INTRODUÇÃO À TRANSFORMADA Z. Wilson Arnaldo Artuzi Junior Ricardo Rodrigo Wolf Cruz

Wilson Arnaldo Artuzi Junior Ricardo Rodrigo Wolf Cruz

CURITIBA 2010

1 - Introdução...1

1.1 - Definição:...1

a) Domínio do tempo discreto n...1

b) Domínio z...2

c) Par transformado...2

d) Transformada Direta...2

e) Transformada Inversa...2

2 - Região de Convergência da Transformada Z...4

2.1 - Propriedades da ROC...5

3 - Propriedades da Transformada Z...8

3.1 - Linearidade...8

3.2 - Deslocamento...8

3.3 - Produto por exponencial...10

3.4 - Reversão...11

3.5 - Convolução...11

4 - Transformação Bilinear...12

4.1 - Transformada de Laplace e Transformada Z...12

a) Transformada de Laplace...12

b) Transformada Z...12

c) Comparação...12

4.2 - Transformação bilinear...12

1 Introdução

A Transformada Z é bastante utilizada para a análise de sistemas em tempo discreto. Pode ser aplicada no processamento digital de sinais, por exemplo, para obtenção do comportamento de sinais digitalizados e para a criação de filtros digitais.

Também é possível aplicar tal transformada em equações diferença lineares, que quando convertidas para o domínio z tornam-se equações algébricas de mais fácil solução. Neste caso, a resposta final é obtida pela utilização da transformada Z inversa após os cálculos. Do mesmo modo, pode-se obter funções de transferência de sistemas em função da variável z, utilizadas para verificação da resposta do sistema a uma entrada arbitrária. A transformada Z é o equivalente para sinais e sistemas discretos da transformada de Laplace, usada no caso contínuo.

1.1 Definição

A transformada Z faz a mudança do domínio do tempo discreto para o domínio da variável z. É uma alternativa mais adequada que a transformada de Laplace quando a variável tempo não é contínua.

a) Domínio do tempo discreto n.

g [n] é uma sequência de números reais ordenados segundo valores crescentes de n. Neste caso, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …

Em casos práticos, g[n] é obtida através da amostragem de g(t) a intervalos regulares ∆t, ou seja, g[n] = g (n.∆t), como ilustrado na Figura 1.1.

Figura 1.1: Exemplo de amostragem de sinal analógico.

b) Domínio z.

G(z) é uma função real da variável complexa . A variável z não tem significado físico e é contínua (ao contrário da variável n que é discreta). O plano complexo Z é ilustrado na Figura 1.2.

c) Par transformado.

A relação g[n] ↔ G(z) é unívoca, desde que considerada sua Região de Convergência (ROC). d) Transformada Direta.

G z =

∑

g [n] z

₍₁₎

g [n ]=

1

2  j

∮

G  z z

dz

(2)

Na qual “c” é um contorno fechado no sentido anti-horário ao redor da origem do plano complexo z, como exemplificado na Figura 1.3.

Exemplo 1 (resolvido): Calcule a transformada Z direta do degrau unitário discreto, mostrado na Figura 1.4:

Figura 1.2: Plano complexo Z com exemplo de um valor possível da variável z em azul.

Figura 1.3: Exemplo de caminho fechado possível para a integral da Transformada Z inversa.

Partindo da Equação 1:

Fórmula da soma dos termos de uma PG:

∑

r

=

r

−

r

r−1

;r ≠1

(3)

Usando r = 1/z; m = 0 e n = ∞:

G(z) possui um pólo em z = 1 (valor que anula o denominador), a Região de Convergência (região do plano complexo Z para a qual |G(z)|<∞) fica sendo |z|>1, como mostra a FIGURA.

Figura 1.4: Função degrau unitário discreto, correspondente à g[n]=0 para n<0 e g[n]=1 para n≥0. G z=

_∑

∑

∑

G z=

_∑

z

=1

1

z



1

z



1

z

...

g  z=

1/ z 

−1

1/ z −1

=

∞

, se∣z∣1 ;

−1

1 / z−1

=

z

z−1

, se∣z∣1.

g  z=

z

z −1

;∣z∣1

Exemplo 2: Calcule a transformada Z direta da sequência g[n] = an_{u[n], onde 0<a<1.}

Resposta: , conforme a Figura 1.6.

2 Região de Convergência da Transformada Z

A Transformada Z de uma sequência g[n] é definida apenas para os valores de z no plano complexo que resultem em

Figura 1.6: ROC da Transformada Z de an_u[n]

(Exemplo 2).

Figura 1.5: ROC da Transformada Z do degrau unitário u[n] (Exemplo 1).

g  z=

z

∑

∞

∣

g [n ] z

∣∞

(4)

Os pontos no plano complexo Z que satisfazem a condição acima definem a região de convergência (ROC – Region of Convergence).

