo com o conjunto universo que for estabelecido. Exemplo 1: A equação 2x3 – 5x2 – 4x + 3 = 0 apresenta: S = {1 2, −1,3} se U = R S = {-1, 3} se U = Z S = {3} se U = N
Exercícios de Fixação – Relações de Pertinência e Inclusão
01. (Uff 1999) Dado o conjunto P = {{0}, 0, ∅, {∅}}, considere as afirmativas: (I) {0} ∈ P
(II) {0} ⊂ P (III) ∅ ∈ P
Com relação a estas afirmativas conclui-se que: a) Todas são verdadeiras.
b) Apenas a I é verdadeira. c) Apenas a II é verdadeira. d) Apenas a III é verdadeira. e) Todas são falsas.
02. (Ita 2004) Considere as seguintes afirmações sobre o conjunto U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}: I. ∅ ∈ U e n(U) = 10.
II. ∅ ⊂ U e n(U) = 10. III. 5 ∈ U e {5} ⊂ U. IV. {0,1,2,5} ⋂ {5} = 5.
Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s) a) apenas I e III.
b) apenas II e IV. c) apenas II e III. d) apenas IV.
IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 5 03. Complete com os símbolos: ∈, ∉, ⊂, ⊄, ⊃ ou não está contido as sentenças a seguir, de forma a torná-las todas verdadeiras:
a) 5 _____ { 2, 3, 4, 5, 6, 7} b) {7, 9} _____ {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} c) ∅ _____ 8
d) {5, 7} _____ {5}
04.Com base nos conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {5, 6, 7} e C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, preencha o campo abaixo com a simbologia adequada:
a) 3___A b) 7___C c) A___B d) B___C e) C___A f) C___B
05. Dado o conjunto A = {0, 1, 2, {1,2}, 3, {3,4}}, assinale V para as afirmativas verdadeiras e F para as falsas. ( )
A
( )4
A
( ){}
A
( ){{
1
,
2
}}
A
( ){
3
,
4
}
A
( ){
1
,
2
}
P
(
A
)
( )
{
1
,
2
}
{
3
,
4
}
A
GABARITO 01 A 04 ∈,∉,⊄,⊄,⊃,⊄ 02 C 05 FFVVFVF 03 ∈,⊄,∉,⊄1.6 - Operações com conjuntos 1.6.1 - União
A união (ou reunião) de dois conjuntos, A e B, que indicaremos por A ∪ B (lê-se A união B), é o conjunto cujos elementos são todos aqueles que pertencem a Aou a B.
Exemplo:
A = {1,2,3,4,5} B = {3,5,7,9}
A ∪ B = {1,2,3,4,5,7,9}
Representação da união de conjuntos em diagramas de Venn:
Toda a região pintada de amarelo
representa 𝐴 ∪ 𝐵 . Toda a região pintada de azul representa 𝐶 ∪ 𝐷.
Toda a região pintada de verde representa 𝐸 ∪ 𝐹.
1.6.2 - Intersecção
A intersecção de dois conjuntos, A e B, que indicaremos por A ∩ B (lê-se A intersecção B), é o conjunto cujos elementos são todos aqueles que pertencem a A e a B.
Exemplo:
IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 6 Representação da intersecção de conjuntos em diagramas de Venn:
Toda a região pintada de
amarelo representa A ∩ B. Os conjuntos C e D não têm elemento em comum. C ∩ D =∅
Toda a região pintada de verde representa E ∩ F
1.6.3 - Diferença
A diferença entre dois conjuntos, A e B, nessa ordem, que indicaremos por A – B (lê-se A menos B), é o conjunto cujos elementos são todos aqueles que pertencem a A e não pertencem a B.
Exemplo:
A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {3, 5, 7, 9}
A – B = {1, 2, 4} B – A = {7,9}
elementos que pertencem a A e não pertencem a B elementos que pertencem a B e não pertencem a A Representação da diferença de conjuntos em diagramas de Venn:
Toda a região pintada de amarelo representa A - B.
Toda a região pintada de rosa representa B - A.
