Aula 17: Planos de Corte

Aula 17: Planos de Corte

Otimização Linear e Inteira

Túlio A. M. Toffolo

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Branch-and-bound em programação inteira Desigualdades válidas

Cortes combinatórios Exercícios

Aula de Hoje

1 _{Caixeiro Viajante}

2 _{Cortes Baseados em Arredondamento}

Caixeiro Viajante - Traveling Salesman Problem

Um vendedor precisa visitar

n

cidades, exatamente uma vez e então retornar ao seu ponto de partida.

A distância (ou o tempo esperado de locomoção) entre uma cidade

i

e outra cidade

j

é dada por

dij

. Deve-se encontrar uma ordenação das cidades que permita a conclusão da viagem no menor tempo possível.

Caixeiro Viajante - Formulação

Variáveis

x

ij

=

(

1

se a aresta (i, j) fará parte da rota

0

caso contrário

Restrições: chega 1 vez na cidade

X

i=1,...,n:i6=j

x

ij

= 1

∀j = 1, . . . , n

Restrições: sai 1 vez da cidade

X

Caixeiro Viajante - Formulação

Variáveis

xij= (

1 se a aresta (i, j) fará parte da rota 0 caso contrário

Restrições de Miller-Tucker-Zemlin (MTZ)

Sejam variáveis auxiliaresui≥ 0 (i = 1, ...n): u1= 1

Alternativas para remover Sub-Rotas

Restrições Cut-set

X

i∈S

X

j /∈S

x

ij

≥ 1

∀S ⊂ N, S 6= ∅

ou

Restrições de Eliminação de Sub-Rotas

X

i∈S

X

j∈S

Alternativas para remover Sub-Rotas

As restrições de eliminação de sub-rotas apresentadas no último slide podem ser incluídas por demanda:

Existe um número exponencial de restrições e, portanto, é inviável inserir todas as restrições.

Alternativa: resolvemos o problema (violando sub-rotas) e inserimos apenas as restrições que estão sendo violadas.

Aula de Hoje

1 _{Caixeiro Viajante}

2 _{Cortes Baseados em Arredondamento}

Introdução

Considere o Programa Inteiro a seguir:

Maximize: k

X

j=1

c

j

x

j Sujeito a: k

X

j=1

a

ij

x

j

≤ b

i

∀i = 1, 2, . . . , m

(1)

x

j

≥ 0

∀j = 1, 2, . . . , k

(2)

xj

∈ Z

∀j = 1, 2, . . . , k

(3)

Cortes Baseados em Arredondamento

Cortes de Gomory Mixed Integer Rounding Chvátal-Gomory

Exemplo de corte

Considere a restrição:

2x

1

+ 4x

2

≤ 17

(satisfeita por

x

1

= 1, 7

e

x

2

= 3, 4

). Vamos gerar outra restrição dividindo a primeira por 2:

x

1

+ 2x

2

≤ 8, 5

Note que do lado esquerdo temos apenas coeficientes inteiros e o valor das variáveis também deve ser inteiro. Portanto:

x

1

+ 2x

2

≤ 8

A restrição acima denomina-seDesigualdade VálidaouCorte. Note que um corte não invalida nenhuma solução inteira válida.

Cortando

1 2 3 4 Solução Inicial:

x

1

= 1, 67

x2

= 3, 4

z = 27, 11

Com o corte:

x

1

= 1, 8

x

2

= 3, 1

z = 26, 4

Cortando

1 2 3 4 Solução Inicial:

x

1

= 1, 67

x

2

= 3, 4

z = 27, 11

Com o corte:

x1

= 1, 8

x2

= 3, 1

z = 26, 4

Cortes de Chvátal-Gomory

k

X

j=1

a

ij

x

j

≤ b

i

∀i = 1, 2, . . . , m

(1) temos que: m

X

i=1

ui

k

X

j=1

aij

xj

≤

m

X

i=1

uibi

(2)

Desse modo, todas as soluções que satisfazem (1) exj ≥ 0também satisfazem: k

X

j=1

$

_m

X

i=1

u

i

a

ij

%

x

j

≤

m

X

i=1

u

i

b

i (3)

Cortes de Chvátal-Gomory

Tendo: k

X

j=1

$

_m

X

i=1

uiaij

%

xj

≤

m

X

i=1

ui

bi

(1)

e considerando que

xj

∈ Z

obtemos o corte de Chvátal-Gomory : k

X

j=1

$

_m

X

i=1

uiaij

%

xj

≤

$

_m

X

i=1

ui

bi

%

(2)

Exemplo 1

Maximize:

2x1

+ x2

Sujeito a:

7x

1

+ x

2

≤ 28

−x

1

+ 3x

2

≤ 7

−8x

1

− 9x

2

≤ −32

x

1

, x

2

≥ 0

x

1

, x

2

∈ Z

1 2 3 4 x₂

Exemplo 1

Restrições:

7x1+ x2≤ 28

−x1+ 3x2≤ 7

−8x1− 9x2≤ −32

Quais valores deu1...u3nos

oferecem um corte em: k X j=1 $_m X i=1 uiaij % xj≤ $_m X i=1 uibi % u1= 0, u2=1 3, u3= 1 3 −3x1− 2x2 ≤ −9 u1=₂₁1, u2= ₂₂7, u3 = 0 x2≤ 3

1 2 3 4 1 2 3 4 x1 x₂

Exemplo 1

Restrições:

7x1+ x2≤ 28

−x1+ 3x2≤ 7

−8x1− 9x2≤ −32

Quais valores deu1...u3nos

oferecem um corte em: k X j=1 $_m X i=1 uiaij % xj≤ $_m X i=1 uibi % u1= 0, u2=1₃, u3=1₃ −3x1− 2x2 ≤ −9 u1=₂₁1, u2= ₂₂7, u3 = 0

1 2 3 4 1 2 3 4 x x₂

Exemplo 1

Restrições:

7x1+ x2≤ 28

−x1+ 3x2≤ 7

−8x1− 9x2≤ −32

Quais valores deu1...u3nos

oferecem um corte em: k X j=1 $_m X i=1 uiaij % xj≤ $_m X i=1 uibi % u1= 0, u2=1₃, u3=1₃ −3x1− 2x2 ≤ −9 u1=₂₁1, u2= ₂₂7, u3 = 0 x2≤ 3

1 2 3 4 1 2 3 4 x1 x₂

Exemplo 2

Seja o modelo de Programação Inteira

P

a seguir:

min

X

j∈J

cjxj

s.t.

X

j∈J

aij

xj

≤ b

i

∀i ∈ I

xj

∈ Z

+

∀j ∈ J

Limites inferiores fortes para

P

podem ser obtidos pela inclusão de restrições de Chvàtal-Gomory na relaxação linear de

P

:

Exemplo 2

Considere as seguintes desigualdades:

i

1

: 2x

1

+ 5x

2

+ 3x

3

≤ 3

i2

: x1

+ x4

≤ 1

i3

: 3x1

− 2x

2

≤ 2

Seja

u = {0.25; 0.15; 0.5}

Desta forma, temos:

2.15x

1

+ 0.25x

2

+ 0.75x

3

+ 0.15x

4

≤ 1.9

αx

1

= 2

αx

2

= 0

α

x3

= 0

αx

4

= 0

Como encontrar cortes de Chvàtal-Gomory?

Fischetti e Lodi (2007) propuseram o MIP a seguir,S:

max : n X j=1 αjx∗j − α0 s.t. fj= uTAj− αj ∀j ∈ J∗ f0= uTb − α0 αj∈ Z+ ∀j ∈ J∗∪ {0} 0 ≤ fj ≤ 1 −  ∀j ∈ J∗ 0 ≤ ui ≤ 1 −  ∀i ∈ I

Exercícios

Considerando as restrições anteriores:

7x1

+ x2

≤ 28

−x

₁

+ 3x

2

≤ 7

−8x

₁

− 9x

₂

≤ −32

1 _{Encontre valores de}

_{u1, u2, u3}

_{que resultam no plano de corte:}

−x

1

− x

2

≤ −4

2 _{Encontre, se existirem, valores de}

_u1

_{, u2, u3}

_{que resultam na}

desigualdade:

−x

1

≤ −2

Aula de Hoje

1 _{Caixeiro Viajante}

2 _{Cortes Baseados em Arredondamento}

Cortes de Gomory

x1 x2 x3 x4 rhs

z : 0 0 1, 25 0, 75 5, 25 r1: 0 1 2, 25 −0, 25 2, 25

r2: 1 0 −1, 25 0, 25 3, 75

Um corte pode ser gerado a partir de uma solução fracionária no tableau (exemplo acima).

Seja a segunda restrição (

r2

):

x1

− 1, 25s

1

+ 0, 25s2

= 3, 75

Podemos utilizá-la para gerar cortes de Gomory!

Cortes de Gomory

x1 x2 x3 x4 rhs

z : 0 0 1, 25 0, 75 5, 25 r1: 0 1 2, 25 −0, 25 2, 25

r2: 1 0 −1, 25 0, 25 3, 75

Como as variáveis são inteiras (lembre-se do arredondamento):

x1

− b1, 25cs

1

+ b0, 25cs2

≤ b3, 75c ∴

x

1

− 2s

1

− 3 ≤ 0

Se separamos a parte inteira da fracionária, teríamos:

x1

+ (−2 + 0, 75)s1

+ (0 + 0, 25)s2

= (3 + 0, 75)