2.1 Propriedades da ROC

a. A ROC é sempre uma região conexa (uma única superfície) na forma de disco ou anel com centro na origem do plano complexo Z, como nos exemplos da Figura 2.1.

b. A ROC não contém os pólos de G(z) e é delimitada por estes. Pólos são os valores da variável z que anulam o denominador da função G(z) quando ela é expressa na forma racional (divisão de polinômios da variável z).

c. ROC de uma sequência finita:

Uma sequência é dita finita quando satisfaz a seguinte condição:

g [n ]=0 para n N

e nN

(5)

Figura 2.1: Tipos possíveis para a Região de Convergência (ROC).

A ROC de uma sequência finita é todo o plano complexo, mas exclui |z|=∞, _{se N1<0, e |z|} =0, se N2>0.

d. ROC de uma sequência à direita:

Uma sequência é dita à direita quando satisfaz a condição:

g [n ]=0 para n N

(6)

A ROC de uma sequência à direita é o exterior de uma circunferência e exclui |z|=∞, se N1<0. Um exemplo de sequência à direita é apresentado na Figura 2.3.

e. ROC de uma sequência à esquerda:

Uma sequência é dita à esquerda quando satisfaz a condição:

g [n ]=0 para n N

(7)

A ROC de uma sequência à esquerda é o interior de uma circunferência e exclui |z|=0, se N2>0. Uma sequência à esquerda é ilustrada na Figura 2.4.

Figura 2.3: Exemplo de sequência à direita com N1=0. A função mostrada

f. ROC de uma sequência bilateral:

Uma sequência é dita bilateral quando não se enquadra nos casos anteriores e não é periódica, como ilustrado na Figura 2.5.

A ROC de uma sequencia bilateral é um anel (a>0 e b<∞ ,considerando a Figura 2.1). g. ROC de uma sequência periódica:

Uma sequência é dita periódica quando apresenta um padrão que se repete indefinidamente, como na Figura 2.6.

Figura 2.4: Exemplo de sequência à esquerda com N2=0. A função mostrada é

g[n]=u[-n].

Figura 2.5: Exemplo de sequência bilateral. A função mostrada é g [n ]=1,2−n2

Não existe ROC para sequências periódicas, logo não é possível calcular sua Transformada Z.

Exemplo 3: Calcule a Transformada Z direta da sequência g[n] = -an_u[-(n+1)].

Resposta:

3 Propriedades da Transformada Z.

3.1 Linearidade

a.g [n]b.h[n]⇔ a.G z b.H  z

(8)

3.2 Deslocamento

g [n−k ]⇔ z

G z 

(9)

A ROC é a ROC de G(z), mas com possibilidade de alterações em |z| = 0 e |z| = ∞.

Exemplo 4 (resolvido): Sabendo que obtenha a Transformada Z do

sinal g[n] apresentado na Figura 3.1.

Figura 2.6: Exemplo de sequência periódica. Neste caso é mostrada a função g[n]=(-1)n_.

g  z= z

z −a ;∣z∣a

u [n]⇔ z

Este sinal pode ser representado pela soma entre um degrau unitário deslocado de 1 unidade para a esquerda (Figura 3.2) e outro, com sinal negativo, deslocado de 2 unidades para a direita (Figura 3.3), ou seja, g[n] = u[n+1] – u[n-2].

Figura 3.1: g[n]=1, se |n|≤1; g[n]=0, se |n|>1.

Observe que para o sinal u[n+1] a ROC foi alterada, visto que trata-se de uma sequência à direita que se inicia antes do 0 (antes do deslocamento ela se iniciava no 0).

A ROC seria a intersecção das ROCs de u[n+1] e u[n-2], mas, neste caso, ocorre um cancelamento de pólo, pois:

Portanto o limite correspondente ao pólo z = 1 é alterado e:

3.3 Produto por exponencial

Figura 3.3: Degrau unitário deslocado de 2 unidades para a direita (k = 2).

u [n1]⇔ z

z

z−1

;1∣z∣∞

u [n−2]⇔ z

z

z−1

;1∣z∣

u [n1]−u [n−2]⇔ z

z

z−1

−

z

z

z−1

=

z

₋

_z

z−1

=

z

₋₁

z

−

z

z

−1

z

−

z

=



z

_

_{z1. z −1}

z.  z−1

u [n1]−u [n−2]⇔



z



z 1

z

;0∣z∣∞

a

_{g [n ]⇔G  z /a}

₍₁₀₎

Para ROC de |z/a|.

Exemplo 5 (resolvido): Sabendo que obtenha a transformada Z de

an_u[n].