Toda a região pintada de verde representa C - D. Toda a região pintada de roxo representa D - C.
Toda a região pintada de azul representa F - E. Como não há elemento de E que não seja elemento de F, E – F = ∅
1.6.4 – Complementar de um conjunto
Dados os conjuntos A e B em que A ⊂ B, chamamos de complementar de A em B (𝐶𝐵𝐴) o conjunto formado pelos elementos que pertencem a B e não pertencem a A:
𝐴 ⊂ 𝐵 ⇒ 𝐶𝐵𝐴= 𝐵 − 𝐴 Exemplo:
IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 7 Quando tivermos um conjunto universo U previamente fixado, indicaremos o complementar de A em relação a U simplesmente por 𝐴̅, ao invés de 𝐶𝑈𝐴.
Exercícios de Fixação – Operações com Conjuntos
01. Sendo U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }; A = { 1, 3, 5, 7, 9}; B = {2, 4, 6, 8} e C = { 1, 2, 3, 5}, calcule: a) A C = {1,2,3,5,7,9} b) B C = {1,2,3,4,5,6,8} c) A B = ∅ d) A C = {1,3,5} e) A – C = {7,9} f) C – A = {2} g) A – B = 𝐴 h) B – A = 𝐵 i)
A
= {2,4,6,8} j)C
= {4,6,7,8,9} k)A
B
= ∅ l)A
C
= {2,4,6,7,8,9} m)A
B
= {2,4,6,8} n)A
C
= {1,2,3,4,5,6,8} o) ( A – B ) C = {1,3,5} p) ( A – C ) ( B – C ) = {4,6,7,8,9}02. (Ufg 2014) Na classificação de Robert H. Whittaker, os seres vivos foram agrupados nos reinos Monera, Protista,
Fungi, Plantae e Animalia. A esse respeito, considere os seguintes conjuntos de reinos A = {Monera, Protista, Fungi}, B = {Plantae, Animalia, Fungi}, C = {Animalia, Protista, Fungi} e uma lista de indivíduos que os representam formada
por {bactérias, levedura, samambaia, cogumelo, algas microscópicas, caracol, esponja, musgo}. Diante do exposto, conclui-se que todos os indivíduos que pertencem aos reinos que estão no conjunto (𝐴 ∩ 𝐵 )𝐶− 𝐶 são os seguintes: a) bactérias, musgo e samambaia.
b) bactérias e algas microscópicas. c) samambaia e musgo.
d) samambaia, musgo e algas microscópicas. e) caracol e esponja.
03. (Ufsj 2013) Dados três conjuntos A, B e C, não vazios, com AB e AC, então, é sempre CORRETO afirmar que a) BC b) A
BC
c) BC d) A
BC
GABARITO 01 Em sala 02 A 03 BIFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 8 Exercícios de Fixação – Representação de Diagramas
01. (Espm 2015) Considere os seguintes subconjuntos de alunos de uma escola: A: alunos com mais de 18 anos
B: alunos com mais de 25 anos C: alunos com menos de 20 anos
Assinale a alternativa com o diagrama que melhor representa esses conjuntos:
a) b) c)
d) e)
02. (Ifsc 2015) Um curso de engenharia deseja saber a atual situação de seus alunos que cursam unidades curriculares até a terceira fase do curso. Para isso, organizou o diagrama da figura, sendo:
- A o conjunto de alunos que cursam pelo menos uma unidade curricular na primeira fase; - B o conjunto de alunos que cursam pelo menos uma unidade curricular na segunda fase; - C o conjunto de alunos que cursam pelo menos uma unidade curricular na terceira fase.
Com base na situação exposta no enunciado, assinale a soma da(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01) n[(A B) C]14 02) n[(AC)B]100 04) n[(B C) A]74 08) n[(A B) (B C)]28 16) n[(A B) (C A)] 0
IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 9 Dos 12 países que compõem esse diagrama, integram exatamente 3 das organizações apenas
a) 4. b) 5. c) 6. d) 7. e) 8.
