Ferramentas de Aproximação em Espaços Compactos 2-Homogêneos

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(1)Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação. UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO. Ferramentas de Aproximação em Espaços Compactos 2-Homogêneos. Angelina Carrijo de Oliveira Ganancin Faria Tese de Doutorado do Programa de Pós-Graduação em Matemática (PPG-Mat).

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(3) SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP. Data de Depósito: Assinatura: ______________________. Angelina Carrijo de Oliveira Ganancin Faria. Ferramentas de Aproximação em Espaços Compactos 2-Homogêneos. Tese apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação – ICMC-USP, como parte dos requisitos para obtenção do título de Doutora em Ciências – Matemática. VERSÃO REVISADA Área de Concentração: Matemática Orientadora: Profa. Dra. Thaís Jordão. USP – São Carlos Setembro de 2019.

(4) Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Prof. Achille Bassi e Seção Técnica de Informática, ICMC/USP, com os dados inseridos pelo(a) autor(a). C316f. Carrijo, Angelina de Oliveira Ganancin Faria Ferramentas de aproximação em espaços compactos 2homogêneos / Angelina de Oliveira Ganancin Faria Carrijo; orientadora Thaís Jordão. -- São Carlos, 2019. 65 p. Tese (Doutorado - Programa de Pós-Graduação em Matemática) -- Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo, 2019. 1. K-funcional do tipo Peetre. 2. módulo de suavidade fracionário. 3. raio de aproximação. 4. decaimento de sequências de autovalores. 5. condição de Hölder. I. Jordão, Thaís, orient. II. Título.. Bibliotecários responsáveis pela estrutura de catalogação da publicação de acordo com a AACR2: Gláucia Maria Saia Cristianini - CRB - 8/4938 Juliana de Souza Moraes - CRB - 8/6176.

(5) Angelina Carrijo de Oliveira Ganancin Faria. Approximation Tools on Compact Two-Point Homogeneous Spaces. Doctoral dissertation submitted to the Institute of Mathematics and Computer Sciences – ICMC-USP, in partial fulfillment of the requirements for the degree of the Doctorate Program in Mathematics. FINAL VERSION Concentration Area: Mathematics Advisor: Profa. Dra. Thaís Jordão. USP – São Carlos September 2019.

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(7) “Porque um homem que foge do seu medo pode descobrir que, afinal, apenas enveredou por um atalho para ir ao seu encontro.” ( J. R. R. Tolkien).

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(9) RESUMO CARRIJO, A. O. Ferramentas de Aproximação em Espaços Compactos 2-Homogêneos. 2019. 65 p. Tese (Doutorado em Ciências – Matemática) – Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo, São Carlos – SP, 2019.. Neste trabalho apresentamos duas caracterizações para o K-funcional do tipo Peetre sobre os espaços compactos 2-homogêneos. Provamos a equivalência no sentido assintótico entre o módulo de suavidade de ordem fracionária e o K-funcional do tipo Peetre, e a equivalência deste último com o raio de aproximação de um operator multiplicativo definido para este propósito. Como consequência obtivemos a desigualdade de Marchaud, neste contexto. Estes resultados generalizam os equivalentes, e bem conhecidos, sobre o contexto esférico. As caracterizações foram aplicadas para mostrar que uma condição abstrata de Hölder, ou de diferenciabilidade de ordem finita, sobre núcleos que geram operadores integrais positivos, implica a obtenção de uma taxa de decrescimento polinomial para suas sequências de autovalores. Palavras-chave: K-funcional, módulo de suavidade fracionário, raio de aproximação, decrescimento de sequências de autovalores, condição de Hölder..

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(11) ABSTRACT CARRIJO, A. O. Approximation Tools on Compact Two-Point Homogeneous Spaces. 2019. 65 p. Tese (Doutorado em Ciências – Matemática) – Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo, São Carlos – SP, 2019.. We prove two characterization for the Peetre type K-functional on M, a compact two-point homogeneous space. One in terms the rate of approximation of a family of multipliers operator defined to this purpose, and another in terms of the fractional moduli of smoothness. As a direct consequence of those we obtained the Marchaud inequality on this framework. These extend the well known results on the spherical setting. The characterizations are employed to show that an abstract Hölder condition or finite order of differentiability condition imposed on kernels generating certain operators implies a sharp decay rates for their eigenvalues sequences. Keywords: K-functional, fractional modulus of smoothness, rate of approximation, decay of eigenvalue sequences, Hölder condition..

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(13) SUMÁRIO. INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1 1.1 1.2 1.3 1.4. CONTEXTO E RESULTADOS PRINCIPAIS Espaços Compactos 2-Homogêneos . . . . . Polinômios de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . Ferramentas de Aproximação . . . . . . . . . Resultados principais . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. 15 15 18 20 24. 2 2.1 2.2 2.3. CARACTERIZAÇÃO DO K-FUNCIONAL PARTE I . Estimativas para os polinômios de Jacobi . . . . . . . . Resultados auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Demonstração dos Teoremas 1.6 e 1.7 . . . . . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 25 25 31 39. 3 3.1 3.2. CARACTERIZAÇÃO DO K-FUNCIONAL PARTE II . . . . . . . . . 41 Estimativas para sequências de multiplicadores . . . . . . . . . . . . 41 Demonstração do Teorema 1.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45. 4 4.1 4.2 4.3. APLICAÇÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Desigualdade de Hausdorff-Young . . . . . . . . . . . . Sequência de autovalores de operadores integrais . . . Uma classe de exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 49 49 53 60. REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Índice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65.

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(15) 13. INTRODUÇÃO. Os espaços compactos 2-homogêneos, também conhecidos como espaços compactos simétricos de posto 1 (HELGASON, 1965), formam uma classe importante de variedades Riemannianas homogêneas que possuem um estrutura muito bem desenvolvida de análise harmônica. Em particular, o operador de Laplace-Beltrami está bem definido e possui autoespaços análogos aos espaços dos harmônicos esféricos sobre as esferas m-dimensionais (SEELEY, 1966; MORIMOTO, 1998). Na verdade, as esferas unitárias m-dimensionais centradas na origem, formam uma das classes contempladas pelos espaços compactos 2-homogêneos. A analogia natural entre esferas e espaços compactos 2-homogêneos permite que uma variedade de problemas clássicos de análise harmônica e de teoria da aproximação possam ser estudados nesses espaços (BROWN; DAI, 2005; KUSHPEL; TOZONI, 2012). Na teoria da aproximação construtiva existem diversas ferramentas que podem ser usadas para medir a suavidade de funções nos mais diversos contextos. Nesse sentido, estabelecer relações entre as ferramentas é de grande valia. Em particular, as relações entre módulos de suavidade, K-funcionais e raios de aproximação de operadores média ganham especial atenção. As duas primeiras ferramentas são bastante abstratas apesar de muito úteis teoricamente, enquanto a terceira, mais palpável, oferece uma alternativa computacionalmente mais viável do que as anteriores. Portanto, estabelecer relações entre tais ferramentas, conforme veremos, é bastante conveniente para a aplicabilidade delas em áreas correlatas. O estudo realizado, apesar de muito bem sedimentado em outros contextos como o esférico, euclidiano e toro (RUSTAMOV, 1993; DITZIAN; RUNOVSKII, 1999; BELINSKY; DAI; DITZIAN, 2003; TIKHONOV, 2004/05), ainda é pouco desenvolvido sobre os espaços compactos 2-homogêneos. O módulo de suavidade para cada função f considerada, é uma função a valores reais que oferece propriedades interessantes e que nos permite obter informações sobre a suavidade da função. Além disso, o módulo de suavidade possui uma estreita relação com operador melhor aproximação: Ek ( f ) = inf ‖ f − g‖ p , g∈Yk. k = 0, 1, . . .. onde Yk é o subespaço de polinômios de grau k > 1 em m + 1 variáveis, por meio dos Teoremas direto e inverso. Estas ferramentas foram bem exploradas no contexto esférico (DAI; XU, 2010) e possuem alguns estudos sobre os espaços compactos 2-homogêneos (PLATONOV, 2009). O K-funcional do tipo Peetre, ou simplesmente K-funcional, é também uma função a valores reais, e é fácil notar uma relação com a melhor aproximação diretamente de sua definição. O estudo a respeito de equivalências das ferramentas anteriores, no sentido assintótico, surge em alguns trabalhos dos anos 80, como por exemplo (WEHRENS, 1981; KALYABIN, 1987). Nesta tese, exploramos as relações entre as ferramentas acima mencionadas sobre os espaços compactos 2-homogêneos. O primeiro resultado a ser apresentado estabelece a equivalência entre o módulo de suavidade de ordem fracionária e o K-funcional. Este é o análogo do resultado clássico na teoria da aproximação: caracterizar o K-funcional através de.

