CÁLCULO TEORIA DAS FUNÇÕES RACIONAIS

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COLEÇÃO ESCOLA DE CÁLCULO FUN

CÁLCULO

TEORIA DAS FUNÇÕES RACIONAIS

JOÃO CARLOS MOREIRA

COLEÇÃO ESCOLA DE CÁLCULO

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COLEÇÃO ESCOLA DE CÁLCULO

CÁLCULO

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CÁLCULO

COLEÇÃO ESCOLA DE CÁLCULO

JOÃO CARLOS MOREIRA

Professor do Instituto de Ciências Exatas e Naturais - ICENP Universidade Federal de Uberlândia

EDITORA LIVRARIA ESCOLA DE MATEMÁTICA

(4)

Copyright © 2019 by João Carlos Moreira

CAPA: João Carlos Moreira

EDITOR: João Carlos Moreira

DIAGRAMAÇÃO: João Carlos Moreira

DISTRIBUIÇÃO: Editora Livraria Escola de Matemática COLEÇÃO ESCOLA DE CÁLCULO

Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra poderá ser reproduzida sejam quais forem os meios empregados sem a permissão expressa da Editora. Aos infratores aplicam-se as sanções previstas nos artigos 102, 104, 106 e 107 da Lei n

^o

9.610, de 19 de fevereiro de 1988.

Impresso no Brasil / Printed in Brazil

https://www.escoladematematicapontal.com.br/livraria-online/

(5)

Para todos os meus alunos, com carinho.

João Carlos Moreira

(6)

Prefácio

Este livro é fruto de um projeto intitulado Escola de Cálculo, criado em 2013, com o intuito de colaborar na melhoria do ensino e do aprendizado de Cálculo e suas aplicações.

A metodologia de ensino é baseada na teoria de sistemas matemáticos e no desenvolvimento de algoritmos.

Esse material é inédito e propõe uma nova abordagem no ensino de matemática no Brasil.

Agradeço a Deus pela missão educacional confiada a mim.

Ituiutaba, janeiro de 2019.

João Carlos Moreira

(7)

Símbolos

Símbolo Lê-se Exemplo Lê-se

∈ pertence 2 ∈ A O número dois pertence

ao conjunto A.

∀ para todo (∀ a)(a ∈ ℕ) Para todo a, a pertencente

a ℕ.

∃ existe (∃ x)(x ∈ A) Existe x, x pertencente ao

conjunto A.

∃! existe um único (∃! x^∗)(x^∗∈ ℕ) Existe um único sucessor de x pertencente ao conjunto dos números naturais.

∧ e x ∧ y x e y

∨ ou (inclusivo) x ∨ y x ou y

∨ ou (exclusivo) x ∨ y x ou y

¬ não ¬(2 ∈ A) 2 não pertence ao

conjunto A

→ implica 𝑃 → 𝑄 P implica Q

↔ se, e somente se 𝑃 ↔ 𝑄 P se, e somente se, Q

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CÁLCULO

ORGANIZAÇÃO DA APRENDIZAGEM

Sumário

1 Abordagem Histórica 00

2 Abordagem Algébrica 00

2.1 Sistema matemático das funções racionais 00

2.1.1 Representação das funções racionais 00

2.1.2 As operações 00

2.1.3 As relações 00

2.1.4 Os axiomas 00

2.2 Teoria do cálculo infinitesimal 00

2.3 Teoria do cálculo diferencial 00

2.4 Teoria do Cálculo integral 00

3 Abordagem Geométrica 00

3.1 Representação das funções racionais 00

3.2 Cálculo de perímetro 00

3.3 Cálculo de área 00

3.4 Cálculo de volume 00

4 Abordagem Computacional 00

(9)

4.1 Representação das funções racionais 00

4.2 Algoritmos 00

5 Abordagem Avançada 00

5.1 Teoremas 00

5.2 Conjecturas 00

5.3 Paradoxos 00

6 Resolução de Problemas 00

6.1 Abordagem histórica 00

6.2 Abordagem algébrica 00

6.2.1 Conceitos primitivos e derivados 00

6.2.2 Prática intuitiva 00

6.2.3 Prática formal 00

6.3 Abordagem geométrica 00

6.4 Abordagem Computacional 00

7 Referências Bibliográficas 00

(10)

1

UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA

1 A palavra cálculo deriva do latim, e significa pequena pedra, como a usada em um ábaco.

2 As origens do cálculo e das funções racionais, remontam as civilizações babilônica e egípcia, notadamente em problemas envolvendo cálculos de áreas e de volumes, mas sem destacar um método efetivo.

3 Cálculos de áreas e volumes envolvendo solução de equações polinomiais de segundo e terceiro graus, apareceram pela primeira vez na Mesopotâmia. Sabemos que esses povos já tinham o conhecimento do teorema de Pitágoras, conforme

CAPÍTULO 1

ABORDAGEM HISTÓRICA

Isaac Newton (1643 – 1727) foi o maior matemático inglês de sua geração. Dentre suas contribuições, destacamos o cálculo diferencial e integral, seus trabalhos em óptica e gravitação.

Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716), foi um matemático alemão. Dentre suas contribuições, destacamos o cálculo diferencial e integral e trabalhos sobre a álgebra do pensamento.

(11)

2

observado em tabletes de argila.

Fig.1. Yale Collection #7289

4 As civilizações egípcia e grega também contribuíram com o desenvolvimento de métodos de solução para as equações polinomiais.

5 Na Grécia antiga, Eudoxus (c. 408-355 a.C) desenvolve o método da exaustão, que foi descoberto mais tarde (século III) na China por Liu Hui (c. 220-280), o mesmo aproximava uma determinada área por uma sequência de áreas de regiões poligonais e prefigura os conceitos de limite e integral da era moderna. Os gregos foram os primeiros a introduzir a ideia de prova, embora ainda vinculada a geometria.