04. (G1 - cp2 2014) No diagrama abaixo, as figuras A, B e C representam conjuntos de indivíduos com uma determinada característica. Todo indivíduo que possui a característica A está representado dentro do conjunto A e quem não tem a característica está fora do mesmo. Analogamente, estão dentro de B todos os que têm a característica B e estão dentro de C todos os que têm a característica C.
Nesse caso, a região sombreada indicará todos os indivíduos que: a) não têm nenhuma das três características;
b) têm pelo menos uma das três características; c) têm apenas uma das três características; d) têm duas das três características; e) têm as três características.
05. (Ufsj 2013) O diagrama que representa o conjunto
AB
C
CB
A éa) b) c) d) GABARITO 01 D 04 C 02 29 05 B 03 D 1.7. Conjunto de Partes
Dado um conjunto A, dizemos que o seu conjunto de partes, representado por P (A), é o conjunto formado por todos os subconjuntos do conjunto A.
1.7.1 – Determinação do Conjunto de Partes
Vamos observar, com o exemplo a seguir, o procedimento que se deve adotar para a determinação do conjunto de partes de um dado conjunto A. Seja o conjunto A = {2, 3, 5}. Para obtermos o conjunto de partes do conjunto A, basta escrevermos todos os seus subconjuntos:
IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 10 1o) Subconjunto vazio:∅ , pois o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.
2o) Subconjuntos com um elemento: {2}, {3}, {5}.
3o) Subconjuntos com dois elementos: {2, 3}, {2, 5} e {3, 5}.
4o) Subconjuntos com três elementos: A = {2, 3, 5}, pois todo conjunto é subconjunto dele mesmo.
Assim, o conjunto das partes do conjunto A pode ser apresentado da seguinte forma: P(A) = {∅, {2}, {3}, {5}, {2, 3}, {2, 5}, {3, 5}, {2, 3, 5}}
1.7.2 – Número de Elementos do Conjunto de Partes
Podemos determinar o número de elementos do conjunto de partes de um conjunto A dado, ou seja, o número de subconjuntos do referido conjunto, sem que haja necessidade de escrevermos todos os elementos do conjunto P (A). Para isso, basta partirmos da idéia que cada elemento do conjunto A tem duas opções na formação dos subconjuntos: ou o elemento pertence ao subconjunto ou ele não pertence ao subconjunto e, pelo uso do princípio multiplicativo das regras de contagem, se cada elemento apresenta duas opções, teremos:
n [P(A)] = 2𝑛(𝐴)
Observemos o exemplo anterior: o conjunto A = {2, 3, 5} apresenta três elementos e, portanto, é de se supor, pelo uso da relação apresentada, que n [P (A)] = 23 = 8, o que de fato ocorreu.
Exercício de Fixação – Conjunto das Partes
01.Descreva o conjunto das partes do seguinte conjunto A = {2, 5, 7}.
02. (Mackenzie 2014) Se A= {x ∈ ℤ | x é ímpar e 1 ≤ x ≤ 7} e B = {x ∈ ℝ | x2− 6x + 5 = 0} então a única sentença falsa é
a) O conjunto das partes da intersecção dos conjuntos A e B é P (A ∩ B) = {{1}, {5}, {1,5}}. b) O conjunto complementar de B em relação a A é 𝐶𝐴𝐵 = {3, 7}.
c) O conjunto das partes do complementar de B em relação a A é P𝐶𝐴𝐵) = {∅, {3}, {7}, {3,7}}. d) O conjunto A intersecção com o conjunto B é A ∩ B = {1, 5}.
e) O número de elementos do conjunto das partes da união dos conjuntos A e B é n[P (A ∪ B) = 16. GABARITO
01 P(A) = {Ø, {2}, {5}, {7}, {2, 5}, {2, 7}, {5, 7}, {2, 5, 7}}
02 A
1.8 – Diagramas de Venn – 2 Conjuntos
A partir de agora vamos resolver problemas que relacionam as operações entre conjuntos finitos com a quantidade de seus elementos. O número de elementos de um conjunto finito X é representado por n(X).
