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(1)3 Equações diferenciais parciais, métodos de Fourier e variáveis complexas.

(2) Z69m. Zill, Dennis G. Matemática avançada para engenharia 3 [recurso eletrônico] / Dennis G. Zill, Michael R. Cullen ; tradução Fernando Henrique Silveira. – 3. ed. – Dados eletrônicos. – Porto Alegre : Bookman, 2009. Editado também como livro impresso em 2009. Contém: gráficos, desenhos e tabelas. ISBN 978-85-7780-599-0 1. Matemática. 2. Equações diferenciais. 3. Variáveis complexas. I. Cullen, Michael R. II. Título. CDU 517.9. Catalogação na publicação: Renata de Souza Borges CRB-10/1922.

(3) Loyola Marymount University. Ex-Professor da Loyola Marymount University. Tradução: Fernando Henrique Silveira Doutor em Engenharia Elétrica pela UFMG. Consultoria, supervisão e revisão técnica desta edição: Antonio Pertence Júnior Professor Titular de Matemática da Faculdade de Sabará/MG Membro efetivo da SBM. Versão impressa desta obra: 2009. 2009.

(4) Obra originalmente publicada sob o título Advanced Engineering Mathematics ISBN 9780763745912 Jones and Bartlett Publishers, Inc. 40 Tall Pine Drive Sudbury, MA 01776, U.S.A. Copyright © 2006 by Jones and Bartlett Publishers All Rights Reserved. Capa: Rogério Grilho, arte sobre capa original Leitura final: Théo Amon Supervisão editorial: Denise Weber Nowaczyk Editoração eletrônica: Techbooks. Reservados todos os direitos de publicação, em língua portuguesa, à ARTMED® EDITORA S.A. (BOOKMAN® COMPANHIA EDITORA é uma divisão da ARTMED® EDITORA S.A.) Av. Jerônimo de Ornelas, 670 - Santana 90040-340 Porto Alegre RS Fone (51) 3027-7000 Fax (51) 3027-7070 É proibida a duplicação ou reprodução deste volume, no todo ou em parte, sob quaisquer formas ou por quaisquer meios (eletrônico, mecânico, gravação, fotocópia, distribuição na Web e outros), sem permissão expressa da Editora. SÃO PAULO Av. Angélica, 1091 - Higienópolis 01227-100 São Paulo SP Fone (11) 3665-1100 Fax (11) 3667-1333 SAC 0800 703-3444 IMPRESSO NO BRASIL PRINTED IN BRAZIL.

(5) Prefácio da Terceira Edição Ao contrário de um curso de cálculo ou equações diferenciais, para os quais o conteúdo do curso é bastante padronizado, o conteúdo de um curso intitulado “matemática para engenharia” pode variar consideravelmente entre instituições acadêmicas diferentes. Um livro de Matemática Avançada para Engenharia é, portanto, um compêndio de muitos tópicos matemáticos, todos relacionados pelo fato de serem necessários ou úteis em cursos e carreiras subsequentes em ciência e engenharia. Literalmente não existem limites para a quantidade de tópicos a serem incluídos em um texto como esse. Consequentemente, este livro representa a opinião do autor, neste momento, com relação ao conteúdo da matemática para engenharia.. Conteúdo do livro Para a flexibilidade na seleção dos tópicos, a obra está dividida em três volumes. Será possível observar que acreditamos que a espinha dorsal da matemática relacionada à ciência/engenharia se refere a teoria e aplicações de equações diferenciais parciais e ordinárias.. Volume 1 Equações Diferenciais Elementares Os seis capítulos desse volume constituem um breve curso completo de equações diferenciais elementares.. Volume 2 Vetores, Matrizes e Cálculo Vetorial O Capítulo 1, Vetores, e o Capítulo 3, Cálculo Vetorial, incluem muitos dos tópicos usualmente abordados no terceiro semestre de um curso de cálculo: vetores geométricos, funções vetoriais, derivadas direcionais, integrais de linha, integrais dupla e tripla, integrais de superfície, teorema de Green, teorema de Stokes e o teorema da divergência. O Capítulo 2, Matrizes, é uma introdução aos sistemas de equações algébricas, determinantes e álgebra matricial com ênfase especial naqueles tipos de matrizes que são úteis para a solução de sistemas de equações diferenciais lineares. Seções a respeito de criptografia, códigos de correção de erro, o método dos mínimos quadrados e modelos comportamentais discretos são apresentados como aplicações de álgebra matricial..

(6) vi. Prefácio. Volume 3 Parte 1: Sistemas de Equações Diferenciais Os dois capítulos dessa parte são Sistema de Equações Diferenciais Lineares e Sistemas de Equações Diferenciais Não Lineares. No Capítulo 1, sistemas de equações de primeira ordem lineares são resolvidos utilizando os conceitos de autovalores e autovetores, diagonalização e por meio de uma função matricial exponencial. No Capítulo 2, conceitos de estabilidade são apresentados utilizando duas aplicações: fluxo de fluido em um plano e o movimento de um glóbulo em um fio.. Parte 2: Séries de Fourier e Equações Diferenciais Parciais No Capítulo 3, Funções Ortogonais e Séries de Fourier, são destacados os tópicos fundamentais sobre conjuntos de funções ortogonais e expansões de funções em termos de uma série infinita de funções ortogonais. Esses tópicos são então utilizados nos Capítulos 4 e 5, nos quais problemas de valor de contorno em coordenadas retangular, polar, cilíndrica e esférica são resolvidos usando o método da separação de variáveis. No Capítulo 6, Método da Transformada Integral, problemas de valor de contorno são resolvidos por meio das transformadas integrais de Laplace e Fourier.. Parte 3: Análise Complexa Os capítulos dessa parte abrangem os conceitos básicos de números complexos por meio de aplicações de mapeamentos conformes na solução do problema de Dirichlet. Esse material por si só poderia facilmente servir como um curso introdutório de três meses em variáveis complexas.. Principais características do livro • O texto foi totalmente modernizado de modo a dotar engenheiros e cientistas com as habilidades matemáticas necessárias para os desafios tecnológicos atuais. • Novos projetos de engenharia e ciência, contribuições dos melhores matemáticos, foram adicionados. Esses projetos estão amarrados a tópicos matemáticos no texto. • Diversos novos problemas foram adicionados. Além disso, muitos conjuntos de exercícios foram reorganizados e, em alguns casos, completamente reescritos de modo a seguir o fluxo de desenvolvimento na seção e para melhor facilitar a atribuição da tarefa a ser feita em casa. Os conjuntos de exercícios também refletem uma maior ênfase em conceitos. • Como na segunda edição, existe uma ênfase extensiva em equações diferenciais como modelos matemáticos. A idéia de um modelo matemático está indicada ao longo do texto, e as construções e armadilhas de diversos modelos são discutidas.. Projeto do texto Como pode ser facilmente observado, o livro tem um formato grande e é colorido, tornando-o mais prazeroso de ler e aprender. Todas as figuras possuem textos explicativos. Mais Observações e anotações nas margens foram adicionadas ao longo do texto. Cada capítulo tem uma página de abertura que inclui uma lista de conteúdo e uma introdução ao material abordado naquele capítulo. Exercícios de revisão são apresentados ao final de cada capítulo. As respostas dos problemas ímpares selecionados estão na parte final do livro..

(7) Prefácio. Suplementos Os professores que adotarem a obra terão acesso ao material suplementar. Esses professores devem acessar o site www.bookman.com.br e entrar na Área do Professor. Lá encontrarão o Manual de Soluções (em inglês) e lâminas de Power Point (em português).. Agradecimentos Eu gostaria de agradecer às seguintes pessoas que generosamente cederam o tempo das suas agendas ocupadas para fornecer os projetos que aparecem antes do texto principal: Anton M. Jopko, Departamento de Física e Astronomia, McMaster University Warren S. Wright, Departamento de Matemática, Loyola Marymount University Eu gostaria de agradecer às seguintes pessoas por suas informações e sugestões para o aprimoramento em relação às edições anteriores e das versões preliminares da nova edição: Sonia Henckel, Texas Tech University Donald Hartig, California Polytechnic State University, San Luis Obispo Jeff Dodd, Jacksonville State University Victor Elias, University of Western Ontario Cecilia Knoll, Florida Institute of Technology William Criminale, University of Washington Stan Freidlander, Bronx Community College Herman Gollwitzer, Drexel University Robert Hunt, Humboldt State University Ronald Guenther, Oregon State University Noel Harbertson, California State University Gary Stoudt, Indiana University of Pennsylvania A tarefa de compilar um texto desse tamanho foi, para dizer o mínimo, demorada e difícil. Durante o processo no qual centenas de páginas manuscritas foram passadas por muitas mãos, indubitavelmente alguns erros ocorreram. Peço desculpas antecipadas por isso e certamente gostaria de saber de algum erro que possa ser corrigido. Enviem todas as correções via e-mail para o meu editor Tim Anderson em tanderson@jbpub.com. Dennis G. Zill Los Angeles. vii.

