Interseção de segmentos

(1)

Interseção de segmentos

Uma coleção de segmentos do plano é dada por dois vetores e[1. .n],d[1. .n] de pontos.

(2)

A coordenada do ponto e[i]é (e^X[i],eY[i]).

A coordenada do ponto d[i]é (dX[i],dY[i]).

(3)

Interseção de segmentos

Uma coleção de segmentos do plano é dada por dois vetores e[1. .n],d[1. .n] de pontos.

A coordenada do ponto e[i]é (e^X[i],eY[i]).

A coordenada do ponto d[i]é (dX[i],dY[i]).

1 2

3 4

5 6

e_X 6 −2 −3 0 2 1

e_Y 3 1 4 6 6 0

1 2 3 4 5 6

d_X 8 4 3 5 7 9

d_Y 7 2 4 8 0 2

1 2 3 4 5 6

(4)

se existem dois segmentos na coleção que se intersectam.

1 2

3 4

5 6

e_X 6 −2 −3 0 2 1

e_Y 3 1 4 6 6 0

1 2 3 4 5 6

d_X 8 4 3 5 7 9

d_Y 7 2 4 8 0 2

1 2 3 4 5 6

(5)

Interseção de segmentos

Problema: Dada uma coleção de segmentos no plano, decidir se existem dois segmentos na coleção que se intersectam.

1 2

3 4

5 6

e_X 6 −2 −3 0 2 1

e_Y 3 1 4 6 6 0

1 2 3 4 5 6

d_X 8 4 3 5 7 9

d_Y 7 2 4 8 0 2

1 2 3 4 5 6

Resposta: sim, existem dois segmentos com interseção.

(6)

Interseção entre ab ecd Intersecta(a,b,c,d)

1 se IntersectaProp(a,b,c,d) 2 então devolva verdade

3 devolva Entre(a,b,c)ou Entre(a,b,d) ou Entre(c,d,a)ou Entre(c,d,b)

(7)

Interseção de dois segmentos

Da aula passada...

Interseção entre ab ecd Intersecta(a,b,c,d)

1 se IntersectaProp(a,b,c,d) 2 então devolva verdade

3 devolva Entre(a,b,c)ou Entre(a,b,d) ou Entre(c,d,a)ou Entre(c,d,b)

Abreviatura:

Inter(e,d,i,j)

1 devolva Intersecta(e[i],d[i],e[j],d[j])

(8)

IntersectaQuad(e,d,n) 1 para i ←1 até n−1 faça 2 para j ←i+1 até n faça 3 seInter (e,d,i,j)

4 então devolvaverdade 5 devolva falso

(9)

Interseção de segmentos

Solução quadrática:

Consumo de tempo: Θ(n²).

(10)

Consumo de tempo: Θ(n²).

Conseguimos fazer melhor que isso?

(11)

Interseção de intervalos

Este é o caso na reta.

(12)

Um segmento na reta é um intervalo.

(13)

Interseção de intervalos

Os vetores eX[1. .n]e dX[1. .n]representam os intervalos [e^X[1]. .dX[1]], . . . ,[e^X[n]. .dX[n]].

(14)

Se ordenarmos os pontos extremos dos intervalos, é fácil decidir se há interseção ou não,

percorrendo os pontos na ordem obtida.

(15)

Interseção de intervalos

Se ordenarmos os pontos extremos dos intervalos, é fácil decidir se há interseção ou não,

percorrendo os pontos na ordem obtida.

Bastacontar quantos intervalos estão “abertos”.

Se houver mais do que um aberto num momento, há interseção.

(16)

3 E[i+n]←d^X[i] esq[i+n]←falso ^✄extremo direito

4 MergeSort(E,esq,1,2n) ^✄ordena os extremos

10 11

eX 10 0 18 dX 16 7 22

1 2 3 1 0 1 0 1 0

0 7 10 16 18 22

E[i]

v

v f f v f

esq[i] cont

Varredura(e_X,d_X,3) =

(17)

Interseção de intervalos

Varredura(e,d,n)