6 Com o domínio da civilização arábica, os métodos algébricos proposto por Al-Khowarizmi, descritos em al-jabr w´al Muqabala, para determinar a solução geral de equações polinomiais de primeiro e segundo grau, contribuíram significativamente para o desenvolvimento de algoritmos para as soluções dessas equações. Foi nesse período que as palavras álgebra e algoritmo surgiram.

7 O próximo passo, foi desenvolver um algoritmo para a solução geral das equações polinomiais de terceiro e quarto grau. No entanto, essa tarefa não foi nada fácil. Os babilônicos, egípcios, gregos e árabes conseguiram resolver algumas equações polinomiais de terceiro grau, muito particulares. Vários matemáticos como Wang Xiatong (580-640), Omar Khayyam (1048-1131), Leonardo de Pisa (1170-1240), Luca Pacioli (1415- 1492), contribuíram para resolver as equações polinomiais de terceiro e quarto grau.

(12)

3

8 Scipione Del Ferro (1465-1526), Nicolo Tartaglia (1500-1557), Girolamo Cardano (1501-1576) e Ludovico Ferrari (1522-1565), deram contribuições efetivas para se obter a solução geral das equações polinomiais de terceiro e quarto grau.

9 Rafael Bombelli (1526-1572), François Viète (1540-1603), Albert Girard (1595-1632) e René Descartes (1596-1650) contribuíram para a descoberta da solução geral, incluindo as complexas, das equações polinomiais.

10 Em paralelo, Isaac Newton (1643 – 1727) e Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716) criam a teoria do cálculo diferencial e integral.

11 Leonhard Euler (1707-1783) em 1742 enunciou que uma expressão polinomial com coeficientes reais pode ser fatorada como um produto de fatores lineares e fatores quadráticos, mas não conseguiu uma prova completa deste fato. Euler provou que toda função polinomial de grau 𝑛 ≤ 6, possui exatamente 𝑛 raízes complexas.

12 Em 1746, Jean d’Alembert (1717-1783) pesquisando um método para integrar uma função racional com coeficientes reais (o hoje denominado Método das Frações Parciais), encontra uma demonstração difícil do TFA e que continha um erro que só em 1851 seria corrigido, por V. Puiseux (1820-1883). Devido a tal demonstração, na literatura francesa, o Teorema Fundamental da Álgebra (TFA) é chamado Teorema de d’Alembert.

13 O Teorema Fundamental da Álgebra (TFA), é considerado por muitos o início da álgebra moderna.

14 Car Friedrich Gauss (1777-1855), em sua tese de doutorado de 1799, apresenta uma prova do TFA que é considerada por muitos realmente a primeira. O argumento principal usado, que difere das demais provas, era o fato de que era sempre suposta a existência das raízes e em seguida deduzia-se

(13)

4

algumas de suas propriedades. Outras demonstrações surgiram mais tarde, inclusive do próprio Gauss.

15 Paolo Ruffini (1765-1822), Niels Abel (1802-1829) e Évariste Galois (1811-1832), foram grandes colaboradores para provar que não há uma solução geral, através de radicais, para as equações de grau cinco e superiores. Nestes casos, torna-se necessário recorrermos a métodos numéricos para encontrarmos as soluções.

16 Podemos olhar o surgimento das funções racionais como uma extensão natural das funções polinomiais; isto é, como um corpo de frações do domínio de integridade das funções polinomiais ou como uma subclasse das funções algébricas.

17 Do ponto de vista teórico funcional das funções algébricas, destacamos N.H. Abel (1802-1829), K. Weierstrass (1815-1897) e B. Riemann (1826-1866). Por outro lado, do ponto de visto aritmético-algébrico, destacamos R. Dedekind (1831-1916), H.Weber (1843-1912) e K. Hensel (1861-1941). Por fim, do ponto de visto algébrico-geométrico destacamos A. Clebsch (1833-1872), M. Noether (1844-1921) e outros.

18 O conceito de funções racionais é crucial na compreensão da Teoria das Variedades Algébricas.

(14)

5

2.1 Sistema Matemático das Funções Racionais

Apresentamos nas próximas seções, os elementos que constituem um sistema matemático (modelo) para o desenvolvimento da teoria das funções racionais.

2.1.1 Representação algébrica das funções racionais

CAPÍTULO 2

ABORDAGEM ALGÉBRICA

Definição 1. Uma relação 𝑓 ⊆ ℝ^𝑛× ℝ é chamada de função racional de 𝑛 variáveis reais a valores reais, se existirem polinomiais

(∑ ∑ ⋯ ∑^𝑚_𝑖^𝑛 𝑎_𝑖₁_𝑖₂_⋯𝑖_𝑛𝑥₁^𝑖¹∙ 𝑥₂^𝑖²∙ ⋯ ∙ 𝑥_𝑛^𝑖^𝑛

𝑛=0 𝑚2 𝑖2=0 𝑚1

𝑖1=0 ) ∧ (∑ ∑ ⋯ ∑^𝑙_𝑗^𝑛 𝑏_𝑗₁_𝑗₂_⋯𝑗_𝑛𝑥₁^𝑗¹∙ 𝑥₂^𝑗²∙ ⋯ ∙ 𝑥_𝑛^𝑗^𝑛

𝑛=0 𝑙2 𝑗2=0 𝑙1

𝑗1=0 )

com coeficientes 𝑎𝑖₁𝑖₂⋯𝑖_𝑛 ∈ℝ e 𝑏𝑗₁𝑗₂⋯𝑗_𝑛∈ ℝ de forma que:

𝑓 = {((𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛) ,∑ ∑ ⋯ ∑ 𝑎_𝑖

1𝑖2⋯𝑖𝑛𝑥₁^𝑖¹∙ 𝑥₂^𝑖²∙ ⋯ ∙ 𝑥_𝑛^𝑖^𝑛

𝑚𝑛 𝑖𝑛=0 𝑚2 𝑖2=0 𝑚1 𝑖1=0

∑ ∑ ⋯ ∑^𝑙_𝑗^𝑛 𝑏_𝑗₁_𝑗₂_⋯𝑗_𝑛𝑥₁^𝑗¹∙ 𝑥₂^𝑗²∙ ⋯ ∙ 𝑥_𝑛^𝑗^𝑛

𝑛=0 𝑙2 𝑗2=0 𝑙1 𝑗1=0

) : (𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛) ∈ 𝐷(𝑓)}.

Notação. O conjunto das funções racionais de n variáveis reais a valores reais pode ser visto como o corpo das frações de polinomiais, denotado por

(ℝ[𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛] × (ℝ[𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛])^∗)/𝑅, onde

(𝑓₁, 𝑔₁)𝑅(𝑓₂, 𝑔₂) ↔ 𝑓₁∙ 𝑔₂= 𝑓₂∙ 𝑔₁.

(15)

6

Exemplo 1. 𝑓 = {(𝑥,^∑^𝑚^𝑖=0^𝑎^𝑖^∙𝑥^𝑖

∑^𝑙_𝑗=0𝑏_𝑗∙𝑥^𝑗) ∶ 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) } é uma representação algébrica de uma função racional 𝑓 ∈ (ℝ[𝑥] × (ℝ[𝑥])^∗)/𝑅.

Exemplo 2. 𝑓 = {((𝑥, 𝑦),^∑ ^∑ ^𝑎^𝑖𝑗

𝑚2 𝑗=0 ∙𝑥^𝑖

𝑚1𝑖=0 ∙𝑦^𝑗

∑^𝑙1_𝑖=0∑^𝑙2_𝑗=0𝑏_𝑖𝑗∙𝑥^𝑖∙𝑦^𝑗) ∶ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷(𝑓)} é uma representação algébrica de uma função racional 𝑓 ∈ (ℝ[𝑥, 𝑦] × (ℝ[𝑥, 𝑦])^∗)/𝑅.

Exemplo 3. 𝑓 = {((𝑥, 𝑦, 𝑧),^∑ ^∑ ^∑ ^𝑎^𝑖𝑗𝑘

𝑚3𝑘=0

𝑚2𝑗=0 ∙𝑥^𝑖

𝑚1𝑖=0 ∙𝑦^𝑗∙𝑧^𝑘

∑^𝑙1_𝑖=0∑^𝑙2_𝑗=0∑^𝑙3_𝑘=0𝑏_𝑖𝑗𝑘∙𝑥^𝑖∙𝑦^𝑗∙𝑧^𝑘) ∶ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷(𝑓)} é uma representação algébrica de uma função racional 𝑓 ∈ (ℝ[𝑥, 𝑦, 𝑧] × (ℝ[𝑥, 𝑦, 𝑧])^∗)/𝑅.

Exemplo 4.

𝑓 = {((𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛) ,∑ ∑ ⋯ ∑ 𝑎_𝑖

1𝑖2⋯𝑖𝑛𝑥₁^𝑖¹∙ 𝑥₂^𝑖²∙ ⋯ ∙ 𝑥_𝑛^𝑖^𝑛

𝑚𝑛 𝑖𝑛=0 𝑚2 𝑖2=0 𝑚1 𝑖1=0

∑ ∑ ⋯ ∑^𝑙_𝑖^𝑛 𝑏_𝑖₁_𝑖₂_⋯𝑖_𝑛𝑥₁^𝑖¹∙ 𝑥₂^𝑖²∙ ⋯ ∙ 𝑥_𝑛^𝑖^𝑛

𝑛=0 𝑙2 𝑖2=0 𝑙1 𝑖1=0

) : (𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛) ∈ 𝐷(𝑓)}

é uma representação algébrica de uma função racional 𝑓 ∈ (ℝ[𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛] × (ℝ[𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛])^∗)/𝑅.

Definição 3. O grau de uma função racional não nula 𝑓 ∈ (ℝ[𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛] × (ℝ[𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛])^∗)/𝑅, denotado por 𝜕(𝑓), é o par (𝑚, 𝑙) onde 𝑚 e 𝑙 são os maiores números inteiros não negativos tais que:

(∃(𝑙₁, 𝑙₂, … , 𝑙_𝑛)) ((𝑎_𝑙

1𝑙2⋯𝑙𝑛≠ 0) ∧ (∑ 𝑙_𝑗

𝑛

𝑗=1

= 𝑚)) ∧ (∃(𝑘₁, 𝑘₂, … , 𝑘_𝑛)) ((𝑏_𝑘

1𝑘2⋯𝑘𝑛≠ 0) ∧ (∑ 𝑘_𝑗

𝑛

𝑗=1

= 𝑙)).