(16) 14. SUMÁRIO. equivalências assintóticas via ferramentas mais “simples”, simplicidade esta que depende do contexto e objetivo. A versão esférica desse resultado e aplicações podem ser encontradas em (RUSTAMOV, 1993; DAI; DITZIAN, 2004). A versão para os espaços compactos 2-homogêneos, com a ordem r inteira positiva, é provada em (PLATONOV, 2009). Resultados deste tipo têm inúmeras aplicações para uma variedade de problemas na teoria da aproximação, principalmente na obtenção de relações entre módulos de suavidade de diferentes ordens. Resultados desta natureza podem ser encontrados em abundância na literatura sob as seguintes nomenclaturas: desigualdade de Kolyada, de Marchaud e de Ul’yanov (KOLYADA, 1988; RUSTAMOV, 1991; DITZIAN; TIKHONOV, 2005; SIMONOV; TIKHONOV, 2010). Estas últimas, por sua vez, oferecem uma alternativa ao estudo de imersões de espaços de suavidade (veja (TREBELS, 2010) para outro contexto). Desta forma, o resultado obtido oferece o necessário para iniciar o estudo das desigualdades citadas sobre os espaços compactos 2-homogêneos. Neste trabalho, foi obtida uma primeira versão da desigualdade de Marchaud, em conjunto com membros do grupo de pesquisa de Análise Funcional Aplicada do ICMC, (CARRIJO; JORDAO; SANTOS, 2019). O resultado seguinte, cujo caso particular pode ser encontrado em (DAI; DITZIAN, 2004), estabelece a equivalência entre o K-funcional e o raio de aproximação do operador média generalizado. Tal equivalência nos permitiu analisar o comportamento assintótico de sequências de autovalores de certos operadores integrais, gerados por núcleos satisfazendo ou uma certa condição de Hölder abstrata ou suavidade segundo o operador de Laplace-Beltrami. Resultados deste tipo fornecem uma taxa de decrescimento polinomial dos coeficientes de Fourier de núcleos com uma representação em série do tipo Mercer. A versão esférica desse resultado foi provado anteriormente por (JORDAO; MENEGATTO; SUN, 2014) e, neste trabalho, ganha sua versão para os espaços compactos 2-homogêneos (CARRIJO; JORDAO, 2019). No Capítulo 1, é apresentada toda a estrutura do nosso contexto de trabalho. Estabelecemos as notações e definições pertinentes dos operadores envolvidos no estudo e das ferramentas utilizadas. Também, são enunciados os resultados principais obtidos neste projeto e, portanto, principais desta tese. Já no Capítulo 2, provamos o resultado acerca da equivalência assintótica entre o módulo de suavidade de ordem fracionária e o K-funcional, precedido de várias considerações e resultados auxiliares. Também, provamos a versão da desigualdade de Marchaud neste contexto. No Capítulo 3, o enfoque é provar a equivalência assintótica entre o K-funcional e o raio de aproximação do operador média generalizado. Para isso, apresentamos várias estimativas envolvendo as sequências de multiplicadores de tais operadores. Finalmente, no Capítulo 4, os resultados são aplicados afim de obter taxa de decaimento polinomial para sequências de autovalores de operadores integrais gerados por certos núcleos. O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - Brasil (CAPES) - Código de financiamento 001..

(17) 15. CAPÍTULO. 1 CONTEXTO E RESULTADOS PRINCIPAIS. Neste capítulo introdutório, de maneira compilada e sucinta, apresentamos os espaços compactos 2-homogêneos e as ferramentas de aproximação que serão exploradas no decorrer do trabalho. Apresentamos, também, os espaços de funções considerados, algumas de suas propriedades, os operadores definidos sobre eles e úteis para medir suavidade. Por fim, enunciamos os principais resultados desta tese, a serem demonstrados nos capítulos subsequentes.. 1.1. Espaços Compactos 2-Homogêneos. Um espaço métrico (X, d) é dito 2-homogêneo se, para quaisquer dois pares de pontos (p1 , q1 ) e (p2 , q2 ) satisfazendo d(p1 , q1 ) = d(p2 , q2 ), existir uma isometria que leva p1 e q1 em p2 e q2 , respectivamente. Neste trabalho, denotaremos por M um espaço compacto 2-homogêneo de dimensão m ≥ 1. Cada M é uma variedade Riemanniana e assim possui uma métrica invariante d(·, ·), que pode ser considerada normalizada de modo que todas as geodésicas tenham mesmo comprimento 2π. Além disso, M é munido de uma medida dx, induzida pela medida de Haar proveniente de sua representação como quociente L/SO , em que O é um ponto fixo em M, L é um Grupo de Lie compacto relacionado a componente identidade do grupo de isometrias de M e SO é o subgrupo estacionário do ponto O. Ao leitor interessado, sugerimos as referências (GANGOLLI, 1967; BROWN; DAI, 2005; PLATONOV, 2009; KUSHPEL; TOZONI, 2012) para informações mais detalhadas. De acordo com (WANG, 1952), os espaços compactos 2-homogêneos são: as esferas unitárias Sm , m = 1, 2, . . . ; os espaços projetivos reais Pm (R), m = 2, 3, . . . ; os espaços projetivos complexos Pm (C), m = 4, 6, . . . ; os espaços projetivos quaterniônicos Pm (H), m = 8, 12, . . . e o plano elíptico de Cayley 16-dimensional P16 . Ao longo desta tese, exceto se mencionado o contrário, assumimos M ̸= Pm (R), uma vez que os problemas de análise harmônica nos espaços projetivos reais podem ser reduzidos aos problemas correspondentes na esfera Sm (PLATONOV, 1997), e os resultados que serão apresentados aqui já possuem a versão esférica estabelecida nos trabalhos (RUSTAMOV, 1993; DAI; XU, 2013). Os espaços compactos 2-homogêneos satisfazem propriedades de mergulho isométrico análogas aos que os anéis esféricos (esferas com uma dimensão a menos) satisfazem no contexto esférico (BERENS; BUTZER; PAWELKE, 1968/1969). Um espaço métrico (M1 , d1 ) está mergulhado isometricamente em outro (M2 , d2 ) se existe uma função ϕ : M1 ,→ M2 , tal que.

(18) 16. Capítulo 1. Contexto e resultados principais. para todo x, y ∈ M1 , d2 (ϕ(x), ϕ(y)) = d1 (x, y). Segundo (ASKEY, 1975) as seguintes imersões isométricas, entre os espaços compactos 2-homogêneos, existem: ∙ Sm ,→ Sm+1 , m = 1, 2, . . . ; ∙ Pm (R) ,→ Pm+1 (R), m = 2, 3, . . . ; ∙ Pm (C) ,→ Pm+2 (C), m = 4, 6, . . . ; ∙ Pm (H) ,→ Pm+4 (H), m = 8, 12, . . . ; ∙ Pm (R) ,→ P2m (C), m = 2, 3, . . . ; ∙ P2m (C) ,→ P4m (H), m = 2, 3, . . . ; ∙ P8 (H) ,→ P16 ; e se m ≥ 2, existe d ≥ 1 tal que Sd ,→ M.. (1.1). Seja M um espaço compacto 2-homogêneo de dimensão m ≥ 2. Dado 1 ≤ p < ∞, o espaço de Banach das funções complexas p-integráveis em M será denotado por (L p (M), ‖ · ‖ p ) . Em particular, L2 (M) é o espaço de Hilbert das funções de quadrado integrável sobre M, munido do produto interno 1 ⟨ f , g⟩2 = σm. Z. f (x) g(x) dx,. f , g ∈ L2 (M),. M. em que σm é a constante de normalização dada pelo volume de M. Para p = ∞, L∞ (M) = C(M) é o espaço de Banach das funções contínuas em M, com a norma ‖ f ‖∞ = ‖ f ‖C := max | f (x)|. x∈M. O espaço M admite essencialmente um operador diferencial invariante de segunda ordem B chamado de operador de Laplace-Beltrami, sobre os espaços de funções definidas em M, (PLATONOV, 1997). O operador B possui um espectro discreto em M dado por números reais não negativos que, organizados de maneira crescente, são {k(k + α + β + 1) : k = 0, 1, . . . }. Os parâmetros α e β dependem de cada M, com α = (m − 2)/2 e ∙ β = (m − 2)/2, para Sm ; ∙ β = −1/2, para Pm (R); ∙ β = 0, para Pm (C); ∙ β = 1, para Pm (H) e ∙ β = 3, para P16 ..

