Experimento 5 Interferência

(1)

Experimento 5

(2)

Interferômetro como espectrômetro

Será medido o comprimento de onda (λ) de uma fonte de luz através da figura de interferência. O λ também será medido utilizando um espectrômetro. Finalmente ambas as medidas serão comparadas.

Metodologia

Construa o sistema mostrado na Fig.1, utilizando um laser verde ou vermelho (depois troque e utilize o outro), um divisor de feixe e vários espelhos montados nos suportes de posicionamento fino. Pode utilizar uma ou duas mesas ópticas, visando aumentar o caminho óptico, antes de fazer interferir os feixes, com o intuito de otimizar a medida.

Figura 1: Montagem experimental para o experimento de interferência.

O laser passa primeiro por um divisor de feixe de 50 %. Uma parte sai perpendicular à direção original do laser, é refletido no espelho lateral E1, sendo então desviado para o espelho E2. A outra parte do feixe

original passa pelo divisor e continua diretamente até o espelho E2, na frente. Dessa forma, os dois feixes

acabam sendo refletidos em direção do espelho E3, depois para E4

O divisor de feixe e todos os espelhos devem estar montados em suportes de precisão para elementos ópticos circulares ou quadrados. Esses suportes permitem modificar a direção com a qual o feixe é refletido. Assim, utilizando esses suportes, a idéia é que no último espelho os dois feixes quase coincidam em um ponto. Dessa forma, os dois feixes finalmente se encontraram no porta amostras com letras, que servirá para , etc. Deve haver um número suficiente de espelhos para completar um caminho óptico total de, ao menos, ~4.5 m.

Tela

InterfêrenciaFigura de

Espelhos

E₂ E₄ L₁

Espelhos

E₃ E₅

Divisor de feixe

Espelho

Laser

E₁ d₁ d₂ d₃ d₄ d₃ d₄ 1 DIV = 0. 01 m m

(3)

como as linhas de interferência são muito pequenas e estão muito próximas umas das outras, para poder visualizá-las é necessário colocar uma lente (L1

1

i o i o

s

−

s

=

f

= −

f

) que permita aumentar a imagem. A lente deve ter uma distância focal tal que permita obter um aumento razoável com as distâncias possíveis no laboratório.

Para poder calcular o aumento da imagem de forma adequada, logo do último espelho, os dois feixes devem ficar agora um encima do outro justo na superfície de um porta amostras que contém letras impressas. Essas pequenas letras, ao serem iluminadas pelos feixes do laser, serviram de objeto para a lente. Para que a imagem seja real (não virtual) devemos lembrar que a posição do objeto deve ficar a uma distância maior que a distância focal da lente. Assim que tome cuidado ao fixar a distância entre a lente e o porta amostras. A equação Gaussiana das lentes estabelece que:

, (1) então, obtemos: o i i o i

s f

s

f

=

+

. (2) Com essa última equação, medindo a distância entre o porta amostras e a lente (so) e sabendo a distância

focal da lente, podemos calcular si.Considere que a distância focal da lente é conhecida, com uma incerteza

de ±1 mm. Então, a tela para observar a imagem da figura de interferência (e as letras do porta amostras) deve ser colocada nessa posição, e as letras devem aparecer bem nítidas.

Ou seja, as letras permitem confirmar que a distancia entre a tela (imagem) e a lente é correta. Lembre que a imagem aparecerá ampliada e invertida. A idéia é utilizar essa imagem das letras apenas como elemento auxiliar para verificar a focalização da imagem, que servirá para determinar si

i o

s

M

s

=

e conseguir fazer corretamente o cálculo do aumento, que é indispensável para obter a distância exata entre dois máximos da figura de interferência. As letras são necessárias porque a imagem da linhas de interferência tem "aparência" nítida em uma faixa de posições, independentemente da localização da lente. Porém, as letras irão aparecer nítidas apenas quando estejam bem focalizadas com a lente.

