Limite de Funções

Limite de Funções

(Notas de Aula 02)

Professores: Carlos Eduardo de Oliveira

Disciplina: Cálculo I Período Letivo: 2019.1 Autarquia Ensino Superior de Garanhuns - AESGA

Faculdades de Integradas de Garanhuns – FACIGA

Curso de Engenharia Civil

Definição de Limite Definição de Limite

Seja f (x) definida em um intervalo , onde existe um valor a, de modo que, c < a < b.

Se f (x) fica arbitrariamente próximo de L conforme x se aproxima de a, por valores maiores e menores que o próprio a, dizemos que f tem limite L.

lim

x → a f ( x )= L

( c , b )

Determinação do Limite Determinação do Limite

Para que seja determinado um limite para uma função f (x) de modo gráfico é importante analisar o deslocamento do ponto P = ( x , f (x) ) quando o x se aproxima cada vez mais do valor a.

lim

f ( x )= L

… … graficamente graficamente

−L

| a

Exercícios Exercícios

1) Determine o valor do limite para cada uma das funções a seguir:

a) b)

c) d)

e)

lim

x→2

( x ² + 8 x + 1 ) lim

x→−1

( x ² − 1 )

lim

x→1

( x ^{x 2 −} − ¹ 1 ) ^lim

( ^{√ x 2 + x 2 9 − 3} )

lim

x→0

( ^sen x ^{( x )} )

Exercícios Exercícios

2) Determine, graficamente, o limite para cada uma das funções a seguir:

a) lim

x→0

U ( x )

Exercícios Exercícios

3) Determine, graficamente, o limite para cada uma das funções a seguir:

c) lim

x→0

f ( x )

Exercícios Exercícios

4) Para a função g(x) aqui ilustrada, encontre os seguintes

limites ou explique por que eles não existem.

Exercícios Exercícios

5) Para a função f(t) aqui ilustrada, encontre os seguintes

limites ou explique por que eles não existem.

Exercícios Exercícios

6) Quais das seguintes afirmações sobre a função y = f (x) ilustrada abaixo são verdadeiras e quais são falsas?

a)

b) c)

d) e)

f)

lim

x→0

f ( x ) existe lim

x→0

f ( x )= 0 lim

x→0

f ( x )= 1 lim

x→1

f ( x )= 1 lim

x→1

f ( x )= 0 lim

x→x₀

f ( x ) existe em todo ponto x

em (−1,1 )

Limites Infinitos Limites Infinitos

Se a função f (x) cresce ou decresce infinitamente, quando x se aproxima de um número a, pela esquerda ou pela direita, dizemos que o não aponta para um determinado valor, e denotamos como:

lim

x→a

f ( x )

lim

x → a f ( x ) = −∞ lim

x → a f ( x ) = ∞

ou

Exercícios Exercícios

7) Determine, graficamente, o limite para cada uma das funções a seguir:

lim

x→0

g ( x )

Limites no Infinito Limites no Infinito

Se a função f (x) se aproxima de um valor L, a medida que o valor de x cresce infinitamente, dizemos que a função tem limite L com x tendendo a mais infinito:

Se a função f (x) se aproxima de um valor M, a medida que o valor de x decresce infinitamente, dizemos que a função tem limite M com x tendendo a menos infinito:

lim

x →+ ∞

f ( x ) = L

lim

x →−∞

f ( x ) = M

Limites no Infinito Limites no Infinito

Exemplos:

a) b) c)

d) e)

lim

x → +∞

1 x

x lim →+∞ √ ^{x − 1}

lim

x →−∞

1

x lim

x → 0

1 x

lim

x → 1 √ ^{x − 1}

Propriedades do Limites Propriedades do Limites

Regra da Constante 1.

2.

Regra da Soma/Diferença 3.

Regra do Produto 4.

lim

k = k

lim

( k⋅ f ( x ) ) ⁼ k⋅ ( ^lim

f ( x ) )

( ∀ k ∈ℝ )

lim

( ^{f ( x ) + g ( x )} ) ^{= lim}

x→a

f ( x ) + lim

x→a

g ( x )

lim

( ^{f ( x ) ⋅ g ( x )} ) ^{= lim}

x→a

f ( x ) ⋅ lim

x→a

g ( x )

Propriedades do Limites Propriedades do Limites

Regra do Quociente

5. , se

Regra da Potenciação

6. , se existe

lim

( ^{g f ( ( x x ) )} ) ^{= lim lim}

^{f ( x )}

x→a

g ( x ) lim

x→a

g ( x ) ≠ 0

lim

[ ^{f ( x )} ]

⁼ [ ^lim

^{f ( x )} ]

^lim

^{f ( x )}

Exercícios Exercícios

Utilizando as propriedades de limite, determine:

a) b)

c) d)

e) f)

lim

x→c

( x

+ 4 x

− 3) lim

x→c

x

+ x

− 1 x

+ 5

x

lim

√ ^{4 x}

^{− 3 lim}

x→1

x

+ x − 2 x

− x

lim

x→0

( ^{√ x}

^{+ x}

^{9 − 3} ) ^lim

( ^{√ x}

^{+ 100 x}

^{− 10} )

Estudo depois da aula...

Estudo depois da aula...

Do livro de Cálculo, volume 01, do James Stewart (2013), é importante estudar as seções seguintes, fazendo os exercícios que seguem:

2.3 Cálculos usando Propriedades dos Limites (p.91-99)

Bom estudo!!!