FIC/ Cu rs o d e Ma te m á tica 2 0 0 9 – 2 º
P ro fe s s o r: Ro d rigo N e ve s Figu e ire d o d o s S a n to s
Lis ta 4 d e Exe rcício s d e Cá lcu lo I
Resumão do Conteúdo:
Continuidade:
Informalmente, o que significa uma função ser contínua? Como se faz para reconhecer, a partir do gráfico, se uma função é contínua ou não? Resposta: o gráfico não pode ter saltos, quebras e nem furos, ele deve ser interrupto.
Numericamente, uma função é contínua se valores da variável independente próximos entre si, Ge-ram valores da função que estão tão próximo um do outro quanto desejarmos.
Suponha que f(x) seja uma função contínua de x, em algum intervalo, e que x = a esteja nesse inter-valo. Então, se x está próximo de a, sabemos que f(x) está próximo de f(a). De fato, quanto mais x se aproxima de x, mais f(x) se aproxima de f(a). Assim, quando x a, o limite de f(x) deve ser f(a). Os mate-máticos usam esta idéia e a notação de limites para dar uma definição formal de continuidade.
Definição:
Diz-se que uma função f(x) é contínua em um ponto de abscissa a, quando se tem
lim f x f a
Observemos que esta definição tem implícitas três condições:
1) A função está definida em a. É o mesmo que dizer que existe f(a), ou a está no domínio. 2) Existe o limite de f(x) quando x a (Existem os limites laterais e são iguais).
3) O limite anterior coincide com o valor da função.
Portanto, uma função pode deixar de ser contínua em um ponto, por não cumprir alguma destas condições descritas graficamente:
f
não está definida emx
0f
não tem limite emx
0 (Não-Removível)( )
( )
0
lim
x→x
f x
≠
f x
(Removível)
Outro tipo comum de não continuidade são as assíntotas verticais.
Quando a função não é contínua em um ponto, dizemos que ela é descontínua nele.
A definição de continuidade possui um caráter local ou pontual. Caso a função seja contínua em um todos os pontos do domínio, a função é dita ser simplesmente contínua ou não possuir pontos de descon-tinuidade.
Obs1: A maioria das funções que conhecemos é contínua em todo seu domínio, como por exemplo os po-linômios, retas, parábolas, senos, cossenos, logaritmos, exponenciais e etc...
Resultados importantes:
Teorema do Anulamento (ou de Bolzano):
Seja f(x) uma função contínua em um intervalo fechado [a,b], satisfazendo que f(a) > 0 (< 0) e f(b) < 0 (> 0), ou seja, que a imagem dos extremos do intervalo no domínio possuem valores com sinais diferentes, então existe algum ponto c em [a,b] tal que f(c) = 0
(A função f(x) admite alguma raiz no intervalo [a,b]).
Teorema do Valor Intermediário:
Seja f(x) uma função contínua em um intervalo fechado [a,b]. Dado qualquer valor real d, tal que f(a) < d < f(b) na imagem da função, tem que existir um c no intervalo [a,b] tal que f(c) = d.
Teorema de Weierstrass:
Seja f(x) uma função contínua definida em um intervalo fechado [a,b]. A função possui pelo menos um máximo e um mínimo neste intervalo.
Derivada:
Acréscimos de Variáveis:
Em uma função que possui a lei de correspondência dada por y = f(x), temos que y é chamado de va-riável dependente da função e x de vava-riável independente.
Quando a variável independente x assume os valores x = x1 e x = x2,o acréscimo de x é obtido pela expressão∆x = x2 – x1.
Da mesma forma, quando a variável dependente y, assume valores y = y1 e y = y2, cujo acréscimo de y é calculado por ∆y = y2 – y1, onde ∆y é chamado de acréscimo da variável dependente ou taxa de varia-ção da funvaria-ção.
Taxa de Variação da Função:
Considerando x variando no intervalo [x1, x2], a taxa média de variação da função ourazão incre-mental de uma função y = f(x) definida e contínua nesse intervalo é dada pelo quociente ∆y/∆x.
