Exercícios complementares às notas de aulas de Estradas (parte 7) Curvas horizontais de transição

Exercícios complementares às notas de aulas de

Estradas (parte 7)

Helio Marcos Fernandes Viana

Tema:

Curvas horizontais de transição

Exercício 1

Para realização do projeto de uma curva horizontal simétrica com espirais de transição são dados:

a) Comprimento da curva espiral, LS = 120 m;

b) Ângulo de deflexão entre as tangentes, = 35o; c) Raio da curva circular, RC = 500 m; e

d) Estaca do ponto de interseção das tangentes, E(PI) = 228E + 17,00 m

Pede-se:



S = ângulo de transição;

XS = abscissa dos pontos SC e CS;

YS = ordenada dos pontos SC e CS;

 ângulo central do trecho circular;

D = desenvolvimento (ou comprimento) do trecho circular; k = abscissa do centro O’;

p = afastamento da curva circular; TT = tangente total;

E = distância do PI ao ponto médio da curva circular; E(TS) = estaca do ponto tangente-espiral;

E(SC) = estaca do ponto espiral-circular; E(CS) = estaca do ponto circular-espiral; e E(ST) = estaca do ponto espiral-tangente. OBS(s).

a) Calcular S, em radianos, com precisão de 5 (cinco) casas decimais.

b) π rad = 3,1416 rad = 180o

Resposta:

i) Cálculo do ângulo de transição (S)

o C S S 0,12000 rad 6,8755 500 . 2 120 R . 2 L _{  }   em que:

LS = comprimento do trecho de transição (m); e

RC = raio da curva circular (m).

ii) Cálculo da abscissa (XS) e ordenada (YS) dos pontos SC e CS

m 83 , 119 216 ) 12000 , 0 ( 10 ) 12000 , 0 ( 1 . 120 216 10 1 . L X 4 2 4 S 2 S S S                   _     m 80 , 4 42 ) 12000 , 0 ( 3 12 , 0 . 120 42 3 . L Y 3 3 S S S S                  _   

iii) Cálculo do ângulo central do trecho circular () rad 37087 , 0 249 , 21 8755 , 6 . 2 35 . 2_S  o  o  o     

em que  = deflexão das tangentes.

iv) Cálculo do desenvolvimento (ou comprimento) do trecho circular (D) m 43 , 185 180 1416 , 3 . 249 , 21 . 500 180 . . R D _o o o o C    

v) Cálculo da abscissa do centro O’ (k)

S C S R .sen X k    m 97 , 59 ) 8755 , 6 ( sen . 500 83 , 119 k   o 

vi) Cálculo do afastamento da curva circular (p) ) cos 1 .( R Y p  S  C  S m 20 , 1 )) 8755 , 6 cos( 1 .( 500 80 , 4 p   o 

vii) Cálculo da tangente total (TT)

          2 tan ). p R ( k TT _C m 00 , 218 2 35 tan ). 20 , 1 500 ( 97 , 59 TT o          

viii) Cálculo da distância do PI ao ponto médio da curva circular (E) m 52 , 25 500 2 35 cos 20 , 1 500 R 2 cos p R E o C C                    

ix) Cálculo das estacas dos pontos notáveis

a) Cálculo da estaca do ponto tangente-espiral, E(TS) E(TS) = E(PI) - [TT] em que:

[TT] = valor da tangente total em estacas; e

E(PI) = estaca do ponto de interseção das tangentes. Como:

20 m  1 estaca TT = 218,00 m  X

. est 90 , 10 m 20 m . est 00 , 218 X  como: 1 estaca  20 m 0,90 estaca  Y m 00 , 18 est 1 m . est 20 . 90 , 0 Y  Logo: TT = 218,00 m  [TT] = 10E +18,00 m Então: E(TS) = 228E + 17,00 - (10E + 18,00) E(TS) = 227E + 37,00 - (10E + 18,00) E(TS) = 217E + 19,00 m = 217 + 19,00

b) Cálculo da estaca do ponto espiral-circular, E(SC) E(SC) = E(TS) + [LS]

em que [LS] = valor do comprimento da espiral em estaca.

