Григор’єва Л.О., Кириченко А.А., Бабкова Н.О.УДК 534-21:537.226.86
Л.О. Григор’єва1, канд. фіз.-мат. наук А.А. Кириченко1, канд. фіз.-мат. наук Н.О. Бабкова2
1Київский національний університет будівництва і архітектури
Повітрофлотський просп., 31, м. Київ, Україна. 03680
2Національний авіаційний університет
просп. Комарова, 1, м. Київ, Україна.
ВИЗНАЧЕННЯ ЕЛЕКТРОРУШІЙНОЇ СИЛИ ПОЛЯРИЗОВАНОЇ ПО ТОВЩИНІ КІЛЬЦЕВОЇ ПЛАСТИНИ ПРИ МЕХАНІЧНОМУ ЗБУРЕННІ
Запропоновано метод для визначення електрорушійної сили тонких кільцевих поляри-зованих по товщині п’єзокерамічних пластин з електродованими плоскими поверхнями при нестаціонарних механічних навантаженнях. Проведено чисельну реалізацію запропоновано-го методу, що дає змогу ефективно знаходити ЕРС п’єзоелемента при різних способах за-кріплення і навантаження. Виконується дослідження динамічного електромеханічного ста-ну пластини, що виникає при цьому.
Ключові слова: п’єзокерамічна кільцева пластина, чисельний метод, різниця потенціа-лів, динамічний електро-механічний стан, електрорушійна сила п'єзоелементу, не-стаціонарне механічне навантаження.
Вступ. П'єзоелектричні елементи пластинчастої форми є широко за-стосовуваними електромеханічними перетворювачами при гармонічних та імпульсних електричних і механічних збуреннях [5, 7 та ін.]. Теорети-чним та експериментальним дослідженням цих тіл при сталих гармоній-них коливаннях присвячено наукові роботи [3, 5 та ін.]. У статтях [10, 11] вивчалися гармонійні товщинні коливання неоднорідних та п'єзоелектри-чних шарів з викривленими границями. Питання нестаціонарних коли-вань розглядалися в [4, 8, 9 та ін.].
запропоновано в [2] за допомогою інтегрального рівняння Вольтерра. В даній статті розроблено та реалізовано чисельний спосіб знаходження ЕРС та дослідження динамічного осесиметричного електромеханічного стану поляризованих по товщині п’єзокерамічних тонких кільцевих плас-тин при механічному збуренні.
1. Основні залежності. Вивчається динамічний осесиметричний елек-тромеханічний стан поляризованих по товщині п’єзокерамічних тонких кільцевих пластин. Товщина пластини h, координата r змінюється в ме-жах R0rR1. Коливання тіла в загальному випадку описуються рів-нянням руху [5]
2 2 r
r ur
r r t
. (1.1)
Напруження задовольняють співвідношенням
31 2
11
1 ( (1 ) )
(1 ) r r
r E E E z
E
u u d E
r r
s
,
31 2
11
1 ( (1 ) )
(1 ) E r r E z
E E
u u d E
r r
s
, (1.2)
де s11E, s12E - обернені до модулів пружності матеріальні константи при сталій напруженості електричного поля, 12 11E/ E
E s s
- аналог модуля Пуассона в оберненому законі Гука.
Рівняння коливань (1.1) в переміщеннях
2 2
2r 1 r 2r 12 2r
u u u u
r r
r r a t
. (1.3)
Тут швидкість поширення електропружної хвилі 2
2 11 1
(1 ) E
E
a
s
. (1.6) З (1.2) маємо
) 2 (
) 1 (
1
31
11 z
r r E E
r ur ur d E
s
. (1.4)
Електрична індукція в загальному випадку визначається за формулою
13( ) 33 33T
z r z z
D d d E . (1.5) Напруженість електричного поля
z
( )
U t zh
,
звідки
( )
z U t
E h . (1.7) Тут U(t) - шукана електрорушійна сила перетворювача, яка визнача-ється з умови рівності нулеві струму при розімкнутих електродах
0
z
A dD dQ
I dt dt dA
, (1.8)де A - поверхня пластини, покрита електродами, Q - заряд на електро-дах. З (1.8) випливає
z A
Q D dA const
. (1.9)З (1.5), (1.4), (1.7) при відсутності навантажень вздовж вісі z маємо 2
13 13
33
11 11
2 ( )
1 ( )
(1 ) (1 )
T r
z E E
E E
d ru d U t
D r r h
s s
. (1.10)
Якщо плоскі поверхні пластини повністю покриті електродами, то
) (R12 R02 A
A пл . Інтегруємо (1.9) з врахуванням (1.10) : 2
13 13
33
11 11
2 ( )
1 ( )
(1 ) (1 )
T r
E E
E E
A
d ru d U t
Q r r h rdrd
s s
, 2 13 131 1 0 0 33
11 11
2 ( ( , ) ( , )) ( 2 ) ( )
(1 ) (1 )
T
r r пл
E E
E E
d d U t
Q R u R t R u R t h A
s s
. (1.11)
Якщо при t0 заряд Q(0)0, то Q(t)0. З (1.11) отримуємо вираз для знаходження електрорушійної сили
2
1 1 0 0
2 13 ( ) ( ( , ) ( , )) (1 ) p r r пл p hk
U t R u R t R u R t
d A k
. (1.12)
Тут 2 132
11 33
2
(1 )
p E T
E
d k
s
- планарний коефіціент електромеханічного зв’язку.
