Introdução aos Circuitos Elétricos

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Introdução aos Circuitos Elétricos

A Transformada de Laplace

Prof. Roberto Alves Braga Jr. Prof. Bruno Henrique Groenner Barbosa

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A Transformada de Laplace

História

Pierri Simon de Laplace (1749–1827), astrônomo, matemático e físico francês, nasceu na localidade de Beumont, Província da Normandia. Fez importantes contribuições à mecânica celeste e em sua obra “Theórie Analitique”(1812) apresenta a transformada que

leva o seu nome, a Transformada de Laplace. Considerado um dos mais influente cientista francês de toda a história.

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A Transformada de Laplace

Introdução

I Importante ferramenta de trabalho em engenharia

I Abordagem de problemas em uma nova dimensão: s

I Principal objetivo:

I Resolver equações diferenciais lineares

I Normalmente vista em disciplinas como cálculo

I Apenas uma breve introdução será apresentada nesta disciplina

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A Transformada de Laplace

Etapas:

1. Um problema difícil é transformado em uma equação

simples (equação subsidiária)

2. Resolve-se a equação subsidiária mediante manipulações puramente algébricas

3. A resolução da equação subsidiária é transformada novamente para se obter a solução do problema dado (tabela)

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A Transformada de Laplace

Definição:

I Seja f (t) uma função qualquer no domínio do tempo (t > 0). Assim a transformada de Laplace de f(t) é dada por:

L{f (t)} = F(s) = Z ∞

0

e−s t f (t) dt sendo s um número complexo: s =σ + jω

I Não vamos entrar em detalhes sobre condições e definições, vamos aprendê-la por meio de exemplos

I Inicialmente faremos a transformada de algumas funções e depois veremos algumas aplicações

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A Transformada de Laplace

Exemplo 1: A função degrau

I f (t) = 1 quando t > 0. Encontrar L{f(t)} L{f (t)} = L{ 1 } = F(s), F(s) = Z ∞ 0 e−s t dt = −1 s e −s t ∞ 0 Assim, quando s > 0, L{1} = 1 s

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A Transformada de Laplace

Exemplo 2: A função exponencial

I f (t) = eα t quando t > 0 e α é constante. Encontrar L{f(t)} L{f (t)} = L{ eα t } = F(s), F(s) = Z ∞ 0 eα te−s t dt = Z ∞ 0 e−(s−α) tdt = −1 s −αe −(s−α) t ∞ 0

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A Transformada de Laplace

Exemplo 2: A função exponencial

F(s) = Z ∞ 0 eα te−s t dt = Z ∞ 0 e−(s−α) tdt = −1 s −αe −(s−_{α) t} ∞ 0 Assim, para s −α > 0, L{eα t} = 1 s −α(−e −(s−α)∞₊_e−(s−α)0₎ L{eα t} = 1 s −α

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A Transformada de Laplace

Algumas propriedades da Transformada de Laplace I Linearidade: a x(t) + b y(t)←_{→ a X (s) + b Y (s)}L I Derivada: L{f0} = s L{f } − f (0) L{f(n)} = snL{f } − sn−1f (0) − sn−2f0(0) −. . . − f(n−1)(0) I Convolução: x(t) ∗ y(t)←_{→ X (s) Y (s)}L

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A Transformada de Laplace

Algumas propriedades da Transformada de Laplace I Exemplo: Encontrar L{f00}, em que f (t) = t2,

para f (0) = 0, f0(0) = 0 e f00(0) = 2: L{f00} = L{2} = 2 s ou, L{f00} = s2L{f } − s f (0) − f0(0) como L{t2} = _sn+1n! , L{f00} = s2 2 s3 = 2 s

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Aplicações da Transformada de Laplace

Exemplo: Carga do Capacitor

I Encontrar υ(t). Como V = R i + υ e i = C d υ_{d t}: V = R Cd υ d t + υ d υ d t + 1 R Cυ = 1 R C V L _{d υ} d t + L ₁ R Cυ = L ₁ R C V s V(s) − υ(0) + 1 R C V(s) = 1 R C V s

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Aplicações da Transformada de Laplace

Exemplo: Carga do Capacitor

V(s) s + 1 R C − υ(0) = 1 R C V s V(s) = ₁ R C V s + υ(0) _{R C} R C s + 1 = ₁ R C V s + υ(0) ₁ s + _{R C}1 como υ(0) = 0 V(s) = V R C s 1 s + _{R C}1 I Na Tabela de Transformadas: L−1_{{V(s)} =} 1 s − a 1 s − b = 1 a − b ea t− eb t , a , b