(19) 17. 1.1. Espaços Compactos 2-Homogêneos. Cada autovalor k(k + α + β + 1) de B está associado ao autoespaço Hkm , k = 0, 1, . . . , de dimensão finita dkm := dim Hkm . Estes espaços são dois a dois ortogonais segundo o produto interno ⟨·, ·⟩2 e, se {Yk, j : j = 1, 2, . . . , dkm } denota uma base ortonormal de Hkm em L2 (M), então {Yk, j : j = 1, 2, . . . , dkm ; k = 0, 1, . . . } forma uma base ortonormal de L2 (M). Quando restritos à Sm , estes elementos são os bem conhecidos espaços dos harmônicos esféricos em m + 1 variáveis e grau k (RUSTAMOV, 1993; PLATONOV, 1997). Por conveniência e similaridade, esses espaços serão assim chamados no presente contexto. O estabelecimento das notações anteriores nos permite considerar, sobre os espaços compactos 2-homogêneos, expansões em séries de Fourier. Os coeficientes de Fourier de uma função f ∈ L p (M) são definidos por 1 fbk, j := σm. Z. f (y)Yk, j (y) dy,. j = 1, 2, . . . , dkm ; k = 0, 1, . . . ,. M. e sua expansão em série de Fourier é m ∞ dk. f ∼. ∑ ∑ fbk, jYk, j .. k=0 j=1. A Fórmula de Adição nesse contexto (BROWN; DAI, 2005), é dada por dkm. ∑ Yk, j (x)Yk, j (y). (α,β ). = ck Pk. (cos θ ),. x, y ∈ M, θ = d(x, y), k = 0, 1, . . . ,. (1.2). j=1. em que ck =. Γ(β + 1)Γ(k + α + β + 1)(2k + α + β + 1) , Γ(α + β + 2)Γ(k + β + 1). (α,β ) ˝ 1939), de grau k Γ indica a função gama usual e Pk denota o polinômio de Jacobi (SZEGO, com índices α, β > −1, não normalizado, ou seja, k+α Γ(k + α + 1) (α,β ) Pk (1) := = . k Γ(k + 1) Γ(α + 1). A Fórmula de Adição (1.2), nos permite ainda expressar a projeção ortogonal Yk de L2 (M) em Hkm , k = 0, 1, . . . , através da convolução Yk ( f )(x) = ck. Z M. (α,β ). Pk. (cos θ ) f (y) dy,. x ∈ M, θ = d(x, y).. (1.3). Além disso, ela permite estimar a dimensão de cada espaço de harmônico esférico: (α,β ). dkm = ck Pk. (1) ≍ km−1 ,. k = 1, 2, . . . .. (1.4). O símbolo A ≍ B denota que c1 A ≤ B ≤ c2 A, para constantes positivas c1 , c2 que não dependem das variáveis essenciais de A e B. Adicionalmente, se vale somente B ≤ c2 A, então escrevemos B . A. Tais simbologias serão utilizadas ao longo de todo o trabalho. Sugerimos, por exemplo, as referências (BROWN; DAI, 2005; PLATONOV, 2009; KUSHPEL; TOZONI, 2012) para o apresentado até agora..

(20) 18. Capítulo 1. Contexto e resultados principais. 1.2. Polinômios de Jacobi. A seguir, listamos algumas propriedades envolvendo os polinômios de Jacobi que serão ˝ cruciais para o desenvolvimento deste trabalho. Uma das principais referências aqui é (SZEGO, 1939), outras serão citadas convenientemente. (α,β ). Os polinômios de Jacobi Pk de grau k = 0, 1, . . . , associados ao par (α, β ), com α, β > −1, formam uma família ortogonal sobre [−1, 1], com relação à medida (1 − t)α (1 + t)β dt, ou seja, Z 1 −1. (α,β ). Pj. (α,β ). (t) Pk. (t) (1 − t)α (1 + t)β dt = δ j,k lk ,. k, j = 0, 1, . . . ,. em que lk =. Γ(k + α + 1) Γ(k + β + 1) 2α+β +1 , (2k + α + β + 1) Γ(k + 1) Γ(k + α + β + 1). e δ j,k é o delta de Kronecher. Os polinômios de Jacobi serão utilizados, também, em sua forma normalizada (α,β ). (α,β ) Qk (t). :=. Pk. (t). (α,β ) Pk (1). ,. t ∈ [−1, 1], k = 0, 1, . . . .. (α,α). Os polinômios Qk são conhecidos como os polinômios de Gegenbauer e admitem ˝ 1939, p.93), uma representação em termos de cossenos como a seguir (SZEGO, (α,α). Qk. [k/2]. (cos θ ) =. ∑ bk,i cos((k − 2i)θ ),. k = 0, 1, . . . , 0 ≤ θ ≤ π/2,. (1.5). i=0. em que os coeficientes bk,i são positivos para α > −1/2 e [k/2] representa a parte inteira de k/2. Mais que isso, temos bk,i =. k−i+α−1/2 i+α−1/2 i k−i , k+2α k. i = 0, . . . , [k/2], k = 0, 1, . . . .. ˝ É bem sabido que os polinômios de Jacobi satisfazem a fórmula diferencial (SZEGO, 1939), d h (α,β ) i 1 (α+1,β +1) Pk (t) = (k + α + β + 1) Pk−1 (t), dt 2. t ∈ [−1, 1], k = 1, 2, . . . ,. cuja versão para polinômios normalizados é d h (α,β ) i k (α+1,β +1) Qk (t) = (k + α + β + 1) Qk−1 (t). dt 2(α + 1) Outras propriedades necessárias são listadas a seguir.. (1.6).

(21) 19. 1.2. Polinômios de Jacobi. Lema 1.1. (DAI; WANG; YU, 2002) Se α ≥ β ≥ −1/2 e k = 1, 2, . . ., então  1, 0≤θ ≤π

(22)

(23) 

(24) (α,β )

(25) −α−1/2 (cos θ )

(26) . (kθ ) , 0 ≤ θ ≤ π/2

(27) Qk  k(π − θ )−β −1/2 , π/2 ≤ θ ≤ π. O próximo resultado é uma compilação das Proposições 3.2 e 3.3 de (PLATONOV, 2009). Lema 1.2. Sejam α ≥ β ≥ −1/2 e k = 1, 2, . . .. Valem as seguintes desigualdades: i) Se l é um inteiro positivo, então

(28)

(29) l

(30)

(31) ∂ (α,β )

(32) (cos θ )

(33)

(34) . θ l ,

(35) ∂ k l Qk. 0 < θ < π/2.. ii) Se τ > 0, então existe um número c = c(τ, α, β ) > 0, tal que (α,β ). 1 − Qk. (cos θ ) ≥ c, com kθ ≥ τ.. iii) Adicionalmente, (α,β ). 1 − Qk. (cos θ ) . k(k + α + β + 1)θ 2 , (α,β ). k(k + α + β + 1)θ 2 . 1 − Qk. (cos θ ),. 0 ≤ θ ≤ π/2;. e. 0 ≤ θ ≤ π/(k + α + β + 1).. De acordo com (ASKEY, 1975, p.63-66), para índices α = (m − 2)/2, β = 0, 1, 3 e δ = β + 1, β + 2, . . ., os polinômios de Jacobi podem ser decompostos da seguinte forma: (α,β ) Pk (t). k. =. (α,δ ). ∑ ak, j Pj. (t),. t ∈ [−1, 1], k = 0, 1, . . . ,. j=0. em que cada ak, j é não negativo. Em particular, podemos sempre escolher δ = α, donde obtemos (α,β ) Pk (t). k. =. (α,α). ∑ ak, j Pj. (t),. t ∈ [−1, 1], k = 0, 1, . . . ,. (1.7). j=0. com ak, j todos não negativos. Explicitamente, temos ak, j =. Γ(k + α + 1)Γ(α − β + 1)Γ(2α + j + 1)Γ(2α + 2 j + 2)Γ(k + α + β + j + 1) . Γ(α − β − k + j + 1)Γ(k + α + β + 1)Γ(k − j + 1)Γ(α + j + 1)Γ(2α + 2 j + 1)Γ(k + 2α + j + 2). A validade da decomposição (1.7) está diretamente ligada ao mergulho (1.1), de uma esfera em M (veja (ASKEY, 1975)). Observado isso, é possível obter uma representação em termos de cossenos para os polinômios de Jacobi, sobre certos M, como a seguir. Proposição 1.3. Se α = (m − 2)/2 e β = 0, 1, 3, então (α,β ) Qk (cos θ ). k [ j/2]. =. ∑ ∑ ak, j,i cos(( j − 2i)θ ),. j=0 i=0. em que os coeficientes ak, j,i são todos não negativos.. k = 0, 1, . . . , 0 ≤ θ ≤ π/2,. (1.8).