(16)

7

Exemplo 6. Forma geral das funções racionais de grau (0,0):

((𝑎0≠ 0) ∧ (𝑓 = {(𝑥,𝑎0

𝑏₀) ∶ 𝑥 ∈ ℝ }))

((𝑎0≠ 0) ∧ (𝑓 = {((𝑥, 𝑦),𝑎₀₀ 𝑏00

) ∶ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ² }))

((𝑎0≠ 0) ∧ (𝑓 = {((𝑥, 𝑦, 𝑧),𝑎000

𝑏000

) ∶ (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ³ }))

⋮

((𝑎0≠ 0) ∧ (𝑓 = {((𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛),𝑎_00…0 𝑏00…0

) ∶ (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛) ∈ ℝ^𝑛 }))

Exemplo 5. Funções racionais de grau −∞:

𝑓 = {(𝑥, 0) ∶ 𝑥 ∈ ℝ } 𝑓 = {((𝑥, 𝑦), 0) ∶ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ² } 𝑓 = {((𝑥, 𝑦, 𝑧), 0) ∶ (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ³ }

⋮

𝑓 = {((𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛), 0) ∶ (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛) ∈ ℝ^𝑛 }

Convenção. Quando todos os coeficientes 𝑎_𝑖₁_𝑖₂_⋯𝑖_𝑛 de uma função racional forem nulos; isto é,

(∀(𝑖₁, 𝑖2, … , 𝑖𝑛))(𝑎𝑖₁𝑖₂⋯𝑖_𝑛 = 0),

ela é chamada de função racional nula e seu grau 𝜕(𝑓) será adotado por convenção como sendo −∞.

(17)

8

((𝑎1≠ 0) ∧ (𝑏1≠ 0) ∧ (𝑓 = {(𝑥,∑¹_𝑖=0𝑎_𝑖∙ 𝑥^𝑖

∑¹_𝑖=0𝑏𝑖∙ 𝑥^𝑖) ∶ 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) }))

(

(∑¹_𝑖=0∑¹_𝑗=0(𝑎_𝑖𝑗)²

𝑖 + 𝑗 = 1 ≠ 0) ∧ (∑¹_𝑖=0∑¹_𝑗=0(𝑏_𝑖𝑗)²

𝑖 + 𝑗 = 1 ≠ 0) ∧ (𝑓 = {((𝑥1, 𝑥2),

∑ ∑1 𝑎𝑖𝑗∙(𝑥1)𝑖∙(𝑥2)𝑗 𝑗=0 1 𝑖=0

𝑖+𝑗≤1

∑ ∑1 𝑏𝑖𝑗∙(𝑥1)𝑖∙(𝑥2)𝑗 𝑗=0 1 𝑖=0

𝑖+𝑗≤1

) ∶ (𝑥1, 𝑥2) ∈ 𝐷(𝑓) }) )

(

∑ ∑ ∑(𝑎𝑖𝑗𝑘)² 1

𝑘=0 1

𝑗=0 𝑖+𝑗+𝑘=1 1

𝑖=0

≠ 0 )

∧ (

∑ ∑ ∑(𝑏𝑖𝑗𝑘)² 1

𝑘=0 1

𝑗=0 𝑖+𝑗+𝑘=1 1

𝑖=0

≠ 0 )

∧(𝑓 = { ( (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3),

∑ ∑ ∑1 𝑎_𝑖𝑗𝑘∙(𝑥1)𝑖∙(𝑥2)𝑗 1 𝑘=0

1 𝑗=0

𝑖=0 ∙(𝑥3)𝑘

𝑖+𝑗+𝑘≤1

∑ ∑ ∑1 𝑏𝑖𝑗𝑘∙(𝑥1)𝑖∙(𝑥2)𝑗 1 𝑘=0

1 𝑗=0

𝑖=0 ∙(𝑥3)𝑘

𝑖+𝑗+𝑘≤1 )

∶ (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) ∈ 𝐷(𝑓) })

⋮

(

∑ ∑ ⋯ ∑ (𝑎_{𝑖1𝑖2⋯𝑖𝑛})²

1

𝑖𝑛=0 1

𝑖2=0 𝑖1+𝑖2+⋯+𝑖𝑛=1 1

𝑖1=0

+ (𝑏_{𝑖1𝑖2⋯𝑖𝑛})²≠ 0 ) ∧

(

∑ ∑ ⋯ ∑ (𝑏_{𝑖1𝑖2⋯𝑖𝑛})²

1

𝑖𝑛=0 1

𝑖2=0 𝑖1+𝑖2+⋯+𝑖𝑛=1 1

𝑖1=0

≠ 0 ) ∧

(𝑓 = {((𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛),

∑ ∑ ⋯ ∑1 𝑎𝑖1𝑖2⋯𝑖𝑛∙(𝑥1)𝑖1∙(𝑥2)𝑖2 1 𝑖𝑛=0

1 𝑖2=0

𝑖1=0 ∙⋯∙(𝑥𝑛)𝑖𝑛

𝑖1+𝑖2+⋯+𝑖𝑛≤1 ∙⋯∙(𝑥𝑛)𝑖𝑛

∑ ∑ ⋯ ∑1 𝑏𝑖1𝑖2⋯𝑖𝑛∙(𝑥1)𝑖1∙(𝑥2)𝑖2 1 𝑖𝑛=0

1 𝑖2=0

𝑖1=0 ∙⋯∙(𝑥𝑛)𝑖𝑛

𝑖1+𝑖2+⋯+𝑖𝑛≤1

) ∶ (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ∈ 𝐷(𝑓) }).

Exemplo 7. Funções racionais de grau (0,0):

𝑓 = {(𝑥,1

2) ∶ 𝑥 ∈ ℝ }

𝑓 = {((𝑥, 𝑦),1

2) ∶ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ² }

𝑓 = {((𝑥, 𝑦, 𝑧),1

2) ∶ (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ³ }

⋮

𝑓 = {((𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛),1

2) ∶ (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛) ∈ ℝ^𝑛 }

Exemplo 9. As funções racionais de grau (1,0) são as polinomiais de grau 1.