Como: 20 m  1 estaca LS = 120,00 m  X . est 6 m 20 m . est 00 , 120 X  Logo: LS = 120 m  [LS] = 6E + 0,00 Então: E(SC) = 217E + 19,00 + (6 + 0,00) E(SC) = 223E + 19,00 m = 223 + 19,00

c) Cálculo da estaca do ponto circular-espiral, E(CS) E(CS) = E(SC) + [D] em que [D] = valor do desenvolvimento em estaca.

Como: 20 m  1 estaca D = 185,43 m  X . est 272 , 9 m 20 m . est 43 , 185 X  como: 1 estaca  20 m 0,272 estaca  Y m 44 , 5 est 1 m . est 20 . 272 , 0 Y  Logo: D = 185,43 m  [D] = 9 + 5,44 Então: E(CS) = 223 + 19,00 + (9 + 5,44) E(CS) = 233 + 4,44

d) Cálculo da estaca do ponto espiral-tangente, E(ST) E(ST) = E(CS) + [LS]

Como:

[LS] = 6 + 0,00

em que [LS] = valor do comprimento da espiral em estaca.

Então:

E(ST) = 233 + 4,44 + (6 + 0,00) E(ST) = 239 + 4,44

Exercício 2

O exercício 2 é o exemplo do projeto e da construção de uma caderneta de locação de uma curva horizontal simétrica com espirais de transição.

Enunciado do exercício 2:

Pede-se calcular os elementos necessários ao projeto de uma curva de transição, e também preparar uma caderneta de locação para implantação da curva no terreno, sabendo-se que todos os pontos dos trechos em transição podem ser visados com o teodolito centralizado no TS ou ST.

Dados:

a) Estaca do PI = 31 + 16,30;

b) Raio da curva circular, RC = 300 m;

c) Ângulo de deflexão entre as tangentes = 29o; e d) Velocidade de projeto, VP = 80 km/h.

OBS (s).

a) Usar para locação da curva cordas de 10 m. b)  = 3,1416.

c) Calcular S, em radianos, com precisão de 5 (cinco) casas decimais.

Resposta:

i) Elementos para locação da curva circular a) Grau da curva circular (G)

               300 . 2 10 arcsen . 2 R . 2 c arcsen . 2 G G C 10 " 36 ' 54 1 9099 , 1 G₁₀  o  o

em que:

G10 = grau da curva circular (ou ângulo correspondente a corda de 10 m);

c = corda de locação (m) RC = raio da curva circular (m).

b) Deflexão por metro (dm)

' 73 , 5 09549 , 0 10 . 2 9099 , 1 c . 2 G dm o o    

c) Cálculo do raio da curva circular após o arredondamento da deflexão, por metro, para o valor inteiro mais próximo, ou seja, dm = 6’ = 0,1o

Como: c . 2 G dm  , e C o R . c . 180 G  

Então, desenvolvendo a partir de G, tem-se:

C o R . c . 180 c . 2 . dm    dm . . 2 180 R o C  _ Logo: m 50 , 286 1 , 0 . 1416 , 3 . 2 180 R _o o C  

ii) Cálculo do comprimento da curva de transição

a) Cálculo do comprimento mínimo da curva de transição

m 33 , 64 50 , 286 ) 80 ( , 036 , 0 R V . 036 , 0 L 3 C 3 min S   

b) Cálculo do comprimento normal da curva de transição m 56 , 101 50 , 286 . 6 R . 6 L_S(NORMAL)  _C  

Então, adotar como comprimento de projeto o valor mais próximo do comprimento normal que seja múltiplo de 10 m. Assim sendo, o valor de projeto será LS = 100 m.

