SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

a melhança de triâ los): Doi

uer triângulos c m ângulos internos iguais são semelhantes: mais precisamente, triângulos ABC e DEF forem tais que

Critério AAA – (teorem fundamental da se ngu s

quaisq o

se os ∆ ∆ ∠A≅∠D,∠B≅∠E e ,

então

F C ≅∠

∠ DEF

ABC ∆

∆ ~

E A

D

C=F B

Demonstração: Quer-se mostrar que

DF AC EF

BC DE

AB = = . Seja

DE

= AB

λ ; a

demonstração vai depender da natureza do λ. ℵ

λ∈

• 1º caso: (demonstração por indução):

Dois triângulos ABC e DEF dizem-se semelhantes (através da correspondência

A , , ), e escrevemos

∆ ∆

aD BaE Ca F ∆ABC ≅ ∆DEF, se:

¾ os ângulos correspondentes forem congruentes (isto é, ∠A≅∠D, , )

E B≅∠

∠ F

C ≅∠

∠

¾ e os lados forem proporcionais (isto é ,

FD CA EF

BC DE

AB = = ).

À razão entre lados correspondentes de triângulos semelhantes chamamos razão de semelhança desses triângulos; assim sendo, se ∆ABC ~∆DEF, o quociente

DE AB é a razão de semelhança entre ABC e ∆ ∆DEF. Tal como no caso das congruências de triângulos, convém assinalar que ∆ABC ~∆DEF não significa o mesmo que ABC

~ EFD.

∆ ∆

se for λ =1; então AB = D D e como ∠B≅∠E, por ALA DEF

ABC ∆

∆ ~ ; em particular

EF BC DF

AB =1=

−1

λ os

−1 λ sã ares

o

lados correspondentes é tam

de λ−1

A E,∠ ≅∠

passo por indução: suponho λ∈ℵ\

{ }

∆DEF AB

DE

AX = , y∈AC, z∈BC, xy

(dois triângulos com âng que a razão entre dois lados eja

correspondentes s necessariamente semelhantes, isto é, a razão

entre os restantes p bém ).

Sei que ∆ABCe os mesmos ângulos; seja x∈ ue emos ∆AXY ≅∆DEF ; além disso, ∆XBZ e ∆DEF têm os mesmos ângulos , mas ^XB =λ−1 . Por hipótese de indução =λ−1

DE

XZ e

−1

=λ

F sendo BC = BZ + ZC

têm tal q

//BC e xz//AC.

Por ALA. T

DE

+ EF

−1) λ E

=( EF

AY + = DF +(λ−1)DF =λDF , o que completa a indução. Fica assim provado o resultado quando λ∈ℵ.

BZ

λEF

; assim

=

e AC = YC

∈Q λ

• 2º caso:

= DE

λ ^AB ; fazendo p

λ= , obtemos pDE =qAB . Consideramos

∆XYZcom os mesmos ângulos e tal que XY = pDE =qAB DEF

YZ ~∆ e ∆XYZ ~∆ABC e portanto seja

q

nterior, temos ∆X EF p YZ DE

XY = = e q

BC YZ AC

XZ = = então = = =λ

q p EF BC DF

AC

, pelo caso a

se temos como queríamos.

• 3º caso: λ∈ℜ\Q λ AB =

λ ^AC > BC

>

Seja

DE . Vamos mostrar que, para qualquer número racional s tal que

Atendendo à densidade de Q em

AB

X ∈ e AX =sDE e . elo caso racional, também

BC XY//

ℜ, isso obriga a que se tenha ≥λ EF BC DF

AC ,

s<λ ⇔ <

AC AY

DF = < s

DF AC >

AB DE DE s

AB ↔ s<

seja

AY =sDF e XY =sEF P

Logo s ⇒

sEF = XY < BC BC s EF >

⇒

o que conclui a demonstração.

∆ABC ∆DEF forem tais que ∠A≅∠D e , DF

AC DE

AB = então

DEF ABC ∆

∆ ~ ).

ritério LAL : Se, em dois quaisquer triângulos, ângulos iguais subentenderem lados proporcionais, então esses triângulos são semelhantes.

(por ex., se e C

B A

D

C= F E

A

∆AZY tal que AZ = DE

∈AB e Y∈AC. Pelo critério anter or, temoi s ∆ABC ~∆AZY e portanto

;

= DF e pelo critério de congruência LAL, temos ∆AZY ≅∆DEF, e portanto DEF

AZY ~∆ .

emonstração: ideia é combinar o critério anterior com o critério de congruência propriado. Consideramos o triângulo

D

, e em que ZY//BC , a

Z AY

∆

Critério LLL: Dois quaisquer triângulos com lados proporcionais são semelhantes.

(por ex.,se tivermos

EF BC DF

AC DE

AB = = então ∆ABC ~∆DEF.

C= F E

A

D

B

∆AZY como antes, sendo

= DE ∆ABC ~∆AZY : ∆AZY ≅∆DEF, e

portant ∆ABC~∆DEF.

emon oga à do critério anterior. Definimos D stração: É anál

AZ e pelo critério LLL de congruência,

o

impo

as: Se for um triângulo rectângulo de hipotenusa

Mais resultados rtantes sobre semelhança de triângulos

∆ABC BC

2 2 2

Teorema de Pitágor ,

Pelo critério AA temos então a =b +c .

DAC DBA

ABC ∆ ∆

∆ ~ ~

Demonstração:

e destas semelhanças obtemos

2 +c ax

a b b

x

a− ⇒ = −

= ^{2 2} c ax

a c c

x = ⇒ ² =

b e

a

Adicionando membro a membro resulta a igualdade pretendida: a² =b ² .

Note-se que o recíproco deste teorema também é válido: se num ∆ABC tivermos então esse triângulo é rectângulo de hipotenusa

2 2

2 b c

a = + , BC. Para o

demonstrarmos basta observar que podemos considerar um

c :pelo teorema de Pitágoras, a hipotenusa desse triângulo mede rectângulo de catetos de edida b e

a c

b² + ² = e por LLL, esse triângulo é congruente a ∆ABC, m ctângulo.

que portanto é també m

re