(18)

9

((𝑎2≠ 0) ∧ (𝑏2≠ 0) ∧ (𝑓 = {(𝑥,∑²𝑖=0𝑎𝑖∙ 𝑥^𝑖

∑²𝑖=0𝑏𝑖∙ 𝑥^𝑖) ∶ 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) }))

(

( ∑ ∑(𝑎𝑖𝑗)²

2

𝑗=0 2

𝑖=0 𝑖+𝑗=2

≠ 0) ∧ ( ∑ ∑(𝑏𝑖𝑗)²

2

𝑗=0 2

𝑖=0 𝑖+𝑗=2

≠ 0) ∧ (𝑓 = {((𝑥1, 𝑥2),

∑ ∑2 𝑎𝑖𝑗∙(𝑥1)𝑖∙(𝑥2)𝑗 𝑗=0 2 𝑖=0

𝑖+𝑗≤1

∑ ∑2 𝑏𝑖𝑗∙(𝑥1)𝑖∙(𝑥2)𝑗 2 𝑗=0

𝑖=0 𝑖+𝑗≤2

) ∶ (𝑥1, 𝑥2) ∈ 𝐷(𝑓) }) )

(

∑ ∑ ∑(𝑎_𝑖𝑗𝑘)²

2

𝑘=0 2

𝑗=0 𝑖+𝑗+𝑘=2 2

𝑖=0

≠ 0 ) ∧

(

∑ ∑ ∑(𝑏_𝑖𝑗𝑘)²

2

𝑘=0 2

𝑗=0 𝑖+𝑗+𝑘=2 2

𝑖=0

≠ 0 ) ∧

∧ (𝑓 = {((𝑥1, 𝑥2, 𝑥3),

∑ ∑ ∑2 𝑎𝑖𝑗𝑘∙(𝑥1)𝑖∙(𝑥2)𝑗 𝑘=0 2 𝑗=0 2

𝑖=0 ∙(𝑥3)𝑘

𝑖+𝑗+𝑘≤2

∑ ∑ ∑2 𝑏𝑖𝑗𝑘∙(𝑥1)𝑖∙(𝑥2)𝑗 2 𝑘=0

2 𝑗=0

𝑖=0 ∙(𝑥3)𝑘

𝑖+𝑗+𝑘≤2

) ∶ (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) ∈ 𝐷(𝑓) })

⋮

(

∑ ∑ ⋯ ∑ (𝑎_{𝑖1𝑖2⋯𝑖𝑛})²

2

𝑖𝑛=0 2

𝑖2=0 𝑖1+𝑖2+⋯+𝑖𝑛=2 2

𝑖1=0

≠ 0 ) ∧

(

∑ ∑ ⋯ ∑ (𝑏_{𝑖1𝑖2⋯𝑖𝑛})²

2

𝑖𝑛=0 2

𝑖2=0 𝑖1+𝑖2+⋯+𝑖𝑛=2 2

𝑖1=0

≠ 0 ) ∧

(𝑓 = {((𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛),

∑ ∑ ⋯ ∑2 𝑎𝑖1𝑖2⋯𝑖𝑛∙(𝑥1)𝑖1∙(𝑥2)𝑖2 2 𝑖𝑛=0

2 𝑖2=0

𝑖1=0 ∙⋯∙(𝑥𝑛)𝑖𝑛

𝑖1+𝑖2+⋯+𝑖𝑛≤2

∑ ∑ ⋯ ∑2 𝑏𝑖1𝑖2⋯𝑖𝑛∙(𝑥1)𝑖1∙(𝑥2)𝑖2 𝑖𝑛=0

2 𝑖2=0 2

𝑖1=0 ∙⋯∙(𝑥𝑛)𝑖𝑛

𝑖1+𝑖2+⋯+𝑖𝑛≤2

) ∶ (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ∈ 𝐷(𝑓) }).

𝑓 = {(𝑥,1 + 2𝑥

2 + 𝑥) ∶ 𝑥 ∈𝐷(𝑓) }

𝑓 = {((𝑥, 𝑦),1 + 2𝑥 + 2𝑦

2 + 𝑥 + 𝑦 ) ∶ (𝑥, 𝑦) ∈𝐷(𝑓) }

𝑓 = {((𝑥, 𝑦, 𝑧),1 + 2𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧

2 + 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ) ∶ (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈𝐷(𝑓) }

⋮

𝑓 = {((𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛),1 + ∑^𝑛_𝑖=12𝑥_𝑖 2 + ∑𝑛 𝑥𝑖

𝑖=1

) ∶ (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛) ∈𝐷(𝑓) }

Exemplo 12. As funções racionais de grau (2,0) são as polinomiais de grau 2.

(19)

10

𝑓 = {(𝑥,1 + 2𝑥 + 3𝑥²

1 − 3𝑥² ) ∶ 𝑥 ∈𝐷(𝑓) }

𝑓 = {((𝑥, 𝑦),1 + 2𝑥 + 2𝑦 + 3𝑥²+ 3𝑦²

1 − 3𝑥² ) ∶ (𝑥, 𝑦) ∈𝐷(𝑓) }

𝑓 = {((𝑥, 𝑦, 𝑧),1 + 2𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 + 3𝑥²+ 3𝑦²+ 3𝑧²

1 − 3𝑥² ) ∶ (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈𝐷(𝑓) }

⋮

𝑓 = {((𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛),^1+∑^𝑛^𝑖=1^2𝑥^𝑖⁺^∑^𝑛^𝑖=1^3𝑥^𝑖²

1−3𝑥² ) ∶ (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛) ∈𝐷(𝑓) }.

