MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE SISTEMAS AULA DE LABORATÓRIO 6

(1)

© UNESP 6 Agosto 2008

Autor: Anibal Tavares de Azevedo

Limeira, 17 de Outubro 2013

MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE SISTEMAS AULA DE LABORATÓRIO 6

2

SIMULAÇÃO DE SISTEMAS

Tempo entre as chegadas

... Fila Máquina I

CENÁRIO 1

Tempo entre as chegadas

... Fila Máquina I

CENÁRIO 10

(2)

3

Suponha que são realizadas n replicações independentes que empregam a simulação terminal. Se as n simulações começam com a mesma condição inicial e usam diferentes sequências de valores aleatórios, então, cada simulação pode ser tratada com uma replicação independente. Por simplicidade suponha que exista uma medida de

performance representada pela variável X. Então, X

_j

é o estimador da medida de performance da j-ésima

replicação, tal que a sequência X

₁

, X

₂

, ..., X

_n

será de variáveis aleatórias i.i.d. Para estas variáveis a análise estatística clássica pode ser aplicada para construir um intervalo de confiança **de 100*(1-α αα α)% para θ = E(x) usando:**

ANÁLISE ESTATÍSTICA

( )

n t S

X

_n

2 1 , 2

/ −

±

_α

ANÁLISE ESTATÍSTICA

4

α αα

α /2% das observações

⇔

⇔ ⇔ α ⇔ αα

α /2% da área sob a curva

z

_α_αα_α_/2

= 1,6;

Z é função de distrib.

normal

y

x

**IC de 100*(1-** αααα )%

(3)

( )

n t S

X

_n

2 1 , 2

/ −

±

_α

∑

=

ⁿ

i i

n X X

1

( )

∑

=

ⁿ

−

i i

n X S X

1

2 2

Média Variância amostral

Valor da distribuição t-Student com n – 1 graus de liberdade tal que: P(t

_n-1

≥≥≥≥ t

_(α_αα_α,n-1)

) = α αα α. Esse

valor pode ser encontrado com o Excel usando:

**=TINV(2*alpha, graus_de_liberdade).**

Erro que se comete (em α αα α% dos casos) ao se afirmar que a medida está no intervalo de valores fornecido.

6

ANÁLISE ESTATÍSTICA

Simulação X

_j

1 9,252

2 ^9,273

3 9,413

4 ^9,198

5 ^9,532

6 9,355

7 ^9,155

8 9,558

9 ^9,310

10 ^9,269

Exemplo 1: Sejam os dados do número de terminais em operação obtidos de 10 simulações, de mesmo tamanho

de tempo, como dado na Tabela a seguir.

O número médio de terminais em operação é de 9,331, a variância S

²

= 0,018 e se t(0,25 , 9 ) = 2,26, então:

10 0180 , 26 0 , 2 331 ,

9 ±

096 , 0 331 ,

9 ±

E para a amostra de dados é este o intervalo com confiança de 95%

αααα /2 n-1

(4)

7

ANÁLISE ESTATÍSTICA -PROMODEL

8

(5)

OBSERVAÇÃO: O tamanho do intervalo de confiança irá depender da qualidade da nossa amostra. Se o intervalo

de confiança for inaceitável, então, para reduzir o seu tamanho é necessário aumentar o número de amostras

ou o tempo de cada simulação. Por exemplo, se o número de amostras aumentar de 10 para 20 ocorrem

duas melhorias:

(1)A média da amostra (passa para 9,359) se

aproxima daquela fornecida pelo estado estacionário (que é 9,362).

(2)O tamanho do intervalo de confiança diminui de 0,192 para 0,058.

10

ANÁLISE ESTATÍSTICA

( )

n t S

X

_n

2 1 , 2

/ −

±

_α

∑

=

ⁿ

i i

n X X

1

( )

∑

=

ⁿ

−

i i

n X S X

1

2 2

Média Variância amostral

Valor da distribuição t-Student com n – 1 graus de liberdade pode ser substituída por: Z

_α_αα_α/2

Pois t(

_α_αα_{α/2, n-1}

) ≅≅≅≅ Z

_αα_α/2_α

para n suficientemente grande.

A vantagem é que Z

_α_αα_α/2

o valor de não depende de n.

Z

_αα_α/2_α

que é o ponto da distribuição normal tal que

**100*(1-α** αα α/2)% abarca dos valores da distribuição.

(6)

11

ANÁLISE ESTATÍSTICA

α αα

α /2% das observações

⇔

⇔ ⇔ α ⇔ αα

α /2% da área sob a curva

z

_α_αα_α/2

= 1,6;

p.ex.

Z é função de distrib.

normal

y

x

ANÁLISE ESTATÍSTICA

12

(5/2)% das observações

⇔

⇔ ⇔

⇔ 2,5% da área

sob a curva

z

_0,025

= 1,96

y

x

Para IC = 95%, então, α

αα

α = 5% = 0,05 !

(7)

Matematicamente, seja εεεε o tamanho desejado do intervalo:

(

_α

) ≥ ε

n z S

2 2

/

n z (

_/₂

) S

1

α

≥ ε

( )

2

2 /

1  





 



≥ 

S z

n

_α

ε

(

/2

)

²

 



 

≥  ε

α

S

n z _∑ ( )

=

ⁿ

−

i i

n X S X

1

2 2

Variância amostral

∑

=

ⁿ

i i

n X X

1

Média

14

Exemplo 1: Calcular o número de amostras n (número de simulações) necessárias para que o intervalo de confiança (IC) de 95% seja tal que:

ε= 0,02. Uso os dados da tabela abaixo e as eqs.:

ANÁLISE ESTATÍSTICA -PROMODEL

(

/2

)

²

 



 

≥  ε

α

S n z

( )

∑

=

ⁿ

−

i i

n X S X

1

2 2

18 ,

= 0 X

z

_0,025

= 1,96

(8)

15

ANÁLISE ESTATÍSTICA -PROMODEL

1 3

2 ANÁLISE ESTATÍSTICA -PROMODEL

16

[ − ⁰ ^, ⁰⁶ ⁰ ^, ⁰³ ⁰ ^, ⁰⁹ ⁰ ^, ⁰² ⁰ ^, ¹ − ⁰ ^, ⁰³ − ⁰ ^, ⁰¹ − ⁰ ^, ⁰⁹ ⁰ − ⁰ ^, ⁰⁴ ]

=

− X X

_i

18 ,

= 0

( ) X

∑

=

ⁿ

−

i i

n X S X

1

2 2

( ) ⁰ ^, ⁰¹⁷⁶

10

1

2

=

∑ −

= i

i

X

X ( ) ₀ _, ₀₀₁₇₆

10

1

2

= ∑ − =

= i

i

X

S X

(

^/²

)

²

 



 

≥  ε

α

S

n z ^{Se z}

^0,025

^{= 1,96 e} ^εεεε ^{= 0,02:}

17 94 , ) 16

02 , 0 (

) 00176 ,

0 ( ) 96 , 1 (

2

 ≈ =





 

≥ 

n

(9)

Opções de Simulação

Opções

18

PROMODEL

Opções de Simulação

Opções

(10)

19

ANÁLISE ESTATÍSTICA -PROMODEL

20

20 ,

= 0

( ) X

∑

=

ⁿ

−

i i

n X S X

1

2 2

( ) ⁰ ^, ⁰⁷⁷⁵

20

1

2

=

∑ −

= i

i

X

( ) ₀ _, ₀₀₃₉ X

20

1

2

= ∑ − =

= i

i

X

S X

(

^/²

)

²

 



 

≥  ε

α

S

n z ^{Se z}

^0,025

^{= 1,96 e} ^εεεε ^{= 0,02:}

38 22 , ) 37

02 , 0 (

) 0039 , 0 ( ) 96 , 1 (

2

 ≈ =





 

≥  n

18 ,

= 0 X

Para n = 10:

Iguais aos

valores de

n = 10 !

(11)

Opções de Simulação

Opções

22

PROMODEL

Opções de Simulação

Opções

(12)

23

ANÁLISE ESTATÍSTICA -PROMODEL

24

OBRIGADO !!!

FIM !!!

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Autor: Anibal Tavares de Azevedo