Exemplo:
50 pessoas foram entrevistadas numa pesquisa. Uma das perguntas era a seguinte: Você faz curso de alguma língua estrangeira? Em caso afirmativo, qual? Observe alguns dados obtidos na pesquisa:
21 pessoas responderam que fazem curso de inglês;
10 pessoas responderam que fazem curso de inglês e espanhol;
5 pessoas responderam que não fazem curso de nenhuma dessas duas línguas estrangeiras. De acordo com esses dados, quantas pessoas fazem somente curso de espanhol?
Resolução Sejam:
U o conjunto universo das 50 pessoas entrevistadas; A o conjunto das pessoas que fazem curso de inglês; B o conjunto das pessoas que fazem curso de espanhol.
IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 11 I) Primeiramente, vamos considerar o conjunto A ∩ B que é aquele das pessoas que fazem os cursos das duas línguas.
II) O conjunto A é aquele das pessoas que fazem curso de inglês; tal conjunto possui 21 elementos, porém, na parte (I) já foram consideradas 10 pessoas que fazem curso de inglês, faltando, portanto, 11 pessoas para completar o conjunto A. O número 11 deve ser indicado na região A – B.
III) O conjunto complementar de A ∪ B em relação ao conjunto universo é aquele das pessoas que não fazem curso de nenhuma das duas línguas estrangeiras. O número de elementos desse conjunto é 5.
IV) O conjunto B – A é aquele das pessoas que fazem somente curso de espanhol. Seja x o número de elementos desse conjunto. Como n(U) = 50, devemos ter:
5 + 11+ 10 + x = 50
Ou seja, x = 24; portanto n(B – A) = 24
Logo, 24 pessoas fazem somente curso de espanhol. Exercícios de Fixação – Diagramas de Venn - 2 Conjuntos
01. (G1 - ifpe 2016) Em uma cooperativa de agricultores do município de Vitória de Santo Antão, foi realizada uma consulta em relação ao cultivo da cultura da cana-de-açúcar e do algodão. Constatou-se que 125 associados cultivam a cana-de-açúcar, 85 cultivam o algodão e 45 cultivam ambos.Sabendo que todos os cooperativados cultivam pelo menos uma dessas duas culturas, qual é o número de agricultores da cooperativa?
a) 210 b) 255 c) 165 d) 125 e) 45
02. (Pucrj 2015) Uma pesquisa realizada com 245 atletas, sobre as atividades praticadas nos seus treinamentos, constatou que 135 desses atletas praticam natação, 200 praticam corrida e 40 não utilizavam nenhuma das duas modalidades no seu treinamento. Então, o número de atletas que praticam natação e corrida é:
a) 70 b) 95 c) 110 d) 125 e) 130
IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 12 03. (Uern 2015) Uma empresa de software aloca seus funcionários em duas equipes de trabalho: manutenção e atendimento. Sabe-se que 80% de seus funcionários trabalham na equipe de manutenção e 35% na equipe de atendimento. Sabendo-se que essa empresa possui 500 funcionários e que um funcionário não precisa necessariamente trabalhar em uma única equipe, então o número de funcionários que trabalham nas equipes de atendimento e de manutenção é a) 50. b) 60. c) 65. d) 75.
04. (Uece 2015) Em um grupo de 300 alunos de línguas estrangeiras, 174 alunos estudam inglês e 186 alunos estudam chinês. Se, neste grupo, ninguém estuda outro idioma além do inglês e do chinês, o número de alunos deste grupo que se dedicam ao estudo de apenas um idioma é
a) 236. b) 240. c) 244. d) 246.
05. (Uerj 2015) Em uma escola circulam dois jornais: Correio do Grêmio e O Estudante. Em relação à leitura desses jornais, por parte dos 840 alunos da escola, sabe-se que:
- 10% não leem esses jornais; - 520 leem o jornal O Estudante; - 440 leem o jornal Correio do Grêmio.
Calcule o número total de alunos do colégio que leem os dois jornais.