((𝑎3≠ 0) ∧ (𝑏3≠ 0) ∧ (𝑓 = {(𝑥,∑³𝑖=0𝑎𝑖∙ 𝑥^𝑖

∑³_𝑖=0𝑏𝑖∙ 𝑥^𝑖) ∶ 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) }))

(

( ∑ ∑(𝑎𝑖𝑗)²

3

𝑗=0 3

𝑖=0 𝑖+𝑗=3

≠ 0) ∧ ( ∑ ∑(𝑏𝑖𝑗)²

3

𝑗=0 3

𝑖=0 𝑖+𝑗=3

≠ 0) ∧ (𝑓 = {((𝑥1, 𝑥2),

∑ ∑3 𝑎𝑖𝑗∙(𝑥1)𝑖∙(𝑥2)𝑗 𝑗=0 3 𝑖=0 𝑖+𝑗≤3

∑ ∑3 𝑏𝑖𝑗∙(𝑥1)𝑖∙(𝑥2)𝑗 3 𝑗=0

𝑖=0 𝑖+𝑗≤3

) ∶ (𝑥1, 𝑥2) ∈ 𝐷(𝑓) }) )

(

∑ ∑ ∑(𝑎_𝑖𝑗𝑘)²

3

𝑘=0 3

𝑗=0 𝑖+𝑗+𝑘=3 3

𝑖=0

≠ 0 ) ∧

(

∑ ∑ ∑(𝑏_𝑖𝑗𝑘)²

3

𝑘=0 3

𝑗=0 𝑖+𝑗+𝑘=3 3

𝑖=0

≠ 0 ) ∧

∧ (

𝑓 = {(

(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3),

∑ ∑³_𝑗=0 ∑³_𝑘=0𝑎𝑖𝑗𝑘∙ (𝑥1)^𝑖∙ (𝑥2)^𝑗

𝑖+𝑗+𝑘≤3

3𝑖=0 ∙ (𝑥3)^𝑘

∑ ∑³_𝑗=0 ∑³_𝑘=0𝑏𝑖𝑗𝑘∙ (𝑥1)^𝑖∙ (𝑥2)^𝑗

𝑖+𝑗+𝑘≤3 3

𝑖=0 ∙ (𝑥3)^𝑘

)

∶ (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) ∈ 𝐷(𝑓) })

⋮

(

∑ ∑ ⋯ ∑ (𝑎_{𝑖1𝑖2⋯𝑖𝑛})²

3

𝑖𝑛=0 3

𝑖2=0 𝑖1+𝑖2+⋯+𝑖𝑛=3 3

𝑖1=0

≠ 0 ) ∧

(

∑ ∑ ⋯ ∑ (𝑏_{𝑖1𝑖2⋯𝑖𝑛})²

3

𝑖𝑛=0 3

𝑖2=0 𝑖1+𝑖2+⋯+𝑖𝑛=3 3

𝑖1=0

≠ 0 ) ∧

∧ (𝑓 = {((𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛),

∑ ∑ ⋯ ∑3 𝑎𝑖1𝑖2⋯𝑖𝑛∙(𝑥1)𝑖1∙(𝑥2)𝑖2 3 𝑖𝑛=0

3 𝑖2=0

𝑖1=0 ∙⋯∙(𝑥𝑛)𝑖𝑛

𝑖1+𝑖2+⋯+𝑖𝑛≤3

∑ ∑ ⋯ ∑3 𝑏𝑖1𝑖2⋯𝑖𝑛∙(𝑥1)𝑖1∙(𝑥2)𝑖2 𝑖𝑛=0

3 𝑖2=0 3

𝑖1=0 ∙⋯∙(𝑥𝑛)𝑖𝑛

𝑖1+𝑖2+⋯+𝑖𝑛≤3

) ∶ (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ∈ 𝐷(𝑓) }).

Exemplo 15. As funções racionais de grau (3,0) são as polinomiais de grau 3.

(20)

11

𝑓 = {(𝑥,1 + 2𝑥 + 3𝑥²+ 4𝑥³

1 + 5𝑥³ ) ∶ 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) }

𝑓 = {((𝑥, 𝑦),1 + 2𝑥 + 2𝑦 + 3𝑥²+ 3𝑦²+ 4𝑥³+ 4𝑦³

1 + 5𝑥³ ) ∶ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷(𝑓) }

𝑓 = {((𝑥, 𝑦, 𝑧),1 + 2𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 + 3𝑥²+ 3𝑦²+ 3𝑧²+ 4𝑥³+ 4𝑦³+ 4𝑧³

1 + 5𝑥³ ) ∶ (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝐷(𝑓) }

⋮ 𝑓 = {((𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃, … , 𝑥_𝑛),^1+∑^𝑛^𝑖=1^2𝑥^𝑖⁺^∑^𝑛^𝑖=1^3𝑥^𝑖²^+∑^𝑛^𝑖=1^4𝑥^𝑖³

1+5𝑥³ ) ∶ (𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃, … , 𝑥_𝑛) ∈ 𝐷(𝑓) }.

Exemplo 17. Forma geral das funções racionais de (4,4):

((𝑎4≠ 0) ∧ (𝑏4≠ 0) ∧ (𝑓 = {(𝑥,∑⁴𝑖=0𝑎𝑖∙ 𝑥^𝑖

∑⁴_𝑖=0𝑏𝑖∙ 𝑥^𝑖) ∶ 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) }))

(

( ∑ ∑(𝑎𝑖𝑗)²

4

𝑗=0 4

𝑖=0 𝑖+𝑗=4

≠ 0) ∧ ( ∑ ∑(𝑏𝑖𝑗)²

4

𝑗=0 4

𝑖=0 𝑖+𝑗=4

≠ 0) ∧∧ (𝑓 = {((𝑥1, 𝑥2),

∑ ∑4 𝑎𝑖𝑗∙(𝑥1)𝑖∙(𝑥2)𝑗 𝑗=0 4 𝑖=0

𝑖+𝑗≤4

∑ ∑4 𝑏𝑖𝑗∙(𝑥1)𝑖∙(𝑥2)𝑗 4 𝑗=0

𝑖=0 𝑖+𝑗≤4

) ∶ (𝑥1, 𝑥2) ∈ 𝐷(𝑓) }) )