Перетворимо вираз для r:
2
1 1 0 0
2 2
11
(1 )
1 ( ( ( , ) ( , )))
(1 ) (1 )
p
r r E
r E E r r
пл
E p
k
u u Ru R t R u R t
r r A
s k
Збурення в пластині виникають шляхом прикладання механічного ти-ску до бокових поверхонь. При цьому друга бокова поверхня може бути жорстко защемлена або вільна від навантажень:
( , ) ( ) r R t P ti i
( , ) 0u R tr i , i0,1. (1.14) У початковий момент часу задаються переміщення точок пластини і їх швидкості
0 ( , 0) ( ) r
u r t u r , u r tr( , 0) ( )v r1
t
. (1.15)
Перейдемо до безрозмірних величин
rR r , u R ur r, t Rat . (1.16) Підставляючи (1.16) в (1.3), отримуємо рівняння коливань в безрозмірних змінних
2 2
2r 1 r 2r 2r
u u u u
r r
r r t
. (1.17)
Рівняння для напружень (1.2) обезрозмірюються наступним чином: 2
11E(1 ) r r (1 ) ( )
r rs E ur E ur E U t
,
2
11E(1 E) E u ur r (1 E) ( )
s r r U t
, (1.18)
де електрорушійна сила знаходиться із співвідношення 2
13
1 1 0 0
2
( ) ( ) ( ( , ) ( , ))
(1 )
p
r r
пл p
k d
U t h U t R u R t R u R t
A k
. (1.19)
Надалі знаки безрозмірності будуть пропускатися.
2. Чисельний метод розв’язання. Для чисельного розв’язку задачі (1.17), (1.18) при початкових умовах (1.15) і граничних умовах (1.14) вво-диться розбиття відрізка R r R0 1
0 1 0
{r Ri ( 0.5) |i r r (R R )/( 1), 0,..., }n i n
. (2.1)
При заміні похідних по просторовій координаті центрально-різницевими виразами рівняння руху (1.17) перетвориться до виду
2
1 1 1 1
2i i 22i i i2i ri 2i
r i
u u u u u u u
r
t r
, i1,..., 1n . (2.2)
У випадку заданих на границях напружень r( , )R t P t0 0( ) та
1 1
( , ) ( ) r R t P t
2
1 0 0 1
,0 2 1 1 0 0 1 0
0
( ) (1 ) ( ( ) ( )) ( )
2 2 E (1 p )
r E n n
пл p
k
u u u u R u u R u u P t
r R A k
,
2
1 1
, 2 1 1 0 0 1 1
1
( ) (1 ) ( ( ) ( )) ( )
2 2 (1 )p
n n n n E
r n E n n
пл p
k
u u u u R u u R u u P t
r R A k
. (2.3)
Звідси отримуємо систему для знаходження законтурних значень 0( )
u t і ( )u tn при відомих значеннях переміщень в внутрішніх точках:
1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1
0 0
1 1
(2E ) ( ) ( 2E )
n n
AR u ARu P t AR u ARu
R r r R
,
1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1
1 1
1 1
(2E ) ( ) ( 2E )
n n
AR u R r AR u P t AR u r R AR u
, (2.4)
де 1 (12 ) 22
(1 ) p E пл p k A A k .
При заданих переміщеннях на одній з границь залишається лише одне з рівнянь (2.4), і обчислення помітно спрощуються.
