Singularidades Nuas e a Precess~ao das
Orbitas Elpticas
Robson Leone Evangelista eJ ulio Cesar Fabris
UniversidadeFederaldoEspritoSanto
29060-900,Goiabeiras,Vitoria,ES,Brasil
Trabalho recebido em 13 de dezembro de 1994
Resumo
O estudo de Singularidades Nuas adquiriu uma import^ancia maior em Relatividade Geral devido a conjectura da Censura Cosmica. Neste artigo, expomos brevemente as noc~oes basicas relativas aos conceitos de Singularidades Nuas e Censura Cosmica. Em seguida, utilizamos uma soluc~ao estatica com simetria esferica das equac~oes de Einstein acopladas a campos escalares, que exibe uma singularidade nua (sem entretanto constituir uma violac~ao da Censura Cosmica), e analisamos, neste contexto, o problema das orbitas elpticas.
1. Introduc~ao
Uma singularidade e um ponto do espaco onde as leis da Fsica deixam de fazer sentido. Nesse ponto, quantidades fsicas mensuraveis (como temperatura, densidade, etc.) podem atingir valores in nitos. Ora, um estado fsico onde tais quantidades assumem va-lores inde nidamente grandes, n~ao e suscetvel de ser descrito por equac~oes matematicas. Na Fsica Classica elementar, a exist^encia de pontos singulares ja e en-contrada com uma certa frequ^encia. Podemos pen-sar, por exemplo, na lei da gravitac~ao newtoniana e na lei de Coulomb, da eletrostatica: as express~oes ma-tematicas que representam estas leis fsicas divergem no ponto onde esta localizada a fonte. Nesses casos a diverg^encia simplesmente revela a impossibilidade de de nir o campo gravitacionalou eletrico na posic~ao ocu-pada pela propria fonte que os cria.
O problema de diverg^encias nas equac~oes fsicas aparece nos mais diferentes contextos. Em Teoria Qu^antica de Campos, e uma das quest~oes centrais e que motivou o desenvolvimento de uma matematica propria para contorna-la. Em Relatividade Geral, exis-tem duas situac~oes particularmente cruciais onde apa-rece o problema de singularidade: o problema com si-metria esferica, seja no caso estatico (soluc~ao de Sch-warzschild), seja no caso do colapso gravitacional, e o
modelo do Big-Bang. No caso do colapso, temos uma singularidade futura, enquanto no modelo do Big-Bang, temos uma singularidade passada. De qualquer forma, a exist^encia de tais singularidades no contexto da Re-latividade Geral constitui um desa o teorico relevante: a nal, o que signi ca sicamente uma singularidade, como compreend^e-la e quais informac~oes podemos ex-trair nessas circunst^ancias extremas?
Nos pretendemos rever alguns aspectos essencias do problema da singularidade no caso da soluc~ao classica de Schwarzschild. Faremos isso na segunda sec~ao desse artigo. Tal revis~ao, mesmo que breve e incompleta[1], constitui uma oportunidade para introduzir a noc~ao de horizonte-evento, o que conduz a ideia do Buraco Ne-gro, preparando assim o terreno para a analise do pro-blema das orbitas elpticas que nos propomos a realizar mais adiante.
Em um artigo recente, foi apresentada uma soluc~ao estatica com simetria esferica que exibe uma Singulari-dade Nua [2]. Ela e obtida em um contexto bastante di-ferente do habitual da Relatividade Geral, uma vez que o modelo de base apresenta a gravitac~ao acoplada de uma formamuitopeculiar a dois campos escalares. Esse modelo deriva de uma teoria mais fundamental, formu-lada a cinco dimens~oes, onde a quinta dimens~ao (uma dimens~ao extra em relac~ao as quatro conhecidas) e de
natureza temporal. Essa soluc~ao e fundamentalmente diferente da soluc~ao classica de Schwarzschild visto que n~ao exibe um horizonte-evento.
Na terceira sec~ao, recordaremos as principais carac-tersticas desta soluc~ao, e a testaremos, nas sec~oes qua-tro e cinco, no caso de um dos problemas classicos da Gravitac~ao: a precess~ao das orbitas elpticas. Veremos que, apesar desta soluc~ao corresponder a um espaco fortemente curvo, a precess~ao prevista e nula. Discuti-remos este resultado na ultima sec~ao deste trabalho.