(

∑ ∑ ∑(𝑎_𝑖𝑗𝑘)²

4

𝑘=0 4

𝑗=0 𝑖+𝑗+𝑘=4 4

𝑖=0

≠ 0 ) ∧

(

∑ ∑ ∑(𝑏_𝑖𝑗𝑘)²

4

𝑘=0 4

𝑗=0 𝑖+𝑗+𝑘=4 4

𝑖=0

≠ 0 ) ∧

( 𝑓 =

{( (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3),

∑ ∑⁴_𝑗=0 ∑⁴_𝑘=0𝑎𝑖𝑗𝑘∙ (𝑥1)^𝑖∙ (𝑥2)^𝑗

𝑖+𝑗+𝑘≤4

4𝑖=0 ∙ (𝑥3)^𝑘

∑ ∑⁴_𝑗=0 ∑⁴_𝑘=0𝑏𝑖𝑗𝑘∙ (𝑥1)^𝑖∙ (𝑥2)^𝑗

𝑖+𝑗+𝑘≤4

4𝑖=0 ∙ (𝑥3)^𝑘

)

∶ (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) ∈ 𝐷(𝑓) })

⋮

(

∑ ∑ ⋯ ∑ (𝑎_{𝑖1𝑖2⋯𝑖𝑛})²

4

𝑖𝑛=0 4

𝑖2=0 𝑖1+𝑖2+⋯+𝑖𝑛=4 4

𝑖1=0

≠ 0 ) ∧

(

∑ ∑ ⋯ ∑ (𝑏_{𝑖1𝑖2⋯𝑖𝑛})²

4

𝑖𝑛=0 4

𝑖2=0 𝑖1+𝑖2+⋯+𝑖𝑛=4 4

𝑖1=0

≠ 0 ) ∧

(𝑓 = {((𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛),

∑ ∑ ⋯ ∑4 𝑎𝑖1𝑖2⋯𝑖𝑛∙(𝑥1)𝑖1∙(𝑥2)𝑖2 4 𝑖𝑛=0

4 𝑖2=0

𝑖1=0 ∙⋯∙(𝑥𝑛)𝑖𝑛

𝑖1+𝑖2+⋯+𝑖𝑛≤4

∑ ∑ ⋯ ∑4 𝑏𝑖1𝑖2⋯𝑖𝑛∙(𝑥1)𝑖1∙(𝑥2)𝑖2 𝑖𝑛=0

4 𝑖2=0 4

𝑖1=0 ∙⋯∙(𝑥𝑛)𝑖𝑛

𝑖1+𝑖2+⋯+𝑖𝑛≤4

) ∶ (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ∈ 𝐷(𝑓) }).

(21)

12

Exemplo 21. 𝑓 = {((𝑥, 𝑦), ^𝑥−1

2𝑥+3) ∶ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ² } é uma função racional 𝑓 ∈ (ℝ[𝑥, 𝑦] × (ℝ[𝑥, 𝑦])^∗)/𝑅, de duas variáveis reais a valores reais e de grau (1,1).

Exemplo 22. 𝑓 = {((𝑥, 𝑦, 𝑧),^{2𝑥𝑦+3𝑦−2𝑧}

2𝑥−𝑦 ) ∶ (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ³ } é uma função racional 𝑓 ∈ (ℝ[𝑥, 𝑦, 𝑧] × (ℝ[𝑥, 𝑦, 𝑧])^∗)/𝑅, de três variáveis reais a valores reais e de (2,1).

Exemplo 23. = {((𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤),^2𝑥³^𝑦𝑧

𝑦𝑧+1) ∶ (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ³ } é uma função racional 𝑓 ∈(ℝ[𝑥,𝑦,𝑧,𝑤]×(ℝ[𝑥,𝑦,𝑧,𝑤])^∗)

𝑅 , de quatro variáveis reais a valores reais e de grau (5,2).

Exemplo 19. Funções polinomiais de (4,4):

𝑓 = {(𝑥,1 + 2𝑥 + 3𝑥²+ 4𝑥³+ 5𝑥⁴

1 − 𝑥⁴ ) ∶ 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) }

𝑓 = {((𝑥, 𝑦),1 + 2𝑥 + 2𝑦 + 3𝑥²+ 3𝑦²+ 4𝑥³+ 4𝑦³+ 5𝑥⁴+ 5𝑦⁴

1 − 𝑥⁴ ) ∶ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷(𝑓) }

𝑓 = {((𝑥, 𝑦, 𝑧),1 + ∑³_𝑖=12𝑥_𝑖+ 3𝑥_𝑖²+ 4𝑥_𝑖³+ 5𝑥_𝑖⁴

1 − 𝑥⁴ ) ∶ (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝐷(𝑓) }

⋮ 𝑓 = {((𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃, … , 𝑥_𝑛),^1+∑^𝑛^𝑖=1^2𝑥^𝑖^+3𝑥^𝑖²^+4𝑥^𝑖³^+5𝑥^𝑖⁴

1−𝑥⁴ ) ∶ (𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃, … , 𝑥_𝑛) ∈ 𝐷(𝑓) }.

(22)

13

Exemplo 24. 𝑓 = {((𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤),^𝑥⁶^𝑦⁵^𝑧⁴^+𝑤³

𝑥⁵𝑦⁷𝑧²+𝑤⁸) ∶ (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤) ∈ ℝ⁴ } é uma função racional 𝑓 ∈ (ℝ[𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤] × (ℝ[𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤])^∗)/𝑅, de quatro variáveis reais a valores reais e de grau (15,14).