(36) 20. Capítulo 1. Contexto e resultados principais. Demonstração. Considerando as possíveis opções de α e β sobre M, o polinômio de Jacobi (α,β ) não normalizado Pk pode ser escrito, segundo a fórmula (1.7), como (α,β ). Pk. k. (t) =. (α,α). ∑ ak, j Pj. (t),. t ∈ [−1, 1], k = 0, 1 . . . ,. j=0. com ak, j ≥ 0. Fazendo a mudança de variável t = cos θ , com 0 ≤ θ ≤ π/2, a igualdade anterior implica em (α,β ) Qk (cos θ ). (α,α) Pj (1) (α,α) ak, j Q j (cos θ ) (α,β ) . Pk (1) j=0 k. =. ∑. (α,α). Da representação do polinômio de Gegenbauer Q j ak, j,i := ak, j b j,i. na fórmula (1.5) e, definindo. (α,α). (1). (α,β ). (1). Pj. Pk. (1.9). ,. obtemos (α,β ) Qk (cos θ ). k [ j/2]. =. ∑ ∑ ak, j,i cos(( j − 2i)θ ),. 0 ≤ θ ≤ π/2,. j=0 i=0. com ak, j,i ≥ 0. Observação 1.4. O lema anterior não inclui o caso em que β = (m − 2)/2, ou seja, quando M é a esfera unitária. No entanto, para este caso, o polinômio de Jacobi associado se reduz ao (α,α) polinômio de Gegenbauer Qk que já admite a representação em termos de cossenos dada em (1.5).. 1.3. Ferramentas de Aproximação. Nesta seção, apresentamos as ferramentas de aproximação de interesse neste trabalho, assim como algumas propriedades que tais ferramentas gozam. As principais referências aqui são (RUSTAMOV, 1993; BROWN; DAI, 2005; KUSHPEL; TOZONI, 2012), além das que serão citadas ao longo do texto mediante a necessidade. Dizemos que T em L p (M) é um operador multiplicativo se é limitado e existe uma sequência {µk }k de números complexos tal que, Yk (T ( f )) = µk Yk ( f ),. f ∈ L p (M), k = 0, 1, . . . ,. ou seja, as projeções ortogonais do operador sobre o espaço dos harmônicos esféricos são múltiplos das próprias projeções. Nesse caso, a sequência {µk }k é chamada de sequência de multiplicadores de T . No decorrer deste trabalho, poderá ser observado que os operadores considerados são operadores multiplicativos, o que será essencial na prova de alguns dos resultados..

(37) 21. 1.3. Ferramentas de Aproximação. O operador média de uma função f ∈ L p (M) (PLATONOV, 1997), é dado por 1 Sθ ( f )(x) := m σθ. Z σθx. f (y) dσx (y),. x ∈ M, 0 < θ < π,. (1.10). em que σθx = {y ∈ M : d(x, y) = θ }, σθm denota sua área (que não depende de x) e dσx é o elemento de volume σθx . Este operador é limitado em L p (M), precisamente temos ‖Sθ ( f )‖ p ≤ ‖ f ‖ p ,. f ∈ L p (M),. e a família {Sθ }θ apresenta uma das propriedades básicas de aproximação: a propriedade de aproximação da identidade, isto é, lim ‖Sθ ( f ) − f ‖ p = 0,. θ →0. f ∈ L p (M).. O operador média, também, é um operador multiplicativo em L p (M), ou seja, para f ∈ L p (M) vale a seguinte propriedade (PLATONOV, 2009, p. 855-856): (α,β ). Yk (Sθ ( f )) = Qk. (cos θ ) Yk ( f ),. k = 0, 1, . . . , 0 < θ < π.. (1.11). Com isso, o operador média pode ser visto por meio da sua expansão em série de Fourier ∞. Sθ ( f ) ∼. (α,β ). ∑ Qk. (cos θ ) Yk ( f ),. f ∈ L p (M), 0 < θ < π.. (1.12). k=0. Considere f ∈ L p (M) e r um inteiro positivo. Definimos o operador média generalizado por −2 Sr,θ ( f ) := 2r r. r l. ∑ (−1) l=1. . 2r Slθ ( f ), r−l. 0 < θ < π.. (1.13). A denominação “generalizado” surge naturalmente da seguinte observação: S1,θ = Sθ , 0 < θ < π. Claramente, este operador está bem definido e é limitado em L p (M). De fato, pela limitação do operador média, temos ‖Sr,θ ( f )‖ p . ‖Sθ ( f )‖ p ≤ ‖ f ‖ p ,. f ∈ L p (M).. O operador média nos permite, também, definir o operador diferença de ordem r > 0, por: ∆rθ. r/2. := (I − Sθ ). r/2 = ∑ (−1) (Sθ )l , l l=0 ∞. l. 0 < θ < π,. (1.14). em que I é o operador identidade. Este operador está bem definido e é limitado, uma vez que a série definida por seus coeficientes é absolutamente convergente e ∞ r/2 ∑ l = 2r/2. l=0 Pela fórmula (1.11) é fácil ver que para f ∈ L p (M), r/2 (α,β ) r Yk (∆θ ( f )) = 1 − Qk (cos θ ) Yk ( f ),. k = 0, 1, . . . , 0 < θ < π..

(38) 22. Capítulo 1. Contexto e resultados principais. De fato, Yk (∆rθ ( f )). r/2 = ∑ (−1) Yk (Sθ ( f ))l l l=0 l ∞ (α,β ) l r/2 = ∑ (−1) Qk (cos θ ) Yk ( f ) l l=0 r/2 (α,β ) = 1 − Qk (cos θ ) Yk ( f ), k = 0, 1, . . . , 0 < θ < π. ∞. l. Desta maneira, o operador diferença de ordem r, que também é um operador multiplicativo, possui a seguinte expansão em série de Fourier ∆rθ ( f ) ∼. ∞. ∑. r/2 (α,β ) 1 − Qk (cos θ ) Yk ( f ),. f ∈ L p (M), 0 < θ < π.. k=0. O módulo de suavidade de ordem r > 0 de uma função f ∈ L p (M), é definido (PLATONOV, 2009) em termos do operador diferença (1.14), por n o r/2 ωr ( f , θ ) p := sup ‖(I − St ) ( f )‖ p : 0 < t ≤ θ , 0 < θ < π. (1.15) Esta ferramenta de aproximação possui propriedades interessantes como a de monotonicidade e continuidade (DEVORE; LORENTZ, 1993). As seguintes propriedades foram demonstradas em (PLATONOV, 2009) para o caso em que r é um inteiro positivo. Porém, elas são facilmente estendidas para o caso r > 0, e as ideias básicas a serem empregadas são provenientes do caso esférico (RUSTAMOV, 1993). Convencionamos que o operador de Laplace-Beltrami elevado à potência zero B 0 , é o operador identidade. Proposição 1.5. Sejam f ∈ L p (M), r > 0 e 0 < θ < π. i) ωr ( f , θ ) p é não decrescente com respeito à θ e ωr ( f , θ ) p = ωr ( f , π) p , para θ ≥ π; ii) ωr ( f , θ ) p é contínua com respeito à θ e ωr ( f , θ ) p → 0, com θ → 0; iii) Se g ∈ L p (M), então ωr ( f + g, θ ) p ≤ ωr ( f , θ ) p + ωr (g, θ ) p ; iv) ωr ( f , θ ) p ≤ 2r/2 ‖ f ‖ p ; v) Se 0 < s < r, então ωr ( f , θ ) p ≤ 2(r−s)/2 ωs ( f , θ ) p ; vi) Se l é um inteiro positivo, B l f ∈ L p (M) e r > 2l, então ωr ( f , θ ) p . θ 2l ωr−2l (B l f , θ ) p . Demonstração. Os itens (i), (ii), (iii) seguem diretamente da definição do módulo de suavidade e da limitação do operador média. Para a prova do item (iv), note que ∞ ∞ r/2 r/2 r/2 l ‖(I − St ) ( f )‖ p ≤ ∑ ‖(St ( f )) ‖ p ≤ ∑ ‖ f ‖ p = 2r/2 ‖ f ‖ p , 0 < t ≤ θ . l l l=0 l=0 Tomando o supremo, em ambos os lados da desigualdade anterior, obtemos ωr ( f , θ ) p ≤ 2r/2 ‖ f ‖ p ..

