DAVIS OLIVEIRA ALVES
Ensino de Funções, Limites e Continuidade
em Ambientes Educacionais Informatizados:
Uma proposta para cursos de Introdução ao Cálculo
DAVIS OLIVEIRA ALVES
Ensino de Funções, Limites e Continuidade
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Uma proposta para cursos de Introdução ao Cálculo
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SUMÁRIO
CAPÍTULO 1%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 43 I.TRODUÇÃO%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 43 1.1. Um Breve Histórico%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 43 1.2. Um Primeiro Despertar para o Tema%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 44 CAPÍTULO 2%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 4V AS TEC.OLOGIAS I.FORMACIO.AIS E COMU.ICACIO.AIS .A EDUCAÇÃO MATEMÁTICA: ABORDAGE.S E MUDA.ÇAS%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 4V 2.1. Informática e Educação: Algumas relações possíveis%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 4V 2.2. Utilização de Tecnologias Informacionais e Comunicacionais: Abordagens%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 4? 2.3. Tecnologias Informacionais e Comunicacionais na Educação Matemática% 22 CAPÍTULO 3%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2U DISCUTI.DO O E.SI.O DE FU.ÇÕES COM A UTILIZAÇÃO DE
TEC.OLOGIAS I.FORMACIO.AIS E COMU.ICACIO.AIS E
RELAÇÕES COM O E.SI.O DE CÁLCULO%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2U 3.1. As TIC’s e suas potencialidades no Ensino de Matemática%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2U 3.2. O Ensino de Funções e as TIC’s%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% =W 3.3. O Ensino de Cálculo e as TIC’s%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% W2 3.4. Um pouco sobre o ensino de Limites e Continuidade%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% W> CAPÍTULO 4%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 53 DELI.EA.DO .OSSA PESQUISA%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 53 4.1. Definindo a Questão de Investigação%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 53 4.2. Objetivos%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 54 4.3. Apresentando o Contexto da Pesquisa%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 54 4.4. Apresentando as Atividades Exploratórias%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 5= 4.5. Descrevendo a Metodologia de Pesquisa%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 55 CAPÍTULO 5%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 5> DESCREVE.DO E A.ALISA.DO AS ATIVIDADES EXPLORATÓRIAS: UM EXERCÍCIO METODOLÓGICO DE PESQUISA%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 5> 5.1. Descrevendo e analisando algumas atividades%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 5>
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5.1.1. Atividade 4 – Funções Exponenciais e Logarítmicas: Crescimento e
Decrescimento, Funções Inversas%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 5?
5.1.2. Atividade 6 – Funções Polinomiais: Multiplicidade e ,atureza das Raízes %%% V=
5.1.3. Atividade 8 – Existência de Limites e Limites Laterais: Identificação
Algébrica e Gráfica...%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% V>
5.1.4. Atividade 9 – Limites Fundamentais, Infinitos e no Infinito: Assíntotas
Verticais e Horizontais...%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% >4
5.1.5. Atividade 10 – Continuidade: Removíveis e ,ão
Removíveis...%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% >W 5.2. Analisando o Questionário de Avaliação das Atividades%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% >> 5.3. Analisando os Questionários Inicial e Final%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% U5 5.4. A Questão da Avaliação%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% UU CO.SIDERAÇÕES FI.AIS%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% ?4 REFERÊ.CIAS%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% ?V APÊ.DICE A – ATIVIDADES%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 433 APÊ.DICE B – QUESTIO.ÁRIOS.%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 4=U APÊ.DICE C – PROVAS%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 4W4
43
Capítulo 1
I.TRODUÇÃO
“Uma vida não questionada não merece ser vivida.”
Platão
1.1. Um Breve Histórico
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1.2. Um Primeiro Despertar para o Tema
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4V
Capítulo 2
AS TEC.OLOGIAS I.FORMACIO.AIS E COMU.ICACIO.AIS .A
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA: ABORDAGE.S E MUDA.ÇAS
",inguém educa a ninguém, ninguém se educa a si mesmo, os
homens se educam entre si midiatizados pelo mundo."
Paulo Freire
2.1. Informática e Educação: Algumas relações possíveis
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Capítulo 3
DISCUTI.DO O E.SI.O DE FU.ÇÕES COM A UTILIZAÇÃO DE
TEC.OLOGIAS I.FORMACIO.AIS E COMU.ICACIO.AIS E
RELAÇÕES COM O E.SI.O DE CÁLCULO
“O aluno que inicia uma nova aprendizagem escolar o faz a partir
dos conceitos, concepções, representações e conhecimentos que
construiu em sua experiência prévia, utilizando@os como
instrumentos de leitura e interpretação que condicionam o
resultado da aprendizagem.”