(8) Sobre a Capa Quando o viaduto de Millau foi aberto para o tráfego em 16 de dezembro de 2004, ele foi saudado como o mais alto do mundo. Ele se localiza no Vale Rhone na França e atravessa o largo vale do rio Tarn, próximo da conhecida vila de Millau. A ponte de aço e concreto, estaiada por múltiplos cabos, é constituída por oito vãos. Mais de 43 mil toneladas de aço foram utilizadas na construção dos deques de contenção, das torres e dos pilares temporários utilizados durante a construção. O pilar mais alto mede 342 m, o que a torna 21,34 m mais alta do que a torre Eiffel com a sua antena. O viaduto de Millau é celebrado como um trabalho de arte assim como uma realização de engenharia fora de série. Seu aspecto aberto e arejado 271,6 m acima do rio Tarn oferece vistas espetaculares para os passageiros que cruzam os seus 2.574,4 m de comprimento. Durante os meses do verão, mais de 28 mil veículos cruzam por dia essa ligação norte-sul entre Paris e o Mediterrâneo. Quando o arquiteto britânico Norman Foster projetou a ponte, ele queria dar a ela um aspecto arejado e flexível. “A delicadeza de uma borboleta”, dizia Foster. Ela tem que “se fundir com a natureza. Os pilares teriam que se parecer quase orgânicos, como se tivessem crescido a partir da terra”. O presidente da França, Jacques Chirac, proclamou: “Essa inauguração excepcional entrará para a história industrial e tecnológica”. Ele elogiou os projetistas e construtores da ponte por criar “uma maravilha de arte e arquitetura” – um novo emblema da engenharia civil da França..

(9) Sumário Projeto para a Seção 5.3. O átomo de hidrogênio. Projeto para a Seção 6.4. A desigualdade da incerteza em processamento de sinais. Capítulo 1. 16. Projeto para a Seção 6.4. Difração de Fraunhofer por uma abertura circular. Projeto para a Seção 7.2. Instabilidades de métodos numéricos. Sistemas de Equações Diferenciais Lineares 1.1 Teoria preliminar. 23. 24. 1.2 Sistemas lineares homogêneos. 31. 1.2.1. Autovalores reais distintos. 1.2.2. Autovalores repetidos. 1.2.3. Autovalores complexos. 1.3 Solução por diagonalização. 32. 35 39. 44. 1.4 Sistemas lineares não homogêneos. 47. 1.4.1. Coeficientes indeterminados. 1.4.2. Variação de parâmetros. 1.4.3. Diagonalização. 1.5 Exponencial de matriz. Capítulo 2. 13. 47. 50. 52 55. Sistemas de Equações Diferenciais Não Lineares 2.1 Sistemas autônomos. 61. 62. 2.2 Estabilidade de sistemas lineares. 68. 2.3 Linearização e estabilidade local. 77. 2.4 Sistemas autônomos como modelos matemáticos. 86. 2.5 Soluções periódicas, ciclos limites e estabilidade global. 94. 20. 18.

(10) 10. Sumário. Capítulo 3. Funções Ortogonais e Séries de Fourier 3.1 Funções ortogonais 3.2 Séries de Fourier. 106. 111. 3.3 Séries de Fourier do co-seno e do seno 3.4 Série complexa de Fourier. Capítulo 4. 105. 116. 123. 3.5 Problema de Sturm-Liouville. 127. 3.6 Séries de Bessel e Legendre. 134. 3.6.1. Série de Fourier-Bessel. 135. 3.6.2. Série de Fourier-Legendre. 138. Problemas de Valor de Contorno em Coordenadas Retangulares 142 4.1 Equações diferenciais parciais separáveis. 143. 4.2 Equações clássicas e problemas de valor de contorno 4.3 Equação do calor. 152. 4.4 Equação de onda. 155. 4.5 Equação de Laplace. 160. 4.6 PVCs não homogêneos. 165. 4.7 Expansões em séries ortogonais. 172. 4.8 Série de Fourier em duas variáveis. Capítulo 5. 147. 176. Problemas de Valor de Contorno em Outros Sistemas de Coordenadas 181 5.1 Problemas em coordenadas polares. 182. 5.2 Problemas em coordenadas polares e coordenadas cilíndricas: Funções de Bessel. 187. 5.3 Problemas em coordenadas esféricas: Polinômios de Legendre. Capítulo 6. Método da Transformada Integral 6.1 Função erro. 198. 199. 6.2 Aplicações da transformada de Laplace 6.3 Integral de Fourier. 200. 208. 6.4 Transformadas de Fourier. 213. 6.5 Transformada rápida de Fourier. Capítulo 7. 193. 219. Soluções Numéricas de Equações Diferenciais Parciais 7.1 Equação de Laplace. 231. 7.2 A equação do calor. 236. 7.3 A equação de onda. 242. 230.

(11) Sumário. Capítulo 8. Funções de Variáveis Complexas 8.1 Números complexos 8.2 Potências e raízes. 247. 248 252. 8.3 Conjuntos no plano complexo. 256. 8.4 Funções de uma variável complexa 8.5 Equações de Cauchy-Riemann. 259. 265. 8.6 Funções exponenciais e logarítmicas. 270. 8.7 Funções trigonométricas e hiperbólicas. 276. 8.8 Funções trigonométricas e hiperbólicas inversas. Capítulo 9. Integração no Plano Complexo 9.1 Integrais de contorno. 284. 285. 9.2 Teorema de Cauchy-Goursat. 290. 9.3 Independência do caminho. 295. 9.4 Fórmulas integrais de Cauchy. Capítulo 10 Séries e Resíduos. 308. 10.1 Sequências e séries 10.2 Série de Taylor. 309. 314. 10.3 Série de Laurent 10.4 Zeros e pólos. 301. 320. 328. 10.5 Resíduos e teorema do resíduo 10.6 Cálculo de integrais reais. Capítulo 11 Mapeamentos Conformes. 331. 337. 345. 11.1 Funções complexas como mapeamentos 11.2 Mapeamentos conformes. 350. 11.3 Transformações fracionais lineares. 357. 11.4 Transformações de Schwarz-Christoffel 11.5 Fórmulas integrais de Poisson 11.6 Aplicações. Apêndice. 363. 368. 372. 381. Respostas dos Problemas Ímpares Selecionados Índice. 346. 411. 387. 280. 11.