(39) 23. 1.3. Ferramentas de Aproximação. Para provar (v), basta observar que ∆tr = ∆tr−s ∆ts e ‖∆tr−s ‖ p ≤ 2(r−s)/2 , logo ‖∆tr ( f )‖ p = ‖∆tr−s ∆ts ( f )‖ p ≤ 2(r−s)/2 ‖∆ts ( f )‖ p ,. 0 < t ≤ θ.. E tomando novamente o supremo em t, obtemos ωr ( f , θ ) p ≤ 2(r−s)/2 ωs ( f , θ ) p . Finalmente, para provar o item (vi), utilizamos a seguinte desigualdade (PLATONOV, 2009, p.868), ‖∆s ( f )‖ p ≤ (1/2) s2 ‖B( f )‖ p ,. f ∈ L p (M), 0 < s < π/2.. Temos,. ‖∆tr ( f )‖ p = (I − St )(I − St )r/2−1 ( f ) p . ≤ (1/2)t 2 B (I − St )r/2−1 ( f ) ,. 0 < t ≤ θ,. p. e procedendo recursivamente, obtemos. ‖∆tr ( f )‖ p ≤ (1/2)t 2 (I − St )r/2−1 (B( f )). p. .. .. ≤ (1/2)l t 2l (I − St )r/2−l (B l ( f )) p. = (1/2)l t 2l ∆tr−2l (B( f )) , 0 < t ≤ θ . p. O supremo em t, tomado acima, implica a desigualdade desejada. Além das iterações do operador de Laplace-Beltrami, podemos definir mais geralmente o seguinte conceito de diferenciabilidade em M. A derivada fracionária de ordem r > 0 (BROWN; DAI, 2005), no sentido distribucional, é dada por Br ∼. ∞. ∑ (k(k + α + β + 1))r/2 Yk .. (1.16). k=0. Para r um inteiro positivo par, B r também pode ser obtido de maneira iterada como B r = B(B r−1 ) e coincide com a definição dada na fórmula (1.16). A partir da definição da derivada fracionária temos definido o seguinte espaço de Sobolev de ordem r > 0, . Wpr (M) = f ∈ L p (M) : ‖B r ( f )‖ p < ∞ , p ≥ 1. Estes espaços estão munidos naturalmente com a norma ‖ · ‖Wpr := ‖ · ‖ p + ‖B r (·)‖ p . Finalmente, a última e principal ferramenta de aproximação a ser explorada é o Kfuncional de ordem r > 0, associado ao espaço de Sobolev Wpr (M) (PLATONOV, 2009) dado por n o Kr ( f , θ ) p := inf ‖ f − g‖ p + θ r ‖g‖Wpr : g ∈ Wpr (M) , 0 < θ < π. (1.17) Com todo o apresentado até este ponto, podemos enunciar algumas das contribuições desta tese..

(40) 24. 1.4. Capítulo 1. Contexto e resultados principais. Resultados principais. Neste capítulo, enunciamos duas caracterizações para o K-funcional e comentamos sobre a importância e aplicabilidade de ambas. A prova de cada um será apresentada nos capítulos subsequentes. O primeiro resultado que apresentamos estabelece a equivalência assintótica entre o módulo de suavidade e o K-funcional anteriormente definidos. A versão esférica desse resultado e algumas de suas aplicações podem ser consultadas em (RUSTAMOV, 1993; DAI; DITZIAN, 2004). A versão para os espaços compactos 2-homogêneos, com a ordem de r inteira não negativa, está provada em (PLATONOV, 2009). A generalização deste resultado para a ordem fracionária é enunciada a seguir e a prova é dada no Capítulo 2. Teorema 1.6. Sejam f ∈ L p (M), 1 ≤ p ≤ ∞ e r > 0. Vale a seguinte equivalência, Kr ( f , θ ) p ≍ ωr ( f , θ ) p ,. 0 < θ < π.. Além disso, foi possível obter uma desigualdade do tipo Marchaud, enunciada abaixo, que também será provada no Capítulo 2. Teorema 1.7. Sejam f ∈ L p (M), 1 < p < ∞ e 0 < r < s. Vale a seguinte desigualdade, ωr ( f , θ ) p . θ. 2r. Z ∞ ωs ( f ,t) p θ. t 2r+1. dt,. θ > 0.. Estes tipos de desigualdades oferecem uma alternativa ao estudo de imersões de espaços de suavidade, o que justifica sua importância. No contexto euclidiano, por exemplo, a desigualdade de Marchaud fornece imersões entre espaços de Riez e de Besov (TREBELS, 2010, Teorema 2.1). Tais imersões, ainda não obtidas na literatura para o contexto desta tese, configuram possibilidades futuras de pesquisa. O próximo resultado, cuja versão esférica pode ser encontrada em (DAI; DITZIAN, 2004), estabelece a equivalência assintótica, agora, entre o K-funcional definido na seção anterior e o raio de aproximação do operador média generalizado. A prova deste resultado será apresentada no Capítulo 3. Teorema 1.8. Sejam f ∈ L p (M), 1 < p < ∞ e r um inteiro positivo. Vale a seguinte equivalência, K2r ( f , θ ) p ≍ ‖ f − Sr,θ ( f )‖ p ,. 0 < θ < π.. O resultado anterior nos fornece o necessário para analisar o comportamento assintótico de sequências de autovalores de certos operadores integrais, gerados por núcleos satisfazendo ou uma condição de Hölder abstrata dada pelo operador média ou supondo suavidade segundo o operador de Laplace-Beltrami ( ver (JORDAO; MENEGATTO; SUN, 2014) para versão esférica). Resultados deste tipo nos dão uma taxa de decrescimento polinomial dos coeficientes de Fourier de núcleos com uma representação em série do tipo Mercer, como será visto no Capítulo 4. Neste capítulo, também, estão as outras contribuições desta tese..

(41) 25. CAPÍTULO. 2 CARACTERIZAÇÃO DO K-FUNCIONAL PARTE I. Neste capítulo apresentamos as demonstrações dos Teoremas 1.6 e 1.7. Para tanto, provamos uma série de estimativas envolvendo os polinômios de Jacobi e suas derivadas e apresentamos alguns lemas auxiliares envolvendo as ferramentas e operadores definidos anteriormente.. 2.1. Estimativas para os polinômios de Jacobi. As estimativas apresentadas nesta seção, a priori, podem parecer técnicas demais, porém são fundamentais para a obtenção dos resultados da seção seguinte. A necessidade delas se fará clara ao longo do texto. Sejam α > β > −1/2. Consideramos a seguinte representação integral para os polinômios de Jacobi (PLATONOV, 2009, p. 862), para k = 0, 1, . . . , (α,β ) Qk (cos θ ). −2α. Z θ. = cα,β (sin θ /2) (cos ϕ − cos θ )ζ −1 (cos ϕ/2)1−2ν 0 Z ϕ ν−1 × (cost − cos ϕ) cos((k + ν)t) dt sin ϕ dϕ,. (2.1). 0. com 0 < θ < π, em que cα,β =. 2−ν−ζ +1 Γ(ν + ζ + 1/2) √ , π Γ(ν) Γ(ζ ). ν = (α + β + 1)/2. e. ζ = (α − β )/2.. Utilizamos as seguintes funções auxiliares, afim de facilitar a representação das estimativas a serem obtidas. Para k = 1, 2, . . . e 0 < θ < π, escrevemos (α,β ) f (k; θ ) := k(k + α + β + 1) 1 − Qk (cos θ ) ; ∂ (α,β ) (α,β ) g(k; θ ) := (2k + α + β + 1) 1 − Qk (cos θ ) + k(k + α + β + 1) Qk (cos θ ) . ∂k Lema 2.1. Para todo l = 0, 1, . . . , k = 1, 2 . . . e 0 < θ ≤ π/(k + α + β + 1), temos.

(42) 26. Capítulo 2. Caracterização do K-Funcional parte I.

(43) l

(44)

(45) ∂

(46) i)

(47)

(48) l f (k; θ )

(49)

(50) . k4−l θ ; ∂k

(51) l

(52)

(53) ∂

(54) −1 ii)

(55)

(56) l ( f (k; θ ))

(57)

(58) . k−4−l θ −1 ; ∂k

(59) l

(60)

(61) ∂

(62) iii)

(63)

(64) l g(k; θ )

(65)

(66) . k5−l θ 2 ; ∂k

(67) l

(68)

(69) ∂

(70) −1 iv)

(71)

(72) l (g(k; θ ))

(73)

(74) . k−5−l θ −2 ; ∂k v) g(k; θ ) ≥ c k5 θ 2 . Demonstração. Para l = 0 a estimativa (i) segue do Lema 1.2. Seja l ≥ 1. Pela fórmula de diferenciação de Leibniz, temos i ∂l ∂l h (α,β ) f (k; θ ) = k(k + α + β + 1) 1 − Q (cos θ ) k ∂ kl ∂ kl l ∂ l−i l di (α,β ) = ∑ [k(k + α + β + 1)] l−i 1 − Qk (cos θ ) . i ∂k i=0 i dk Donde obtemos dl ∂l (α,β ) (cos θ ) f (k; θ ) = 1 − Q [k(k + α + β + 1)] k ∂ kl dkl l−1 i l d ∂ l−i (α,β ) −∑ [k(k + α + β + 1)] Q (cos θ ) . k i ∂ kl−i i=0 i dk Como