1 para i ←1 até n faça ^✄para cada intervalo marca

2 E[i]←eX[i] esq[i]←verdade ^✄extremo esquerdo

5 cont ←0 resp ←falso

6 para p←1 até 2n faça ^✄para cada ponto extremo

7 seesq[p] ^✄se extremo esquerdo

8 então cont ←cont+1

9 secont =2 então resp←verdade 10 senão cont ←cont−1

11 devolva resp eX 10 0 18 dX 16 7 22

1 2 3 1 0 1 0 1 0

0 7 10 16 18 22

E[i]

v

v f f v f

esq[i] cont

(18)

1 2 3 1 0 1 0 1 0

0 7 10 16 18 22

E[i]

v

v f f v f

esq[i] cont

Varredura(e_X,d_X,3) =falso

(19)

Interseção de intervalos

Varredura(e,d,n)

1 2 3 1 0 1 0 1 0

0 7 10 16 18 22

E[i]

v

v f v f f

esq[i] cont

(20)

1 2 3 1 0 1 2 1 0

0 7 10 16 18 22

E[i]

v

v f v f f

esq[i] cont

Varredura(e_X,d_X,3) =verdade

(21)

Interseção de intervalos

Varredura(e,d,n)

11 devolva resp

Consumo de tempo: Θ(nlgn).

(22)

(23)

Método da linha de varredura

Ideia: reduzir um problema estático bidimensional Ideia: a um problema dinâmico unidimensional

Uma linha imagináriamove-se da esquerda para a direita.

2

0 1 0

1 1

0 7 10 16 18 22

E[i]

v

v f v f f

esq[i] cont

(24)

2

0 1 0

1 1

0 7 10 16 18 22

E[i]

v

v f v f f

esq[i] cont

À medida que ela move,

o problema restrito à esquerda dela é resolvido.

(25)

Método da linha de varredura

Ideia: reduzir um problema estático bidimensional Ideia: a um problema dinâmico unidimensional

2

0 1 0

1 1

0 7 10 16 18 22

E[i]

v

v f v f f

esq[i] cont

Informação necessária para estender a solução parcial é mantida numa descrição combinatória da linha.

(26)

2

0 1 0

1 1

0 7 10 16 18 22

E[i]

v

v f v f f

esq[i] cont

Informação necessária para estender a solução parcial é mantida numa descrição combinatória da linha.

Muda apenas em posições chaves: os pontos eventos.

(27)

Algoritmo de Shamos e Hoey

Ideia: Dois segmentos cujas projeções no eixoX sejam disjuntas não se intersectam.

1 1

2 2

3 3

4 4

5

5 6 6

(28)

1 1

2 2

3 3

4 4

5

5 6 6

Se as projeções no eixo X de dois segmentos têm interseção, então há umalinha vertical que intersecta ambos.

(29)

Algoritmo de Shamos e Hoey

Ideia: Dois segmentos cujas projeções no eixoX sejam disjuntas não se intersectam.

1 1

2 2

3 3

4 4

5

5 6 6

Imagine esta linha vertical varrendo o plano da esquerda para a direita...

(30)

1 1

2 2

3 3

4 4

5

5 6 6

Imagine esta linha vertical varrendo o plano da esquerda para a direita...

Enquanto a linha varre o plano, mantemos os segmentos intersectados por ela na descrição combinatória da linha.

(31)

Descrição combinatória da linha

1 2

3 4

5 6

x<−3 ∅

−3≤x<−2 {3}

−2≤x<0 {2,3} 0≤x<1 {2,3,4} 1≤x≤2 {2,3,4,6} 2<x<3 {2,3,4,5,6} 3≤x<4 {2,4,5,6} 4≤x≤5 {4,5,6} 5<x<6 {5,6} 6≤x≤7 {1,5,6} 7<x≤8 {1,6} 8<x≤9 {6}

9<x ∅

(32)

1 2

3 5

6

−2≤x<0 {2,3} 0≤x<1 {2,3,4} 1≤x≤2 {2,3,4,6} 2<x<3 {2,3,4,5,6} 3≤x<4 {2,4,5,6} 4≤x≤5 {4,5,6} 5<x<6 {5,6} 6≤x≤7 {1,5,6} 7<x≤8 {1,6} 8<x≤9 {6}

9<x ∅

Alterações ocorrem

nos extremos dos segmentos.