2. A Soluc~ao de Schwarzschild
A primeira soluc~ao exata das equac~oes de Einstein refere-se ao problema estatico com simetria esferica no vacuo, e foi obtida por K. Schwarzschild em 1916. Nesse problema, admite-se que a metrica, que estabelece a dist^ancia espaco-temporal entre dois eventos in nitesi-malmente proximos, tem a forma[3]
c ds2= g dxdx= B(r)c2dt2 ;A(r)dr 2 ;r 2d2 ;r 2sen2d 2 : (1) d
A e B s~ao func~oes unicamente da dist^ancia a ori-gem, onde esta localizada a fonte do campo gravi-tacional. Poderamos admitir que essas func~oes de-pendessem tambem do tempo t; entretanto, pelo teo-rema de Birkho , toda metrica esfericamente simetrica, no vacuo, em Relatividade Geral, e necessariamente estatica, raz~ao pela qual podemos, sem nenhuma perda de generalidade, nos restringir a forma para a metrica dada por (1).
Se inserirmos a express~ao acima nas equac~oes de Einstein, R; 1 2gR = 0 ; (2) onde R = @;;@;+ ;;;;;, R = gR e ; = 1 2g (@g + @g;@g),
obtemos as seguintes soluc~oes para A e B: B = A;1 = 1
;2GM
c2r ; (3)
onde associamos M a massa, localizada na origem, que cria o campo gravitacional, sendo r a dist^anca a ori-gem.
Observamos que, na equac~ao (3), parecem existir duas singularidades: uma para r = 0 e outra para r = 2GMc
2 . Um aspecto fundamental, que demorou um
certo tempo a ser compreendido, e que, na verdade, existe apenas a singularidade em r = 0; a outra sin-gularidade e um efeito da escolha do sistema de coor-denadas. Em especial, os invariantes geometricos s~ao
regulares em r = 2GMc
2 . Isto pode ser melhor
compre-endido reescrevendo a express~ao acima nas coordena-das de Kruskal[4]. Neste caso, torna-se claro que o que existe em r = 2GMc
2 e um Horizonte Evento: todos os
eventos que est~ao no interior desta dist^ancia, n~ao ser~ao acessveis a um observador que esteja a r > 2GMc
2 . A
noc~ao de Buraco Negro esta diretamente associada a exist^encia de uma singularidade que esteja \coberta" por um horizonte-evento. Assim, o Buraco Negro se caracteriza n~ao apenas pela presenca de uma singula-ridade no espaco-tempo, mas tambem pelo fato de seu interior r < 2GMc
2 n~ao ser acessvel a observac~ao. Se
existir uma singularidade do tipo descrito em r = 0 acima que n~ao esteja coberta por um horizonte-evento, ent~ao estamos em presenca de uma Singularidade Nua, uma singularidade acessvel a observac~ao.
A presenca deste horizonte-evento na soluc~ao de Schwarzschild pode, de uma certa forma, ser compro-vada se analisarmos o tempo gasto por um raio lu-minoso, emitido na origem, para alcancar a dist^ancia r = 2GMc
2 . Neste caso, escrevemos,
B(r)dt2 ;A(r)dr 2= 0 ; (4) o que conduz a t = Z r 0 dr0 1;2GMc 2r0 (5)
cuja soluc~ao e, t = r;2GM c2 ln r;2GM c2 2 GM c 2 (6) que diverge para r = 2GMc
2 .
A conjectura daCensura Cosmica[5] estabelece pre-cisamente que toda singularidade em Relatividade Ge-ral se apresenta \coberta" por um horizonte-evento. Visto que n~ao foi ainda possvel demonstrar esta conjec-tura, convertendo-a em um teorema, a busca de contra-exemplos e de grande import^ancia. Entretanto, e pre-ciso ter-se em mente, que a soluc~ao de Schwarzschild e estatica e valida no vacuo: ao se analisar o pro-blema da Censura Cosmica, e a eventual exist^encia de Singularidades Nuas, e preciso considerar o processo din^amico de formac~ao da singularidade[6]. A Censura Cosmica so sera violada se surgir uma Singularidade Nua no processo din^amico(n~ao estatico) do colapso gra-vitacional. A exist^encia de uma soluc~ao com simetria
esferica, que n~ao contenha um horizonte-evento, mesmo que ainda apresentando uma singularidade na origem, n~ao basta por si so para caracterizar a violac~ao da Cen-sura Cosmica.