(75) i

(76)

(77) d

(78)

(79) [k(k + α + β + 1)]

(80) ≤ 2(k + α + β + 1)2−i ,

(81) dki

(82). i = 0, 1, . . . ,. (2.2). o Lema 1.2 implica que

(83) l

(84)

(85) ∂

(86)

(87)

(88) . k4−l θ f (k; θ )

(89) ∂ kl

(90) e, portanto, (i) está provado. A estimativa (ii), será obtida por indução em l. Para l = 0, a desigualdade segue diretamente do Lema 1.2. Agora, suponha que a estimativa (ii) valha para l = 0, 1, . . . , v. É claro que, ∂ v+1 ∂v 1 ∂ −1 ( f (k; θ )) = − v f (k; θ ) . ∂ kv+1 ∂ k ( f (k; θ ))2 ∂ k Dessa igualdade e da fórmula de diferenciação de Leibniz, obtemos v i+1 ∂ v+1 v ∂ ∂ v−i −1 ( f (k; θ )) = − f (k; θ ) ( f (k; θ ))−2 ∑ i ∂ ki+1 v−i ∂ kv+1 ∂ k i=0 " # v−i v i+1 v−i− j v ∂ v−i ∂ j −1 ∂ −1 = −∑ f (k; θ ) ∑ ( f (k; θ )) ( f (k; θ )) . i+1 j ∂kj ∂ kv−i− j i=0 i ∂ k j=0.

(91) 27. 2.1. Estimativas para os polinômios de Jacobi. Como |( f (k; θ ))−1 | . k−4 θ −2 , temos

(92)

(93) v+1

(94)

(95) ∂ −1

(96) −4−(v+1) −1

(97) θ ,

(98) ∂ kv+1 ( f (k; θ ))

(99) . k e isto prova (ii). Para provar (iii), vamos considerar os casos l = 0, 1, 2 e l ≥ 3 separadamente. Para l = 0, da representação (2.1) e de ∂l (−1)(l+1)/2 θ l sin((ν + k)θ ), k ímpar (cos((ν + k)θ )) = l/2 l l (−1) θ cos((ν + k)θ ), k par ∂k podemos escrever Z θ. g(k; θ ) = (2k + α + β + 1) cα,β (sin θ /2)−2α (cos ϕ − cos θ )ζ −1 (cos ϕ/2)1−2ν 0 Z ϕ ν−1 × (cost − cos ϕ) (cos(νt) − cos(ν + k)t) dt sin ϕ dϕ 0. Z θ. + cα,β (sin θ /2)−2α (cos ϕ − cos θ )ζ −1 (cos ϕ/2)1−2ν 0 Z ϕ ν−1 ∂ cos(v + k)t dt sin ϕ dϕ. × (cost − cos ϕ) ∂k 0 Usando que, sin x ≤ x, para x ∈ [0, +∞) e que cos x − cos y = 2 sin((y − x)/2) sin((y + x)/2), temos cos(νt) − cos(ν + k)t ≤. k(2ν + k) 2 t 2. ∂ cos(v + k)t ≤ (v + k)t 2 . ∂k. e. Além disso, considerando Z θ. F(θ ) = (sin θ /2)−2α (cos ϕ − cos θ )ζ −1 (cos ϕ/2)1−2ν Z ϕ 0 ν−1 2 × (cost − cos ϕ) t dt sin ϕ dϕ, 0. como Z ϕ. ν−1 2. (cost − cos ϕ). ν−1. Z ϕ. ϕ +t ϕ −t sin sin 2 2. t dt = 2. 0. 0. ≍. Z ϕ. ν−1. t 2 dt. (ϕ 2 − t 2 )ν−1 t 2 dt. 0 2ν+1. ≍ ϕ. ,. segue que F(θ ) ≍ θ. −2α. Z θ 0. ≍ θ. −2α. Z θ 0. ≍ θ 2.. 2. 2 ζ −1. (θ − ϕ ). ×. Z. ϕ. 2. 2 ν−1 2. (ϕ − t ). 0. (θ 2 − ϕ 2 )ζ −1 ϕ 2ν+1 ϕ dϕ. t dt. ϕ dϕ.

(100) 28. Capítulo 2. Caracterização do K-Funcional parte I. Substituindo as estimativas acima, concluímos que |g(k; θ )| . k5 θ 2 . Se l = 1, temos a seguinte fórmula ∂ 2 (α,β ) ∂ (α,β ) g(k; θ ) = 2 (1 − Qk (cos θ )) + k(k + α + β + 1) 2 Qk (cos θ ). ∂k ∂k Utilizando novamente a representação (2.1) e as estimativas ∂2 (v + k)2 4 cos(v + k)t ≤ t ∂ k2 2 obtemos. e. t 2 F(θ ) . θ 4 ,.

(101)

(102)

(103)

(104) ∂

(105) g(k; θ )

(106) . k4 θ 2 .

(107)

(108) ∂k. Analogamente ao caso anterior, para l = 2, temos ∂2 ∂ 2 (α,β ) ∂ (α,β ) Q (cos θ ) + (2k + α + β + 1) g(k; θ ) = − 2 Q (cos θ ) ∂ k2 ∂k k ∂ k2 k ∂ 3 (α,β ) + k(k + α + β + 1) 3 Qk (cos θ ). ∂k Pela representação (2.1) e estimativas anteriores, obtemos

(109) 2

(110)

(111) ∂

(112) 3 2

(113)

(114)

(115) ∂ k2 g(k; θ )

(116) . k θ . Finalmente, para l ≥ 3, note que ∂ 3 (α,β ) ∂ 4 (α,β ) ∂3 g(k; θ ) = 2(2k + α + β + 1) Q (cos θ ) + k(k + α + β + 1) Q (cos θ ). ∂ k3 ∂ k3 k ∂ k4 k Pela fórmula de diferenciação de Leibniz, temos l−3 ∂l l − 3 di ∂ l−i (α,β ) g(k; θ ) = 2 Q (cos θ ) (2k + α + β + 1) ∑ i dki ∂ kl ∂ kl−i k i=0 l−3 l − 3 di ∂ l−i+1 (α,β ) +∑ k(k + α + β + 1) Q (cos θ ). i dki ∂ kl−i+1 k i=0 Novamente da fórmula (2.2) e do Lema 1.2, chegamos a

(117)

(118) l

(119)

(120) ∂ 5−l 2

(121)

(122)

(123) ∂ kl g(k; θ )

(124) . k θ . Para obter a estimativa (v), procedemos de maneira análoga à prova do item (iii), considerando a representação (1.2). Como sin x ≥ 2x/π, para x ∈ [0, π/2), temos g(k; θ ) ≥ c k(2k + α + β + 1)(k + α + β + 1)θ 2 . Para um número n suficientemente grande, obtemos g(k; θ ) ≥ (c/n) k5 θ 2 . Por fim, a prova de (iv) é análoga ao item (ii) utilizando os itens (iii) e (v). Para enunciar o próximo corolário definimos, para k = 1, 2, . . . e 0 < θ < π, h(k; θ ) :=. g(k; θ ) (2k + α + β + 1) 1 ∂ (α,β ) = + Q (cos θ ). (α,β ) f (k; θ ) k(k + α + β + 1) 1 − Q ∂k k (cos θ ) k.