06. (Uepg 2013) Uma prova continha dois problemas: 30 alunos acertaram somente um problema, 22 alunos acertaram o segundo problema, 10 alunos acertaram os dois problemas e 17 alunos erraram o primeiro problema. Nesse contexto, assinale o que for correto.
01) 10 alunos erraram os dois problemas. 02) 20 alunos erraram o segundo problema.
04) 18 alunos acertaram somente o primeiro problema. 08) 45 alunos fizeram a prova.
GABARITO
01 C 04 B
02 E 05 204
03 D 06 14
1.9 - Diagramas de Venn com 3 conjuntos Exemplo 1
Uma empresa entrevistou 300 de seus funcionários a respeito de três embalagens: A, B e C para o lançamento de um novo produto. O resultado foi o seguinte: 160 indicaram a embalagem A; 120 indicaram a embalagem B; 90 indicaram a embalagem C; 30 indicaram a embalagem A e B; 40 indicaram as embalagens A e C; 50 indicaram as embalagens B e C; e 10 indicaram as 3 embalagens.
Pergunta-se:
a) quantas pessoas indicaram apenas a embalagem A; b) quantas pessoas indicaram as embalagens A ou B; c) quantas não indicaram a embalagem C;
IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 13
Resolução
Usaremos os diagramas para resolver.
Vamos começar por A B C que tem 10 elementos.
Para n (A B) e já colocamos 10, restam 20 elementos para completar a região A B ; para completar (A C) faltam 30 e para completar (B C) faltam 40.
Da mesma forma completamos os conjuntos A, B e C; veja que 40 pessoas não tem preferência alguma.
Agora, consultando o diagrama final podemos responder às questões. a) 100 pessoas indicaram apenas a embalagem A;
b) 100 + 30 + 10 + 20 + 50 + 40 = 250 indicaram as embalagens A ou B; c) 100 + 20 + 50 + 40 = 210 não indicaram a embalagem C;
d) 40 pessoas não tinham preferência por nenhuma embalagem. Exercícios de Fixação – Diagramas de Venn com 3 conjuntos
01. (Uepa 2015) De acordo com a reportagem da Revista VEJA (edição 2341), é possível fazer gratuitamente curso de graduação pela Internet. Dentre os ofertados temos os cursos de Administração (bacharelado), Sistemas de Computação (Tecnólogo) e Pedagogia (licenciatura). Uma pesquisa realizada com 1.800 jovens brasileiros sobre quais dos cursos ofertados gostariam de fazer, constatou que 800 optaram pelo curso de Administração; 600 optaram pelo curso de Sistemas de Computação; 500 optaram pelo curso de Pedagogia; 300 afirmaram que fariam Administração e Sistemas de Computação; 250 fariam Administração e Pedagogia; 150 fariam Sistemas de Computação e Pedagogia e 100 dos jovens entrevistados afirmaram que fariam os três cursos. Considerando os resultados dessa pesquisa, o número de jovens que não fariam nenhum dos cursos elencados é:
a) 150 b) 250 c) 350 d) 400 e) 500
IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 14 02. (Pucpr 2015) Em uma enquete, com 500 estudantes, sobre a preferência de cada um com três tipos diferentes de sucos (laranja, manga e acerola), chegou-se ao seguinte resultado: 300 estudantes gostam do suco de laranja; 200 gostam do suco de manga; 150 gostam do suco de acerola; 75 gostam dos sucos de laranja e acerola; 100 gostam dos sucos de laranja e manga; 10 gostam dos três sucos e 65 não gostam de nenhum dos três sucos.O número de alunos que gosta dos sucos de manga e acerola é:
a) 40. b) 60. c) 120. d) 50. e) 100.
03. (Uece 2015) No colégio municipal, em uma turma com 40 alunos, 14 gostam de Matemática, 16 gostam de Física, 12 gostam de Química, 7 gostam de Matemática e Física, 8 gostam de Física e Química, 5 gostam de Matemática e Química e 4 gostam das três matérias. Nessa turma, o número de alunos que não gostam de nenhuma das três disciplinas é a) 6. b) 9. c) 12. d) 14.