César Coll
3.1. As TIC’s e suas potencialidades no Ensino de Matemática
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W2 3.3. O Ensino de Cálculo e as TIC’s
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3.4. Um pouco sobre o ensino de Limites e Continuidade
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53
Capítulo 4
DELI.EA.DO .OSSA PESQUISA
"Os grandes educadores atraem não só pelas suas ideias, mas pelo
contato pessoal. Dentro ou fora da aula chamam a atenção. Há
sempre algo surpreendente, diferente no que dizem, nas relações
que estabelecem, na sua forma de olhar, na forma de comunicar@
se, de agir. São um poço inesgotável de descobertas."
J. M. Moran
4.1. Definindo a Questão de Investigação
6 " 6 + 6 J
6 9 6
, 6 6
# + F (
, :(Q ( %
( + 6 "
" 6 6 )
Como a utilização de Tecnologias Informacionais e Comunicacionais pode contribuir / redirecionar o ensino de Funções, Limites e Continuidade
em disciplinas de Introdução ao Cálculo?
6 6 9 J 6 :
( ( " " F J
4) Educação Matemática Superior, Informática Educacional e Modelagem
Matemática ! " #
54 4.2. Objetivos
9 0 , :(Q (
Y
9 " ; " # +
F ( ; "
& Y
9 0 J " ;
, # + F ( %
4.3. Apresentando o Contexto da Pesquisa
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0 , )
1. Coleção Fundamentos de Matemática Elementar% G : ,, $ %
] 4 2
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2. Cálculo. E & P % ] 4% & ) J F 2334%
0 J 60 horas/aula )
1. 40 horas/aula em sala de aula "
" "
6 Y
2. 20 horas/aula em laboratório de informática 6 "
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4.4. Apresentando as Atividades Exploratórias
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B " " )
1) Funções em Geral: : # g Y
2) Funções do 1º e 2º grau) ( ( Y
3) Funções Modulares) # + 4M 2M # +
Y
4) Funções Exponenciais e Logarítmicas) ( # +
: " Y
5) Funções Trigonométricas) : ] S , Y
6) Funções Polinomiais) B , ' , Y
7) Funções Racionais e Algébricas) 0 F Y
8) Existência de Limites e Limites Laterais) : 0 X G Y
9) Limites Fundamentais, Infinitos e no Infinito) 0 ] S , Y
10) Continuidade) ' " " B ' " " %
" ; 6
55 4.5. Descrevendo a Metodologia de Pesquisa
6 6 "
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J , :(Q ( \
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Capítulo 5
DESCREVE.DO E A.ALISA.DO AS ATIVIDADES
EXPLORATÓRIAS: UM EXERCÍCIO METODOLÓGICO DE
PESQUISA
“O que queremos é aproximar a pesquisa da vida diária do
educador, em qualquer âmbito em que ele atue, tornando@a um
instrumento de enriquecimento do seu trabalho. Para isso é
necessário desmistificar o conceito que a encara como privilégio
de alguns seres dotados de poderes especiais, assim como é
preciso entendê@la como atividade que requer habilidades e
conhecimentos específicos.”