(33)

Descrição combinatória da linha

1 2

3 4

5 6

x<−3 ∅

−3≤x<−2 {3}

−2≤x<0 {2,3} 0≤x<1 {2,3,4} 1≤x≤2 {2,3,4,6} 2<x<3 {2,3,4,5,6} 3≤x<4 {2,4,5,6} 4≤x≤5 {4,5,6} 5<x<6 {5,6} 6≤x≤7 {1,5,6} 7<x≤8 {1,6} 8<x≤9 {6}

9<x ∅

Estes são os pontos eventos.

(34)

1 2

3 5

6

−2≤x<0 {2,3} 0≤x<1 {2,3,4} 1≤x≤2 {2,3,4,6} 2<x<3 {2,3,4,5,6} 3≤x<4 {2,4,5,6} 4≤x≤5 {4,5,6} 5<x<6 {5,6} 6≤x≤7 {1,5,6} 7<x≤8 {1,6} 8<x≤9 {6}

9<x ∅

(35)

Descrição combinatória da linha

1 2

3 4

5 6

x<−3 ∅

−3≤x<−2 {3}

−2≤x<0 {2,3} 0≤x<1 {2,3,4} 1≤x≤2 {2,3,4,6} 2<x<3 {2,3,4,5,6} 3≤x<4 {2,4,5,6} 4≤x≤5 {4,5,6} 5<x<6 {5,6} 6≤x≤7 {1,5,6} 7<x≤8 {1,6} 8<x≤9 {6}

9<x ∅

(36)

1 2

3 5

6

−2≤x<0 {2,3} 0≤x<1 {2,3,4} 1≤x≤2 {2,3,4,6} 2<x<3 {2,3,4,5,6} 3≤x<4 {2,4,5,6} 4≤x≤5 {4,5,6} 5<x<6 {5,6} 6≤x≤7 {1,5,6} 7<x≤8 {1,6} 8<x≤9 {6}

9<x ∅

(37)

Descrição combinatória da linha

1 2

3 4

5 6

x<−3 ∅

−3≤x<−2 {3}

−2≤x<0 {2,3} 0≤x<1 {2,3,4} 1≤x≤2 {2,3,4,6} 2<x<3 {2,3,4,5,6} 3≤x<4 {2,4,5,6} 4≤x≤5 {4,5,6} 5<x<6 {5,6} 6≤x≤7 {1,5,6} 7<x≤8 {1,6} 8<x≤9 {6}

9<x ∅

(38)

1 2

3 5

6

−2≤x<0 {2,3} 0≤x<1 {2,3,4} 1≤x≤2 {2,3,4,6} 2<x<3 {2,3,4,5,6} 3≤x<4 {2,4,5,6} 4≤x≤5 {4,5,6} 5<x<6 {5,6} 6≤x≤7 {1,5,6} 7<x≤8 {1,6} 8<x≤9 {6}

9<x ∅

(39)

Descrição combinatória da linha

1 2

3 4

5 6

x<−3 ∅

−3≤x<−2 {3}

−2≤x<0 {2,3} 0≤x<1 {2,3,4} 1≤x≤2 {2,3,4,6} 2<x<3 {2,3,4,5,6} 3≤x<4 {2,4,5,6} 4≤x≤5 {4,5,6} 5<x<6 {5,6} 6≤x≤7 {1,5,6} 7<x≤8 {1,6} 8<x≤9 {6}

9<x ∅

(40)

1 2

3 5

6

−2≤x<0 {2,3} 0≤x<1 {2,3,4} 1≤x≤2 {2,3,4,6} 2<x<3 {2,3,4,5,6} 3≤x<4 {2,4,5,6} 4≤x≤5 {4,5,6} 5<x<6 {5,6} 6≤x≤7 {1,5,6} 7<x≤8 {1,6} 8<x≤9 {6}

9<x ∅

(41)

Descrição combinatória da linha

1 2

3 4

5 6

x<−3 ∅

−3≤x<−2 {3}

−2≤x<0 {2,3} 0≤x<1 {2,3,4} 1≤x≤2 {2,3,4,6} 2<x<3 {2,3,4,5,6} 3≤x<4 {2,4,5,6} 4≤x≤5 {4,5,6} 5<x<6 {5,6} 6≤x≤7 {1,5,6} 7<x≤8 {1,6} 8<x≤9 {6}

9<x ∅

(42)