04. (Uemg 2015) Em uma enquete sobre a leitura dos livros selecionados para o processo seletivo, numa universidade de determinada cidade, foram entrevistados 1200 candidatos. 563 destes leram “Você Verá”, de Luiz Vilela; 861 leram “O tempo é um rio que corre”, de Lya Luft; 151 leram “Exílio”, também de Lya Luft; 365 leram “Você Verá” e “O tempo é um rio que corre”; 37 leram “Exílio” e “O tempo é um rio que corre”; 61 leram “Você Verá” e “Exílio”; 25 candidatos leram as três obras e 63 não as leram. A quantidade de candidatos que leram apenas “O tempo é um rio que corre” equivale a
a) 434. b) 484. c) 454. d) 424.
05. (Espcex (Aman) 2014) Uma determinada empresa de biscoitos realizou uma pesquisa sobre a preferência de seus consumidores em relação a seus três produtos: biscoitos cream cracker, wafer e recheados. Os resultados indicaram que:
- 65 pessoas compram cream crackers. - 85 pessoas compram wafers
- 170 pessoas compram biscoitos recheados.
- 20 pessoas compram wafers, cream crackers e recheados. - 50 pessoas compram cream crackers e recheados. - 30 pessoas compram cream crackers e wafers. - 60 pessoas compram wafers e recheados.
- 50 pessoas não compram biscoitos dessa empresa. Determine quantas pessoas responderam a essa pesquisa. a) 200 b) 250 c) 320 d) 370 e) 530
IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 15 06. (Uepa 2014) Uma pesquisa foi realizada com 200 pacientes em diversos consultórios médicos quanto ao uso dos seguintes aplicativos para celulares: A – Informações sobre alimentação, B – Registro de níveis de estresse físico e psicológico e C – Controle do horário da medicação. Essa pesquisa revela que apenas 10% dos entrevistados não fazem uso de nenhum dos aplicativos; 30% dos entrevistados utilizam apenas o aplicativo A; 10 pacientes utilizam apenas o aplicativo B; 1
4 dos pacientes utilizam apenas o aplicativo C e 36 pacientes fazem uso dos três aplicativos. Texto Adaptado: Revista Época, nº 795.
Sabe-se que a quantidade de pacientes que utilizam apenas os aplicativos A e B, A e C e B e C é a mesma, portanto, o número de pacientes entrevistados que fazem uso de pelo menos dois desses aplicativos é:
a) 21. b) 30. c) 36. d) 48. e) 60.
07. (G1 - ifce 2014) Uma pesquisa de mercado foi realizada, para verificar a preferência sobre três produtos, A, B e C. 1.200 pessoas foram entrevistadas. Os resultados foram os seguintes: 370 pessoas das entrevistadas gostam do produto A, 300 preferem o produto B e 360, o produto C. Desse total, 100 pessoas preferem A e B, 60, os produtos B e C, 30 os produtos A e C e 20 pessoas preferem os 3 produtos. Com base nesses dados, os que não opinaram por nenhum produto foram
a) 330. b) 340. c) 360. d) 370. e) 380.
