Tópicos em Geometria Analítica. Ponto e Reta

Metodologias de Ensino de Disciplinas da Área de Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias do Ensino Médio: Matemática I (Curso Inicial)

Tópicos em Geometria Analítica

Ponto e Reta

Sumário

1. Introdução... 3

2. Estrutura do Desenvolvimento do Pensamento Geométrico ... 4

3. Entes Fundamentais: Ponto, Reta, Plano e Espaço... 6

4. Ponto... 8

4.1 O Plano Cartesiano ... 8

4.2 Distância entre dois pontos... 9

4.3 Ponto que divide um segmento numa razão dada... 10

4.4 Condição de alinhamento de três pontos ... 12

5. Reta... 13

5.1 Equação Geral da Reta ... 13

5.2 Equação reduzida da reta e os coeficientes ... 13

5.3 Posição relativa entre duas retas... 16

5.4 Ângulos entre duas retas... 18

5.5 Distância entre ponto e reta ... 19

5.6 Área de um triângulo ... 20

Apêndice... 22

Leitura Introdutória: Atração Fatal... 22

Atividades... 24

Lista de Mapas e Figuras ... 30

Bibliografia... 31

1. Introdução

Este material foi elaborado com a preocupação de proporcionar aos professores da Rede Estadual de Ensino momentos de reflexão sobre o ensino e aprendizagem de Matemática, revendo alguns conteúdos importantes que fazem parte do currículo do Ensino Médio.

Optamos por conteúdos de Geometria, pois este é um dos últimos assuntos apresentados na maior parte dos livros didáticos e por esta razão, muitos professores acabam não tendo tempo para trabalhar este conteúdo.

O abandono da Geometria em nossas escolas não é um fenômeno local, mas sim um acontecimento que pode ser percebido mundialmente.

A relação entre a Álgebra e a Geometria é, muitas vezes ensinada de forma rápida, onde os conceitos são apresentados apenas como definições.

Por tudo isso, escolhemos trabalhar com Geometria Analítica. O estudo do Ponto e da Reta pretende conduzir os professores a interpretações geométricas de fatos algébricos.

2. Estrutura do Desenvolvimento do Pensamento Geométrico

Geometria

Geometria Espacial Geometria Plana

Geometria Analítica

Geometria Euclidiana Plana

Desenho Geométrico

Possui também estas denominações por tratarem de

problemas planos

Trata no plano os sólidos e superfícies geométricas

Sólidos Geométricos

Geometria Descritiva

Curvas Cônicas e Superfícies

Quádricas Investiga as formas e

dimensões dos entes matemáticos

Investiga as propriedades dos elementos geométricos (ponto, reta e plano) em um espaço euclidiano

É a expressão gráfica da forma regida pelos princípios da

Geometria, a resolução gráfica de problemas

matemáticos

Sua finalidade é representar no plano as figuras do espaço de maneira tal que, nesse plano, possam-se resolver todos os problemas relativos a essas figuras. Criada no fim do século XVIII pelomatemático francês Gaspar Monge.

Estuda as propriedades, formas e dimensões de lugares geométricos, curvas e superfícies

Mapa 1

Mapa 2

Geometria Espacial

Retas no Plano e no Espaço

Medidas de Superfícies

Sólidos Geométricos

Prismas Pirâmides Esferas

Cilindro Cone

Poliedros

Família de Sólidos:

Prismas, Pirâmides e Esfera.

Investiga as propriedades dos poliedros, curvas cônicas e

sólidos de revolução e calcula medidas de superfícies.

Geometria Espacial de Posição: Posições relativas entre retas, planos e entre planos e retas.

Casos Especiais:

Cilindro – é um prisma de base circular;

Cone – é uma pirâmide de base circular;

Geometria Espacial Métrica:áreas e volumes de sólidos, troncos e secções.

3. Entes Fundamentais: Ponto, Reta, Plano e Espaço

Os elementos fundamentais (ou conceitos primitivos) de uma teoria não possuem definição. O ponto, a reta, o plano e o espaço são entes fundamentais, conceitos primitivos ou não definidos da Geometria.

Hoje em dia, o ponto, a reta e o plano são tomados como axiomas^* da Geometria Plana, mas Euclides de Alexandria (?? a.C. – 365 d.C.) os “definiu” ou, pelo menos tentou defini-los:

• Um ponto é o que não tem parte;

• Uma reta é um comprimento sem largura;

• Uma superfície é aquilo que tem somente comprimento e largura;

Outras definições enunciadas por Euclides pecam pela circularidade lógica:

• Segmento de reta: “As extremidades de uma reta são pontos”;

• Reta: “Uma linha reta é uma linha em que os pontos são distribuídos regularmente sobre ela”;

• Plano: “As extremidades de uma superfície são linhas”;

Note que a definição de plano, enunciada por Euclides, nos dá a idéia de que o plano seja uma superfície finita.

No final de século XIX, o matemático alemão, radicado nos Estados Unidos, David Hilbert (1862 – 1943), publicou uma obra intitulada Grundlagen der Geometrie, em português – “Os Fundamentos da Geometria”. Nesta obra, datada de 1899, Hilbert propõem uma axiomatização da Geometria Euclidiana, onde ficam bem claros e definidos os entes primitivos e os símbolos utilizados para representá-los:

*Para Aristóteles ( - ) os postulados seriam conceitos menos óbvios e não deveriam pressupor o consentimento implícito daqueles que estudam o assunto, pois se referem somente ao assunto em discussão. Axiomas (ou noções comuns) devem ser convincentes por elas mesmas – verdades comuns e genéricas, aplicáveis a quaisquer estudos que se pretenda fazer. Modernamente, os matemáticos não vêem vantagem em se estabelecer qualquer diferença entre postulado e axiomas, preferindo apenas Figura 1

α r

A O

B

Notação:

• A e B são pontos da reta r: A∈r e B∈r ;

• R é a reta que passa por A e B: r=AB;

• O segmento de reta AB: AB ;

• A semi-reta com origem A, passando por B: AB ;

• A semi-reta com origem B, passando por A: BA ;

• A reta r está contida no plano : r⊂α;

• OA eOBsão semi-retas opostas;

• o ponto O é a origem das semi-retas OA eOB;

Entes primitivos:

• O ponto;

• A reta ou “linha reta” (straight line, em inglês);

• O Plano;

Hilbert adotou ainda seis relações não definidas (fundamentais aos grupos axiomáticos contidos em sua obra):

• “estar sobre” ou “estar contido”;

• “estar em” ou “pertencer”;

• “estar entre” ou “estar localizado entre”;

• “ser congruente” ou “ter a mesma medida”;

• “ser paralelo”;

• “ser contínuo”;

Os símbolos utilizados para representar os elementos não definidos da Geometria de Hilbert são:

• Pontos – Letras latinas maiúsculas: A, B, C, D, E, ...;

• Retas – Letras latinas minúsculas: r, s, t, l, ou ainda AB , BC etc;

• Planos – Letras gregas minúsculas: α ,β ,γ ,...;

• Raios ou Semi-retas: r=AB, ou seja, “raio r partindo do ponto A, e passando por B”;

• Segmento de Reta: AB ,BCetc;

• A, B e C pontos distintos pertencentes a uma reta com B entre A e C: [A, B, C];

Ao longo do século XX, várias outras axiomatizações da Geometria Euclidiana foram propostas por diversos matemáticos como G. D. Birkhoff e grupos estudiosos, como o SMSG^*.

O sistema axiomático proposto por Birkhoff - A Set of Postulates for Plane Geometry (base on scale and protactor), 1932 ou “Um Conjunto de Postulados para a Geometria Plana (baseado em régua e transferidor)”, propõem um conjunto de postulados introduzindo conceitos que permitem exprimir medidas através de valores numéricos utilizando a régua graduada e o transferidor. Tal axiomatização acaba confrontando-se com a abordagem grega da Geometria Plana, onde Euclides propunha que todas as construções geométricas fossem criadas a partir de uma régua não graduada e um compasso de hastes imóveis.

*O SMSG (School Mathematics Study Group) foi um empreendimento financiado pelo Governo Norte- Americano dirigido por Edward G. Begle (1914 – 1978), que criou e implementou um currículo escolar

4. Ponto

4.1 O Plano Cartesiano

Existe uma relação entre um ponto do plano e um par ordenado de números reais: a cada ponto P do plano cartesiano corresponde um par ordenado de números reais e, inversamente, a cada par tem como seu correspondente um ponto P do plano.

Usa-se a notação (a,b) para indicar o par ordenado em que a é o primeiro elemento e b é o segundo elemento.

Exemplo 1:

• (2,5) é o par ordenado em que o primeiro elemento é 2 e o segundo é 5

• (5,2) é o par ordenado em que o primeiro elemento é 5 e o segundo elemento é 2 Note que os pares (2,5) e (5,2) diferem entre si pela ordem de seus elementos.

Existe uma maneira geométrica para representarmos o par ordenado (a,b):

1º Passo: desenhamos dois eixos perpendiculares e usamos a sua intersecção O como origem para cada um deles;

2º Passo: marcamos no eixo horizontal o ponto A, correspondente ao valor de a; 3º Passo: marcamos no eixo vertical o ponto B, correspondente ao valor de b; 4º Passo: traçamos por A uma reta r paralela ao eixo vertical;

5º Passo: traçamos por B uma reta s paralela ao eixo horizontal;

6º Passo: destacamos a intersecção das retas r e s chamando-a de P, que é o ponto que representa graficamente o par ordenado (a,b), com notação P(a,b);

Nomenclatura:

• o eixo horizontal Ox é o eixo das abscissas;

• o eixo vertical Oy o eixo das ordenadas;

• o ponto O, intersecção de Ox e Oy é a origem.

• o plano que contém Ox e Oy é o Plano Cartesiano;

(eixo das ordenadas) y

x (eixo das abscissas) (origem) O

Figura 2 - 1º Passo.

Cada uma das quatro partes em que fica dividido o Plano pelos eixos cartesianos, chama-se quadrante. A numeração dos quadrantes é feita no sentido anti-horário, a contar do quadrante correspondente aos pontos que possuem amas as coordenadas positivas.

4.2 Distância entre dois pontos

Dados dois pontos distintos A e B do plano cartesiano, chama-se distância entre eles a medida do segmento de reta AB que tem os dois pontos por extremidades.

Determinemos a distância entre os pontos A (x1, y1) e B (x2, y2) a qual indicaremos por d.

O y

x B

b a A

Figura 3 - 2º e 3º Passos. Figura 3 - 4º, 5º e 6º Passos.

O y

x r

s B P

A

Figura 4 - quadrantes do Plano Cartesiano.

x y

1º quadrante (I) 2º quadrante

(II) 3º quadrante

(III)

4º quadrante (IV) O

Figura 5 - d é a distância entre os pontos A e B.

y

O x

d

B(x2,y2)

A(x1,y1) C y1

x1

y2

x2

Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo ABC, vem: d² = AC² +CB² (1).

Mas:

1

2 x

x AC = − e

1

2 y

y CB= −

Substituindo-se em (1), segue: d² =

(

)

(

)

ou d =

(

)

(

)

Exemplo 2:

Determinar um ponto do eixo y eqüidistante dos pontos A (3,5) e B (-3,-1).

Solução

Um ponto do eixo y é um ponto do tipo P(0,y), de abscissa nula, resultando:

(

)

(

)

= y

PA e

(

)

(

)

= y

PB

Como PA=PB, vem:

( )

(

)

(

)

Elevando-se ambos os membros ao quadrado e desenvolvendo, segue:

2

24 12

1 2 9

25 10

9 ^{2 2}

=

−

=

−

+ + +

= +

− + y

.y

.y y .y

y

A resposta é P (0,2).

4.3 Ponto que divide um segmento numa razão dada

Há muitos problemas em Geometria Analítica que envolvem mediatrizes de segmentos, medianas e mediatrizes* de triângulos e outros assuntos relacionados com o ponto médio de um segmento.

*Cevianas e Pontos Notáveis dos Triângulos – Ceviana é todo segmento que une o vértice à reta suporte do lado oposto. São cevianas as alturas, medianas, mediatrizes e bissetrizes. Os Pontos Notáveis de um