Obs3: Se no lugar de y, tivermos f(x), então, ∆y = y2 – y1 pode ser dado por ∆f(x) ou simplesmente por
∆f = f(x2)– f(x1), e no lugar de∆y ∆x, escreveríamos: x f ∆ ∆ = 1 2 1 2 x x ) x ( f ) x ( f − −
Obs4: Se ∆x é dado por ∆x = x2 – x1, então x2 = x1 + ∆x. Desta forma podemos reescrever ∆f(x) = f(x2) – f(x1) como ∆f(x) = f(x1 + ∆x) – f(x1) e taxa de variação média pode ser dada como:
x ) x ( f ) x x (
f 1 1
∆ − ∆ +
Definição Informal de Derivada:
Denomina-se derivada de uma função y = f(x) num ponto de abscissa x1, o limite, se existir e for finito, da razão∆y ∆xquando∆xtende a zero.
Notamos que à medida que
∆
x
diminui, a taxa ∆y ∆xdá informações cada vez mais precisa sobre a variação do valor de y próximo do valor de x.Este limite fornece a taxa instantânea de variação da grandeza y em relação a grandeza x.
Definição de Derivada:
x ) x ( f ) x x ( f lim x y lim
0 x 0
x ∆
− ∆ + =
∆ ∆
→ ∆ →
∆
Conceitos:
A Derivada de uma função y = f(x) é uma outra função real que possui as seguintes interpretações:
a) Física: É a relação instantânea entre a taxa de variação da imagem e do domínio da função f(x), ou o impacto proporcional que um “pequena” variação no domínio (variável x) terá na imagem (variável y). Geralmente a notação é dy/dx. Criada por Isaac Newton.
b) Geométrica: É a inclinação da reta que tangencia a função f(x), em torno de cada ponto estudado, chamada de reta tangente. Geralmente a notação pode ser f ‘(x) ou y’. Criada por Leibnitz.
Equação da Reta Tangente:
Seja a função y = f(x), e sua derivada f ‘(x). Dado um ponto P = (x0, y0) pertencente ao gráfico de f(x), ou seja, y0 = f(x0), a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) em x = x0 será dada por:
(y – y0) = f ‘(x0)·(x – x0)
Crescimento da Função:
Seja a função y = f(x), e sua derivada f ‘(x). Logo, para o ponto x = x0 temos que f ‘(x0) pode ser tanto a taxa de variação instantânea de f(x) em x0, quanto coeficiente angular da reta tangente à f(x) em x0.
Se f ‘(x0) > 0, dizemos que em x0 a função f(x) possui taxa de variação positiva e, graficamente, sabemos que a função f(x) está crescendo quando passa por x0.
Se f ‘(x0) < 0, dizemos que em x0 a função f(x) possui taxa de variação negativa e, graficamente, sabemos que a função f(x) está decrescendo quando passa por x0.
Propriedades de Derivada ou Derivação:
i) Se f x c, então f x ; (Derivada da Constante é Zero)
ii) Se f x x , entãof x n · x ;
iii) Se f x , fazemos f x x , e então f x n · x ;
iv) Se f x √x, fazemos f x x , e entãof x · x ;
v) f x g x f x g x ; (Regra da Soma ou Adição)
vi) f x · g x f x · g x f x · g x ; (Regra do Produto ou Multiplicação)
vii) · · ; (Regra da Divisão ou Quociente)
viii) fog x f g x f g x · g x ; (Regra da Cadeia ou Composição)
--- // --- // --- // --- // --- // --- // ---
1. Fazendo x1 e x2 extremos do intervalo [0, 1], determine a taxa de variação média das funções:
a) y x
b) y x
c) y √x
d) y x
e) y
2. Calcule a taxa média de variação da função f(x) = 3x2 – 5, fixando x1 = 2 e variando os seguintes valores para ∆x = 8, 5, 3, 2, 1, 0.5, 0.1 e 0.01 .