08. (Udesc 2014) Um evento cultural ofereceu três atrações ao público: uma apresentação de dança, uma sessão de cinema e uma peça de teatro. O público total de participantes que assistiu a pelo menos uma das atrações foi de 200 pessoas. Sabe-se, também, que 115 pessoas compareceram ao cinema, 95 à dança e 90 ao teatro. Além disso, constatou-se que 40% dos que foram ao teatro não foram ao cinema, sendo que destes 25% foram apenas ao teatro. Outra informação levantada pela organização do evento foi que o público que assistiu a mais de uma atração é igual ao dobro dos que assistiram somente à apresentação de dança. Se apenas 2 pessoas compareceram a todas as atrações, então a quantidade de pessoas que assistiu a somente uma das atrações é:
a) 102 b) 114 c) 98 d) 120 e) 152
09. (Pucrs 2013) O número de alunos matriculados nas disciplinas Álgebra A, Cálculo II e Geometria Analítica é 120. Constatou-se que 6 deles cursam simultaneamente Cálculo II e Geometria Analítica e que 40 cursam somente Geometria Analítica. Os alunos matriculados em Álgebra A não cursam Cálculo II nem Geometria Analítica. Sabendo que a turma de Cálculo II tem 60 alunos, então o número de estudantes em Álgebra A é
a) 8 b) 14 c) 20 d) 26 e) 32
IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 16 10. (Uern 2013) Em um vestibular para ingresso no curso de engenharia de uma determinada universidade, foi analisado o desempenho dos 1472 vestibulandos nas provas de Português, Matemática e Física, obtendo-se o seguinte resultado:
- 254 candidatos foram aprovados somente em Português; - 296 candidatos foram aprovados somente em Matemática; - 270 candidatos foram aprovados somente em Física; - 214 candidatos foram aprovados em Português e Física; - 316 candidatos foram aprovados em Matemática e Física; - 220 candidatos foram aprovados em Português e Matemática; - 142 candidatos foram reprovados nas três disciplinas.
O número de alunos aprovados nas três disciplinas, e, portanto, aptos a ingressarem no curso de engenharia, é a) 98.
b) 110. c) 120. d) 142.
11. (G1 - cftrj 2012) Uma das grandes paixões dos cariocas é o desfile de escolas de samba.
Foram entrevistados alguns foliões com a seguinte pergunta: “Em qual ou quais escolas você irá desfilar em 2012?”, e os entrevistadores chegaram a algumas conclusões, de acordo com a tabela:
Escola de samba Número de foliões
Mangueira 1500 Portela 1200 Salgueiro 800 Mangueira e Portela 600 Portela e Salgueiro 400 Mangueira e Salgueiro 200 Mangueira, Portela e Salgueiro 150
Nenhuma das três 700
a) Quantos foliões foram entrevistados?
b) Quantos, dentre os entrevistados, não pretendem desfilar na Salgueiro? GABARITO 01 E 07 B 02 D 08 A 03 D 09 C 04 B 10 C 05 B 11 a)3150 b)2350 06 E
IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 17 Exercícios de Fixação 𝚰𝚰𝚰 – Diagramas de Venn com mais de 3 conjuntos
01. (Insper 2014) Dentro de um grupo de tradutores de livros, todos os que falam alemão também falam inglês, mas nenhum que fala inglês fala japonês. Além disso, os dois únicos que falam russo também falam coreano. Sabendo que todo integrante desse grupo que fala coreano também fala japonês, pode-se concluir que, necessariamente,
a) todos os tradutores que falam japonês também falam russo. b) todos os tradutores que falam alemão também falam coreano. c) pelo menos um tradutor que fala inglês também fala coreano. d) nenhum dos tradutores fala japonês e também russo.
e) nenhum dos tradutores fala russo e também alemão.
02. (Cefet MG 2013) Em uma enquete realizada com pessoas de idade superior a 30 anos, pesquisou-se as que estavam casadas ou não, se tinham ou não filhos. Constatou-se que 45 pessoas não eram casadas, 49 não tinham filhos, e 99 estavam casadas e com filhos. Sabendo-se que 180 pessoas responderam a essa enquete, o número das que se declararam não casadas e sem filhos foi de
a) 13. b) 23. c) 27. d) 32. e) 36.
03. (Unirio 1997) Tendo sido feito o levantamento estatístico dos resultados do CENSO POPULACIONAL 96 em uma cidade, descobriu-se, sobre a população, que:
I - 44% têm idade superior a 30 anos; II - 68% são homens;
III - 37% são homens com mais de 30 anos; IV - 25% são homens solteiros;
V - 4% são homens solteiros com mais de 30 anos; VI - 45% são indivíduos solteiros;
VII - 6% são indivíduos solteiros com mais de 30 anos.
Com base nos dados anteriores, pode-se afirmar que a porcentagem da população desta cidade que representa as mulheres casadas com idade igual ou inferior a 30 anos é de:
a) 6% b) 7% c) 8% d) 9% e) 10% GABARITO 01 E 02 A 03 B