iii) Cálculo do ângulo central da espiral (S)

o C S S 0,17452 rad 10 5 , 286 . 2 100 R . 2 L     

iv) Cálculo das coordenadas retangulares da espiral m 696 , 99 216 ) 17452 , 0 ( 10 ) 17452 , 0 ( 1 . 100 216 10 1 . L X 4 2 4 S 2 S S S                        e m 805 , 5 42 ) 17452 , 0 ( 3 17452 , 0 . 100 42 3 . L Y 3 3 S S S S                  _    em que:

XS = abscissa dos pontos SC e CS; e

YS = ordenada dos pontos SC e CS.

v) Cálculo do ângulo (ou deflexão) correspondente ao ponto SC, ou CS ou ao comprimento do arco LS da espiral

" 55 ' 19 3 332 , 3 696 , 99 805 , 5 arctan X Y arctan i o o S S S                

vi) Cálculo do ângulo (ou deflexão) jS

' 40 6 668 , 6 332 , 3 10 i j o o o o S S S       

JS é importante para definir as tangentes nos pontos SC e CS, e iniciar a

locação da curva circular.

vii) Cálculo de k (abscissa do centro O’) e p (afastamento da curva circular) a) k  X_S R_C.sen_S

então, k  99,696 286,5.sen(10o)  49,946 m b) p  Y_S R_C.(1cos_S)

então, p  5,805  286,5.(1cos10o)  1,452 m

viii) Cálculo da tangente externa (TT)

          2 tan ). p R ( k TT _C então, m 42 , 124 2 29 tan ). 452 , 1 5 , 286 ( 946 , 49 TT           em que:

 = ângulo de deflexão entre as tangentes (graus); RC = raio da curva circular (m);

k = abscissa do centro O’ da curva circular (m); e p = afastamento da curva circular (m).

ix) Cálculo da corda de locação do SC ou ST, ou corda correspondente ao arco da espiral de comprimento LS m 865 , 99 ) 332 , 3 cos( 696 , 99 i cos X c _o S S S   

x) Cálculo da distância do PI ao ponto médio da curva circular (E) m 926 , 10 5 , 286 2 cos 452 , 1 5 , 286 R 2 cos p R E C C                     

xi) Cálculo do ângulo central do trecho circular () para espirais simétricas

S . 2     então, o o o 9 10 . 2 29    

xii) Cálculo do desenvolvimento da curva no trecho circular (D)

m 003 , 45 180 1416 , 3 . 9 . 5 , 286 180 . . R D _o o o o C    

xiii) Cálculo das estacas do TS, SC, CS e ST a) E(TS) = E(PI) - [TT]

em que [TT] = valor da tangente total em estacas. Como, TT = 124,42 m  [TT] = 6 + 4,42 então,

E(TS) = 31 + 16,30 - (6 + 4,42) E(TS) = 25 + 11,88

b) E(SC) = E(TS) + [LS]

em que [LS] = valor do comprimento da espiral em estacas.

Como: LS = 100 m  [LS] = 5 + 0,00

então,

E(SC) = 25 + 11,88 + (5 + 0,00) E(SC) = 30 + 11,88

c) E(CS) = E(SC) + [D]

em que [D] = valor do desenvolvimento em estacas. Como: D = 45,003 m  [D] = 2 + 5,00 então, E(CS) = 30 + 11,88 + (2 + 5,00) E(CS) = 32 + 16,88 d) E(ST) = E(CS) + [LS] Como já calculado [LS] = 5 + 0,00 então, E(ST) = 32 + 16,88 + (5 + 0,00) E(ST) = 37 + 16,88

xiv) Caderneta de locação

A caderneta de locação foi elaborada levando-se em consideração os seguintes critérios:

a) O primeiro ramo da curva de transição foi preparado para ser locado com o aparelho (ou teodolito) centralizado no ponto TS.

b) O trecho circular da curva de transição é preparado para ser locado com o aparelho (ou teodolito) centralizado no ponto SC.

c) O último trecho da transição é preparado para ser locado com o aparelho centralizado no ponto ST.