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Aplicações da Transformada de Laplace

Exemplo: Carga do Capacitor I Neste caso, para b = _{R C}−1 e a = 0,

L−1_{{V(s)} = L}−1        V R C s − 0 1 s +_{R C}1        = V R C 1 R C e0− e−R C1 t υ(t) = V1 − e−R C1 t

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Aplicações da Transformada de Laplace

Exemplo: Massa-mola I Encontrar x(t). md 2_x d t2 +k x = 0 L ( md 2_x d t2 ) + L{k x} = 0 L( d 2_f d t2 ) =s2L{f } − s f (0) − f0(0) s2m X (s) − s m x0+k X (s) = 0

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Aplicações da Transformada de Laplace

Exemplo: Massa-mola s2m X (s) − s m x0+k X (s) = 0 X (s) = s m x0 s2_{m + k} = x0s s2₊ k m I Na Tabela de Transformadas: L−1 _s s2₊_ω2 =cosω t assim, paraω = q k m, L−1_{{X (s)} = x}₀ _cos r k mt

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Aplicações da Transformada de Laplace

Exemplo: Descarga do capacitor

I Encontrar υc(t), sendo υc(0) = V . i = C d υc d t , υc+R i = 0 ⇒ υc+R C d υc d t =0 d υc d t + 1 R Cυc =0 L −→ L _{d υ} c d t + L ₁ R Cυc =0 s Vc(s) − υc(0) + 1 RCVc(s) = 0 V_c_{(s) =} υc(0) s + 1 R C L−1 ₁ s + a =e−a t L−1{V_c_{(s)} = υ}_c_{(t) = υ}_c_{(0) e}R C−1t =V e −1 R Ct

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Aplicações da Transformada de Laplace

Exercício: Resolva por Laplace

L C d

2_υ

d t2 +R C

d υ

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Aplicações da Transformada de Laplace

Exemplo: Corrente de inrush

I Encontrar i(t), sendo i(0) = i0e υL(t) = L d i(t) d t . V − R i − L d i d t =0 L{V } = L{R i} + L L d i d t V

s =R I(s) + L (s I(s) − i0) =I(s) (R + s L ) − L i0 I(s) = _V s +L i0 ₁ R + s L = ₁ L V s + 1 LL i0 ₁ R L +s

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Aplicações da Transformada de Laplace

Exemplo: Corrente de inrush

I(s) = V L +s i0 ss +R_L I Tabela de Transformadas? I Frações Parciais: I(s) = A s − p1 + B s − p2 I para p1=0 e p2= −R_L I(s) = A s + B s + R_L

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Aplicações da Transformada de Laplace

Exemplo: Corrente de inrush I Frações Parciais: I(s) = A s + B s + R_L = V L +s i0 ss + R_L A = s I(s) _s=0 = V L +s i0 s + R_L _s=0 A = V L L R = V R B = s +R L I(s) _s=−R L = V L +s i0 s _s=−R L B = _V L − R Li0 −L R = −V R +i0

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Aplicações da Transformada de Laplace

Exemplo: Corrente de inrush I Expansão em Frações Parciais:

I(s) = A s + B s +R_L = V L +s i0 ss + R_L I(s) = V R s + −V R +i0 s + R_L i(t) = L−1{I(s)} = V R + i0− V R e−RLt I Consistência: lim t→∞i(t) = V R e t→0limi(t) = i0

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Expansão em Frações Parciais

Exemplo com raízes não múltiplas

s + 1 s3₊_s2_{− 6s} = s + 1 s(s − 2)(s + 3) = A s + B s − 2 + C s + 3 A = s s + 1 s(s − 2)(s + 3) _s=0 = −1 6 B = (s − 2) s + 1 s(s − 2)(s + 3) _s=2 = 3 10 C = (s + 3) s + 1 s(s − 2)(s + 3) _s=−3 = − 2 15

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Expansão em Frações Parciais

Exemplo com raízes múltiplas

3 s3₊_{15 s}2₊_{29 s + 21} (s + 1)2_{(s + 2)(s + 3)} = A1 s + 1 + A0 (s + 1)2 + B s + 2 + C s + 3 B = (s + 2)3 s 3₊_{15 s}2₊_{29 s + 21} (s + 1)2_{(s + 2)(s + 3)} _s=−2 B = −1 C = (s + 3)3 s 3₊_{15 s}2₊_{29 s + 21} (s + 1)2_{(s + 2)(s + 3)} _s=−3 C = 3

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Expansão em Frações Parciais