(12) . das seriam então indicadas pela fórmula de Planck, ⌬E ⫽ បv, onde ⌬E é a diferença de energia entre as órbitas, e ប é a constante de Planck. Tente reproduzir os passos de Bohr solucionando os Problemas 1-3.. PROJETO PARA A SEÇÃO 5.3. O átomo de hidrogênio Matheus Grasselli, Ph.D Departamento de Matemática e Estatística, McMaster University. Próton. No início do século XX, um dos problemas não resolvidos mais importantes da física estava relacionado ao átomo de hidrogênio. Com apenas um próton e um elétron, o átomo de hidrogênio era o exemplo mais simples a ser explicado por qualquer modelo atômico. A figura clássica era a de um elétron orbitando em torno do próton em decorrência da atração elétrica. Essa hipótese, no entanto, era inconsistente, pois o elétron precisava acelerar para se mover ao redor do próton. Qualquer partícula carregada acelerada irradia ondas eletromagnéticas. Assim, com o passar do tempo, o elétron deveria perder energia cinética e acabar se deslocando em direção ao núcleo do átomo. Outro ponto que tornava esse assunto ainda mais incompreensível se referia ao fato de se saber, a partir de dados espectroscópicos, que o gás hidrogênio emitia luz com comprimentos de onda muito específicos, as chamadas linhas espectrais. Além disso, as linhas espectrais que podiam ser observadas na escala visível satisfaziam uma fórmula empírica primeiro descrita por J. J. Balmer em 1885. Considerando que o comprimento de onda fosse representado por ␭, as linhas espectrais passaram a ser denominadas como série de Balmer, sendo definidas por (1) onde RH é uma constante para a qual o melhor valor empí⫺1 rico é 10.967.757,6 ⫾ 1,2m . Qualquer modelo atômico razoável não apenas tem que explicar a estabilidade do átomo do hidrogênio, como também tem que produzir uma explicação para as linhas espectrais com frequências que satisfazem a fórmula. O primeiro modelo desse tipo foi proposto por Niels Bohr em 1913, utilizando uma combinação engenhosa de argumentos clássicos e dois “postulados quânticos”. Bohr considerou que o elétron estivesse restringido a se mover em órbitas com momentos angulares “quantizados” – isto é, múltiplos inteiros de uma dada constante. Veja a Figura 1. Além disso, o átomo emitiria energia na forma de ondas eletromagnéticas somente quando o elétron saltasse de uma órbita fixa para outra. As frequências dessas on-. Elétron. Figura 1 Modelo planetário de Bohr para o átomo de hidrogênio: nesse modelo, um elétron pode ocupar somente determinadas órbitas ao redor de um núcleo constituído por um próton.. Problemas relacionados 1. Suponha, conforme indicado na Figura 1, que o elétron tenha massa m e carga –e e se mova em uma órbita circular de raio r em torno do próton, que tem carga e e uma massa muito maior. Utilize as fórmulas clássicas da força elétrica de cargas pontuais para deduzir que a energia mecânica total (cinética mais potencial) para o elétron nessa órbita é. (2) onde ␧0 é a permissividade do espaço. Ademais, deduza que o momento angular clássico para essa órbita é. (3) 2. Agora vamos aplicar o primeiro postulado de Bohr: considere que o momento angular tenha a forma L ⫽ nប, onde n ⫽ 1, 2,.... Substitua essa expressão na equação (3) e obtenha uma expressão para os níveis quantizados de energia do átomo de hidrogênio. 3. Estamos agora prontos para aplicar o segundo postulado de Bohr. Suponha que um elétron faça uma transição do nível de energia Ek para o nível de energia En, para inteiros k ⬎ n. Use a fórmula ⌬E ⫽ បv e a relação ␭v ⫽ c (onde c é a velocidade da luz) para deduzir que o comprimento de onda emitido por essa transição é. (4).

(13) Coloque n ⫽ 2 na equação (4) e conclua que temos como resultado a série de Balmer com. . Faça ago-. ra uma pesquisa na literatura a respeito dos valores das constantes físicas que aparecem nessa fórmula e calcule RH. Esse valor é comparável ao valor empírico? Finalmente, substitua m pela massa reduzida. (onde M. é a massa do próton) e se impressione com a exatidão formidável do resultado obtido. Além do seu sucesso óbvio, o modelo de Bohr esticava a teoria clássica até onde dava com postulados quânticos ad hoc onde necessário. Essas características foram justamente consideradas insatisfatórias, o que inspirou os físicos a desenvolver uma teoria do fenômeno atômico muito mais abrangente, dando surgimento à mecânica quântica. Em seu núcleo está uma equação diferencial parcial proposta por Erwin Schrödinger em 1926 em um artigo sugestivamente intitulado “Quantização como um Problema de Autovalores.” A equação de Schrödinger independente do tempo para um sistema físico de massa m sujeito a um potencial V(x) é (5) onde ⵜ é o operador Laplaciano e E é o valor (escalar) para a energia total do sistema no estado estacionário ⌿(x). Aqui x ⫽ (x,y,x) representa um ponto no espaço tridimensional. A interpretação correta da função ⌿(x) envolve argumentos probabilísticos sutis. Para o nosso problema, é suficiente dizer que ⌿(x) contém toda a informação que pode ser fisicamente obtida a respeito do sistema em consideração. Nosso propósito agora, no espírito do trabalho original de Schrödinger, é tentar obter os níveis de energia En para o átomo de hidrogênio como os valores possíveis de energia para os quais a equação (5) admite uma solução. Tente agora resolver o próximo problema. 2. 4. Como a energia potencial. depende ape-. ⫽ R(r)⌰(␪)⌽(␾) para mostrar que a componente radial R(r) satisfaz. (6) onde k é uma constante. Na solução do Problema 4, você deve ter notado que a técnica de separação de variáveis dividiu a equação de Schrödinger em duas partes: uma que depende somente de r e a outra dependendo apenas de ␪ e ␾. Cada uma dessas partes tem que ser igual a uma constante, que denominamos k. Se fôssemos determinar a solução da parte angular (aquela envolvendo ␪ e ␾), obteríamos k como sendo um número quântico relacionado ao momento angular do átomo. Para o restante desse projeto, consideraremos o caso k ⫽ 0, que corresponde a estados com momento angular nulo. Nesse ponto, resolva os Problemas 5-7. 5. Coloque k ⫽ 0 na equação (6) e considere seu limite como sendo r → ⬁. Mostre que e⫺Cr, onde (7) é uma solução para essa equação limite. 6. Com base no exercício anterior, considere uma solução geral da forma R(r) ⫽ f(r)e⫺Cr para uma função analítica f(r). Por analiticidade, a função f(r) possui uma expansão em série. Substitua essa série na equação (6) (com k ⫽ 0) e deduza que os coeficientes ai satisfazem a relação recursiva (8). onde 7. Mostre que o limite da equação (8) para valores grandes , que é a série de potência para a. de j é 2Cr. nas do raio r, é natural para esse problema considerar coordenadas esféricas (r, ␪, ␾) definidas pelas equações. função e . Conclua que a única forma da função R(r) decair para zero com o aumento de r ocorre quando a série de potência para f(r) termina após um número finito de termos. Finalmente, observe que esse será o caso se e somente se nC ⫽ B para algum inteiro n.. Comece por reescrever a equação (5) nessas coordenadas (recorde a expressão para o operador Laplaciano em coordenadas esféricas indicado em (2) da Seção 15.3). Aplique agora separação de variáveis com ⌿(x). Nosso problema final nesse projeto resultará nos níveis de energia do átomo de hidrogênio como consequência do trabalho realizado. Você deve observar que, até o momento, a existência de níveis de energia.

(14) quantizados não teve que ser postulada, mas sim deduzida a partir da análise matemática da equação de Schrödinger. Como os passos de obtenção são mais difíceis do que aqueles seguidos por Bohr, deve estar claro para você que a eliminação dos axiomas diretos de quantização de Bohr foi uma realização significativa de Schrödinger, pela qual ele foi premiado com o prêmio Nobel de física em 1933.. 8. Utilize a condição expressada no exercício anterior e as fórmulas obtidas para C e B para concluir que as energias permitidas para o átomo de hidrogênio em um estado com momento angular nulo são (9) que devem coincidir com os níveis de energia que você obteve para o átomo de Bohr no Problema 2..

(15) . PROJETO PARA A SEÇÃO 6.4. A desigualdade da incerteza em processamento de sinais Jeff Dodd, Ph.D Departamento de Matemática, Computação e Ciência da Informação, Jacksonville State University. Engenheiros de comunicação interpretam a transformada de Fourier como decompondo um sinal f(x) que transporta informação, onde x representa o tempo, em uma superposição de “tons” senoidais puros tendo frequências representadas por uma variável real. De fato, engenheiros usualmente pensam a respeito da representação resultante no “domínio da frequência” tanto quanto ou mais do que a respeito da representação no “domínio do tempo” (isto é, o próprio sinal)! Um fato fundamental do processamento de sinais é que quanto mais estreito for um sinal no domínio do tempo, mais largo ele será no domínio da frequência. De modo oposto, quanto mais estreito um sinal no domínio da frequência, mais largo ele será no domínio do tempo. Esse efeito é importante porque na prática um sinal tem que ser enviado em um intervalo de tempo limitado e usando um intervalo limitado, ou “faixa”, de frequências. Nesse projeto, descreveremos e investigaremos esse compromisso entre duração e largura de faixa de modo qualitativo e quantitativo. Os resultados da nossa investigação darão suporte a uma regra prática comum: o número de sinais diferentes que podem ser enviados em uma certa duração de tempo utilizando uma determinada faixa de frequências é proporcional ao produto da duração do tempo e largura da faixa de frequências.. Problemas relacionados Aplicaremos a forma complexa da transformada de Fourier e da transformada inversa de Fourier indicadas em (5) e (6) da Seção 6.4. Utilizaremos a notação para representar a transformada de Fourier de uma função f(x) de uma maneira compacta que torna explícita sua dependência em relação a f – isto é, ⫽ F{f(x)}. Consideramos f como sendo uma função de valores reais. A seguir, você desenvolverá duas propriedades simples que se aplicam a . 1. Mostre que se ␣ ⬎ 0, então . Logo, para qualquer ␣, . (Aqui as notações e |z|. representam o conjugado e o módulo de um número complexo z, respectivamente). 2. Se k for um número real, considere fk(x) ⫽ f(x – k). Mostre que. Assim, deslocar um sinal no tempo não afeta os valores de no domínio da frequência. Mantendo esses fatos em mente, consideramos agora o efeito de estreitar ou alargar um sinal no domínio do tempo simplesmente escalonando a variável temporal. 3. Se c for um número positivo, considere fc(x) ⫽ f(cx). Mostre que. Portanto, estreitar a função do sinal f no domínio do tempo (c ⬎ 1) alarga a sua transformada no domínio da frequência, e alargar a função do sinal f no domínio do tempo (c ⬍ 1) estreita a sua transformada no domínio da frequência. Para quantificar o efeito que observamos no Problema 3, precisamos definir uma medida de “largura” do gráfico de uma função. A medida utilizada mais comum é a largura da raiz da média dos quadrados (ou raiz quadrática média), que quando aplicada a um sinal f nos domínios do tempo e da frequência, resulta em uma raiz quadrática média da duração D(f) e uma raiz quadrática média da largura de faixa B(f) indicadas por. e. Assim, a largura de faixa e a duração são calculadas com relação aos “centros” de ␣ ⫽ 0 e x ⫽ 0, pois, pelos Pro2 blemas 1 e 2, o gráfico de é simétrico em torno de ␣ ⫽ 0 no domínio da frequência, e o sinal pode ser deslocado horizontalmente no domínio do tempo sem 2 afetar o gráfico de no domínio da frequência. 4. Mostre que, para uma família de funções fc(x) definidas no Problema 3, D(fc) · B(fc) é independente de c. 5. Mostre que para a família de funções fc(x) ⫽ e⫺c|x|, (Sugestão: Pelo Problema 4, podemos adotar f(x) ⫽ f1(x). A integral de Fourier neces-.

(16) sária pode ser retirada do Exemplo 3 da Seção 6.3. Para calcular as integrais em D( f ) e B( f ), pense a respeito de integração por partes e frações parciais, respectivamente.) A duração e a largura de faixa de um sinal são inversamente proporcionais uma em relação a outra sob o escalonamento da variável de tempo. E em relação à constante de proporcionalidade? Quão pequeno D( f ) · B( f ) pode ser? Notavelmente, existe um limite inferior para esse produto. 6. Obtenha a desigualdade da incerteza: Se. (c) Estabeleça a desigualdade da incerteza. [Sugestão: Primeiro, aplique a desigualdade de Schwartz como segue:. Aplique integração por partes para mostrar que Reescreva a segunda integral que aparece no lado direito da desigualdade utilizando a propriedade operacional (11) da Seção 6.4 e a fórmula de Parseval.] 7. (a) Mostre que se f indicar o mínimo valor possível de D( f ) · B( f ), então. e. então D( f ) · B( f ) ⱖ. Siga esses passos.. (a) Estabeleça a fórmula de Parseval:. [Sugestão: Aplique o teorema da convolução indicado no Problema 20, Exercícios 6.4 com g(x) ⫽ f(⫺x).. onde c é alguma constante. Resolva essa equação diferencial para mostrar que para c ⬍ 0 e d ⫽ uma constante. (Tal função é chamada função gaussiana. Funções gaussianas desempenham papel importante na teoria da probabilidade.) (b) Tome a transformada de Fourier de ambos os lados da equação diferencial do item (a) para obter uma equação diferencial para e mostre que , onde c é a mesma do item (a). Você precisará da seguinte consideração:. Especificamente, aplique a fórmula para a transformada inversa de Fourier apresentada em (6) da Seção 6.4, mostre que ⫽ 0.]. e então adote x. (b) Estabeleça a desigualdade de Schwartz: Para funções reais h1 e h2,. (No Problema 35 dos Exercícios 3.11 do Volume 2, vimos que podemos deduzir que. A partir desse fato, ). Logo, o mínimo valor possível de D( f ) · B( f ) é alcançado para uma função gaussiana, cuja transformada de Fourier é outra função gaussiana! com igualdade ocorrendo somente quando h2 ⫽ ch1, onde c é uma constante [Sugestão: Escreva. como uma expressão quadrática A␭2 ⫹ B␭ ⫹ C na variável real ␭. Note que a expressão quadrática é não negativa para todo ␭ e considere o discriminante B2 – 4AC.]. A palavra “incerteza” está associada com a desigualdade apresentada no Problema 6 pois, a partir de um ponto de vista mais abstrato, ela é matematicamente análoga ao famoso princípio da incerteza de Heisenberg da mecânica quântica. (A interpretação desse princípio de mecânica quântica é uma tarefa sutil, mas ele é comumente compreendido como “quanto mais exata for determinada a posição de uma partícula, com menos exatidão se conhecerá seu momento, e vice-versa”.).

(17) . PROJETO PARA A SEÇÃO 6.4. Difração de Fraunhofer por uma abertura circular. a sua origem está onde toda a luz a partir da estrela apareceria na ausência da difração. Em decorrência da difração, no entanto, alguma luz aparecerá também em P. O ponto P é um ponto genérico mas muito próximo de O, estando a apenas poucos arco-segundos de distância.. Anton M. Jopko, Ph.D Departamento de Física e Astronomia, MacMaster University Lente. Como as estrelas no céu estão a uma enorme distância de nós, podemos considerá-las fontes pontuais de luz. Se você olhar para uma estrela por meio de um telescópio, você esperaria ver apenas outro ponto de luz, embora muito mais brilhante, certo? Entretanto, esse não é o caso. Como a luz é uma onda, ela se difrata ao passar pela abertura circular do telescópio e se espalha sobre uma pequena região nebulosa que chamaremos de diagrama de difração. Esse projeto investigará o formato do diagrama de difração para a luz que passa por uma abertura circular de raio R. Para simplificar, consideramos que a luz tenha um comprimento de onda, ou cor, ␭. Próxima à estrela, essa onda tem uma frente de onda esférica, porém, quando ela nos atinge, sua frente de onda tem a forma de uma onda plana. Todos os pontos na frente de onda têm a mesma fase. Vamos agora apontar o telescópio com a sua abertura circular e suas lentes diretamente para a estrela de modo que as frentes das ondas planas incidam pela esquerda, como na Figura 1.. Lente. Figura 2. Na Figura 2, ligamos a abertura e as lentes, pois na prática as extremidades da lente também definem a abertura. Por causa da simetria circular das lentes e do diagrama de difração, é desejável que trabalhemos em coordenadas polares. Considere uma onda sendo emitida a partir de um ponto S na lente com coordenadas (X,Y) ou (␳, ␪) e que chegue em P com coordenadas (L, M) ou coordenadas angulares (w, ␺). Então, X ⫽ ␳ cos␪, Y ⫽ ␳ sen␪, L ⫽ w cos␺ e M ⫽ w sen ␺. Aqui ␳ é a distância radial a partir do centro das lentes para a fonte S da onda emitida, e ␪ é o seu ângulo polar; w é o raio angular de P, e ␺ é o seu ângulo polar. As ondas emitidas na abertura estão em fase e têm a mesma amplitude, porém todas elas viajam distâncias diferentes até o ponto P, se tornando fora de fase lá. A intensidade da luz em P será proporcional ao quadrado da amplitude resultante de todas as ondas que chegam em P. Precisamos agora calcular essa amplitude resultante considerando as diferenças de fase entre as ondas. Definimos o número de onda das ondas incidente e emitida como sendo k ⫽ 2␲/␭. Então, de acordo com o livro Principles of Optics, sétima edição, de Born e Wolf, a amplitude resultante em P a partir de todas as ondas emitidas na abertura é apenas a transformada de Fourier da abertura:. Raio de abertura R. Figura 1. Difração da luz.. A partir do princípio de Huygen, cada ponto na abertura circular emite uma onda em todas as direções. A difração de Fraunhofer requer que as ondas deixem a abertura em um agrupamento paralelo se propagando em direção a um ponto P muito distante. O único propósito das lentes é formar uma imagem pontual desse agrupamento paralelo a uma distância muito mais próxima da abertura. A difração aconteceria mesmo sem as lentes. A linha tracejada unindo as duas origens é também o eixo da abertura e das lentes. O sistema LM de coordenadas está no plano focal da lente, e. onde C é uma constante, proporcional em parte ao brilho da estrela. A intensidade em P será então dada por |U(P)|2. Esse é o diagrama de difração para a estrela em função do raio angular w. Problemas relacionados 1. Mostre que a amplitude resultante em P utilizando os dois sistemas de coordenadas polares pode ser escrita como.

(18) 2. Utilizando a identidade. 7. Qual é o valor da menor raiz não nula de J1? Utilizando ␭ ⫽ 550 nm, R ⫽ 10 cm e a menor raiz anteriormente obtida, calcule o raio angular w (em arco-segundos) do disco de difração central.. onde Jn é a função de Bessel de primeiro tipo, mostre que a amplitude resultante se reduz para. para qualquer ␺. Escolhemos ␺ ⫽ 0. (Essa expressão é também conhecida como transformada de Hankel de uma abertura circular.) 3. Utilizando a relação de recorrência. 8. Trace um gráfico de. como uma função de kRw. bem como da intensidade, seu quadrado. O diagrama de difração da estrela consiste de um disco central brilhante envolto por diversos anéis concêntricos finos e de pouca luminosidade. O disco é denominado disco de Airy em homenagem a G.B. Airy, que foi o primeiro a calcular o diagrama de difração de uma abertura circular em 1826. 9. O que ocorre com a largura angular do diagrama de difração se o raio R da abertura for duplicado? 10. O que ocorre com a largura angular do diagrama de difração se o comprimento de onda ␭ da luz for duplicado? 11. O que ocorre com a largura angular do diagrama de difração se o comprimento focal das lentes for duplicado?. mostre que. 4. Mostre que. Portanto, a inten-. 13. Suponha que o anel no Problema 12 seja muito estreito, de modo que b ⫽ a ⫹ ⌬a, com ⌬a sendo pequeno, mas não infinitesimal. Mostre então que a amplitude resultante aproximada é dada por U(P) ⫽ C(2␲a⌬a)J0(kwa). [Sugestão: Interprete o resultado U(p) do Problema 12. sidade é dada por. 5. O que é. 12. Suponha que uma abertura circular tenha o formato de um anel com raio interno a e raio externo b. Determine U(P). (Esse resultado tem importância prática, pois telescópios refletores quase sempre têm uma obstrução na parte central da abertura.). ?. 6. Qual é o significado físico de I0?. como uma aproximação para u ⫽ kwa.]. com.

(19) . PROJETO PARA A SEÇÃO 7.2. Instabilidades de métodos numéricos Dmitry Pelinovsky, Ph.D Departamento de Matemática e Estatística, MacMaster University. Métodos de diferenças finitas para soluções numéricas de equações diferenciais parciais podem ser surpreendentemente inapropriados para aproximações numéricas. O problema principal dos métodos de diferenças finitas (especialmente com esquemas de interação explícita) é que eles podem aumentar os ruídos de arredondamento numérico em decorrência de instabilidades intrínsecas. Tais instabilidades ocorrem muito frequentemente em trabalhos de pesquisa. Um engenheiro deve estar preparado para essa situação. Após gastar diversas horas no desenvolvimento de um novo método numérico para modelagem de um problema aplicado e na programação cuidadosa do método em uma linguagem computacional, o programa pode se tornar inútil por causa das suas instabilidades dinâmicas. A Figura 1 ilustra uma solução numérica da equação de onda por um método de diferenças finitas explícito, onde o passo de tempo k excede metade do tamanho de passo quadrado k (veja o Exemplo 1 na Seção 7.2). Espera-se que uma solução de uma equação do calor para uma haste de comprimento infinito com temperaturas nulas nas extremidades exiba um decaimento suave a partir de uma distribuição de calor inicial para o nível constante de temperatura zero. No entanto, a superfície na Figura 1. mostra que o decaimento suave esperado é destruído pelo ruído que cresce rapidamente devido às instabilidades dinâmicas do método explícito. As instabilidades de métodos numéricos de diferenças finitas podem ser compreendidas por uma aplicação elementar da transformada discreta de Fourier, que foi estudada na Seção 6.5. O princípio da superposição linear e a transformada discreta de Fourier nos permitem separar as variáveis em um método de diferenças finitas numérico e estudar a evolução temporal individual (interações) de cada modo de Fourier da solução numérica. Para simplificar, consideraremos o método de diferenças finitas explícito para a equação do calor ut ⫽ uxx no intervalo 0 ⱕ x ⱕ a sujeita às condições de contorno nulas em x ⫽ 0 e x ⫽ a e a uma condição inicial não nula no instante de tempo t ⫽ 0. A discretização numérica resulta no esquema de iteração explícita: (1) onde ui,j é uma aproximação numérica da solução u(x,t) no ponto da malha x ⫽ xi e o instante de tempo t ⫽ tj, enquanto que ␭ ⫽ k/h2 é o parâmetro de discretização. Vamos congelar o instante de tempo t ⫽ tj, j ⱖ 0 e expandir o vetor numérico (u0, j, u1, j,..., ui, j) definido na malha igualmente espaçada xi ⫽ ih, i ⫽ 0, 1,..., n, onde nh ⫽ a, na transformada discreta de Fourier do seno: (2) As condições de contorno u0, j ⫽ un, j ⫽ 0 são satisfeitas para qualquer j ⱖ 0. Em decorrência do princípio da superposição linear, consideraremos cada termo da soma na equação (2) separadamente. Assim, substituímos ui, j ⫽ ul, j sen(␬li), ␬l ⫽ ␲l/n no método explícito (1) e obtemos. (3) Utilizando a identidade trigonométrica,. o fator sen(␬li) é cancelado na equação (3) e obtemos uma fórmula de iteração simples para al, j:. onde (4) Sabendo que o fator Ql é independente de j, pode-se observar que a amplitude al, j do modo de Fourier sen(␬li) se modifica em j ⱖ 0, de acordo com a potência do fator Ql: Figura 1. Superfície da solução numérica..

(20) A amplitude al, j crescerá em j se |Ql| ⬎ 1, e será limitada ou decairá se |Ql| ⱕ 1. Portanto, a instabilidade do método de interação explícita é definida a partir da condição (5) Como Ql ⬍ 1 para ␭ ⬎ 0, a condição de estabilidade (5) pode ser reescrita como (6) que resulta na estabilidade condicional do método explícito para 0 ⬍ ␭ ⱕ 0,5. Quando ␭ ⬎ 0,5, o primeiro modo instável de Fourier corresponde a l ⫽ n, sendo responsável por um padrão alternante de tempo e espaço crescentes para a sequência de ui, j. Esse padrão é claramente visto na Figura 1. Assim, as instabilidades de métodos de diferenças finitas podem ser estudadas utilizando-se a transformada discreta de Fourier, o princípio da superposição linear e fatores explícitos de interação temporal. O mesmo método pode ser aplicado a outros métodos de diferenças finitas para equações do calor e de onda, e em geral para uma discretização de qualquer equação diferencial parcial linear com coeficientes constantes.. Problemas relacionados 1. Considere o método de Crank-Nicholson implícito para a equação do calor ut ⫽ uxx (veja o Exemplo 2 na Seção 7.2):. (7) onde ␣ ⫽ 2(1 ⫹ 1/␭), ␤ ⫽ 2(1 – 1/␭) e ␭ ⫽ k/h . Determine a fórmula explícita para Ql na equação (4) e prove que o método de Crank-Nicholson implícito (7) é incondicionalmente estável para qualquer ␭ ⬎ 0. 2. 2. Considere o método de diferença central explícito para a equação do calor ut ⫽ uxx: (8). Utilizando o mesmo algoritmo do Problema 1, reduza a equação (8) para um esquema de iteração de dois passos: (9) Utilizando o esquema de interação explícito (4), determine uma equação quadrática para Ql e resolva-a com a fórmula quadrática (veja o Exemplo 1 na Seção 11.2). Prove que o método de diferença central explícito (8) é incondicionalmente instável para qualquer ␭ ⬎ 0. 3. Considere o método de diferença central explícito para a equação de onda utt ⫽ c2uxx (veja o Exemplo 1 na Seção 7.3): (10) onde ␭ ⫽ ck/h é o número de Courant. Utilizando o mesmo algoritmo do Problema 2, determine e resolva a equação quadrática para Ql. Prove que |Ql| ⫽ 1 quando ambas as raízes da equação quadrática são complexas. Prove que a condição de estabilidade (5) é violada quando ambas as raízes da equação quadrática forem distintas e reais. Prove que o método de diferença central explícito (10) é estável para 0 ⬍ ␭2 ⱕ 1 e instável para ␭2 ⬎1. 4. Considere o método para frente no tempo e para trás no espaço para a equação do transporte ut ⫹ cux ⫽ 0: (11) onde ␭ ⫽ ck/h. Considere a transformada discreta complexa de Fourier com o modo de Fourier. e determine o fator de valor complexo Ql no esquema de iteração de um passo (4). Prove que o método para frente no tempo e para trás no espaço (11) é estável para 0 ⬍ ␭ ⱕ 1 e instável para ␭ ⬎1. 5. Considere o método para trás no tempo e central no espaço para a equação do transporte ut ⫹ cux ⫽ 0: (12) Utilizando o mesmo algoritmo do Problema 4, prove que o método para trás no tempo e central no espaço (12) é incondicionalmente estável para qualquer ␭ ⬎ 0..

(21) CAPÍTULO. 1 Sistemas de Equações Diferenciais Lineares Descrição do capítulo 1.1 Teoria preliminar 1.2 Sistemas lineares homogêneos 1.2.1. Autovalores reais distintos. 1.2.2. Autovalores repetidos. 1.2.3. Autovalores complexos. 1.3 Solução por diagonalização 1.4 Sistemas lineares não homogêneos 1.4.1. Coeficientes indeterminados. 1.4.2. Variação de parâmetros. 1.4.3. Diagonalização. 1.5 Exponencial de matriz Exercícios de revisão. Vimos pela primeira vez sistemas de EDs no Volume 1, na Seção 2.9, e fomos capazes de resolver alguns desses sistemas nas Seções 3.11 e 4.6 do mesmo volume. Neste capítulo nos concentraremos somente em sistemas de EDs de primeira ordem lineares. Enquanto a maioria dos sistemas considerados pode ser resolvida utilizando eliminação (Volume 1, Seção 3.11) ou transformada de Laplace (Volume 1, Seção 4.6), desenvolveremos uma teoria geral para esses tipos de sistemas e, no caso de sistemas com coeficientes constantes, um método de solução que utiliza alguns conceitos básicos da álgebra matricial. Veremos que essa teoria geral e procedimento de solução são similares àqueles de EDs de ordem elevada lineares considerados na Seção 3.3-3.5 do Volume 1. O material é fundamental também para a análise de sistemas de equações de primeira ordem não lineares (Capítulo 2)..

(22) 24. CAPÍTULO 1 Sistemas de Equações Diferenciais Lineares. 1.1 Observação para o estudante.. Teoria preliminar. Notação e propriedades matriciais são utilizadas extensivamente ao longo desse capítulo. Você deve rever o Capítulo 2 do Volume 2 caso não esteja familiarizado com esses conceitos. Introdução Relembre que na Seção 3.1 do Volume 1 ilustramos como resolver sistemas de n equações diferenciais lineares com n incógnitas da forma. (1). onde Pij são polinômios de vários graus no operador diferencial D. Nesse capítulo, restringiremos nosso estudo a sistemas de EDs de primeira ordem que sejam casos especiais de sistemas que tenham a forma normal. (2). Um sistema tal como (2) de n equações de primeira ordem é denominado sistema de primeira ordem. Sistemas lineares Quando cada uma das funções g1, g2,..., gn em (2) for linear nas variáveis dependentes x1, x2,..., xn, obtemos a forma normal de um sistema de primeira ordem de equações lineares:. (3). Fazemos referência a um sistema da forma indicada em (3) simplesmente como um sistema linear. Consideramos que os coeficientes aij(t) bem como as funções fi(t) sejam contínuos em um intervalo comum I. Quando fi(t) 0, i 1, 2,..., n, o sistema linear é dito ser homogêneo; caso contrário, ele é não homogêneo. Forma matricial de um sistema linear. tivas matrizes. Se X, A(t) e F(t) representarem as respec-.

(23) 1.1 Teoria Preliminar. então o sistema de equações diferenciais de primeira ordem lineares (3) pode ser escrito como. ou simplesmente. (4). Se o sistema for homogêneo, sua forma matricial é então (5) Exemplo 1 (a) Se. (b) Se. Sistemas escritos em notação matricial então a forma matricial do sistema homogêneo. então a forma matricial do sistema não homogêneo. ❑. D E F I N IÇ ÃO 1 . 1. Vetor solução. Um vetor solução em um intervalo é qualquer matriz coluna. cujas entradas são funções diferenciáveis que satisfazem o sistema (4) no intervalo.. Um vetor solução de (4), obviamente, equivale a n equações escalares x1 ␾1(t), x2 ␾2(t),..., xn ␾n(t), podendo ser interpretado geometricamente como um conjunto de equações paramétricas de uma curva espacial. Nos casos n 2 e n 3, as equações x1 ␾1(t), x2 ␾2(t), e x1 ␾1(t), x2 ␾2(t), x3 ␾3(t) representam curvas em duas e três dimensões, respectivamente. Trata-se de uma prática comum designar tal curva solução como trajetória. O plano é também chamado de plano de fase. Ilustraremos esses conceitos na seção a seguir, assim como no Capítulo 2.. 25.

(24) 26. CAPÍTULO 1 Sistemas de Equações Diferenciais Lineares. Exemplo 2. Verificação de soluções. Verifique que no intervalo (,). são soluções de Solução. (6). A partir de. e. , temos que. ❑. e. Grande parte da teoria de sistemas de n equações diferenciais de primeira ordem lineares é similar àquela para equações diferenciais lineares de ordem n. Problema de valor inicial. Seja t0 um ponto em um intervalo I e. onde ␥i, i 1, 2,..., n são constantes dadas. Assim, o problema Resolver: Sujeita a:. (7). é um problema de valor inicial no intervalo.. TEOREMA 1.1. Existência de uma solução única. Considere as entradas das matrizes A(t) e F(t) como sendo funções contínuas em um intervalo comum I que contenha o ponto t0. Logo, existe uma única solução do problema de valor inicial (7) no intervalo. Sistemas homogêneos. Nas próximas definições e teoremas, estaremos interessados somente em sistemas homogêneos. Sem definir, consideraremos sempre que aij e fi sejam funções contínuas de t em algum intervalo comum I.. Princípio da superposição O resultado apresentado a seguir é um princípio da superposição para a solução de sistemas lineares.. TEOREMA 1.2. Princípio da superposição. Considere X1, X2,..., Xk um conjunto de vetores solução do sistema homogêneo (5) em um intervalo I. Assim, a combinação linear onde os ci, i 1, 2,..., k são constantes arbitrárias, é também uma solução no intervalo..

(25) 1.1 Teoria Preliminar. Decorre do Teorema 1.2 que um múltiplo constante de qualquer vetor solução de um sistema homogêneo de equações diferenciais de primeira ordem lineares é também uma solução. Exemplo 3. Utilizando o princípio da superposição. Você deve praticar verificando que os dois vetores. são soluções do sistema (8) Pelo princípio da superposição, a combinação linear. ❑. é outra solução do sistema.. Dependência linear e independência linear Estamos principalmente interessados em soluções linearmente independentes do sistema homogêneo (5).. D E F I N IÇ ÃO 1 . 2. Dependência/independência linear. Considere X1, X2,..., Xk como sendo um conjunto de vetores solução do sistema homogêneo (5) em um intervalo I. Dizemos que o conjunto é linearmente dependente no intervalo se existirem constantes c1, c2,... ck, nem todas nulas, de modo que para todo t no intervalo. Se o conjunto de vetores não for linearmente dependente no intervalo, ele será linearmente independente.. O caso no qual k 2 deve estar claro; dois vetores solução X1 e X2 são linearmente dependentes se um for múltiplo constante do outro, e vice-versa. Para k 2, um conjunto de vetores solução é linearmente dependente se pudermos expressar ao menos um vetor solução como uma combinação linear dos vetores restantes. Wronskiano. Como na nossa consideração inicial da teoria de uma única equação diferencial ordinária, podemos introduzir o conceito do determinante Wronskiano como um teste para a independência linear. Enunciamos o seguinte teorema sem demonstração.. TEOREMA 2.3. Critério para soluções linearmente independentes. Considere. sendo n vetores solução do sistema homogêneo (5) em um intervalo I. Logo, o conjunto de vetores solução será linearmente independente em I se e somente se o Wronskiano. (continua). 27.

(26) 28. CAPÍTULO 1 Sistemas de Equações Diferenciais Lineares. (continuação). (9). para todo t no intervalo.. Pode ser mostrado que se X1, X2,..., Xn forem vetores solução de (5), então, para todo t em I, W(X1, X2,..., Xn) ⫽ 0 ou W(X1, X2,..., Xn) 0. Assim, se pudermos demonstrar que W ⫽ 0 para algum t0 em I, então W ⫽ 0 para todo t, e consequentemente o conjunto de soluções é linearmente independente no intervalo. Observe que, ao contrário da nossa definição de Wronskiano na Seção 3.1 do Volume 1, aqui a definição do determinante (9) não envolve diferenciação. Exemplo 4. Soluções linearmente independentes. No Exemplo 2 vimos que. e. são soluções do sistema (6).. Claramente X1 e X2 são soluções linearmente independentes no intervalo (,), pois nenhum vetor é um múltiplo constante do outro. Além disso, temos. ❑. para todos os valores reais de t.. D E F I N IÇ ÃO 1 . 3. Conjunto fundamental de soluções. Qualquer conjunto X1, X2,..., Xn de n vetores solução linearmente independentes do sistema homogêneo (5) em um intervalo I é dito ser um conjunto fundamental de soluções no intervalo.. TEOREMA 1.4. Existência de um conjunto fundamental. Existe um conjunto fundamental de soluções para o sistema homogêneo (5) em um intervalo I.. Os próximos dois teoremas são os equivalentes em sistema linear dos Teoremas 3.5 e 3.6 do Volume 1.. TEOREMA 1.5. Solução geral – Sistemas homogêneos. Considere X1, X2,..., Xn como sendo um conjunto fundamental de soluções do sistema homogêneo (5) em um intervalo I. Assim, a solução geral do sistema no intervalo é onde os ci, i 1, 2,..., n são constantes arbitrárias.. Exemplo 5. Solução geral do sistema (6). A partir do Exemplo 2, sabemos que. são soluções. linearmente independentes de (6) em (,). Portanto, X1 e X2 formam um con-.

(27) 1.1 Teoria Preliminar. junto fundamental de soluções no intervalo. A solução geral do sistema no intervalo é então (10) ❑. Exemplo 6. Solução geral do sistema (8). Os vetores. são soluções do sistema (8) no Exemplo 3 (veja o Problema 16 nos Exercícios 1.1). Agora. para todos os valores reais de t. Concluímos que X1, X2 e X3 formam um conjunto fundamental de soluções em (,). Assim, a solução geral do sistema no intervalo é a combinação linear X c1X1 c2X2 c3X3, isto é, ❑. Sistemas não homogêneos Para sistemas não homogêneos, uma solução particular Xp em um intervalo I é qualquer vetor, livre de parâmetros arbitrários, cujas entradas são funções que satisfazem o sistema (4).. TEOREMA 1.6. Solução geral – Sistemas não homogêneos. Considere Xp uma solução dada do sistema não homogêneo (4) em um intervalo I, e seja a solução geral no mesmo intervalo do sistema homogêneo associado (5). Logo, a solução geral do sistema não homogêneo no intervalo é A solução geral Xc do sistema homogêneo (5) é chamada de função complementar do sistema não homogêneo (4).. Exemplo 7 O vetor. Solução geral – sistema não homogêneo é uma solução particular do sistema não homogêneo (11). 29.

(28) 30. CAPÍTULO 1 Sistemas de Equações Diferenciais Lineares. no intervalo (,). (Verifique isso.) A função complementar de (11) no mesmo in, foi vista em (10) do Exemplo 5 como. tervalo, ou a solução geral de sendo. . Portanto, pelo Teorema 1.6,. é a solução geral de (11) em (,).. EXERCÍCIOS 1.1. As respostas de problemas ímpares selecionados estão na página 387.. Nos Problemas 1-6, escreva o sistema linear na forma matricial. 1.. ❑. 2.. Nos Problemas 11-16, verifique que o vetor X é uma solução do sistema indicado. 11.. 3.. 4. 12.. 5.. 13. 14.. 15. 6. 16.. Nos Problemas 7-10, escreva o sistema indicado sem utilizar matrizes. 7.. Nos Problemas 17-20, os vetores dados são soluções de um sistema X¿ AX. Determine se os vetores formam um conjunto fundamental em (,). 17. 18.. 8. 19. 9.. 10..

(29) 1.2 Sistemas Lineares Homogêneos 25. Prove que a solução geral de 20. Nos Problemas 21-24, verifique que o vetor Xp é uma solução particular do sistema dado. no intervalo (,) é. 21.. 22. 26. Prove que a solução geral de 23.. no intervalo (,) é 24.. 1.2. Sistemas lineares homogêneos. Introdução. No Exemplo 5 da Seção 1.1, vimos que a solução geral do sistema. homogêneo Como ambos os vetores solução têm a forma. i 1,2, onde k1, k2, ␭1 e. ␭2 são constantes, somos solicitados a dizer se podemos sempre obter uma solução da forma. (1). para o sistema de primeira ordem linear homogêneo (2) onde a matriz de coeficientes A é uma matriz de constantes n n. Se (1) for um vetor solução do sistema, então X¿ K␭e␭t de modo que (2) se escreve K␭␭e␭t AK␭e␭t. Após cancelar ␭e␭t e rearranjando, obtemos AK ␭K ou AK ␭K 0. Como K IK, a última equação é o mesmo que Autovalores e autovetores. (3). Trabalharemos somente com sistemas lineares de coeficientes constantes.. 31.

(30) 32. CAPÍTULO 1 Sistemas de Equações Diferenciais Lineares. A equação matricial (3) é equivalente às equações algébricas simultâneas. Assim, para obter uma solução não trivial X de (2), temos primeiro que obter uma solução não trivial do sistema anterior; em outras palavras, precisamos calcular um vetor não trivial K que satisfaça (3). Porém, para que (3) tenha outras soluções que não apenas a solução óbvia k1 k2 ... kn 0, temos que ter Essa equação polinomial em ␭ é chamada de equação característica da matriz A; as soluções dessa equação são os autovalores de A. Uma solução K ⫽ 0 de (3) que corresponde a um autovalor ␭ é denominada um autovetor de A. Uma solução do sistema homogêneo (2) é então X Ke␭t. Na discussão que se segue, examinaremos três casos: todos os autovalores sendo reais e distintos (isto é, não existem autovalores iguais), autovalores repetidos, e, finalmente, autovalores complexos.. 1.2.1. Autovalores reais distintos. Quando a matriz A n n tem autovalores reais e distintos ␭1, ␭2,..., ␭n, então um conjunto de n autovetores linearmente independentes K1, K2,..., Kn pode sempre ser obtido e é um conjunto fundamental de soluções de (2) em (,).. TEOREMA 1.7. Solução geral – Sistemas homogêneos. Considere ␭1, ␭2,..., ␭n como sendo n autovalores reais e distintos da matriz de coeficientes A do sistema homogêneo (2), e K1, K2,..., Kn os autovetores correspondentes. Logo, a solução geral de (2) no intervalo (,) é definida como. Exemplo 1. Autovalores distintos. Resolva. Solução. (4). Primeiro obtemos os autovalores e autovetores da matriz de coeficientes. A partir da equação característica. vemos que os autovalores são ␭1 1 e ␭2 4. Agora para ␭1 1, (3) é equivalente a.