Електрорушійна сила знаходиться відповідно до співвідношення (1.21) 1
1 1 0 0 1
( ) (1 )( ( n n ) ( ))
E
A
U t R u u R u u . (2.6)
Для інтегрування по часу розбиваємо досліджувану часову ділянку на інтервали довжиною t і застосовуємо загальноприйняті методи,
напри-клад, явну чисельну схему. У явній схемі переміщення на (k1)-му шарі знаходяться по відомому розподілу переміщень на k-му і (k1)-му часо-вих шарах наступним чином
1 2 1
1 1
2 2 2 2
1 1 2 1 1 1 2
2 2
k k k k k k
i t i i i i i
i r i r
r r i r
u r u u r u u u
r
. (2.7)
Внаслідок умовної стійкості явної чисельної схеми крок за часом у ре-курентних формулах (2.5), (2.4) повинен бути в кілька разів менше кроку по просторовій координаті. Зазвичай при прийнятому обезрозміренні до-статньо взятии t 0.1r. Значення переміщень на тимчасових шарах
0 0
t і t1t визначаються з початкових умов (1.17).
12 2 11E 15, 2 10 /
s м Н , 12 2 12E 5,8 10 /
c м Н,
12
13 125 10 /
d Кл Н, 12
33S 1360 8,85 10 Ф м/
,7740 /кг м3.
При таких даних швидкість поширення електропружної хвилі в плас-тині a3150 /м с. При обезрозміренні приймалося R R 1.
Розглянемо реакцію пластини на миттєво прикладене при t0 збу-рення r( , )R t P t P1 1( ) sint, r( , ) 0R t0 . Для обчислень візьмемо
1
P , безрозмірна частота навантаження R a/ 1 , якій відповідає частота в герцах 6.3110 4рад с/ .
На рис. 1 наведено безрозмірні динамічні криві для переміщень зовні-шніх поверхонь та електрорушійної сили при описаному вище збуренні.
Рис. 1
Рис. 2 показує динаміку зміни окружних напружень на зовнішніж
поверхнях кільцевої пластини. Виявилось, що окружні напруження на поверхні r R 1 вищі за радіальні в 8 разів згідно до граничних умов, а максимальні напруження max15 виникають на внутрішній поверхні
0
R r .
На рис. 3 наведено криві ЕРС при різних значеннях частоти збурення . Бачимо, що максимальних значень електрорушійна сила набуває при
1
. Найменшу область зміни різниці потенціалів маємо при 2. Рис. 4 ілюструє динаміку зміни електрорушійної сили для пластин з різними радіусами внутрішнього отвору, отримані при 1. Максималь-на різниця потенціалів
ви-никає при R00.6. Таким чином, з усіх розглянутих випадків максимальна ЕРС виникає при 1, R00.6
і досягає значення
max 1.22
U .
Таким чином, запропо-нований чисельний метод знаходження електрору-шійної сили п’єзоелемента при нестаіонарних меха-нічних навантаженнях дає змогу ефективно визначати ЕРС для кільцевих п’єзо-керамічних пластин з різ-ними умовами закріплення та навантаження. Дослі-дження динамічного еле-ктромеханічного стану пластини, що стає відомим при цьому, може бути ви-користано при проектуван-ні та виборі оптимальних
умов функціонування п’єзокера-мічного перетворювача.
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
1. Болкисев А.М., Рудницкий С.И., Шульга Н.А. Электроакустическая чувствитель-ность пьезокерамического цилиндра при гармоническом нагружении // Прикл. ме-ханика. - 1989. - 25, №12. - С. 68-73.
2. Шульга М.О. Визначення електрорушійної сили п’єзоелектричних перетворювачів при механічних навантаженнях // Доп. НАН України. – 2009. - №1 - С.70-74. 3. Шульга Н.А., Болкисев А М. Колебания пьезоэлектрических тел.– К: Наук. думка,
1990.– 228 с.
Рис. 3
4. Шульга Н.А., Григорьева Л.О., Ластивка И.О., Бабкова Н.О. Численный анализ нестационарных колебаний круглых пьезоэлектрических пластин // Теоретич. и прикладная механика, 2011. −№2(48), с. 98-104.
5. Шульга М.О., Карлаш В.Л. Резонансні електромеханічні коливання п’єзоелектричних пластин.—К.: Наукова думка, 2008.—270 с.
6. Шульга Н.А., Рудницкий С.И., Качаенко О.Б. Электроакустическая чувствитель-ность пьезокерамической цилиндрической оболочки в акустической среде // При-кл. механика. - 1989. - 25, №2. - С. 44-48.
7. Mazon W.P. Piezoelectricity, its history and applications //J. Acoust. Soc. Am. –1981. – 70. N 6. – P. 1561 –1566.
8. Grigor’eva L.O. Electromechanical nonstationary thickness vibrations of a piezoceramic layer // Int. Appl. Mech. – 2010. – 46, N 2. – P. 159–164.