(125) 29. 2.1. Estimativas para os polinômios de Jacobi. Corolário 2.2. Para todo l = 0, 1, . . . , k = 1, 2 . . . e 0 < θ ≤ π/(k + α + β + 1), temos

(126)

(127) l

(128)

(129) ∂

(130) i)

(131) l h(k; θ )

(132)

(133) . k1−l θ ; ∂k

(134) l

(135)

(136) ∂

(137) 1 ∂

(138) ii)

(139) l h(k; θ ) h(k; θ )

(140)

(141) . k−l−1 . ∂ k h(k; θ ) ∂ k Demonstração. Para o item (i), o caso l = 0 segue diretamente do Lema 2.1, itens (ii) e (iii). Se l ≥ 1, aplicando a fórmula de diferenciação de Leibniz, segue que l l−i ∂l l ∂ ∂i h(k; θ ) = g(k; θ ) ( f (k; θ ))−1 , ∑ i ∂ kl−i i ∂ k ∂ kl i=0 e concluímos a estimativa pelo Lema 2.1. No item (ii), se l = 0, temos 1 1 1 ∂ ∂ ∂ h(k; θ ) = g(k; θ ) − f (k; θ ) h(k; θ ) ∂ k g(k; θ ) ∂ k f (k; θ ) ∂ k e, pelo Lema 2.1, segue que

(142)

(143)

(144) 1

(145) ∂ −1

(146)

(147)

(148) h(k; θ ) ∂ k h(k; θ )

(149) . k . Se l ≥ 1, aplicamos novamente a fórmula de diferenciação de Leibniz e o Lema 2.1, obtendo assim a estimativa desejada. Definimos, para k = 1, 2, . . . e 0 < θ < π, u(k; θ ) :=. k(k + α + β + 1) (α,β ). 1 − Qk. !r/2. (α,β ). v(k; θ ) :=. e. (cos θ ). 1 − Qk (cos θ ) k(k + α + β + 1). !r/2 .. Lema 2.3. Para todo l = 0, 1, . . . , k = 1, 2 . . . e 0 < θ ≤ π/(k + α + β + 1), temos i). ∂ u(k; θ ) ≥ 0; ∂k. ∂ v(k; θ ) ≤ 0; ∂k

(150) l+1

(151)

(152) ∂

(153) ∂ iii)

(154)

(155) l+1 u(k; θ )

(156)

(157) . k−l u(k; θ ); ∂k ∂k

(158) l+1

(159)

(160) ∂

(161) ∂ iv)

(162)

(163) l+1 v(k; θ )

(164)

(165) . k−l v(k; θ ). ∂k ∂k ii). Demonstração. Note que, ∂ r u(k; θ ) = ∂k 2 =. k(k + α + β + 1) (α,β ). 1 − Qk. (cos θ ). r u(k; θ ) h(k; θ ). 2. !r. 2. g(k; θ ) (α,β ) k(k + α + β + 1) 1 − Qk (cos θ ).

(166) 30. Capítulo 2. Caracterização do K-Funcional parte I. Da mesma forma, obtemos r ∂ v(k; θ ) = − v(k; θ ) h(k; θ ). ∂k 2 Assim, (i) e (ii) seguem diretamente dos Lemas 1.2 e 2.1. Além disso, ∂2 r ∂ ∂ u(k; θ ) = u(k; θ ) h(k; θ ) + h(k; θ ) u(k; θ ) ∂ k2 2 ∂k ∂k ˜ θ ) ∂ u(k; θ ), = h(k; ∂k em que ∂ ˜ θ ) = r h(k; θ ) + 1 h(k; h(k; θ ). 2 h(k; θ ) ∂ k Analogamente, para v(k; θ ) temos ∂2 ˜ θ ) ∂ v(k; θ ), v(k; θ ) = h(k; 2 ∂k ∂k em que ∂ ˜ θ ) = − r h(k; θ ) + 1 h(k; h(k; θ ). 2 h(k; θ ) ∂ k Pelo Corolário 2.2, obtemos as estimativas

(167) l

(168)

(169)

(170) ∂

(171) ˜ θ )

(172) . k−l−1 h(k;

(173) ∂ kl

(174). e.

(175) l

(176)

(177) ∂ ˜

(178)

(179)

(180) . k−l−1 , h(k; θ )

(181) ∂ kl

(182). l = 0, 1, . . . .. Como a prova de (iii) e de (iv) são análogas, provamos apenas (iii), por indução em l. Suponha que (iii) vale para l = 1, 2, . . . , v. Pela fórmula de diferenciação de Leibniz, temos 2 ∂ v+2 ∂v ∂ u(k; θ ) = u(k; θ ) ∂ kv+2 ∂ kv ∂ k2 v i v ∂ ˜ ∂ v−i+1 = ∑ h(k; θ ) u(k; θ ), i ∂ kv−i+1 i=0 i ∂ k e portanto

(183) v+2

(184)

(185) ∂

(186)

(187)

(188) . k−v−1 ∂ u(k; θ ). u(k; θ )

(189) ∂ kv+2

(190) ∂k Com isso concluímos a prova do lema. As estimativas obtidas até aqui são análogas às do contexto esférico, (RUSTAMOV, 1993). As principais ideias envolvidas nas demonstrações apresentam alguma semelhança porém, como estamos lidando com polinômios de Jacobi, as demonstrações são ligeiramente diferentes..

(191) 31. 2.2. Resultados auxiliares. 2.2. Resultados auxiliares. Nesta seção, apresentamos estimativas para algumas das ferramentas de aproximação consideradas. O operador diferença é definido para uma sequência de números reais {bk }k , indutivamente, por △0 bk = bk e △bk = bk+1 − bk ,. k = 0, 1, . . . .. (2.3). É claro que, se j é um inteiro positivo, então △ j bk = △(△ j−1 bk ). Algumas propriedades do operador diferença, que serão utilizadas ao longo do trabalho, podem sem encontradas no Apêndice A.3 de (DAI; XU, 2013, p.406). Denotamos por Ev ( f ) p a melhor aproximação da função f ∈ L p (M), (PLATONOV, 2009) definida por . Ev ( f ) p := inf ‖ f −Y ‖ p : Y ∈ Pv (M) , v > 0, em que Pv (M) =. ∑. H jm .. j∈[0,v]∩Z+. Mais informações sobre a existência e unicidade da melhor aproximação, para um espaço de Banach X, pode ser encontrada em (DEVORE; LORENTZ, 1993, p.58). Considere o operador ηv dependendo apenas de uma função η ∈ C∞ [0, ∞) tal que, η ≡ 1 em [0, 1], η ≡ 0 em [2, ∞) e η(s) ≤ 1, s ∈ (1, 2). O operador ηv , com v > 0, é definido pela fórmula ∞. ηv ( f ) ∼. ∑ η(k/v) Yk ( f ),. f ∈ L p (M).. (2.4). k=1. Este último, é um operador multiplicativo e satisfaz as propriedades descritas no lema a seguir. Abaixo, ⌈ · ⌉ é a função teto que associa um número real ao menor inteiro maior ou igual a ele. Lema 2.4. Sejam f ∈ L p (M), 1 ≤ p ≤ ∞ e v > 0. i) ηv ( f ) é um polinômio esférico de grau no máximo 2⌈v⌉−1 e ηv (Y ) = Y , para Y ∈ Pv (M); ii) ‖ηv ( f )‖ p . ‖ f ‖ p ; iii) ‖ f − ηv ( f )‖ p . Ev ( f ) p . Demonstração. É claro que η(k/v) = 0 para k/v ≥ 2. Além disso, se T ∈ Pv (M), então Yk (T ) = 0 para k > v e, como η(k/v) = 1 para 0 ≤ k ≤ v, então ηv (T ) =. ∑ 0≤k≤v. Isso prova (i).. Yk (T ) = T..

(192) 32. Capítulo 2. Caracterização do K-Funcional parte I. Para o item (ii), recorremos a (s + 1)-transformação de Abel (ou soma por partes (DAI; XU, 2013, Fórmula A.4.8, p.409)), para um inteiro positivo s e obtemos ηv ( f ) = em que Ask =. s+k k. ∞. ∑ △s+1 η(k/v) ∑ Ask−i Yi( f ) =. k. k=1. i=0. ∑ △s+1 η(k/v) Ask (δks f ) , k=1. ∞. (2.5). e δks é a média de Cèsaro de ordem s, isto é, δks = (Ask )−1. k. ∑ Ask−i Yi.. i=0. Se s > (m − 1)/2, então a sequência {δks }k é uniformemente limitada em L p (M), 1 ≤ p ≤ ∞, (ver (BROWN; DAI, 2005)). Segue de (2.5) que ‖ηv ( f )‖ p . ‖ f ‖ p. 2⌈ v ⌉

(193). ∑.

(194)

(195) △s+1 η(k/v)

(196) As . k. k=1. Também, Ask . ks e, como η ∈ C∞ [0, ∞), segue que

(197) s+1

(198)

(199) △ η(k/v)

(200) . v−s−1 . Com isso, obtemos ‖ηv ( f )‖ p . ‖ f ‖ p . f. Para provar (iii), tomamos Y como sendo a melhor aproximação de grau v da função isto é, Ev ( f ) p = ‖ f −Y ‖ p . Assim, pelos itens anteriores, temos. ∈ L p (M),. ‖ f − ηv ( f )‖ p ≤ ‖ f −Y ‖ p + ‖ηv ( f −Y )‖ p . Ev ( f ) p + ‖ f −Y ‖ p . Ev ( f ) p . Com isso, concluímos o lema. Os próximos lemas são propriedades, envolvendo o módulo de suavidade e a derivada fracionária de ordem r, úteis para provar o Teorema 1.6. Proposição 2.5. Sejam f ∈ L p (M), 1 ≤ p ≤ ∞, r > 0 e v um inteiro positivo. Vale a seguinte desigualdade, ‖B r (ηv ( f ))‖ p . θ −r ‖∆rθ f ‖ p ,. 0 < θ ≤ π/(2v + α + β + 1).. Demonstração. Pelo fato de ηv e ∆rθ serem operadores multiplicativos, temos B (ηv ( f )) = r. ∞. ∑ (k(k + α + β + 1))r/2 Yk (ηv( f )) k=1 ∞. =. ∑ (k(k + α + β + 1))r/2 η(k/v) Yk ( f ). k=1 ∞. = =. ∑. (k(k + α + β + 1))r/2. r/2 (α,β ) η(k/v) 1 − Qk (cos θ ) Yk ( f ). (α,β ) (cos θ ))r/2 k=1 (1 − Qk ∞ u(k; θ ) η(k/v) Yk (∆rθ ( f )). k=1. ∑.

(201) 33. 2.2. Resultados auxiliares. Aplicando a (s + 1)-transformação de Abel, obtemos B r (ηv ( f )) =. ∞. ∑ △s+1 [u(k; θ ) η(k/v)] Ask δks(∆rθ ( f )). k=1. Como η(k/v) = 0, para k ≥ 2v, escolhendo s > (m − 1)/2, segue que ‖B r (ηv ( f ))‖ p ≤. 2v−1

(202). ∑

(203) △s+1 [u(k; θ ) η(k/v)]

(204) ks ‖∆rθ f ‖ p.

(205). k=1. Para concluir a prova, precisamos mostrar que o lado direito da desigualdade anterior é limitado por θ −r . Para simplificar, utilizamos as seguintes notações: x = (x1 , x2 , . . . , xs+1 ), |x| = x1 + x2 + · · · + xs+1 , dx = dx1 dx2 . . . dxs+1 , Z 1. Z. ? dx =. (0,1)s+1. ···. Z 1. 0. 0. ? dx1 dx2 . . . dxs+1. e, também, algumas propriedades do operador diferença (2.3), (DAI; XU, 2013, p.406). Como, Z ∂ s+1 k + |x| s+1 △ [u(k; θ )η(k/v)] = dx, u(k + |x|; θ ) η s+1 v (0,1)s+1 ∂ k da fórmula de diferenciação de Leibniz, segue que s+1. △. d s+1 u(k + |x|; θ ) s+1 η dk (0,1)s+1. Z. [u(k; θ )η(k/v)] =. . k + |x| v. s+1. dx. ∂i d s−i+1 + ∑ i u(k + |x|; θ ) dks−i+1 η (0,1)s+1 i=1 ∂ k Z. . k + |x| v. dx.. Considere F1 e F2 , respectivamente, as parcelas da soma do lado direito da igualdade anterior. Como η ∈ C∞ [0, ∞), temos

(206) j

(207)

(208) d k + |x|

(209)

(210) −j

(211)

(212) . v , j = 0, 1, . . . .

(213) dk j η v Dos Lemas 1.2 e 2.3, valem as estimativas |F1 | . θ −r v−s e |F2 | . k. 1−s. Z. Z. . k. 1−s. ∂ u(k + |x|; θ ) dx (0,1)s+1 ∂ xs+1 (0,1)s+1. [u(k + 1 + x1 + · · · + xs ; θ ) − u(k + x1 + · · · + xs ; θ )] dx1 . . . dxs .. Assim, |F2 | . k1−s θ −r , logo 2v−1

(214). ∑.

(215)

(216) △s+1 (u(k; θ ) η(k/v))

(217) ks . θ −r. k=1. e, portanto, ‖B r (ηv ( f ))‖ p . θ −r ∆rθ ( f ) p ..

(218) 34. Capítulo 2. Caracterização do K-Funcional parte I. Proposição 2.6. Sejam f ∈ Wpr (M), 1 ≤ p ≤ ∞, v um inteiro positivo e r > 0. Vale que ‖∆rθ (ηv ( f ))‖ p . θ r ‖B r ( f )‖ p ,. 0 < θ ≤ π/(2v + α + β + 1).. Demonstração. Como, ηv e B r são operadores multiplicativos, temos r/2 ∞ (α,β ) (cos θ ) Yk (ηv ( f )) ∆rθ (ηv ( f )) = ∑ 1 − Qk =. k=0 ∞ . ∑. (α,β ). 1 − Qk. r/2 (cos θ ) η(k/v) Yk ( f ). k=0 (α,β ). (1 − Qk (cos θ ))r/2 η(k/v) (k(k + α + β + 1))r/2 Yk ( f ) = ∑ r/2 (k(k + α + β + 1)) k=0 ∞. ∞. =. ∑ v(k; θ ) η(k/v) Yk (Br ( f )). k=0. Aplicando a (s + 1)-transformação de Abel, ∆rθ (ηv ( f )) =. 2v−1. ∑ △s+1[v(k; θ ) η(k/v)] Ask δks (Br ( f )) .. k=1. Assim, ‖∆rθ (ηv ( f ))‖ p ≤. 2v−1

(219). ∑.

(220)

(221) △s+1 [v(k; θ ) η(k/v)]

(222) ks ‖B r f ‖ p .. k=1. Procedendo de forma análoga à proposição anterior, chegamos a 2v−1

(223). ∑

(224) △s+1 (v(k; θ ) η(k/v))

(225) ks

(226). . θ r.. k=1. Portanto, ∆rθ (ηv ( f )) p . θ r ‖B r ( f )‖ p . Vejamos algumas propriedades do operador diferença (2.3) que serão utilizadas no próximo resultado e, também, em algumas estimativas do próximo capítulo. Lema 2.7. Sejam {ak }k , {bk }k sequências e j um inteiro positivo. i) A seguinte igualdade vale para o operador diferença j j j △ (ak bk ) = ∑ (△ j−i ak ) (△i bk+ j−i ). i=0 i ii) Se a sequência {ak }k satisfaz ak ≥ c > 0, k = 0, 1, . . . , então 1 j−1 j j −1 j+i |△ ak | ≤ ak+i | ∑ i |△ia−1 k | |△ |ak | i=0 j+i ≤ C max |△i a−1 ak+i |, k | |△ 0≤i≤ j. em que C = 2 j /c..

(227) 35. 2.2. Resultados auxiliares. Demonstração. O item (i) segue por indução matemática. Para a parte (ii) note que a−1 k ak = 1 −1 e, a desigualdade vale aplicando o item (i) nas sequências {ak }k e {ak }k . O próximo resultado tem sua versão esférica em (KAMZOLOV, 1982; DITZIAN, 1998). Teorema 2.8. Sejam f ∈ Wpr (M), 1 ≤ p ≤ ∞, r > 0 e v um inteiro positivo. Vale a seguinte estimativa Ev ( f ) p . v−r/2 ‖B r ( f )‖ p . Demonstração. Note que, Ev ( f ) p ≤ ‖ f − ηv/2 ( f )‖ p . Como B r é operador multiplicativo, temos ∞. f − ηv/2 ( f ) =. ∑ [1 − η(2k/v)] Yk ( f ) k=0 ∞. =. 1 − η(2k/v). ∑ (k(k + α + β + 1))r/2 (k(k + α + β + 1))r/2 Yk ( f ). k=0 ∞. =. 1 − η(2k/v). ∑ (k(k + α + β + 1))r/2 Yk (Br ( f )).. k=0. Denotando ak := (k(k + α + β + 1))−r/2 e bk := 1 − η(2k/v), k = 0, 1, . . . , e aplicando a (s + 1)-transformação de Abel, obtemos ∞

(228)

(229) ‖ f − ηv/2 ( f )‖ p ≤ ∑

(230) ∆s+1 ak bk

(231) Ask ‖δks (B r ( f )) ‖ p ≤. k=0 ∞

(232).

(233) s s+1 r

(234)

(235) ∆ a b k k k ‖B ( f )‖ p . ∑. k=0.

(236)

(237) Logo, precisamos estimar

(238) ∆s+1 ak bk

(239) . Separamos a última desigualdade da seguinte forma ⌈v/2⌉

(240). ∑. v.

(241)

(242) ∆s+1 ak bk

(243) ks ‖B r ( f )‖ p +. ∑. k=0.

(244) s+1

(245)

(246) ∆ ak bk

(247) ks ‖B r ( f )‖ p +. ∞. ∑

(248) ∆s+1ak bk

(249) ks ‖Br ( f )‖ p.

(250).

(251). k=v. k=⌈v/2⌉. Observamos que para k < v/2, temos η(2k/v) = 1 e, portanto, a primeira soma se anula. Para v/2 < k < v, pelo item (i) no Lema 2.7, temos

(252)

(253)

(254) s+1

(255) s+1

(256)

(257) s + 1

(258) s+1−i −r/2

(259)

(260) i

(261) ∆ ak bk

(262) ≤ ∑ (k(k + α + β + 1))