1 2

3 5

6

−2≤x<0 {2,3} 0≤x<1 {2,3,4} 1≤x≤2 {2,3,4,6} 2<x<3 {2,3,4,5,6} 3≤x<4 {2,4,5,6} 4≤x≤5 {4,5,6} 5<x<6 {5,6} 6≤x≤7 {1,5,6} 7<x≤8 {1,6} 8<x≤9 {6}

9<x ∅

(43)

Descrição combinatória da linha

1 2

3 4

5 6

x<−3 ∅

−3≤x<−2 {3}

−2≤x<0 {2,3} 0≤x<1 {2,3,4} 1≤x≤2 {2,3,4,6} 2<x<3 {2,3,4,5,6} 3≤x<4 {2,4,5,6} 4≤x≤5 {4,5,6} 5<x<6 {5,6} 6≤x≤7 {1,5,6} 7<x≤8 {1,6} 8<x≤9 {6}

9<x ∅

(44)

1 2

3 5

6

−2≤x<0 {2,3} 0≤x<1 {2,3,4} 1≤x≤2 {2,3,4,6} 2<x<3 {2,3,4,5,6} 3≤x<4 {2,4,5,6} 4≤x≤5 {4,5,6} 5<x<6 {5,6} 6≤x≤7 {1,5,6} 7<x≤8 {1,6} 8<x≤9 {6}

9<x ∅

(45)

Descrição combinatória da linha

1 2

3 4

5 6

x<−3 ∅

−3≤x<−2 {3}

−2≤x<0 {2,3} 0≤x<1 {2,3,4} 1≤x≤2 {2,3,4,6} 2<x<3 {2,3,4,5,6} 3≤x<4 {2,4,5,6} 4≤x≤5 {4,5,6} 5<x<6 {5,6} 6≤x≤7 {1,5,6} 7<x≤8 {1,6} 8<x≤9 {6}

9<x ∅

Como guardar

um destes conjuntos?

(46)

1 2

3 4

5 6

−3≤x<−2 {3}

−2≤x<0 {2,3} 0≤x<1 {2,3,4} 1≤x≤2 {2,3,4,6} 2<x<3 {2,3,4,5,6} 3≤x<4 {2,4,5,6} 4≤x≤5 {4,5,6} 5<x<6 {5,6} 6≤x≤7 {1,5,6} 7<x≤8 {1,6} 8<x≤9 {6}

9<x ∅

Como guardar

um destes conjuntos?

Que operações ele sofre?

(47)

Descrição combinatória da linha

O conjunto dos segmentos na linha sofre inserções e remoções.

(48)

Como a linha vai nos ajudar a detectar interseção?

(49)

Descrição combinatória da linha

O conjunto dos segmentos na linha sofre inserções e remoções.

Ideia: testar interseção apenas entre segmentos “vizinhos na linha”.

Para isso, mantemos os segmentos na linha ordenados.

1 3

5 6 7 8

9

(50)

Ideia: testar interseção apenas entre segmentos “vizinhos na linha”.

Para isso, mantemos os segmentos na linha ordenados.

1 3

5 6 7 8

9

(51)

Descrição combinatória da linha

Os segmentos ficam na ordem em que intersectam a linha.

(52)

1 2 3

5 6 7 8

9

Ao inserimos um segmento, testamos a interseção dele com seupredecessor e com seu sucessorna ordem.

(53)

Descrição combinatória da linha

Os segmentos ficam na ordem em que intersectam a linha.

1 2 3

5 6 7 8

9

3≺8≺1≺2≺7≺5≺6≺9

Ao removermos um segmento, testamos a interseção de seu predecessor e com seusucessorna ordem.

(54)

1 2

3 5

6

− ≺

0 4≺3≺2 1 4≺3≺2≺6 2 4≺5≺3≺2≺6 3 4≺5≺2≺6 4 4≺5≺6 5 · · · 6 7 8

(55)

Algoritmo de Shamos e Hoey

1 2

3 4

5 6

−∞

−3 3

−2 3≺2 0 4≺3≺2 1 4≺3≺2≺6 2 4≺5≺3≺2≺6 3 4≺5≺2≺6 4 4≺5≺6 5

6 7 8

(56)

1 2

3 5

6

−3 3

−2 2≺3 0 2≺3≺4 1 6≺2≺3≺4 2 6≺2≺3≺5≺4 3 6≺2≺5≺4 4 6≺5≺4 5

6 7 8

(57)