M. André & M. Lüdke
0 6 ; 9
+ " 6 J 6
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+ 6
; " + " , 6
6 " %
5.1. Descrevendo e Analisando algumas atividades
( , 43 7 ,8 "
; # + F ( %
6 " 5 7 8 "
6 F ; :
" 9 +
5U
0 " J )
Atividade 4 1 Funções Exponenciais e Logarítmicas: (
# + : " Y
Atividade 6 1 Funções Polinomiais: B , ' , Y
Atividade 8 1 Existência de Limites e Limites Laterais: : 0 X
G Y
Atividade 9 1 Limites Fundamentais, Infinitos e no Infinito: 0 ]
S , Y
Atividade 10 1 Continuidade: ' " " B 9 " " %
" " = 7 8 " I "
% 9 W 76 8 + G G 6
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6 6 X h 74??U % 4U8 N I
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5? 5.1.1. Atividade 4 1 Funções Exponenciais e Logarítmicas: Crescimento e Decrescimento, Funções Inversas
1º Objetivo: : # +
%
8 f(x)=3x
8
x
3 1 ) x (
f
=
8 f(x)=ex −1
8 f(x)=3.2−x +1
0 + N O N O
% ( I J "
J "
% ,
) “O gráfico da função exponencial f(x)=ax não toca o eixo x; porém, o
gráfico da função f(x)=ex −1 toca. Ele passa pela origem?”%
0 ; 6 I 6
X " Y X
X N O "
" 7 8
x
e ) x (
f = % & 6 "
6 , f(x)=ex −1 x=0 6 J
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B 6 6 "b"
b 2 ) x (
f = x + b " −10 10 " "
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7" 8 7 " 8%
' 6 6 7233=8 6
Y %
2º Objetivo: : # +
F %
8 x
3
log ) x (
f =
8 x
3 1
log f(x)=
8 f(x)=log(x+1)
8 f(x)=log(x)+1
B +
% I J " J
X "
x a log
f(x)= % B
" / ,
6 6 1 X
0 e 1% 0 ; "X +
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$ ; 6 J
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I N O 6 X
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6 %
$ " " ,
+ f(x)=log(x+b) f(x)=log(x)+b% B J
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6 "
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" " J , %
0 ; I 6
) b x log(
f(x)= + " 9 J ,
b ) x log(
f(x)= + " % X 6
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+ X J "b"
% 6 +
6 + f(x)=log(x+b)
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G G " 6
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3º Objetivo:( , X # + : " %
8 x
4 1
log f(x)=
8
x
4 1
f(x)
=
8 f(x)=lnx
8 f(x)=ex
" J " %
0 J
% +
" " I
% ! I
6 J " " " (x,y)
+ % & No que era x em uma função virou y na outra e vice@versa”% 6
; 6 J 6 6 +
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" , 6
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6 % 0 6
x
y = 6 + X
6 " 9 , 6 % 0
6 9 J 6 ,
+ 7 y = x + 1 y = x38 X " I
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log
f(x)=
x
4 1
f(x)
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;
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233W8 " 7 $B
(0B0]0''$ 4??>8 J %
5.1.2. Atividade 6 1 Funções Polinomiais: Multiplicidade e .atureza das Raízes
1º Objetivo: ' J X # +
n x
f(x)= n∈Ν %
8 f(x)= xW
8 f(x)= xV
8 f(x) = x5
8 f(x)= x>
0 + " " +
n x
f(x)= n∈Ν n n %
! " +
I 6 " % & ) NProfessor, o
gráfico gerado é uma parábola?”
B , " / 6
2
x
f(x) = % 0
VW
6 N ^ O
%
"
" "
" , % B 6 J I 6
) “Se aumentarmos o expoente o vértice vai se abrindo.... é como se nós apertássemos a parábola em cima e o gráfico ir se achatando em baixo%O $
, “Isso acontece mesmo, mas o gráfico parece uma parábola, apesar de não ser. Professor, se a gente aumentar muito o expoente, o gráfico vai tocar o eixo x?”
+ X J 6
N O X % X J
" %
a x
f(x) = a " 3 433 % B "
N!O " " "
" , " 6 N O% 0 ;
, J 6
N O 6 " + P %
G 9
" 6 9 % 0
6 P X 6 6
% 6
:(Q " 6 6
X % X
" F 7233?8 6 6
+ 6 + " %
E + I I " 9
4
=
x x=−4 %
0 ; + f(x) = xn n
; I % ! 6 ) “x=4 e
4
− =
x não podem ser assíntotas, pois os pontos (– 1,– 1) e (1,1) são pontos de interseção
V5
2º Objetivo: : X , , # +
%
8 f(x)= x=−x 8 f(x)= x=+ x
8 f(x)= x= −=x2 +2x 8 f(x)= xW −4
B
" , , + % 6 J
I 6
J I " %
0 6 N O 6 )
“Gente, teria que ter três raízes, não é? Mas o gráfico toca o eixo x somente no 0?”.
$ 6 6 % B
I J " J
I 6 3 , =.
X J ; 6 " ) “Olha, quando a gente
fatora o polinômio, ele fica f( x)= x(x2 +4), ou seja, ele tem −i e i como raízes
complexas”.
0 ; ^
6 % $ J
6 " , % B
" 9 J 6
P I H %
6 , 6 H %
0 6
6 % X N O "
^ 6 " , " I 9 ,
6 %
VV
6 J 6 "
N O " N O 7]0F B 4???8%
3º Objetivo: : X ,
# + %
8 f( x)= x= −x2 8 f( x)= xW −x= 8 f( x)= xW −2x2 +4
8 f( x)= x5 +2x=+ x
, J X
X ^ "
X " N O 6
N O 6 % 06
6 H + 7 $' 0 B 0 $ 233=Y
0FF ]0 $ 233?Y &0B $& 23358 , %
" , 6
^ 6 " , % F ;
9 J 6 +
, I ; % $ J
X %
" 6 9 ,
, ) “Pessoal, observem: em relação ao eixo x, se a raiz tem multiplicidade par o que acontece com o gráfico? E se ela tem multiplicidade ímpar?”