3.4 Reversão

Para ROC de 1/|z|.

Exemplo 6 (resolvido): Sabendo que obtenha a transformada Z de

u[-n].

3.5 Convolução

Para ROC de G(z) ∩ ROC de H(z).

u [n]⇔ z

z−1;∣z∣1

a

u [n]⇔



z /a 



z /a−1

=

z

z−a

;∣ z /a∣1 ou∣z∣a

g [−n]⇔G 1/ z

u [−n]⇔

1/ z 

1/ z −1

=

1

1−z

;∣1 / z ∣1 ou∣z∣1

∑

g [n−m]h [m]=g [n ]∗h[n ]

g [n ]∗h[n ]⇔G  z H  z

Exemplo 7:Sabendo que calcule a Transformada Z de -an_u[-(n+1)]

(mesmo do exemplo 3) usando as propriedades da Transformada Z.

Resposta:

4 Transformação Bilinear

A transformação bilinear faz a mudança da variável da frequência complexa s (analógica) para a variável z (usada em sistemas digitais) de forma a permitir que um circuito elétrico analógico seja processado numericamente em computadores e em processadores digitais de sinais (DSPs).

4.1 Transformada de Laplace e Transformada Z

a) Transformada de Laplace

b) Transformada Z

c) Comparação

4.2 Transformação bilinear

A relação s = (1/∆t).ln(z) faz o mapeamento exato da variável s para a variável z, porém é de pouca utilidade prática. Porém, utilizando a relação z = (1+x)/(1-x), o logaritmo pode ser expandido usando a seguinte série de Taylor:

u [n]⇔ z z−1;∣z∣1 g  z= z z−a;∣z∣a

G s=

∫

g t e

_dt≈

∑

g n  t e



t

G  z=

_∑

g [n] z

G s=G z ⇒ g n  t t= g [n] ;

e

=

z.

ln



1x

1−x



=

2x

2

3

x



2

5

x

⋯

(11)

Utilizando tal expansão, a relação entre s e z pode ser reescrita como:

s=

2



t

[

z −1

z 1



1

3



z −1

z 1





1

5



z −1

z 1



⋯

]

e, considerando apenas a aproximação de primeira ordem, obtém-se uma transformação bilinear que apresenta importância prática quando associada à propriedade do deslocamento.

s=

2



t

z −1

z 1

(12)

Exemplo 8 (resolvido): Encontre uma fórmula recursiva da corrente em função da tensão para o equivalente digital do circuito RC mostrado na Figura 4.1, considerando nulas as condições iniciais.

1. Domínio do tempo:

2. Domínio da variável s:

A integral correspondente às condições iniciais é nula, logo:

Figura 4.1: Circuito RC, considerando a tensão e a corrente discretas.

v t −R.i t−

1

C

∫

it dt=0

V  s −R.I  s−

1

C

[

I  s

s



1

s

∫

i t dt

]

=0

v t ⇔V s 

i t⇔ I  s

3. Domínio da variável z:

s=

2



t

z −1

z 1

4. Domínio do tempo discreto n:

ou, considerando:

Lembrando que i[n] e v[n] = 0 para n <0. Pode-se representar esta resposta pelo diagrama

apresentado na Figura 4.2.

V  s−

[

R

1

Cs

]

I  s=0

V  z −

[

R

1

C



t

2

z1

z−1

]

I  z =0

z V  z−V  z −



R



t

2C



z I  z 



R−



t

2C



I  z =0

z

V  z⇔ v [nk ]

z

I  z⇔i[ nk ]

v [n1]−v [n]−



R



t

2C



i [n1]



R−



t

2C



i[n ]=0

i[n1]=

1



R



t

2C





v [n1]−v [n]



R−



t

2C





R



t

2C



i [n]

a

=



RC−



t

2





RC



t

2



a

=

C



RC



t

2



i[n1]=a



v [n1]−v [n]a

i[n]

V s ⇔V  z  I s ⇔ I  z 

Exemplo 9: Encontre uma fórmula recursiva da corrente em função da tensão para o equivalente digital do circuito RL mostrado na , considerando nulas as condições iniciais.

Resposta:

Figura 4.2: Diagrama recursivo representando a corrente em função da tensão no tempo discreto para um circuito RC.

Figura 4.3: Circuito RL no tempo discreto.

i[n1]=



t /2R



t /2 L/ R



v [n1]v [n]−



t /2− L/ R

Bibliografia

[1] B. P. Lathi, Sinais e Sistemas Lineares, 2 edição, Bookman, Porto Alegre, Brasil, 2007.

[2] Roland, Digitalização, Brasil, 2010, disponível em http://www.qsl.net/py4zbz/teoria/digitaliz.htm , acesso em 19/11/2010.