3. Calcule o acréscimo da função y = 2x2 – 4x + 5 e a correspondente razão de x1 = 3 e ∆x = 5.
4. Calcule a taxa média de variação da função y = x3 – 3x2 + x – 4 para x1 = –1 e x2 = 1.
5. Calcule as seguintes derivadas abaixo usando as propriedades (não fazer por definição):
a) f x x x
b) f x √ x
c) f x x x
d) f x
6. Calcule a taxa de variação instantânea das funções a seguir, nos pontos indicados e diga se neste ponto a função é crescente (taxa positiva) ou decrescente (taxa negativa), sem ter que desenhar o gráfico da função:
a) y x x , em x ;
b) y x , em x , x e x ; (O que podemos inferir dos resultados?)
c) y , em x ;
d) y x x , em x e x ;
e) y x x c, onde c pode ser qualquer constante real em x ; (Por que o valor de c não
influência na derivada? Interprete geometricamente.)
f) y √ x, em x ; (Poderia ser calculada em x = 5? Por que?)
7. Determine a inclinação da reta tangente à parábola y = 3x2,no ponto P = (1, 3). Em seguida, esboce os gráficos da parábola e de sua reta tangente. Agora, determine as leis de formação e esboce os gráficos das parábolas formadas pela translação desta parábola na direção dos vetores v1 = (2, 2) e v2 = (-1, -3). Por fim, encontre as novas coordenadas do ponto P transladado e calcule novamente a inclinação da reta tangente à parábola nelas. O que obtivemos?
8. Em que ponto da parábola y = x2 – 7x + 3, a reta tangente a ela é paralela à reta y = -5x + 3?
9. Para que valor de c, a parábola y = cx2 é tangente a curva y = √x em x = 2?
10. Determine a equação da reta que tangencia as funções dadas, nos pontos indicados:
a) f x x x, em x
b) f x √ x, em x
c) f x x x x , em x
d) f x , em x
f) f x √x x, em x
11. Encontre a função derivada usando as regras da soma, produto, quociente ou cadeia, podendo consultar a tabela de derivação para isto:
a) f x x x
b) f x x x x x
c) f x x · √x
d) f x sen x cos x e
e) f x sen x · cos x
f) f x sen x
g) f x e · cos x
h) f x
i) f x
j) f x √ x
k) f x √x x
l) f x sen x
m)f x e
n) f x sen ln x
12. Encontre a derivada usando as regras da soma, produto, quociente ou cadeia:
a) f x e
b) f x ln x x cos sen x
c) f x
d) f x e · cos x x · ln x
13. Dada a função
y x x x ,
a) Determine a equação da reta que tangencia y em x = 2.
b) Faça um breve estudo sobre os sinais da derivada e determine em que intervalos a função é crescente (taxa de variação instantânea positiva) ou decrescente (taxa de variação instantânea negativa), sem ter que desenhar o gráfico da função.
a) f x e · cos x x · ln x
b) f x
c) f x sen x x cos e
d) f x e · ln x x · sen x
e) f x cos x x
15. (Magistério, Rio de Janeiro, 2006) Considere-se a equação (a+1)x2-2ax - (3a+14) = 0 que tem raízes reais x1 e x2 . Sabe-se que -2 < x1 < 2 < x2. A soma do maior valor negativo inteiro de a com o menor valor positivo inteiro de a que satisfazem a condição acima é:
A) - 1 B) - 2 C) - 3 D) - 4
Texto Complementar: História da Derivada
A derivada tem dois aspectos básicos, o geométrico e o computacional. Além disso, as aplicações das derivadas são muitas: a derivada tem muitos papéis importantes na matemática propriamente dita, tem aplicações em física, química, engenharia, tecnologia, ciências, economia e muito mais, e novas aplicações aparecem todos os dias.
A origem da derivada está nos problemas geométricos clássicos de tangência, por exemplo, para determinar uma reta que intersecta uma dada curva em apenas um ponto dado. Euclides (cerca de 300 a.C.) provou o familiar teorema que diz que a reta tangente a um círculo em qualquer ponto P é per-pendicular ao raio em P. Arquimedes (287--212 a.C.) tinha um procedimento para encontrar a tangente à sua espiral e Apolônio (cerca de 262--190 a.C.) descreveu métodos, todos um tanto diferentes, para deter-minar tangentes a parábolas, elipses e hipérboles. Mas estes eram apenas problemas geométricos que Fo-ram estudados apenas por seus interesses particulares limitados; os gregos não perceberam nenhuma linha em comum ou qualquer valor nestes teoremas.
