Determinar a taxa de varia¸c˜ao de f em P na dire¸c˜ao do vetor~v : (a) f(x, y

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¯ LISTA DE MAT2351 - 2010

1. Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na dire¸c˜ao dada pelo ˆanguloθ:

(a) f(x, y) =x²y³ + 2x⁴y, (1,−2), θ= ^π₃ (b) f(x, y) = sen(x+ 2y), (4,−2), θ= ^3π₄

2. Determinar o gradiente def, calcular o gradiente no pontoP. Determinar a taxa de varia¸c˜ao de f em P na dire¸c˜ao do vetor~v :

(a) f(x, y) = 5xy²−4x³y, P = (1,2), ~v = (₁₃⁵,¹²₁₃) (b) f(x, y) = arctg(^y_x) +√

3arcsen(^xy₂ ), P = (1,1), ~v = (3,−2) (c) f(x, y) =xy²z³, P = (1,−2,1), ~v = (^√1

3,^−1√

3,^√1

3)

3. Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na dire¸c˜ao dada pelo vetor~v:

(a) g(r, θ) = e^−rsenθ, (0,^π₃), ~v = 3~i−2~j

(b) g(x, y, z) =z³ −x²y, (1,6,2), ~v = 3~i+ 4~j+ 12~k

4. Determine a taxa m´axima de varia¸c˜ao def no ponto dado e a dire¸c˜ao em que ela ocorre:

(a)f(x, y) = ln(x²+y²), (1,2) (b) f(x, y, z) = x²y³z⁴, (1,1,1) (c) f(x, y, z) = x+^y_z, (4,3−1) (d) f(x, y) =x²y+e^xyseny, (1,0) (e) h(x, y, z) = xe^−y+ 3y, (1,0)

5. Seja f uma fun¸c˜ao diferenci´avel em IR² e considere os pontos A = (1,3), B = (3,3), C = (1,7), D = (6,15). Sabe-se que a derivada direcional de f em A na dire¸c˜ao de AB~ ´e 3 e que a derivada direcional de f em A na dire¸c˜ao de AC~ ´e 26. Encontre a derivada direcional def em Ana dire¸c˜ao de AD.~

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6. Mostre que uma fun¸c˜ao diferenci´avel f decresce mais rapidamente em P na dire¸c˜ao oposta `a do vetor gradiente. Determine a dire¸c˜ao em que f(x, y) = x⁴y−x²y³ decresce mais depressa no ponto P = (2,−3).

7. Suponha que numa dada regi˜ao do espa¸co o potencial el´etricoV seja dado por V(x, y, z) = 5x²−3xy+xyz.

(a) Determine a taxa de varia¸c˜ao do potencial em P = (3,4,5) na dire¸c˜ao do vetor~v =~i+~j−~k.

(b) Em que dire¸c˜ao V varia mas depressa em P? (c) Qual a taxa m´axima de varia¸c˜ao em P?

8. Suponha que vocˆe esteja subindo um morro cujo formato ´e dado pelo gr´afico da equa¸c˜ao z = 1000−0,01x²−0,02y².

(a) Em que dire¸c˜ao vocˆe deve seguir inicialmente para chegar mais depressa ao topo do morro?

(b) Se vocˆe subir nessa dire¸c˜ao, qual ser´a o ˆangulo acima da horizontal no qual vocˆe iniciar´a a subida?

Algumas respostas

1. (b)

√10

2 2. (c) 20

√3

3 3. (b) 8 4. (a) ^√2

5, (¹₅,²₅) (c) √

11, (1,−1,−3) (e) √

5, (1,2) 5. ³²⁷₁₃ 6. (−3,23)

7. (a) ^√32

3, (b) (38,6,12), (c) 2√ 406

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