Definição 4. O domínio de uma função racional 𝑓 ⊆ ℝ^𝑛× ℝ de n variáveis reais a valores reais, denotado por 𝐷(𝑓), é o conjunto de todos os elementos do espaço ℝ^𝑛 que se relacionam, através da relação 𝑓, com um único elemento do conjunto dos números reais; em linguagem formal:

𝐷(𝑓) = {𝑥: ((∃! 𝑦)(𝑦 ∈ ℝ)((𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓))}. Neste caso,

𝑥 = (𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃, … , 𝑥_𝑛) ∧ 𝑦 =

∑^𝑛_𝑖1=0∑^𝑛_𝑖2=0⋯ ∑^𝑛_𝑖𝑛=0𝑎_{𝑖1𝑖2⋯𝑖𝑛}∙(𝑥₁)^𝑖1∙(𝑥₂)^𝑖2∙⋯∙(𝑥_𝑛)^𝑖𝑛 𝑖1+𝑖2+⋯+𝑖𝑛≤𝑛

∑^𝑛_𝑖1=0∑^𝑛_𝑖2=0⋯ ∑^𝑛_𝑖𝑛=0𝑏_{𝑖1𝑖2⋯𝑖𝑛}∙(𝑥1)^𝑖1∙(𝑥2)^𝑖2∙⋯∙(𝑥𝑛)^𝑖𝑛 𝑖1+𝑖2+⋯+𝑖𝑛≤𝑛

.

Assim, os valores de 𝑥 para os quais existe um único valor de 𝑦 são aqueles que não anulam o denominador; isto é:

𝐷(𝑓) = {(𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃, … , 𝑥_𝑛):∑ ∑ ⋯ ∑^𝑛_𝑖 𝑏_𝑖₁_𝑖₂_⋯𝑖_𝑛∙ (𝑥₁)^𝑖¹∙ (𝑥₂)^𝑖²

𝑛=0 𝑛𝑖2=0

𝑛𝑖1=0 ∙ ⋯ ∙ (𝑥_𝑛)^𝑖^𝑛

𝑖₁+ 𝑖₂+ ⋯ + 𝑖_𝑛≤ 𝑛 ≠ 0}.

Exemplo 25. O domínio da função polinomial

𝑓 = {( 𝑥, 1

𝑥 − 1) ∶ 𝑥 ∈𝐷⁽𝑓^{) }} é

𝐷(𝑓) = {𝑥:𝑥 − 1 ≠ 0} = ℝ − {1}.

(23)

14

𝑓 = {((𝑥, 𝑦), 𝑥 − 1

(𝑥 − 1)(𝑦 − 2)) ∶ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ² }

é

𝐷(𝑓) = {(𝑥, 𝑦): (𝑥 − 1)(𝑦 − 2)≠ 0} = ℝ²− {(1,2)}.

𝑓 = {((𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑥𝑦

𝑥²+ 𝑦²+ 𝑧²) ∶ (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ³}

é

𝐷(𝑓) = {(𝑥, 𝑦, 𝑧):𝑥²+ 𝑦²+ 𝑧²≠ 0} = ℝ³− {(0,0,0)}.

𝑓 = {((𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤), 𝑥²+ 𝑦²+ 𝑧²+ 𝑤²

𝑥²+ 𝑦²+ 𝑧²+ 𝑤²+ 1) ∶ (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤) ∈ ℝ⁴ } é

𝐷(𝑓) = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑧):𝑥²+ 𝑦²+ 𝑧²+ 1 ≠ 0} = ℝ⁴.

(24)

15

Exemplo 29. Determine o domínio e a imagem da função racional

𝑓 = {(𝑥,1

𝑥) ∶ 𝑥 ∈ ℝ}.

Solução. 𝐷(𝑓) = {𝑥: 𝑥 ≠ 0} =ℝ^∗

(∀𝑦)(∃𝑥)(𝑥 ∈ℝ^∗)((𝑥, 𝑦)∈ 𝑓)

(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓 ↔ 𝑦 = 𝑓(𝑥) ↔ 𝑦 =1 𝑥 ↔

𝑦≠0𝑥 =1 𝑦

∴𝐷(𝑓)=ℝ^∗∧ 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ^∗.

Definição 5. A imagem de uma função polinomial 𝑓 ⊆ ℝ^𝑛× ℝ de n variáveis reais a valores reais, denotado por 𝐼𝑚(𝑓), é o conjunto de todos os elementos reais que se relacionam com algum elemento do domínio de 𝑓; em linguagem formal:

𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦:(∃𝑥)(𝑥 ∈ 𝐷(𝑓))((𝑥, 𝑦)∈ 𝑓)}. Neste caso,

𝑦 =

∑^𝑛_𝑖1=0∑^𝑛_𝑖2=0⋯ ∑^𝑛_𝑖𝑛=0𝑎_{𝑖1𝑖2⋯𝑖𝑛}∙(𝑥₁)^𝑖1∙(𝑥₂)^𝑖2∙⋯∙(𝑥_𝑛)^𝑖𝑛 𝑖1+𝑖2+⋯+𝑖𝑛≤𝑛

∑^𝑛_𝑖1=0∑^𝑛_𝑖2=0⋯ ∑^𝑛_𝑖𝑛=0𝑏_{𝑖1𝑖2⋯𝑖𝑛}∙(𝑥1)^𝑖1∙(𝑥2)^𝑖2∙⋯∙(𝑥𝑛)^𝑖𝑛 𝑖1+𝑖2+⋯+𝑖𝑛≤𝑛

∧ 𝑥 = (𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃, … , 𝑥_𝑛).

Exemplo 30. Determine o domínio e a imagem da função racional

𝑓 = {((𝑥, 𝑦), 1

𝑥 − 𝑦) ∶ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷(𝑓)}.