& ; 6 X 6 6
, N O) NOlha, no 0, o gráfico bate e volta e ele tem
multiplicidade 2 e, no 1, o gráfico atravessa e ele tem multiplicidade 1.”
I
I " " " % X
V>
6 +
1 6
, 1 6 6
,
6 7F ]c 4??=8%
5.1.3. Atividade 8 1 Existência de Limites e Limites Laterais: Identificação Algébrica e Gráfica
1º Objetivo:: X F %
8 f(x)= x2 −x+2 (x→2)
8 4 4 2 − + = x x ) x (
f (x→4)
8 2 2 = ? x x ) x (
f = + − (x→3)
8 = x sen ) x (
f π (x→3)
" " I " J " "
' 723348 F % B 6
J G G %
$ + , “a”
)) a ( f , a (
A= % " " " "
+ " 6 " x
" " "X
NI O P % $ "
"
H + ) “Professor, nós já tínhamos visto limite,
porém, nós nunca tínhamos entendido bem a ideia de limite. Quando a gente fez o domínio
da função e depois a gente usou o seletor, deu para perceber a ideia de vizinhança, pois
VU
que ele, o valor do qual a função se aproxima sempre é o mesmo. Fica muito mais fácil de
verificar quando temos o ponto, o gráfico e a função.”
0 " 6 H +
7 $' 0 B 0 $ 233=Y 0FF ]0 $ 233?Y &0B $& 23358Y 6
X # + 7 $B
(0B0]0''$ 4??>8 " " 7Fa]c
4??=Y $'0B 23338 6 :(Q , "
J 70FF ]0 $ 233>8%
J 6 6
% & " J
6 + ;
" %
2º Objetivo:: X F %
8 f(x)=ex (x→±∞)
8 f(x)=lnx (x→ ±∞)
8 f(x)=sen(x) (x→±∞)
8 f(x)=cos(x) (x→±∞)
( I
+ 6 x→±∞% "
6 “a” A=(a,f(a))% 9 J X
6 " H 6 %
$ " "
+ Y X P
x
e ) x (
f = 6 x→+∞ " a
74333 8 " “indefinido”
NI O% " 6 6
6 P 6 "
" ,
V?
" "X " 6 6
x " f(x) 6 +∞% 6
, x→−∞ 6 f(x) 3%
B " 6 x )
“Olha, a função não encosta no eixo x... então o eixo x é uma assíntota horizontal.
Quando x→−∞ a função tende para zero.”
B f(x)=lnx 9
" 9 " 9 x > 0%
! : “Professor, na função anterior, o ‘indefinido’ que apareceu na tela do
computador apareceu de novo quando tentamos verificar o limite quando x→−∞, mas é
por causa da condição de existência do logaritmo, não é?O
6 ;
6 f(x) 6 x→−∞ "
% $ " )“Olha, quando tende para –∞ fica indefinido,
mas se tende para 0, aí vai para –∞, tanto que o eixo y é uma assíntota vertical.”
E H + +
% Z "X ,
I %
! 6 + i∞ –
∞% X ; " "
6 ) “,ão... olha só, conforme a gente vai andando
com o ponto na função ela varia sempre entre –1 e 1. Mesmo que a gente aumente ou
diminua o valor de x, ela sempre vai variar nesse intervalo. Então, eu acho que não tem
limite, pois os valores são diferentes.”
9 6
N O 6 " % 6
" " f(x)=sen(x) "
π π
k
2
2 + π
π
k
2 2 =
+ X f(x)=cos(x) " 2kπ
π k
πi2 k∈Ζ%
6 + " X 6 ) “Gente,
olha, se a gente substituir valores para k realmente as funções vão ficar variando de –1 a
>3
J 6 x→±∞ I 6 " X H 6
+ " %
3º Objetivo:: X F F %
8 ≥0 x se 1, = f(x) 0 < x se 0, = f(x) ) x
( →3
8 f(x)=x2 x≠3 (x→3)
8
≥ 1 x se x = f(x) 1 < x se x = f(x)
2 (x→4)
8 1 x se , 1) @ (x = f(x) 1 < x 1 @ se , x = f(x) @1 < x se x, @ 2 = f(x) ≪ ≒ 2 4 − → x
( x→−4)
J 6 %
" , 6
%
$ " +
P 6 “se”% X ;
“a” %
0 "
+ J % 0 6 "
6 I J " J " %
"
6 x 6 " " )“Professor, ainda
não entendo quando você fala no limite, quando x tende à esquerda ou à direita.”
