Pesquisa Operacional. Modelos de Programação Linear. 15/10/13 UFVJM DECOM Luciana Assis

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Pesquisa Operacional

(2)

UFVJM DECOM Luciana Assis www.dcc.ufmg.br/~lpassis

Introdução

• _{Modelos
de
Programação
Linear
é
básico
para}

compreensão de todos os outros modelos de

Programação MatemáMca.

• _{Existe
algoritmos
muito
eﬁcientes
para
solução}

dos modelos.

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CaracterísMcas

• _{Proporcionalidade}

• _{Não
NegaMvidade}

• _AdiMvidade

• _{Separabilidade}

Sempre é possível

desenvolver dada

aMvidade e qualquer

proporção de um dado

recurso deve sempre

poder ser uMlizado.

A solução do modelo se

altera de um valor

constante dada

variação constante das

variáveis de decisão.

Pode-‐se idenMﬁcar de

forma separada o custo

especíﬁco das

operações de cada

aMvidade.

O custo total é a soma

das parcelas associadas

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Programação Linear

•  Consiste na maximização ou minimização de uma função linear denominada:

FUNÇÃO OBJETIVO

•  Respeitando um sistema linear de igualdades e desigualdades denominadas:

RESTRIÇÕES

•  Restrições determinam uma região denominada: CONJUNTO DE SOLUÇÕES VIÁVEIS

•  A melhor solução viável, aquela que maximiza ou minimiza a FO é denominada:

SOLUÇÃO ÓTIMA

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Exemplo

A WINDOR GLASS Inc. dispõe de capacidade extra para produzir dois novos produtos. A demanda é muito maior que a capacidade disponível (toda produção poderá ser vendida).

Pergunta-‐se: (a) o que produzir? (b) quanto produzir? (c) qual será o lucro? (d) qual o valor, em $/hora, da capacidade disponível em cada setor produMvo? Os dados estão na tabela abaixo.

Setor Produtivo Produto Capacidade Disponível

Janelas Portas

Montagem 1 hora/unid. - 4.000 horas/mês

Laminação - 2 hora/unid. 12.000 horas/mês

Corte 3 hora/unid. 2 hora/unid. 18.000 horas/mês

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Modelagem Conceitual e MatemáMca

• Variáveis

–  X1 = qtde. de janelas, em milhares de unidades; –  X2 = qtde. de portas, em milhares de unidades; –  Z = lucro total obMdo com novos produtos. • Restrições

– a) disponibilidade do setor de montagem; – b) disponibilidade do setor de laminação; – c) disponibilidade do setor de corte; – d) quanMdades não negaMvas.

• ObjeMvo

– Maximizar o lucro total da empresa

Setor Produtivo Produto Capacidade Disponível

Janelas Portas

Montagem 1 hora/unid. - 4.000 horas/mês

Laminação - 2 hora/unid. 12.000 horas/mês

Corte 3 hora/unid. 2 hora/unid. 18.000 horas/mês

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Exemplos de Modelos de Programação Linear

1.  Problema da dieta

3.  Problema das Ligas Metálicas

5.  Problema do SíMo

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Problema da dieta

•  Um nutricionista precisa estabelecer uma dieta contendo, pelo menos, 10 unidades de vitamina A, 30 unidades de vitamina B e 18 unidades de vitamina C. Essas vitaminas estão conMdas em quanMdades variadas em cinco alimentos que vamos chamar de s₁, s₂, s₃, s₄ e s₅. O quadro seguinte dá o número de unidades das vitaminas A, B e C em cada unidade desses cinco alimentos bem como o custo, em reais, por unidade. Calcular as quanMdades dos 5 alimentos que devem ser incluídas na dieta diária, a ﬁm de encontrarmos esses teores de vitaminas com o menor custo.