Os valores de , X, Y e i são calculados pelas seguintes equações:

S C 2 L . R . 2 L         _  _   216 10 1 . L X 4 2       _   42 3 . L Y 3        X Y arctan i em que:

 = ângulo correspondente ao comprimento L da espiral (rad); X = abscissa de um ponto A qualquer sobre a espiral (m); Y = ordenada de um ponto A qualquer sobre a espiral (m); i = deflexão em relação a tangente total (graus);

LS = comprimento da espiral (m);

L = comprimento de um arco da espiral (m); e RC = raio da curva circular (m).

xv) Exemplo de cálculo para deflexão do trecho circular

a) Cálculo da 1.o deflexão, para corda de 8,12 m e com dm = 6’ 1 m  6’ 8,12 m  X  48,72' 1 12 , 8 '. 6 X  

b) Cálculo das deflexões correspondentes à corda c = 10 m e com dm = 6’ 1 m  6’ 10 m  X  o 1 ' 60 1 ' 6 . 10 X   

c) Cálculo da última deflexão do trecho circular correspondente à corda de c = 6,88 m 1 m  6’ 6,88 m  X  41,28' 1 ' 6 . 88 , 6 X  

A Tabela 2.1 mostra detalhadamente a caderneta para locação da curva horizontal simétrica com espirais de transição projetada neste exercício. Observa-se que esta caderneta de locação foi facilmente elaborada com o auxílio do programa Excel do microsoft office.

Observações relacionadas á caderneta de locação:

a) A deflexão sucessiva é dada em relação à estaca anterior, e a deflexão acumulada é dada em relação a tangente externa.

b) c = corda de locação.

c) O ponto ST pode ser obtido a partir da estaca do PI e da TT, pois a curva é simétrica.

Tabela 2.1 - Caderneta para locação da curva horizontal simétrica com espirais de transição projetada no exercício 2

