7/Maio/2018 – Aula 16
9/Maio/2018 – Aula 17
17 Movimentos oscilatórios, amortecidos e forçados 17.1 Movimento na vertical 17.2 Pêndulo simples 17.3 Pêndulo físico 17.4 Oscilações amortecidas 17.5 Oscilações forçadas 16 Movimento periódico
16.1 Movimento harmónico simples (MHS) 16.2 Conservação da energia no MHS
Um objeto que esteja ligado a uma mola, por exemplo, e que seja
desviado da sua posição de equilíbrio, tende a voltar a essa posição: a mola exerce uma força de restituição, o que causa um movimento periódico (oscilação).
16. Movimento periódico
Massa-mola
simulação
Quando a força de restituição é diretamente proporcional ao afastamento da posição de equilíbrio, como no caso de molas ideais, tem-se um movimento harmónico simples (MHS).
16.1 Movimento harmónico simples
Massa-mola
simulação
d
é a fase do movimento e16.1 Movimento harmónico simples
Aula anterior
Solução da equação
diferencial de 2ª ordem
x=Acos
(
w
t+
d
)
d
2
x
dt
2
=-k
m
x
w
=
k m
T =
1
f
=
2
p
w
Velocidade e aceleração no movimento harmónico simples:
16.1 Movimento harmónico simples
Aula anterior
x t
( )
=
Acos
w
t
v
x( )
t
=-
A
w
sen
w
t
a
x( )
t
=-
A
w
2cos
w
t
Exemplo
O bloco da figura é afastado 0,2 m da posição de equilíbrio e largado, no instante
t
= 0. Efetua 15 oscilações completas em 10 s. Determine:a) o período
T
; b) a velocidade máxima; c) a posição e a velocidade emt
= 0,8s. a) b) c) 6T =
1
f
=
2
p
w
f =
15oscil
10s
=
1,5 Hz
x=Acos
(
w
t+
d
)
d
=
0
(
)
T =1/ f =0,667 s
v
x
( )
t
=-
A
w
sen
w
t
v
x,max
Þ
sen
w
t =- 1 Þ v
x,max
=
A
w
v
x,max
=
A 2
(
p
f
)
=
(0,2 m) 2
( )
p
(
1,5s
-
1
)
=
1,88 m/s
x
t=0,8s
(
)
=
(0,2 m)cos
2
p
(0,8 s)
(0,667 s)
=
0,062 m
v
x
( )
t
=-
A
w
sen
w
t
v
(
t=0,8s
)
=-
(1,88 m/s)sen
2
(0,667 s)
p
(0,8 s)
=-
1,79 m/s
Quando um objeto se encontra pendurado na extremidade de uma mola vertical, fica sujeito ao seu peso, para além da força de restituição da mola.
17.1 Movimento oscilatório na vertical
Se o sistema estiver em equilíbrio:
Se se deslocar o sistema ligeiramente para fora do equilíbrio:
y' =y- y
0
F
y
=-
k y+mg
å
=
0
d
2
y'
dt
2
=-k
m
y'
y' =Acos
(
w
t+
d
)
,
w
=
k
m
U =
1
k y'
( )
2
+
U
0
O chamado pêndulo simples (ou matemático) consiste numa massa
m
, de dimensões desprezáveis, suspensa na extremidade de uma corda ou de uma barra, de comprimentoL
e massa desprezável.17.2 Pêndulo simples
O ângulo
q
que o pêndulo faz com a vertical varia, no tempo, como um seno ou um cosseno.Pêndulo simples
No pêndulo simples, a força de restituição é proporcional a sen
q
, enquanto no sistema massa-mola essa força é proporcional ao deslocamento (q
, neste caso):17.2 Pêndulo simples
Para ângulos
q
suficientemente pequenos, o seno é aproximadamente igual ao próprio ângulo:F =- mgsen
q
¹-
mg
q
F =ma
å
Þ
-
mgsen
q
=
m
d
2
x
dt
2
,
x=L
q
sen
q
»
q
Na aproximação dos ângulos pequenos, , tem-se
17.2 Pêndulo simples
Nestas condições, a força de restituição é proporcional ao deslocamento, pelo que
Note-se que o período
T
não depende da massam
do pêndulo. Pêndulo vs M.Mola simulaçãoF =- mgsen
q
»-
mg
q
=-
mg
x
L
sen
q
»
q
w
=
k
m
=
mg L
m
=
g
L
T =
2
p
w
=2
p
m
k
=
2
p
L
g
Para ângulos de oscilação grandes, o período já depende do ângulo inicial:
17.2 Pêndulo simples
q0,
17.4 Oscilações amortecidas
Na maior parte dos sistemas físicos reais, existem forças não-conservativas que tendem a dissipar a energia. No caso dos movimentos oscilatórios, a presença dessas forças é visível na diminuição da amplitude das oscilações.
Por exemplo, no caso de atrito viscoso, essas forças (ditas de arrastamento), são proporcionais à velocidade:
Então, a força total sobre o objeto será a soma da força de restituição com a força de arrastamento:
M.Mola amortecida
17.4 Oscilações amortecidas
A resolução desta equação diferencial conduz a uma solução do tipocom
w
' =
w
0
1-
b
2
m
w
0
æ
è
çç
ö
ø
÷÷
x=A
0
exp -
b
2
m
t
æ
è
ç
ö
ø
÷ cos
(
w
'
t+
d
)
w
0
=
k
m
17.4 Oscilações amortecidas
A amplitude das oscilações diminui exponencialmente com o tempo:M.Mola amortecida
simulação e a energia mecânica (total) também:
x=A
0
exp -
b
2
m
t
æ
è
ç
ö
ø
÷ cos
(
w
'
t+
d
)
E =E
0
exp -
b
m
t
æ
è
ç
ö
ø
÷
17.4 Oscilações amortecidas
A amplitude das oscilações diminui exponencialmente com o tempo:Valor crítico da constante de amortecimento:
x=A
0
exp -
b
2
m
t
æ
è
ç
ö
ø
÷ cos
(
w
'
t+
d
)
17.4 Oscilações amortecidas
A amplitude das oscilações diminui exponencialmente com o tempo:17.5 Oscilações forçadas
Para se manter um sistema amortecido em oscilação, é necessário forçar o movimento, imprimindo uma força exterior, no sentido do movimento. Essa força deve oscilar com uma frequência próxima da frequência própria do sistema (
w
0):w
0 = k17.5 Oscilações forçadas
Para se manter um sistema amortecido em oscilação, é necessário forçar o movimento, imprimindo uma força exterior, no sentido do movimento. Essa força deve oscilar com uma frequência próxima da frequência própria do sistema (
w
0):Então, a força total sobre o objeto será a soma da força de restituição com a força de arrastamento, com a força que obriga a que o movimento se
mantenha:
w
0 =k m
w
0=
g
Equação diferencial do movimento:
17.5 Oscilações forçadas
Amplitude das oscilações:
A=
F
0m
2(
w
02-
w
2)
2
17.5 Oscilações forçadas
Na ressonância, a frequência de oscilação é igual (ou muito próxima) da frequência própria do sistema:
w
=w
0Tacoma Bridge
filme
In November, 1940, the newly completed Tacoma Narrows Bridge, opened barely four months before, swayed and collapsed in a 42 mile-per-hour wind.
A=
F
0m
2(
w
02-
w
2)
2