0 " 6 " 9 J
6 " " ) “Olha, quando x tende pela esquerda é
porque estamos aproximando do número por valores menores do que ele; e pela direita,
por valores maiores do que ele. Olha só, no seletor, à esquerda de 0 são –1; –0,9; –0,5;
>4
9 6 "
" " 6 J 9 "
% ( 0 " 723358 6 "
; ; " "
% : 6 X "
%
5.1.4. Atividade 9 1 Limites Fundamentais, Infinitos e no Infinito: Assíntotas Verticais e Horizontais
1º Objetivo: : X F
# %
8
( )
x x sen ) x (
f = (x→3)
8 f(x) ( x)x
4
4+
= (x→3)
8 x ) x ( f x 4 2 −
= (x→3)
8 x e ) x ( f x 4 −
= (x→3)
$ H
6 + + J
" F # ( F % 0
" " ,
J "
" " %
' 6 6 " ,
( )
x x sen ) x (f = , "
6 1% F ; , : “É 1 sim. O
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B f(x) ( x)x
4
4+
= 6
" 2 3Y X 6
2,7.
0 ; , "
" 6 " 6 "
" e I ; H # +
% : ;
X 6 " N " O X 6
%
E
x x
f
x
4 2 8
7 = − 6 "
; 3 > ) “Professor, o valor é aproximadamente 0,7; então
podemos dizer que esse limite é ln2.” 0 ; "
6 " , %
$ " I ) “Será que se mudarmos o 2x na
função para =x o valor do limite será ln=?”. " %
6 + "
N" O , ,
+
x a x f
x
4 8
7 = − x→3 lna% 0 ;
6 I " %
, 6 " a>0
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6 "
" 6 J "
' 723348 6
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X 6 /
7G'0]:B0 &0B 0'$&0 4??U8 " ,
+
>=
2º Objetivo: : X 0 ] %
8 42
x ) x (
f = (x→3)
8 = 2 − = x ) x (
f (x→=)
8
2
2 − −
= x x x ) x (
f (x→−4 x→2)
8 f(x)=tg(x) (x )
2
π
→
( I J " J " "
+ "
9 + %
( " 6 J " J
+ " % :
6 6 " + 1
, 1 6 +
% 6 x=a a
" x %
3º Objetivo: : X 0
S , %
8 4 4 2 2 + − = x x ) x (
f (x→±∞)
8 4 W 5 2 = 2 2 + + − − = x x x x ) x (
f (x→±∞)
8 5 = 4 2 2 − + = x x ) x (
f (x→±∞)
>W
# , " J J ,
X I
J " J " # + F %
6 " ,
" P 7 0:''0F 233?Y $'0B 23338
` , X
+ 6 ,
6 , # + ' 0 X %
5.1.5. Atividade 10 1 Continuidade: Descontinuidades Removíveis e .ão removíveis
1º Objetivo:' J + ( %
8 f(x)= x2;x≠3
8 > = 3 3 ≒ 4 2 x ; x x ; x ) x ( f 8 = = 3 4 3 2 x ; x ; x ) x ( f
8 f(x)=x2
$ I " " J ,
P 6 "X X
+ X %
" 6 “a”
)) a ( f , a (
A= 6 `
" " + 6 I x = a)
8 f(a)Y 8 f(x) 6 x→aY 8
) a (
f f(x)6 x→a%
" 6 A
6 NI O P % 6
6 +
>5
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+ " , % X 6
f(0) X ) “Olha, a
função f(x)= x2 é definida para IR então por que não existe o f(3)?”%
: , % F 6
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6 " N O I
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6
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" Y 6
" " “a” A=(a,f(a)) "
NI O
" “indefinido” J 9 6
, 6 %
2º Objetivo:: X ' " " %
8 = + = 3 3 3 4 x ; x ; x ) x ( f 8 = > < = 3 4 3 3 2 x ; x ; x x ; x ) x ( f 8 > < = 4 4 W = x ; x x ; x ) x ( f 8 2 2 2 2 ≠ − − −
= ;x
>V
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5.2 Analisando o Questionário de Avaliação das Atividades
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5.3. Analisando os Questionários Inicial e Final
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5.4. A Questão da Avaliação
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