3. Soluc~ao com Singularidade Nua
Em geral, o acoplamento das equac~oes de Einstein a um campo escalar n~ao traz muitas modi cac~oes a soluc~ao envolvendo simetria esferica analisada anteri-ormente. Entretanto, em alguns casos espec cos, po-demos obter um comportamento completamente dife-rente. E o caso quando consideramos a gravitac~ao aco-plada a dois campos escalares, e , que se acoplam n~ao trivialmente entre si [2].
Especi camente nos aplicamos a metrica (1) as equac~oes de Einstein acopladas aos dois campos esca-lares: c R; 1 2gR = ; 3 22( ; ; ; 1 2g ; ; ) + 1(;; ;g2) ; (7) 2; ; ; = 0 ; (8) 2 ; ; ; = 0 : (9) d
N~ao desenvolveremos aqui os detalhes tecnicos do pro-cesso de escrever as equac~oes diferenciais para A(r) e B(r), e resolv^e-las. Tais detalhes podem ser obtidos na refer^encia [2]. As soluc~oes para as func~oes metricas s~ao:
A(x) = x2 1 + x2 x 1 +p 1 + x2 2 ; (10) B(x) = x 1 +p 1 + x2 2 ; (11) (x) = B(x) ;1 (12) 0 = 0 r2(AB) 1 2; (13)
onde x = rk e k e uma constante de integrac~ao. A res-peito da express~ao (12), nota-se que a func~ao repre-senta a componente metrica da dimens~ao interna, que
tem carater temporal, ao passo que B e a componente metrica da dimens~ao tempo "externa". Essa constante pode ser xada atraves do limite newtoniano
B(x);x;;;! !1
1;2GM
c2r : (14)
Este limite nos fornece k = GMc
2 .
Para nos convencermos que esta soluc~ao representa uma singularidade nua, escrevamos a express~ao do tempo gasto por um foton emitido radialmente a partir de x = 0. Utilizando (4) e (10, 11), obtemos para os expoentes positivo e negativo, respectivamente,
t = k(p 1 + x2 ;1) ; (15) t = p 1 + x2 ;ln(1 + x 2) ; (16)
de onde podemos ver que esse foton atinge qualquer dist^ancia nita da origem em um tempo nito: n~ao ha consequentemente um horizonte-evento relacionado ao espaco-tempo descrito por (10,11). Entretanto, exis-te uma singularidade em r = 0 como pode ser visto em (10,11). E claro que podemos estar diante apenas de um efeito de coordenadas: para nos assegurarmos da exist^encia de uma singularidade em r = 0 devemos estudar os invariantes de curvatura, que s~ao indepen-dentes do sistema de coordenadas utilizado. A partir de (7,8,9), podemos calcular o o escalar de Ricci R. Obtemos,
R = 32( )2
: (17)
Introduzindo no segundo membro as soluc~oes para e , podemos facilmente ver que R diverge em r = 0. A singularidade em r = 0 e fsica.
A analise da trajetoria do foton, com a aus^encia de um horizonte-evento, mostra que se trata de uma Singularidade Nua. Entretanto, visto que a metrica e estatica, essa soluc~ao n~ao constitui uma violac~ao da Censura Cosmica.