Problemas de movimento e velocidade, também básicos para nosso entendimento de derivadas hoje em dia, também surgiram com os gregos antigos, embora estas questões tenham sido originalmente trata-das mais filosoficamente que matematicamente. Os quatro paradoxos de Zenon (cerca de 450 a.C.) se apóiam sobre dificuldades para entender velocidade instantânea sem ter uma noção de derivada. Na Física de Aristóteles (384--322 B.C.), os problemas de movimento estão associados intimamente com noções de continuidade e do infinito (isto é, quantidades infinitamente pequenas e infinitamente grandes).
Foi Galileu Galilei (1564--1642) quem estabeleceu o princípio que matemática era a ferramenta indis-pensável para estudar o movimento e, em geral, ciência: “Filosofia [ciência e natureza] está escrita naquele grande livro o qual está diante de nossos olhos – quero dizer o universo – mas não podemos entendê-lo se não aprendermos primeiro a linguagem... O livro está escrito em linguagem matemática ...” Galileu estudou o movimento geometricamente; usou as proporções clássicas de Euclides e propriedades das cônicas de Apolônio para estabelecer relações entre distância, velocidade e aceleração. Hoje, estas quantidades variá-veis são aplicações básicas das derivadas.
(mínimos) sobre uma curva; geometricamente, ele estava encontrando os pontos onde a tangente à curva tem inclinação zero.
René Descartes (1596--1650) teve o discernimento de prever a importância da tangente quando, em sua Geometria, escreveu “E eu ouso dizer isto [encontrar a normal, ou perpendicular a uma curva, a partir da qual podemos facilmente identificar a tangente] não é apenas o problema mais útil e geral da geometria que conheço, mas até aquele que sempre desejei conhecer.” Descartes inventou um procedimento de dupla raiz para encontrar a normal e então a tangente a uma curva
Isaac Newton (1642--1727) começou a desenvolver o seu “cálculo de flúxions” entre os seus primei-ros esforços científicos em 1663. Para Newton, movimento era a “base fundamental” para curvas, tangen-tes e fenômenos relacionados de cálculo. Newton estendeu esta técnica como um método para encontrar a curvatura de uma curva, uma característica que agora sabemos ser uma aplicação da derivada segunda. Em 1666, 1669 e 1671, Newton resumiu e revisou seu trabalho de cálculo e estes manuscritos circularam entre um grande número de seus colegas e amigos. Ainda assim, embora tenha continuado a retornar a proble-mas de cálculo em épocas diferentes de sua vida científica, os trabalhos de Newton sobre cálculo não foram publicados até 1736 e 1745.
Com algum tutoramento e conselho de Huygens e outros, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646--1716) de-senvolveu seu cálculo diferencial e integral durante o período entre 1673 e 1676 enquanto vivia como um diplomata em Paris. Em uma pequena viagem a Londres, onde participou de um encontro da Sociedade Real em 1673, Leibniz aprendeu o método de Sluse para encontrar tangentes a curvas algébricas. Leibniz tinha pouca inclinação para desenvolver estas técnicas e interesse ainda menor em fundamentações mate-máticas (isto é, limites) necessárias, mas ele aperfeiçoou as fórmulas modernas e a notação para derivada no seu famoso artigo de 1684.
Aqui está o primeiro trabalho publicado em cálculo e de fato a primeira vez que a palavra “cálculo” foi usada em termos modernos. Agora, qualquer um poderia resolver problemas de tangentes sem ser es-pecialista em geometria, alguém poderia simplesmente usar as fórmulas de “cálculo” de Leibniz.
Algumas vezes se diz que Newton e Leibniz “inventaram” o cálculo. Como podemos ver, isto é simplificação exagerada. Em vez disso, como Richard Courant (1888--1972) observou, cálculo tem sido “uma luta intelectual dramática que durou 2500 anos”. Depois de 1700, circunstâncias levaram a um dos episódios mais tristes e deselegantes em toda a história da ciência: a disputa entre Leibniz e Newton, e mais ainda entre seus seguidores, sobre quem deveria receber os créditos do cálculo. Cada um fez contri-buições importantes para derivada, integral, séries infinitas e, acima de tudo, para o Teorema Fundamental do Cálculo. As acusações de plágio e outros ataques eram irrelevantes frente à matemática feita por eles, mas as acusações e contra-ataques escalaram para cisões entre matemáticos e cientistas na Inglaterra (leais a Newton) e no continente europeu (seguidores de Leibniz) os quais levaram à xenofobia nacionalista por mais de um século.