Exemplo com raízes múltiplas

3 s3₊_{15 s}2₊_{29 s + 21} (s + 1)2_{(s + 2)(s + 3)} = A1 s + 1+ A0 (s + 1)2 + B s + 2+ C s + 3 A0= (s + 1)2 3 s3₊_{15 s}2₊_{29 s + 21} (s + 1)2_{(s + 2)(s + 3)} _s=−1 =2 Ai = 1 i! di d si (s − p) m_F(s) _s=p A1= 1 1! d d s ( (s + 1)23 s 3₊_{15 s}2₊_{29 s + 21} (s + 1)2_{(s + 2)(s + 3)} ) _s=−1 A1=(9s 2_{+30s +29)(s}2_{+5s +6) − (3s}3_+15s2_{+29s +21)(2s +5)} (s2₊_{5s + 6)}2 _s=−1 A1=1

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Expansão em Frações Parciais

Exemplo com raízes complexas

s2₊_{s − 2} s3₊_3s2₊_{5s + 3} = s2₊_{s − 2} (s + 1)(s2₊_{2s + 3)} I Completar os quadrados: s2+2s + 3 = s2+2s + 1 + 2 = (s + 1)2+ ( √ 2)2 s2+s − 2 (s + 1)(s2₊_{2s + 3)} = A s + 1+ Bs + C (s + 1)2_{+ (} √ 2)2

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Expansão em Frações Parciais

s2+s − 2 (s + 1)(s2₊_{2s + 3)} = A s + 1+ Bs + C (s + 1)2_{+ (} √ 2)2 A = (s + 1) s 2₊_{s − 2} (s + 1)(s2₊_{2s + 3)} _s=−1 = −1 Bs + C (s + 1)2_{+ (} √ 2)2 = s2+s − 2 (s + 1)(s2₊_{2s + 3)}− −1 s + 1 Bs + C (s + 1)2_{+ (} √ 2)2 = 2s + 1 (s + 1)2_{+ (} √ 2)2 B = 2 C = 1

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Expansão em Frações Parciais

s2+s − 2 (s + 1)(s2₊_{2s + 3)} = −1 s + 1+ 2s + 1 (s + 1)2_{+ (} √ 2)2 I Tabela de Transformadas? −1 s + 1 + 2s + 1 (s + 1)2_{+ (} √ 2)2 −1 s + 1 + 2s + 2 − 1 (s + 1)2_{+ (} √ 2)2 −1 s + 1 +2 s + 1 (s + 1)2_{+ (} √ 2)2 − √1 2 √ 2 (s + 1)2_{+ (} √ 2)2

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Aplicação da Transformada de Laplace

Controle de Posição

I Controle Malha Fechada:

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Aplicação da Transformada de Laplace

Controle de Posição I Circuito elétrico:

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Aplicação da Transformada de Laplace

Controle de Posição ef − Rfif − Lf d if d t =0 L{ef} = L{Rfif} + L{Lf d if d t } Ef(s) = RfIf(s) + Lf s If(s) = If(s) [Rf +Lfs] G1(s) = I_f(s) Ef(s) = 1 Rf +Lfs

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Aplicação da Transformada de Laplace

I No gerador, e = kφ ω, onde φ = L i, assim, e = k L i ω e considerandoω constante, Kg=k Lω. Portanto,

eg =Kgif

L{eg} = KgL{if}

Eg(s)

If(s)

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Aplicação da Transformada de Laplace

Controle de Posição eg− em= (Lg+Lm)d im d t + (Rg+Rm)im Im(s) Eg(s) − Em(s) = 1 Rg+Rm 1 + Lg+Lm Rg+Rms Im(s) Eg(s) − Em(s) = 1 Rgm 1 + Lgm Rgms = 1 Rgm 1 + Tgms =G3(s)

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Aplicação da Transformada de Laplace

I Do motor para a carga: T = kφ im G4(s) = T (s) Im(s) =KT I Na carga: T = Jd 2_θ 0 d t +B dθ0 d t G5(s) = θ0 (s) T (s) = 1 B s(_BJs + 1) = 1 B s(1 + Tns)

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Aplicação da Transformada de Laplace

Controle de Posição I Retroação: em=kφ ω = Kb dθ0 d t H1(s) = Em(s) θ0(s) =Kbs I Simplificação do diagrama: Ef(s) Kg Rf 1 + Tfs KT RgmB sh(1 + Tgms)(1 + Tns) +KTKb RgmB i θ0(s) Ef(s) = KgKT RfRgmB s(1 + Tfs) h (TgmTns2) + (Tn+Tgm)s + 1 + KTKb RgmB i