Dica: Na situação na qual as letras aparecem bem nítidas ou focalizadas, obstrua um dos feixes iniciais, tal

que apenas um deles às ilumine. O fato de utilizar apenas um feixe permite iluminar as letras com uma luz mais homogênea, facilitando assim a focalização da imagem (ou seja, as letras).

A continuação, desbloqueie o feixe que havia sido obstruído sem mudar a posição da lente. As linhas de interferência deveram aparecer novamente. Lembrando que o aumento obtido com uma lente é dado por:

(4)

calcule o mesmo em base aos valores de so e si obtidos anteriormente. Para que a medida da separação entre

as franjas de interferência seja possível de obter com boa precisão, o valor de M deve ser pelo menos igual a 10. Então, as distancias so e si

Figura 2: Esquema reduzido da montagem para obter a imagem aumentada da figura de interferência.

Utilizando esse esquema é possível demonstrar (vide os cálculos no final do roteiro) que a separação entre dois máximos de interferência consecutivos é dada por:

devem ser tais que permitam chegar nesse valor.

A montagem construída previamente é um instrumento conhecido como interferômetro, que permite observar o resultado de fazer interferir dois feixes de luz coerentes.. Com a figura de interferência obtida, poderemos medir o comprimento de onda do laser.

Consideremos agora o esquema simplificado da Fig. 2.

2

máx

x

k sen

sen

π

λ

α

∆

=

. (4)

Para poder obter o comprimento de onda a partir da figura de interferência, utilizaremos a condição na qual temos máximos.

A figura de interferência deverá ter uma forma parecida à mostrada na Fig. 3.

Tela

Lente

α

s

_o

s

_i

Laser

Espelho

Porta amostras

com as letras

Divisor de

feixe

a

s

Separação de 10 máximos

(5)

Para facilitar a medição, considere a separação entre, por exemplo, 10 máximos consecutivos, o que vai facilitar a medida dessa distância com uma régua.

Logo, para poder utilizar a equação com a qual será calculado o comprimento de onda, essa distância deverá ser dividida pelo aumento e pelo número de máximos considerados.

O ângulo α será obtido calculando:

1 2 3 4

a

tg

d

α

=

+

, (5) onde a é a distância entre o espelho E1 e o divisor de feixe (vide Fig. 2), e as distâncias d1, d2, d3 e d4

representam o caminho percorrido pelos feixes entre o espelhos E1 e E2, E2 e E3

Figura 4: Medida da distância entre as fontes coerentes a.

A seção da montagem experimental para gerar as duas fontes coerentes terá a disposição mostrada na Fig. 4. Para medir a distância a, coloque um cartão branco na frente dos feixes gerados a partir do laser (no caso trata-se de uma laser vermelho) , o mais próximo possível das montagens cinemáticas que têm o divisor de feixe e o primeiro espelho. Você poderá observar com clareza os dois pontos que correspondem aos dois feixes que irão a interferir no final do percurso. Marque com uma caneta fina a posição dos pontos. A distância entre esse dois pontos é a separação a entra as fontes. Quanto mais próximo fique o cartão das montagens do divisor e o espelho, mais precisa será a medida de a.

Com todos esses valores experimentais será obtido o valor do comprimento de onda do laser. Por último, utilize o espectrômetro para obter outro valor experimental do comprimento de onda.

, etc., tal como indicado na Fig. 1.

A medida do valor da distância a é muito importante para obter o valor correto do ângulo α. Leves variações no valor de a podem resultar em grandes variações do comprimento de onda obtido no experimento. Para efetuar uma medida precisa dessa distância, considere a seguinte imagem:

(6)

Construa uma tabela com todas as medidas experimentais, lembrando de colocar os erros experimentais que correspondam.

Repita o procedimento para o outro laser (verde ou vermelho).

Relatório

O relatório deve conter os seguintes itens:

1) Uma introdução (ou introdução teórica) do assunto que trata o experimento. Têm que aparecer as equações utilizadas, com as deduções consideradas pertinente pela equipe, até chegar na equação (ou equações) final(is).