C á lc u lo a u to m á tic o P on tos Su ce s s iv a s A cu m u la d a s (i ) A cu m u la d a s (i ) da c urv a (g ra u s ) (g ra u s e /o u m in u to s ) 2 5 + 1 1 ,8 8 TS --E s ta ç ã o T . n o T S 2 6 + 1 ,8 8 1 0 ,0 0 1 0 ,0 0 0 ,0 0 1 7 1 0 ,0 0 0 ,0 0 5 8 --0 ,0 3 3 3 3 2' E s ta ç ã o T . n o T S 2 6 + 1 1 ,8 8 1 0 ,0 0 2 0 ,0 0 0 ,0 0 7 0 2 0 ,0 0 0 ,0 4 6 5 --0 ,1 3 3 3 2 8' E s ta ç ã o T . n o T S 2 7 + 1 ,8 8 1 0 ,0 0 3 0 ,0 0 0 ,0 1 5 7 3 0 ,0 0 0 ,1 5 7 1 --0 ,2 9 9 9 8 18' E s ta ç ã o T . n o T S 2 7 + 1 1 ,8 8 1 0 ,0 0 4 0 ,0 0 0 ,0 2 7 9 4 0 ,0 0 0 ,3 7 2 3 --0 ,5 3 3 2 9 32' E s ta ç ã o T . n o T S 2 8 + 1 ,8 8 1 0 ,0 0 5 0 ,0 0 0 ,0 4 3 6 4 9 ,9 9 0 ,7 2 7 1 --0 ,8 3 3 2 6 50' E s ta ç ã o T . n o T S 2 8 + 1 1 ,8 8 1 0 ,0 0 6 0 ,0 0 0 ,0 6 2 8 5 9 ,9 8 1 ,2 5 6 2 --1 ,1 9 9 8 7 1 o 1 2 ' E s ta ç ã o T . n o T S 2 9 + 1 ,8 8 1 0 ,0 0 7 0 ,0 0 0 ,0 8 5 5 6 9 ,9 5 1 ,9 9 4 3 --1 ,6 3 3 1 1 1 o 3 8 ' E s ta ç ã o T . n o T S 2 9 + 1 1 ,8 8 1 0 ,0 0 8 0 ,0 0 0 ,1 1 1 7 7 9 ,9 0 2 ,9 7 5 8 --2 ,1 3 2 9 5 2 o 0 8 ' E s ta ç ã o T . n o T S 3 0 + 1 ,8 8 1 0 ,0 0 9 0 ,0 0 0 ,1 4 1 4 8 9 ,8 2 4 ,2 3 4 8 --2 ,6 9 9 3 4 2 o 4 2 ' E s ta ç ã o T . n o T S 3 0 + 1 1 ,8 8 SC 1 0 ,0 0 1 0 0 ,0 0 0 ,1 7 4 5 9 9 ,7 0 5 ,8 0 4 7 --3 ,3 3 2 2 2 3 o 2 0 ' E s ta ç ã o T . n o T S 31 8 ,1 2 --4 8 ,7 2 ' --E s ta ç ã o T . n o S C 3 1 + 1 0 ,0 0 1 0 ,0 0 --60' --E s ta ç ã o T . n o S C 32 1 0 ,0 0 --60' --E s ta ç ã o T . n o S C 3 2 + 1 0 ,0 0 1 0 ,0 0 --60' --E s ta ç ã o T . n o S C 3 2 + 1 6 ,8 8 CS 6 ,8 8 --4 1 ,2 8 ' --E s ta ç ã o T . n o S C 3 3 + 6 ,8 8 1 0 ,0 0 9 0 ,0 0 0 ,1 4 1 4 8 9 ,8 2 4 ,2 3 4 8 --2 ,6 9 9 3 4 2 o 4 2 ' E s ta ç ã o T . n o T S 3 3 + 1 6 ,8 8 1 0 ,0 0 8 0 ,0 0 0 ,1 1 1 7 7 9 ,9 0 2 ,9 7 5 8 --2 ,1 3 2 9 5 2 o 0 8 ' E s ta ç ã o T . n o T S 3 4 + 6 ,8 8 1 0 ,0 0 7 0 ,0 0 0 ,0 8 5 5 6 9 ,9 5 1 ,9 9 4 3 --1 ,6 3 3 1 1 1 o 3 8 ' E s ta ç ã o T . n o T S 3 4 + 1 6 ,8 8 1 0 ,0 0 6 0 ,0 0 0 ,0 6 2 8 5 9 ,9 8 1 ,2 5 6 2 --1 ,1 9 9 8 7 1 o 1 2 ' E s ta ç ã o T . n o T S 3 5 + 6 ,8 8 1 0 ,0 0 5 0 ,0 0 0 ,0 4 3 6 4 9 ,9 9 0 ,7 2 7 1 --0 ,8 3 3 2 6 50' E s ta ç ã o T . n o T S 3 5 + 1 6 ,8 8 1 0 ,0 0 4 0 ,0 0 0 ,0 2 7 9 4 0 ,0 0 0 ,3 7 2 3 --0 ,5 3 3 2 9 32' E s ta ç ã o T . n o T S 3 6 + 6 ,8 8 1 0 ,0 0 3 0 ,0 0 0 ,0 1 5 7 3 0 ,0 0 0 ,1 5 7 1 --0 ,2 9 9 9 8 18' E s ta ç ã o T . n o T S 3 6 + 1 6 ,8 8 1 0 ,0 0 2 0 ,0 0 0 ,0 0 7 0 2 0 ,0 0 0 ,0 4 6 5 --0 ,1 3 3 3 2 8' E s ta ç ã o T . n o T S 3 7 + 6 ,8 8 1 0 ,0 0 1 0 ,0 0 0 ,0 0 1 7 1 0 ,0 0 0 ,0 0 5 8 --0 ,0 3 3 3 3 2' E s ta ç ã o T . n o T S 3 7 + 1 6 ,8 8 ST --E s ta ç ã o T . n o T S D e fle õ e s Y (m ) O b s e rv a ç ã o X (m ) L (m ) E st a c a s  (r a d ) c (m )