O primeiro livro sobre cálculo diferencial foi Analysis of Infinitely Small Quantities for the Under-standing of Curved Lines (Análise de quantidades infinitamente pequenas para o entendimento de curvas, 1696) pelo Marquês de L’Hospital (1661--1704). Muito de seu trabalho foi realmente devido à Johann Ber-noulli (1667--1748) e seguiu o tratamento de Leibniz para derivadas, máximos, mínimos e outras análises de curvas. Mas o método de l’Hospital para determinar o raio de curvatura era muito parecido com aquele de Newton. Jakob Bernoulli (1654-1705) e seu irmão mais novo Johann lideraram o caminho para espalhar o conhecimento do poder das fórmulas de cálculo de Leibniz propondo e resolvendo problemas desafia-dores (o problema da catenária e da braquistócrona são dois exemplos) para os quais o cálculo era neces-sário. Leibniz, Newton e Huygens também resolveram estes problemas. Este problemas e outros levaram ao desenvolvimento das equações diferenciais e do cálculo das variações, novos campos da matemática dependentes de cálculo.
No continente, Maria Agnesi (1718--1799) seguiu Leibniz e L'Hospital no seu livro de cálculo Analy-tical Institutions (Instituições Analíticas,1748). Leonhard Euler (1707--1783) deu um passo importante na direção de estabelecer uma fundamentação sólida para o cálculo no seu Introduction to the Analysis of the Infinite (Introdução à Análise do Infinito, 1748) quando introduziu funções (no lugar de curvas) como os objetos para os quais as derivadas e outras técnicas de cálculo seriam aplicadas. Por função, Euler queria dizer algum tipo de "expressão analítica"; sua concepção não era tão abrangente como a nossa definição moderna. Mesmo assim, Euler trabalhou com vários casos especiais da regra da cadeia, introduziu equa-ções diferenciais e tratou máximos e mínimos sem usar quaisquer diagramas ou gráficos.
Em 1754, na famosa Encyclopédie francesa, Jean le Rond d'Alembert (1717--1783) afirmou que a "definição mais precisa e elegante possível do cálculo diferencial" é que a derivada é o limite de certas razões quando os numeradores e denominadores se aproximam mais e mais de zero, e que este limite produz certas expressões algébricas que chamamos de derivada.
uma forma puramente algébrica para a derivada, sem recorrer à intuição geométrica, a gráficos ou a diagramas e sem qualquer ajuda dos limites de d'Alembert. Lagrange desenvolveu a principal notação que usamos agora para derivadas e o desenvolvimento lógico de seu cálculo era admirável em outros aspectos, mas seu esforço em prover uma base sólida para o cálculo falhou porque sua concepção da derivada era baseada em certas propriedades de séries infinitas as quais, sabemos agora, não são verdadeiras.
Finalmente, no início do século 19, a definição moderna de derivada foi dada por Augustin Louis Cauchy (1789--1857) em suas aulas para seus alunos de engenharia. Em seu Résumé of Lessons given at l'Ecole Polytechnique in the Infinitesimal Calculus (Resumo das Lições Dadas na Escola Politécnica Sobre o Cálculo Infinitesimal,1823). Cauchy prosseguiu para encontrar derivadas de todas as funções elementares e dar a regra da cadeia. De igual importância, Cauchy mostrou que o Teorema do Valor Médio para derivadas, que tinha aparecido no trabalho de Lagrange, era realmente a pedra fundamental para provar vários teoremas básicos do cálculo que foram assumidos como verdadeiros, isto é, descrições de funções crescentes e decrescentes. Derivadas e o cálculo diferencial estão agora estabelecidos como uma parte rigorosa e moderna do cálculo.