9. Shulga M.O., Grigoryeva L.O. Electromechanical unstationary thickness vibrations of piezoceramic transformers at electric excitation // Mechanical Vibrations: Types, Testing and Analysis. − Nova Science Publishers, New York. − 2011. − pp.179-204.
10. Shul’ga N.A., Grigor’eva L.O., Kornienko V.F. Harmonic thickness vibrations of inhomogeneous elastic layers with curved boundaries // Int. Appl. Mech. – 2011. – 47, N 1. – P. 62–69.
11. Shul’ga N.A., Grigor’eva L.O. Comparative analysis of the electroelastic thickness vibrations of layers with curved boundaries // Int. Appl. Mech. – 2011. – 47, N 2. – P. 177–185.
REFERENСES
1. Bolkisev A.M., Rudnicki S.I., Shul’ga N.A. Electroacoustic sensitivity of piezoceramic cylinder under harmonic loading [in Russian]/ / J. Appl. mechanics. - 1989. - 25, № 12. - P. 68-73.
2. Shul’ga M.O. Definition of electromotive force piezoelectric transducers under mechanical loads [in Ukrainian]/ / Extras. National Academy of Sciences of Ukraine. – 2009. №1 - С.70-74.
3. Shul’ga N.A., Bolkisev A.M. Vibrations of piezoceramical bodies [in Russian]. - Naukova Dumka, 1990. - 228 p.
4. Shul’ga N.A., Grigorieva L.O., Lastivka I.O., Babkova N.O. Numerical analysis of non-stationary vibrations of round piezoelectric plates [in Russian] // Theor. and Applied Mechanics, 2011. - № 2 (48), p. 98-104.
5. Shul'ga M.O., Karlash V.L. Resonant electromechanical vibrations of piezoelectric plates [in Ukrainian]. Naukova Dumka, Kyiv. - 2008.
6. Shulga N.A., Rudnicki S.I., Kachaenko O.B. Electroacoustic sensitivity of piezoceramic cylindrical shell in an acoustic medium [in Russian] // J. Appl. mechanics. - 1989. - 25, № 2. - S. 44-48.
7. Mazon W.P. Piezoelectricity, its history and applications //J. Acoust. Soc. Am. –1981. – 70. N 6. – P. 1561 –1566.
8. Grigor’eva L.O. Electromechanical nonstationary thickness vibrations of a piezoceramic layer // Int. Appl. Mech. – 2010. – 46, N 2. – P. 159–164.
10. Shul’ga N.A., Grigor’eva L.O., Kornienko V.F. Harmonic thickness vibrations of inhomogeneous elastic layers with curved boundaries // Int. Appl. Mech. – 2011. – 47, N 1. – P. 62–69.
11. Shul’ga N.A., Grigor’eva L.O. Comparative analysis of the electroelastic thickness vibrations of layers with curved boundaries // Int. Appl. Mech. – 2011. – 47, N 2. – P. 177–185.
Стаття надійшла до редакції 31.01.2014 р.
Григорьева Л.О., Кириченко А.А., Бабкова Н.О.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОДВИЖУЩЕЙ СИЛЫ ПОЛЯРИЗОВАННОЙ ПО ТОЛ-ЩИНЕ КОЛЬЦЕВОЙ ПЛАСТИНЫ ПРИ МЕХАНИЧЕСКОМ ВОЗБУЖДЕНИИ
Предложен метод для определения электродвижущей силы тонких кол- цевых поляри-зованных по толщине пьезокерамических пластин с электродированными плоскими поверх-ностями при нестационарных механических нагрузках. Проведено численную реализацию предложенного метода, что позволяет эффективно находить ЭДС пьезоэлемента при разли-чных способах закрепления и нагрузки. Выполнено исследование возникающего при этом динамического электромеханического состояния пластины.
Ключевые слова: пьезокерамическая кольцевая пластина, численный метод, разница потенциалов, динамическое электромеханическое состояние, электродвижущая сила пьезо-элемента, нестационарное механическое нагружение.
Grigorieva L.O., Kirichenko A.A., Babkova N.O.
DEFINITION OF ELECTROMOTIVE FORCE OF POLARIZED ON THICKNESS ANNULAR PLATES UNDER MECHANICAL PERTURBATION
A method for determining the electromotive force of the thin ring polarized on the thickness piezoceramic plates with electroded flat surfaces under unsteady mechanical loads is proposed. The numerical implementation of the proposed method enables efficient founding of piezoelement EMF at different ways of fixing and loading. It is determined studying of dynamic electro-mechanical plate state.