4. A Precess~ao das Orbitas Elpticas
Vamos analisar agora uma consequ^encia fsica da soluc~ao estatica e simetricamente esferica determinada na refer^encia [2]. Especi camente, vamos considerar o caso da precess~ao das orbitas elpticas. Seguiremos o metodo empregado por Straumann[7], utilizando o fato que uma partcula-teste segue uma geodesica. Esse procedimento e igualmente legtimo no presente caso: se introduzirmos materia no nosso modelo, acoplando-a acoplando-ao nvel do lacoplando-agracoplando-angiacoplando-ano, podemos ver que o tensor momento-energia se conserva. A equac~ao da geodesica e ent~ao obtida da mesma maneira que na Relatividade Geral. Neste caso, nos estamos procedendo de uma forma inteiramente analoga ao da teoria de Brans-Dicke que e como um prototipo de teorias escalares tensoriais. Assim, escrevemos o lagrangeano associado a partcula em um campo gravitacional
L= 12g_x_x ; (18)
onde a derivac~ao e relativa a um par^ametro invariante , que pode ser, por exemplo, o tempo proprio da
partcula. Usando a metrica (1), este lagrangeano se reduz a L= 12(B(_t) 2 ;A(_r) 2 ;r 2( _)2 ;r 2sin2( _ )2) : (19)
Usando o princpio variacional podemos obter as equac~oes para t, r, e . Entretanto, nos podemos fazer, sem nenhuma perda de generalidade, =
2,
visto que o movimento esta contido em um plano. Alem disso, as variaveis t e s~ao cclicas. Assim, obtemos,
r2
_ = LM = cte ; (20)
B _t = EM = cte : (21)
Deste modo, impondo que o lagrangeano deve ser cons-tante ao longo da trajetoria (visto que sua variac~ao e nula neste caso), camos com uma unica equac~ao para a variavel r: _r2 + 1A 1 + ( LMr)2 = E2 ABM2 : (22)
Introduzindo a mudanca de variavel de t ! , de
tal forma que
_r = r0_ = L
Mr2r
0 (23)
onde L e o momento angular total de nido a partir de (20) podemos reescrever a equac~ao (22) como,
( LMr2) 2 r0 2 + 1A c2 + ( LrM )2 = E2 BAM2c2 : (24) De nindo u = 1 r e substituindo em (24), obtemos nalmente, ( LM)2u0 2 + 1A c2+ (Lu M )2 = E2 BAM2c2 : (25)
A equac~ao (25) n~ao admite soluc~ao exata para o caso em que empregamos as func~oes A e B da metrica de Schwarzschild, e tampouco para o caso em que empre-gamos as soluc~oes (10,11). Assim, nos vamos procu-rar uma soluc~ao aproximada. Estamos interessados no caso em que k e pequeno; consequentemente, neste li-mite, x e grande. Esta aproximac~ao e justi cada pelo fato de k estar diretamente ligado ao termo GMc
2 . Para
esta situac~ao podemos fazer uma expans~ao em serie das func~oes A e B dadas por (10,11). Fazendo esta ex-pans~ao, obtemos A'1; 2 x +x12 ; (26) B '1; 2 x +x22 : (27)
O limite newtoniano nos leva a k = GMc
2 . Introduzindo
a expans~ao acima em (25), derivando a express~ao re-sultante em relac~ao a obtemos a seguinte equac~ao diferencial para u: u00+ 1;6G 2M4 L2c2 u = GM3 L2 ;3GM c2 u 2 ; (28)
onde retivemos os termos ate ordem 1
c2.
A equac~ao (28) difere da sua equivalente em Rela-tividade Geral, na mesma ordem em 1
c2, pela presenca
do termo ; 6G
2M4
L2c2 no coe ciente do termo linear em u
e pelo sinal do termo n~ao linear no segundo membro. A equac~ao (28) e n~ao linear em u. Procuraremos ent~ao uma soluc~ao aproximada, resolvendo inicialmente a parte linear, substituindo o resultado no termo n~ao linear, e buscando por m uma soluc~ao para a equac~ao linear e n~ao-homog^enea resultante. A soluc~ao da parte linear e u = 1P 1 + ecos( ) ; (29) onde P = L2 GM3 2, e e a excentricidade da orbita e = q 1;6G 2M4
L2c2 . Essa soluc~ao representa uma
elipse girante. Entretanto, nos podemos observar que o par^ametro pode ser expandido em serie, fornecendo,
= 1;3G 2M4
L2c2 : (30)
Reinserindo (30) em (29), obtemos uma elipse girante no sentido do movimento do planeta, com o mesmo va-lor que o previsto pela Relatividade Geral:
= 6G2M4
L2c2 : (31)
Para obtermos a soluc~ao completa ate ordem 1
c2,
nos introduzimos a soluc~ao da parte linear, encontrada anteriormente, no termo n~ao-linear em u da equac~ao (28). Obtemos assim uma equac~ao linear, mas n~ao ho-mog^enea: c u00+ 2u = GM 3 L2 ;3 GM c2P2 ;6 GM c2P2ecos ;3 GM c2P2e 2cos2 : (32) d
Em primeira aproximac~ao, podemos obter uma soluc~ao da equac~ao n~ao-linear somando (29) a soluc~ao da n~ao-homog^enea de (32). Uma vez que estamos in-teressados unicamente na quest~ao da precess~ao das orbitas elpticas, apenas alguns termos de (32) ter~ao im-port^ancia para nos. De fato, o segundo membro de (32) contem um termo constante, um que depende de cos e outro de cos2 . A soluc~ao da parte n~ao homog^enea de (32) contem, consequentemente, um termo cons-tante, uma combinac~ao de sen , cos e cos2 . O termo constante implica numa correc~ao dos par^ametros da orbita; o termo em cos2 e periodico e n~ao contri-bui para o fen^omeno da precess~ao. Unicamente o termo sen constitui um termo acumulativo ao longo da trajetoria e contribuira diretamente para a precess~ao. Assim, retendo apenas os termos que nos interessam, escrevemos a soluc~ao da equac~ao n~ao linear, em
pri-meira aproximac~ao, como u' 1 P ecos ; 3GMe c2P sen : (33) Esta soluc~ao pode ser escrita, mantendo a aproximac~ao em 1
c2 como
u'
e
P cos : (34)
Surpreendemente, as duas contribuic~oes para a pre-cess~ao da orbita se cancelam de maneira que, ate a or-dem de aproximac~ao considerada, inexiste a precess~ao do perielio quando a geometria que descreve o espaco-tempo e dada por (10,11).
O termo existente no primeiro membro de (28) contribui para uma precess~ao que e igual a prevista pela Relatividade Geral, e no sentido do movimento orbital; mas o termo n~ao linear no segundo membro fornece a mesma contribuic~ao so que no sentido contrario ao do movimento orbital. Existe, assim, em (28) dois efeitos concorrentes, um implicando na precess~ao no sentido
do movimento orbital e outro no sentido contrario. Os dois s~ao de mesma ordem e se cancelam.
5. As Orbitas Elpticas com o Potencial
Newto-niano Modi cado
No tratamento que nos demos anteriormente ao pro-blema da precess~ao das orbitas elpticas, partimos de uma soluc~ao estatica com simetria esferica em uma te-oria relativstica da gravitac~ao, inserimos esta soluc~ao nas equac~oes relativsticas de movimento e, realizando aproximac~oes nas express~oes resultantes, determinamos a orbita. Um outro enfoque possvel, seria de, a par-tir das soluc~oes das equac~oes relativsticas, determinar-mos o potencial newtoniano correspondente, identi -cando as correc~oes em primeira ordem e, a partir da, resolvermos as equac~oes classicas, newtonianas, do mo-vimento. Neste caso, n~ao estamos propriamente estu-dando o limite newtoniano do modelo original, mas sim analisando desde o incio um problema puramente new-toniano, onde o potencial da gravitac~ao n~ao e mais o tradicional, e sim um outro "inspirado" no modelo re-lativstico.
Consideremos as equac~oes newtonianas para um po-tencial que depende apenas de r. Admitiremos que o potencial que o potencial efetivo difere do tradicional newtoniano pela presenca de um termo do tipo 1
r2. Se
escrevermos o potencial efetivo como V (r) = Cr +C0
r2 ; (35)
e injetando-o nas equac~oes do movimento m~a =;mdV
dr ~rr ; (36)
obtemos as sequintes equac~oes diferenciais para as co-ordenadas esfericas r e : r;r _ 2 = ;( Cr 2 + 2C 0 r3) ; (37) _ = Lmr2 : (38)
Transformando as derivadas em relac~ao a t em deriva-das em relac~ao a , de nindo u = 1
r e eliminando _
atraves da relac~ao acima, obtemos a seguinte equac~ao diferencial para u: u00+ (1 ;2m 2C0 L2 )u = m 2C L2 ; (39)
cuja a soluc~ao em termos de r e:
r = 1 + ecos P (40) onde =q 1;2m 2C0 L2 e P = m2C
L2 . Essa soluc~ao
cor-responde a uma elipse girante, com uma precess~ao dada por
= 2m2C0
L2 : (41)
Para que esta precess~ao concorde com o resultado da Relatividade Geral, devemos ter C0= 3G
2M2
c2 .
O potencial newtoniano e obtido a partir da soluc~ao com simetria esferica da Relatividade Geral como pri-meira aproximac~ao do termo em B da equac~ao (1). Se utilizarmos a expans~ao (27), podemos escrever o poten-cial newtoniano para o nosso caso, com uma correc~ao em 1 c2. Como k = GMc 2 , obtemos C = GM e C 0 = ;G 2M2
c2 . Utilizando as equac~oes newtonianas do
mo-vimento e o potencial newtoniano modi cado previsto pelo nosso modelo, temos uma elipse que gira no sen-tido contrario ao movimento orbital, com um valor que e um terco do observado.
6. Conclus~ao
A exist^encia de Singularidades Nuas, singularida-des que n~ao seriam cobertas por um horizonte-evento, e proibida pela Censura Cosmica. Entretanto, a Cen-sura Cosmica continua sendo uma conjectura e n~ao um teorema matematico. Assim, a busca de uma violac~ao desta conjectura continua sendo de grande interesse. A violac~ao da Censura Cosmica ocorreria se, num pro-cesso din^amico de colapso gravitacional, uma singula-ridade se formasse sem que ela fosse coberta por um horizonte-evento. Em certos casos, e possvel obter Sin-gularidades Nuas considerando problemas com simetria esferica mas estaticos. Mesmo que estes casos n~ao che-guem a constituir uma violac~ao da Censura Cosmica, eles constituem soluc~oes interessantes que podem nos trazer algumas informac~oes sobre as propriedades das Singuralidades Nuas no caso mais geral, n~ao estatico.
Neste trabalho procuramos analisar a soluc~ao estatica com simetria esferica obtida por Baptista, Ba-tista e Fabris[2] para o caso em que a gravitac~ao esta acoplada a dois campos escalares. Essa soluc~ao exibe uma Singularidade Nua, sendo por outro lado estatica. Um raio de luz emitido a partir da origem, onde ha uma singularidade, atinge qualquer ponto do espaco-tempo em um tempo nito. Poderamos dizer, de certa forma, que o horizonte-evento para esta soluc~ao se localiza no in nito. A soluc~ao possui um limite newtoniano bem de nido, prevendo correc~oes ao potencial newtoniano tradicional em ordens crescentes de 1
c2.
Nossa analise se restringiu as consequ^encias de tal soluc~ao para o problema das orbitas elpticas. Fize-mos esta analise em duas circunst^ancias: na primeira, utilizamos as equac~oes relativsticas do movimento; na segunda, determinamos o potencial newtoniano corri-gido em primeira ordem em 1
c2 e utilizamos as equac~oes
n~ao relativsticas do movimento.
A referida soluc~ao possui uma constante de inte-grac~ao, k, que esta associada a GMc
2 . O limite
new-toniano imp~oe que k seja positivo. Constatamos a exist^encia de dois efeitos concorrentes, um implicando numa precess~ao no sentido do movimento orbital e ou-tro no sentido contrario. Os dois efeitos s~ao de mesma ordem, resultando em uma orbita elptica que n~ao pre-cessa. Para o caso em que utilizamos as equac~oes new-tonianas do movimento e k positivo, o valor da pre-cess~ao e um terco do observado (se considerarmos a orbita de Mercurio) mas no sentido contrario ao do mo-vimento orbital.
Mesmo que os resultados n~ao conduzam ao que a observac~ao revela, notamos que o modelo original, de onde esta soluc~ao foi extrada, deve se aplicar ao re-gime de energias extremamente altas. Mas o fato que a nossa analise explicitou a exist^encia de fen^omenos con-correntes, revela a complexidade desta soluc~ao. No-tamos sobretudo que esta soluc~ao corresponde a uma variedade Riemanniana fortemente curva. Entretanto, seu efeito gravitacional no que diz respeito ao problema das orbitas elpticas e id^entico ao newtoniano, o que era
completamente inesperado.
O problema da exist^encia e natureza de singulari-dades em Relatividade Geral e de grande import^ancia, e constitui um dos principais pontos de debate atu-almente. Muito embora, o estudo teorico da estru-tura destas singularidades esteja em franca expans~ao (basta observar a grande quantidade de publicac~oes sobre os buracos negros, muitos versando sobre a es-trutura interna de tais objetos), existem diverg^encias profundas sobre a real exist^encia de estruturas singula-res no Universo. A nal, os buracos negros continuam n~ao sendo um verdadeiro e incontestavel objeto as-tron^omico. Quest~oes como a da exist^encia ou n~ao de singularidades no espaco-tempo e da presenca de um horizonte-evento em torno dessas singularidades, per-manecem, no sentido estrito, em aberto.
Agradecimentos
Bene ciamos de valiosas discuss~oes, ao longo deste trabalho, com J.P. Baptista, A.B. Batista, L.E. Ferra-ciolli da Silva e Philippe Tourrenc. Contamos tambem com apoio nanceiro do CNPq.
References
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[2] J.P. Baptista, A.B. Batista e J.C. Fabris, Int. J. Mod. Phys.D2, 431(1993);
[3] S. Weinberg, Gravitation and Cosmology, Wiley, New York(1972);
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