2) Uma parte experimental com uma explicação clara de como foram efetuadas as medidas experimentais (seria equivalente à “Parte Experimental” no relatório padrão).

3) Uma parte de resultados contendo todos resultados experimentais obtidos nas medidas, com Tabelas se for o caso. Se corresponde, também devem estar o/s gráfico/s com os pontos experimentais, e a/s curva/s de ajuste por mínimos quadrados. Também devem aparecer os valores experimentais obtidos a partir de cálculos envolvendo as medições diretas (por exemplo, o valor do ângulo α, os valores experimentais do comprimento de onda do laser, etc.). Não esqueça de calcular e apresentar as incertezas experimentais de cada magnitude medida.

4) No caso das incertezas provenientes de aplicar alguma equação de propagação (de incertezas), apresentar a equação explicita em um anexo ao final do relatório.

5) Respostas às perguntas apresentadas no roteiro (colocar em anexo ao final do relatório). 6) O relatório deve conter os itens especificados acima.

Outra forma de obter a equação de interferência

As duas ondas consideradas no experimento de interferência, estão-se misturando na superfície do porta amostras. Essa situação pode ser representada esquematicamente na seguinte figura:

1 k 2 k x z _r

(7)

Os dois campos E1



e E2



no ponto

r



estão dados por:

E

1

=

E

011

cos(

k r

1

. `

−

ω

t

)



_

, (1)

E

2

=

E

012

cos(

k r

2

.

−

ω

t

)



_

, (2) e a soma é:

E

=

E

1

+

E

2

=

E

01

cos(

ω

t

−

k r

1

. )

+

E

02

cos(

ω

t

−

k r

2

. )



_



_

. (3) O campo ao quadrado (que servirá para obter a intensidade) é:

2 2 2

2 2

01

cos (

1

. )

02

cos (

2

. )

2

01

.

02

cos(

1

. )cos(

2

. )

E



=

E



ω

t

−

k r



+

E



ω

t

−

k r



+

E



E



ω

t

−

k r



ω

t

−

k r



.(4) Para obter a intensidade do campo total temos que calcular a média temporal,

2 2 2

2 2

01 cos ( 1. ) 02 cos ( 2. ) 2 01. 02 cos( 1. )cos( 2. ) E = E ωt−k r  + E ωt−k r  + E E ωt −k r  ωt−k r 

.(5) Começamos pelo primeiro termo:

cos(

k r

1

.

−

ω

t

)

=

cos(

k r

1

. )cos(

ω

t

)

+

sen k r sen

(

1

. )

(

ω

t

)



_



_



_

, (6) então:

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

cos (k r .−ωt)=cos (k r . )cos ( ωt)+ sen k r sen(. ) (ωt)+2cos(k r sen k r . ) ( . )cos( ωt sen) (ωt)

.(7) Calculamos a média temporal:

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

cos (k r .−ωt) =cos (k r . ) cos ( ωt) +sen k r( . ) sen (ωt) +2cos(k r sen k r. ) ( . ) cos( ωt sen) (ωt)

. (8) Sabemos que: 2 2 1 co (s ) ( ) 2 t sen t ω = ω = , (9) cos(ωt sen) (ωt) =0, (10) então: 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 co (s . ) co (s . ) ( . ) co (s . ) ( . ) 2 2 2 2 k r −ωt = k r  + sen k r  = _ k r  + sen k r  _= , (11) 2 1 1 cos ( . ) 2 k r −ωt = . (12) Analogamente: 2 2 1 ( . ) 2 sen k r −ωt = . (13)

(8)

1 2 k = k = k 2 2 2 01 02 01 02 1 2 1 1 2 . cos( . )cos( . ) 2 2 E = E + E + E E

ω

t −k r 

ω

t−k r  . (14) Para calcular a média temporal que falta, voltamos na Eq. (6):

cos(

k r

1

.