10/05/16 8 Alimentos > Vitaminas v S1 S2 S3 S4 S5 A 0 1 5 4 3 B 2 1 0 3 2 C 3 1 0 9 0 CUSTO 4 2 1 10 5

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Problema da dieta

• Iden%ﬁcar variáveis, restrições e FO.

1.  Variáveis: “Calcular quanMdade dos cinco alimentos”.

a)  Não se pode consumir quanMdade negaMva dos

alimentos. (“Não podemos comer -‐1 pão). LOGO:

retrição de não-‐nega%vidade.

expresso pela função linear:

Q(x) = 4x

₁

+ 2x

₂

+ 1x

₃

+ 10x

₄

+ 5x

₅

LOGO: FO à MIN Q(x)

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Problema da dieta

• RESUMINDO...

Min Q(x) = 4x

Problema das Ligas Metálicas

• Uma metalúrgica deseja maximizar sua receita bruta. A

tabela ilustra a proporção de cada material na mistura

para obtenção das ligas passíveis de fabricação. O preço

está cotado em Reais por tonelada da liga fabricada.

Também em toneladas estão expressas as retrições de

disponibilidade de matéria-‐prima.

10/05/16 12

Liga Baixa

Resistência ResistênciaLiga Alta Disponibilidade

Cobre 0,5 0,2 16

Zinco 0,25 0,3 11

Chumb

o 0,25 0,5 15

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Problema das Ligas Metálicas

•  Iden%ﬁcar variáveis, restrições e FO.

1.  Variáveis: QuanMdade produzida das ligas de baixa e alta resistência. LOGO: x₁, x₂

2.  Restrições:

a)  Disponibilidade de cobre 0,5x₁ + 0,2x₂ ≤ 16

c)  Disponibilidade de zinco 0,25x₁ + 0,3x₂ ≤ 11

c)  Disponibilidade de chumbo 0,25x₁ + 0,5x₂ ≤ 15

d)  Não NegaMvidade x₁ ≥ 0; x₂ ≥ 0

5.  Função ObjeMvo:

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Problema das Ligas Metálicas

demandas de seu próprio síMo, é imperaMvo que se plante 400m2_{de
trigo,
800m}2_{de
arroz
e
10.000m}2_{de
milho.}

Produtividade (kg por m2) Lucro (kg de produção)

Trigo 0,2 10,8

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Problema do SíMo

•  Iden%ﬁcar variáveis, restrições e FO.

1.  Variáveis: área em m2_{a
ser
plantada
de
Trigo,
Arroz
e
Milho.}

x₁, x_2, x₃ 2.  Restrições:

a)  Demanda do síMo

x₁ ≥ 400; x₂ ≥ 800; x₃ ≥ 10.000

c)  Área total disponível x₁ + x₂ + x₃ ≤ 200.000 c)  Armazenamento (kg)

0,2x₁ + 0,3x₂ + 0,4x₃ ≤ 60000 a)  Não NegaMvidade

x₁ ≥ 0; x₂ ≥ 0 ; x₃ ≥ 0 4.  Função ObjeMvo:

MAX Q(x) = (0,2*10,8)x₁ + (0,3*4,2)x₂ + (0,4*2,03)x₃

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Problema do SíMo

•  RESUMINDO... MAX Q(x) = 2,16x₁ + 1,26x₂ + 0,812x₃ SA: x₁ ≥ 400 x₂ ≥ 800 x₃ ≥ 10.000 x₁ + x₂ + x₃ ≤ 200.000 0,2x₁ + 0,3x₂ + 0,4x₃ ≤ 60000 x₁ ≥ 0; x₂ ≥ 0 ; x₃ ≥ 0

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EXERCÍCIOS

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•  Um jovem estava saindo com duas namoradas: Maria e Luísa. Sabe, por experiência, que:

–  Maria, elegante, gosta de frequentar lugares soﬁsMcados, mais caros, de modo que uma saída de três horas custará R$240,00.

–  Luísa, mais simples, prefere um diverMmento mais popular, de modo que uma saída de três horas custará R$160,00.

–  Seu orçamento permite dispor de R$960,00 mensais para diversão. Seus afazeres escolares lhe dão liberdade de, no máximo, 18 horas e 40.000 calorias de sua energia para aMvidades sociais.

–  Cada saída com Maria consome 5.000 calorias, mas com Luísa, mais alegre e extroverMda, gasta o dobro. –  Ele gosta das duas com a mesma intensidade.

•  Como ele deve planejar sua vida social para obter o número máximo de saídas?

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• Um fazendeiro tem 200 unidades de área de terra ,

onde planeja culMvar trigo, arroz e milho. A

produção esperada é de 1800 kg por unidade de

área plantada de trigo, 2100 kg por unidade de área

plantada de arroz e 2900 kg por unidade de área

plantada de milho. Para atender ao consumo interno

de sua fazenda, ele deverá plantar pelo menos 12

unidades de área de trigo, 16 unidades de área de

arroz e 20 unidades de área de milho. Ele tem

condições de armazenar no máximo 700 000 kg.

Sabendo que o trigo dá um lucro de $ 1,20 por kg, o

arroz $ 0,6 por kg e o milho $ 0,28 por kg, quantas

unidades de área de cada produto ele deve plantar

para que o seu lucro seja o maior possível?

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•  Considere o problema de encontrar a produção de duas ligas metálicas A e B, que são feitas de quatro metais disMntos, I, II, III, IV, de acordo com a especiﬁcação apresentada na tabela a seguir:

• Os quatro metais são extraídos de três minérios diferentes, cujas porcentagens em peso destes metais, quanMdades máximas dos minérios e custos por toneladas são fornecidas a seguir:

•  Considere que os preços de venda das ligas A e B sejam $ 200,00 e $ 300,00 por tonelada, respecMvamente.

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•  Devido ao número inconstante de passageiros, uma companhia de ônibus necessita de um número variado de motoristas de pendendo do horário considerado. A tabela a seguir especiﬁca a quanMdade de motoristas necessários:

•  Considere que cada motorista trabalha 8 horas seguidas e que o serviço pode ser iniciado as 1, 5, 9, 13, 17, ou 21h. Formule este problema como um PL de modo que as demandas sejam atendidas e o número de motoristas seja o menor possível.

(23)

(24)

•  Problema de Alocação de Recursos: Um fundo de invesMmentos tem até R$ 300.000,00 para aplicar em duas ações. A empresa D é diversificada (tem 40% do seu capital aplicado em cerveja e o restante aplicado em refrigerantes) e espera-‐se que forneça bonificações de 12%. A empresa N não é diversifica (produz apenas cerveja) e espera-‐se que distribua bonificações de 20%. Para este invesMmento, considerando a legislação governamental aplicável, o fundo está sujeito às seguintes restrições:

–  O invesMmento na empresa diversiﬁca pode aMngir R$ 270.000,00.

–  O invesMmento na empresa não-‐diversiﬁcada pode aMngir R$ 150.000,00.

–  O invesMmento em cada produto (cerveja ou refrigerante) pode aMngir R$ 180.000,00.

–  Pede-‐se: Qual o esquema de invesMmento que maximiza o lucro?

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Deseja&se' determinar' as' misturas' de' 4' derivados' do' petróleo,' que' serão' os' constituintes' de' três' tipos' de' gasolina' (extra,' super' e' comum).' O' objetivo' é' maximizar'o'lucro.' Constituintes' Máximo'disponível' (barris/dia)' Custo/barril'($)' 1' 3.000' 3' 2' 2.000' 6' 3' 4.000' 4' 4' 1.000' 5'

A' fim' de' manter' a' qualidade' de' cada' tipo' de' gasolina,' é' preciso' manter' as' porcentagens' dos' diversos' constituintes' dentro' dos' limites' especificados.' Os' preços'de'venda'de'cada'tipo'de'gasolina'por'barril'também'estão'indicados'na' tabela'abaixo:'

Tipo'de'Gasolina' Especificações' Preço'de'venda'($)'

' não'mais'''que'30%'de'1' ' A' não'mais'''que'50%'de'3' 5,50' ' não'menos'que'40%'de'2' ' B' não'mais'''que'50%'de'1' 4,50' ' não'menos'que'10%'de'2' ' C' não'mais'''que'70%'de'1' 3,50' '

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• _{Uma
reﬁnaria
deseja
produzir
com
mínimo
custo
a}

gasolina “Premium” que contenha, no mínimo, as

seguintes porcentagens dos componentes A, B e C, a

saber: 10% de A, 20% de B e 12% de C. Ela dispõe de

três diferentes Mpos de óleo cru

– 

_{do
Texas,
custa
$2/barril
e
tem
15%
de
A,
10%
de}

B e 9% de C;

– 

_{da
Pensilvânia,
custa
$2,5
o
barril
e
tem
18%
de}

A, 25% de B e 3% de C;

– 

_{da
Califórnia,
custa
$1,30/barril
e
tem
10%
de
A,}

15% de B e 30% de C.

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Num$ laboratório$ químico,$ querem$ produzir$ um$ ácido$ com$ as$ seguintes$ características:$$

a)$O$ ácido$ deve$ conter$ no$ mínimo$ 20%$ do$ componente$ B1,$ no$ máximo$ 20%$ do$ componente$B2$e$no$mínimo$35%$do$componente$B3;$

b)$O$peso$específico$deve$ser$menor$ou$igual$a$1.$ $

O$ácido$deverá$ser$produzido$a$partir$de$uma$mistura$de$três$matériasJprimas,$R1,$ R2,$ R3.$ A$ percentagem$ na$ qual$ os$ componentes$ B1,$ B2$ e$ B3,$ encontramJse$ nas$ matériasJprimas$ bem$ como$ o$ peso$ específico$ e$ o$ preço$ por$ unidade$ são$ dados$ pela$tabela$apresentada$a$seguir:$ $ _B1$ _B2$ _B3$ Peso$ Específico$ Preço$por$ unidade$($)$ R1$ 15$ 10$ 40$ 1,04$ 140$ R2$ 20$ 15$ 30$ 0,95$ 120$ R3$ 25$ 30$ 35$ 1,00$ 130$ $ Considere$que$o$peso$específico$do$ácido$será$dado$levandoJse$em$conta$a$proporção$ em$que$as$matériasJprimas$se$encontram$na$mistura$determinar$esta$proporção,$que$

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•  Uma indústria produz sucos de laranja e de tomate. O processo consiste na fabricação da lata, extração do suco e enlatamento. O mercado fornecedor pode fornecer tomate para 20.000 latas por semana, e laranjas para 30.000 latas por semana. Cada lata de suco de tomate dá um lucro de R$0,20 e de laranja de R$0,30. As latas são idênMcas, diferindo apenas no rótulo. As seções de fabricação de latas têm capacidade para produzirem 40.000 latas por semana. A seção de extração trabalha 40 horas por semana e pode produzir 1.000 latas de suco de laranja por hora ou 2.000 latas de suco de tomate por hora (ou qualquer outra combinação entre essas produções, ou seja, se produzir 1.000 latas de suco de laranja por hora, esgota toda sua capacidade e não pode produzir sucos de tomate; se dedicar metade de sua capacidade à produção de cada Mpo de suco, produzirá 500 latas de suco de laranja por hora e ainda 1.000 latas de suco de tomate por hora). A seção de enlatamento pode enlatar até 35.000 latas por semana, de um Mpo ou de outro, pois as latas são idênMcas.

–  Determinar a programação semanal de produção que leva a máximo lucro

Pesquisa Operacional. Modelos de Programação Linear. 15/10/13 UFVJM DECOM Luciana Assis