(31) 33. 1.2 Sistemas Lineares Homogêneos. Logo, k1 k2. Quando k2 1, o autovetor correspondente é. x 6 5 4. Para ␭2 4, temos. 3 2 1 –3. de modo que k1 3k2/2, e portanto, com k2 2, o autovetor correspondente é. –2. –1. 0. 1. 2. 3. t. (a) Gráfico de x = e–t + 3e4t y 6 4. Como a matriz de coeficientes A é uma matriz 2 2, e por termos obtido duas soluções de (4) que são linearmente independentes,. 2 t. 0 –2 –4 –3. concluímos que a solução geral do sistema é. –2. –1. 0. 1. 2. 3. (b) Gráfico de y = –e–t + 2e4t. (5) ❑ Devemos ter em mente que uma solução de um sistema de equações diferenciais de primeira ordem lineares, quando escrito em termos de matrizes, é simplesmente uma alternativa ao método empregado na Seção 3.11 do Volume 1 – ou seja, listar as funções individuais e a relação entre as constantes. Se somarmos os vetores do lado direito de (5) e a seguir as igualarmos às entradas correspondentes no vetor da esquerda, obteremos a definição mais familiar. y 4 2 x. 0 –2 –5 –6 –8. Conforme destacado na Seção 1.1, podemos interpretar essas equações como equações paramétricas de uma curva ou trajetória no plano xy ou plano de fase. Os três gráficos ilustrados na Figura 1.1, x(t) no plano tx, y(t) no plano ty, e a trajetória no plano de fase, correspondem à escolha das constantes c1 c2 1 na solução. Um conjunto de trajetórias no plano de fase como mostrado na Figura 1.2 é dito ser um perfil de fase do sistema linear dado. O que parece ser duas retas pretas na Figura 1.2 são na verdade quatro retas-metade definidas parametricamente no primeiro, segundo, terceiro e quarto quadrantes pelas soluções X2, X1, X2, e X1, respectivamente. Por exemplo, as equações cartesianas , x 0, e y x, x 0, das retas-metade no primeiro e quarto quadrantes foram obtidas pela eliminação do parâmetro t nas soluções x 3e4t, y 2e4t, e x et, y et, respectivamente. Além disso, cada autovetor pode ser visto como um vetor de duas dimensões se estendendo ao longo de uma das retasmetade. O autovetor e. se localiza ao longo de. –10 0. 2,5. 5. 7,5. 10. 12,5. 15. (c) Trajetória definida por x = e –t + 3e 4t, y = –e –t + 2e 4t no plano de fase. Figura 1.1 Uma solução particular de (5) resulta em três planos coordenados diferentes.. y. no primeiro quadrante, x. se estende ao longo de y x no quarto quadrante; cada vetor se inicia. na origem, com K2 terminando no ponto (2,3) e K1 terminando em (1,1). A origem não é somente uma solução constante, x 0, y 0, para todo sistema linear homogêneo 22 X¿ AX, mas é também um ponto importante no estudo qualitativo de tais sistemas. Se pensarmos em termos físicos, as pontas das setas em uma trajetória na Figura 1.2 indicam a direção na qual uma partícula com coordenadas (x(t), y(t)) numa trajetória no tempo T se moveria com o aumento do tempo. Observe que as pontas das setas, sendo exceção apenas aquelas das retas-metade no segundo e quarto quadrantes, indicam que uma partícula se moveria para longe da origem com o aumento do tempo t. Se imaginarmos a escala de tempo de a , então a inspeção. Figura 1.2 ma (4).. Um perfil de fase do siste-.

(32) 34. CAPÍTULO 1 Sistemas de Equações Diferenciais Lineares. da solução x c1et 3c2e4t, y c1et 2c2e4t, c1 ⫽ 0, c2 ⫽ 0, mostra que uma trajetória, ou partícula em movimento, “começa” assintótica às retas-metade definidas por X1 ou –X1 (pois e4t é insignificante para t → ) e “termina” assintótica a uma das retas-metade definidas por X2 e –X2 (pois et é desprezível para t → ). Observamos que a Figura 1.2 representa um perfil de fase típico de todos os sistemas lineares homogêneo 22 X¿ AX com autovalores reais de sinais opostos. Veja o Problema 17 nos Exercícios 1.2. Além disso, perfis de fase nos dois casos para os quais autovalores reais distintos têm o mesmo sinal algébrico seriam perfis típicos de todos os sistemas lineares 22; a única diferença é que as pontas das setas indicariam que uma partícula se afastaria da origem em qualquer trajetória com t → quando ambos ␭1 e ␭2 fossem positivos, e se moveria em direção à origem em qualquer trajetória quando ambos ␭1 e ␭2 fossem negativos. Consequentemente, é comum denominar a origem como um repulsor no caso ␭1 0, ␭2 0, e um atrator no caso ␭1 0, ␭2 0. Veja o Problema 18 nos Exercícios 1.2. A origem na Figura 1.2 não é um repulsor nem um atrator. A investigação do caso restante quando ␭ 0 é um autovalor de um sistema linear homogêneo 22 é deixado como um exercício. Veja o Problema 48 nos Exercícios 1.2. Exemplo 2 Autovalores distintos (6). Resolva. Solução. Utilizando os cofatores da terceira linha, obtemos. e assim os autovalores são ␭1 3, ␭2 4, ␭3 5. Para ␭1 3, a eliminação de Gauss-Jordan resulta em. Então, k1 k3 e k2 0. A escolha k3 1 resulta em um autovetor e o vetor solução correspondente (7) De modo similar, para ␭2 4,. implica k1 10k3 e k2 k3. Escolhendo k3 1, obtemos um segundo autovetor e vetor solução (8).

(33) 1.2 Sistemas Lineares Homogêneos. Finalmente, quando ␭3 5, as matrizes aumentadas. resultam em. (9). A solução geral de (6) é uma combinação linear dos vetores solução em (7), (8) e (9): ❑. Uso de computadores. Pacotes matemáticos como MATLAB, Mathematica, Maple e DERIVE podem poupar tempo na obtenção dos autovalores e autovetores de uma matriz. Por exemplo, para calcular os autovalores e autovetores da matriz de coeficientes em (6) aplicando o Mathematica, utilizamos primeiro a definição da matriz por linhas:. Os comandos Eigenvalues[m] e Eigenvectors[m] digitados em sequência resultam em. respectivamente. No Mathematica, autovalores e autovetores podem também ser obtidos ao mesmo tempo por meio do comando Eigensystem[m].. 1.2.2. Autovalores repetidos. É claro que nem todos os n autovalores ␭1, ␭2,..., ␭n de uma matriz A n n precisam ser distintos, isto é, alguns dos autovalores podem ser repetidos. Por exemplo, a equação característica da matriz de coeficientes no sistema (10) 2 é diretamente mostrada como sendo (␭ 3) 0, e portanto ␭1 ␭2 3 é uma raiz de multiplicidade dois. Para esse valor, obtemos o autovetor único. (11) é uma solução de (10). Porém, como estamos obviamente interessados em determinar a solução geral do sistema, precisamos obter uma segunda solução. Em geral, se m for um inteiro positivo e (␭ ␭t)m for um fator da equação característica enquanto que (␭ ␭1)m+1 não for, então ␭1 é dito ser um autovalor de multiplicidade m. Os próximos três exemplos ilustram os seguintes casos: (i) Para algumas matrizes A nn, pode ser possível obter m autovetores linearmente independentes K1, K2,..., Km que correspondem a um autovalor ␭1 de multiplicidade m n. Nesse caso, a solução geral do sistema contém a combinação linear. 35.

(34) 36. CAPÍTULO 1 Sistemas de Equações Diferenciais Lineares. (ii) Caso exista somente um autovetor correspondente ao autovalor ␭1 de multiplicidade m, então m soluções linearmente independentes da forma. onde Kij são vetores coluna, podem sempre ser determinadas. Autovalor de multiplicidade dois Iniciamos considerando autovalores de multiplicidade dois. No primeiro exemplo, ilustramos uma matriz para a qual podemos determinar dois autovalores distintos que correspondem a um autovalor duplo.. Exemplo 3. Autovalores repetidos. Resolva. Solução. Expandir o determinante na equação característica. resulta em –(␭ 1)2(␭ 5) 0. Vemos que ␭1 ␭2 1 e ␭3 5. Para ␭1 1, a eliminação de Gauss-Jordan imediatamente nos dá. A primeira linha da última matriz significa k1 – k2 k3 0 ou k1 k2 – k3. As escolhas k2 1, k3 0 e k2 1, k3 1, resultam, respectivamente, em k1 1 e k1 0. Portanto, os dois autovetores correspondentes a ␭1 1 são. Como nenhum autovetor é um múltiplo constante do outro, obtivemos duas soluções linearmente independentes correspondentes ao mesmo autovalor. Por último, para ␭3 5, a redução.