Algoritmo de Shamos e Hoey

1 2

3 4

5 6

−∞

−3 3

−2 2≺3 0 2≺3≺4 1 6≺2≺3≺4 2 6≺2≺3≺5≺4 3 6≺2≺5≺4 4 6≺5≺4

5 6≺5

6 · · · 7 8

(58)

1 2

3 5

6

−3 3

−2 2≺3 0 2≺3≺4 1 6≺2≺3≺4 2 6≺2≺3≺5≺4 3 6≺2≺5≺4 4 6≺5≺4 5

6 7 8

(59)

Algoritmo de Shamos e Hoey

1 2

3 4

5 6

−∞

−3 3

−2 2≺3 0 2≺3≺4 1 6≺2≺3≺4 2 6≺2≺3≺5≺4 3 6≺2≺5≺4 4 6≺5≺4 5

6 7 8

(60)

1 2

3 5

6

−3 3

−2 2≺3 0 2≺3≺4 1 6≺2≺3≺4 2 6≺2≺3≺5≺4 3 6≺2≺5≺4 4 6≺5≺4 5

6 7 8

(61)

Algoritmo de Shamos e Hoey

1 2

3 4

5 6

−∞

−3 3

−2 2≺3 0 2≺3≺4 1 6≺2≺3≺4 2 6≺2≺3≺5≺4 3 6≺2≺5≺4 4 6≺5≺4 5

6 7 8

(62)

1 2

3 5

6

−3 3

−2 2≺3 0 2≺3≺4 1 6≺2≺3≺4 2 6≺2≺3≺5≺4 3 6≺2≺5≺4 4 6≺5≺4 5

6 7 8

(63)

Algoritmo de Shamos e Hoey

1 2

3 4

5 6

−∞

−3 3

−2 2≺3 0 2≺3≺4 1 6≺2≺3≺4 2 6≺2≺3≺5≺4 3 6≺2≺5≺4 4 6≺5≺4 5

6 7 8

Encontrou uma interseção!

(64)

(65)

Descrição combinatória da linha

Como guardar esse conjunto ordenado?

Efetuaremos inserções,remoções, predecessor e sucessorneste conjunto.

(66)

Por isso, boas escolhas de EDs são:

uma árvore binária de busca balanceada (ABBB) ou uma treapou umaskip lists.

(67)

Descrição combinatória da linha

Como guardar esse conjunto ordenado?

Por isso, boas escolhas de EDs são:

uma árvore binária de busca balanceada (ABBB) ou uma treapou umaskip lists.

Numa ABBB,

custo de pior caso por operação éO(lgm), onde m é o número de elementos armazenados.

Numa treap ouskip list,

custo esperado por operação é O(lgm).

(68)

Entrada: coleção e[1. .n],d[1. .n] de segmentos.

(69)

Algoritmo de Shamos e Hoey

Saída: verdade se há dois segmentos na coleção que se intersectam, e falso caso contrário.

(70)

Saída: verdade se há dois segmentos na coleção que se intersectam, e falso caso contrário.

Hipótese simplificadora:

Não há dois pontos extremos com a mesma X-coordenada.

Em particular, não há segmentos verticais, nem dois segmentos com extremos coincidentes.

(71)

Montagem da fila de eventos

FilaDeEventos:

recebe e[1. .n]e d[1. .n]com extremos dos segmentos

(72)

troca e[i]pord[i] para todoi tal queeX[i]>dX[i] (e[i]: extremo esquerdo do segmentoi ed[i]o direito)

(73)

Montagem da fila de eventos

FilaDeEventos:

recebe e[1. .n]e d[1. .n]com extremos dos segmentos troca e[i]pord[i] para todoi tal queeX[i]>dX[i] (e[i]: extremo esquerdo do segmentoi ed[i]o direito) devolve

E[1. .2n]: pontos dee[1. .n]e d[1. .n]

E[1. .2n]: ordenados pelas suasX-coordenadas

(74)

troca e[i]pord[i] para todoi tal queeX[i]>dX[i] (e[i]: extremo esquerdo do segmentoi ed[i]o direito) devolve

E[1. .2n]: pontos dee[1. .n]e d[1. .n]

E[1. .2n]: ordenados pelas suasX-coordenadas segm[1. .2n]:

segm[p]: índice do segmento do qual E[p]é extremo