−

ω

t

)

=

cos(

k r

1

. )cos(

ω

t

)

+

sen k r sen

(

1

. )

(

ω

t

)



_



_



_

, (6)

cos(

k r

2

.

−

ω

t

)

=

cos(

k r

2

. )cos(

ω

t

)

+

sen k r sen

(

2

. )

(

ω

t

)



_



_



_

. (15) Então: 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1

cos(

.

).cos(

.

)

cos(

. )cos(

)

(

. )

(

) . cos(

. )cos(

)

(

. )

(

)

cos(

. )cos(

. )cos (

)

cos(

. )

(

. )cos(

)

(

)

(

. )cos(

k r

t

k r

t

k r

t

sen k r sen

t

k r

t

sen k r sen

t

k r

t

k r sen k r

t sen

t

sen k r

ω

−

=



 



=

_

+

_{ }

+

_

=

+



_



_



_



_



_



_



_



_



_



_

 

2 2

. )

(

)co s

(

)

(

1

. )

(

2

. )

(

)

k r sen



ω

t

ω

t

+

sen k r sen k r sen



ω

t

. (16)

A médias temporal dessa expressão, lembrando as Eqs. (9) e (10) fica:

1 2

(

1 2 1 2

)

1 cos(

.

).cos(

.

)

cos(

. )cos(

. )

(

. )

(

. )

2 k r



−

ω

t

k r



−

ω

t

=

k r



k r



+

sen k r sen k r



. (17) Utilizando a identidade trigonométrica:

cos(

α β

−

)

=

cos cos

α

β

+

sen sen

α

β

, (18) obtemos:

(

1 2 1 2

)

1 2 1 2

1

1 cos(

. )cos(

. )

(

. )

(

. )

cos(

.

. )

cos (

).

2 k r

k r

sen k r sen k r

2 k r

k r

2 k

k

r





+

=

−

=

_

−

_



_



_



_



_



_



_



_

. (19) Substituindo na Eq. (14): 2 2 2 01 02 01 02 1 2 2 2 01 02 01 02 1 2 1 1 1 2 . cos ( ). 2 2 2 1 1 . cos ( ). 2 2 E E E E E k k r E E E E k k r   = + + _ − _ =   = + + _ − _        _       _ , (20) ou seja: 2 2 2 01 02 01 02 1 2 1 1 . cos ( ). 2 2 E = E + E + E E _ k −k r_ . (21) Com o sistema de coordenadas considerado, e lembrando que (apenas muda a direção do vetor), obtemos: 1. cos 2 2 k r = kz θ +k x senθ , (22)

(9)

2 . cos 2 2 k r = kz

θ

−k x sen

θ

, (23) então,

(

)

1. 2. 1 2 . cos 2 k r −k r = k −k r = k z θ cos 2 2 k x senθ k z θ + − 2 2 2 k x sen k x sen θ θ + = = , (24) ou seja,

(

1 2

)

. 2 2 k −k r = k x senθ . (25) Substituindo na Eq. (21) obtemos:

2 2 2 01 02 01 02 1 1 . cos 2 2 2 2 E = E + E + E E _ k x sen

θ

_        . (26) Nomeando: 2 E = I , 2 01 1 2 E I =  , 2 02 2 2 E I =  , (27) então: 01 1 2 E I =  , 02 2 2 E I =  , (28) substituindo: 01 02

01

.

02 01

.

02

cos

2 . 2

cos

2

1 2

cos

2

2 E

E

=

E

θ

=

θ

=

I I

θ



. (29) Finalmente, a Eq. (26) fica:

1 2

2

1 2

cos cos 2

2 I

=

I

+

I

+

I I

θ



_

k x sen

θ



_





_{, (30)} e considerando o caso I1 = I2 = I0 0

2

1 cos cos 2

2 I

=

I



_

+

θ



_

k x sen

θ



_



_









, . (31) No nosso experimento, podemos considerar que o ângulo θ ~ 0, e com isso cosθ ~ 1. Então, a Eq. (31) fica: