021P e P(2) = 12.Determine o polinômio P(x).

COLÉGIO PEDRO II – CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III MATEMÁTICA I - 3º ANO - 2013

NOTA:

Professor: Walter Tadeu Coordenadora: Maria Helena M. M. Baccar Data:

Nome: GABARITO Nº: _____ Turma:

Trabalho da 3ª Certificação – Vale 1,5

1ª QUESTÃO: O resto da divisão do polinômio x³⁰x¹⁵1 por x² 1 é R(x). Calcule R(x)

Solução. O divisor é x²– 1 (grau 2). O resto será, no máximo, de grau 1. Considerando o resto da forma R(x) = ax + b, o quociente q(x) e P(x) = x³⁰x¹⁵1, temos:

 

   

  ^{03 )1(q.0 )1(q. ba ba a a 1b 3b b2 b4 2 4 2 Logo. 1a, 1b 12}

1

b)1 (a)1 (q.1 )1(

3

b)1(

a)1(

q.1 11 31 11 1) 1(

)1(

)1(P

11 11 1) 1(

)1()1 )ii (P

1 x 1x 1x 01 x:) divisor ( raízes )i

bax )x(q.1 x1 x x

2 2 15

30 15 30

2 2 1 2 2 15 30











 

 





 

 











 

 

 











 

 























 





 











.

Logo R(x) = – x + 2.

2ª QUESTÃO: Em um polinômio P(x) do 3º grau temos: P(1) = 0, P(– 2) = 0, 0 2 P 1



 



 e P(2) = 12.

Determine o polinômio P(x).

Solução. Um polinômio do 3º grau P(x) = ax³ + bx² + cx + d, com raízes r1, r2 e r3 pode ser decomposto da forma: P(x) = a.(x – r1).(x – r2).(x – r3). De acordo com as informações, temos:

 



 



   



 



     



 

 



 



 

 













 



 



 



 

 





 











 

 









2 1 x5 2 x x 2 1 2 x2 x x 2 x x 2 2 x. 1 2 x 2 x2

x 1 ).2 x ).(1 x(

2 )x(

P) iii

2 a 12 a6 2 12

).43 ).(1 (a 2 12 2 1 ).2 2 ).(1 2(

a 12

)2(

P

2 x 1 ).2 x ).(1 x(

a )x(

)ii P

2 e21 ,1:

)x(

P de Raízes )i

2 3 2

2 3 2

.

Multiplicando 2 pelo termo em parênteses vem: P(x) = 2x³ + x² – 5x + 2.

3ª QUESTÃO: Calcule as raízes do polinômio   20 x 0 2

x 1 x

1 x 1 x

P    .

Solução. Desenvolvendo o determinante pela Regra de Sarrus, temos:

 

18 x x 2 x ) x ( P

20 2 x x 2 x 20 ) x 0 2 ( ) 0 x 2 x ( 20 0 2

1 x

x 1 x 0 2

x 1 x

1 x 1 x P

2 3

2 3 3

2

















































 .

Pesquisando os divisores de 18 como possíveis raízes, temos:

x = – 2 => P(– 2) = – (– 2)³ + 2(– 2)² – (– 2) – 18 = 8 + 8 + 2 – 18 = 18 – 18 = 0. Logo, x = – 2 é raiz.

Aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini, temos:

– 2 – 1 2 – 1 – 18 – 1 4 – 9 0

O quociente é q(x) = – x² + 4x – 9. Encontrando as raízes do quociente, vem:

^{2 i 5,2 i 5, 2}

S

5 i 2 x

5 i 2 x

2 5 i 2 4 2

20 4

2 36 16 4 )

1 ( 2

) 9 ).(

1 ( 4 16 x 4

0 9 x 4 x

2 1 2





















 

 



 







 







 











 











.

4ª QUESTÃO:Sabendo que 3 é raiz dupla do polinômio P(x) = x⁴ – 3x³ – 7x² + 15x + 18, determine as outras raízes.

Solução. Aplicando duas vezes o dispositivo de Briot-Ruffini para a raiz x = 3, temos:

3 1 – 3 – 7 15 18 3 1 0 – 7 – 6 0

1 3 2 0

O quociente é q(x) = x² + 3x + 2. Encontrando as raízes do quociente, vem:

2

 ^{,1 2 (3, dupla )} 

S

1 x

2 x 2

1 3 2

1 3 )1(2

)2 ).(1(

4 9 x 3

0 2 x3 x

2 2 1





 





 



 



 





 









.

5ª QUESTÃO:O polinômio P(x) = x³ – 5x² – 52x + 224 tem três raízes inteiras. Calcule essas raízes, sabendo que a primeira delas é o dobro da terceira e a soma da primeira com a segunda é 1.

Solução. Considerando as raízes como r, s e t, temos: r = 2t e r + s = 1. Utilizando essas informações e as Relações de Girard, temos:

 

: Raízes 78 1s 1s 81 sr

8)4(2 ,Logo t2r

.41 5t 5t1 t1t )sr(

tsr Soma

1 5 Soma )5(

224x 52x 5x

)x(P ^{3 2}



 





















 











 

 





.

3