Cap3_p2_Números Naturais_adição

Parte 2: Operações



Nesta seção definiremos as operações

de adição (+) e multiplicação (.) sobre o

conjunto dos números naturais



O que se segue é o próximo passo na

formalização dos conceitos associados

às mesmas operações que conhecemos

intuitivamente pelos mesmos nomes

acima

Adição em IN



Definição: A adição de dois

números naturais, m e n, é

designada por m + n e definida

recursivamente

do

seguinte

modo:



m + 0 = m

Observações



A definição acima nos fornece a soma

(adição) de um número arbitrário m com 0

 m + 0 = m (o que quase define 0 como elemento

neutro da adição em IN – faltando 0 + m = m)



Nos fornece também a soma de m com s(0)

 m + s(0) = s(m + 0) = s(m)



Temos ainda



m + s(s(0)) = s(m + s(0)) = s(s(m))

E assim sucessivamente

A soma m + n



Como garantir que a definição dada

anteriormente é geral?



Que, fixado um m



IN, a soma m + n está

definida para todo n



IN?



Usemos Indução

para mostrar isto

(Base de Indução) para n = 0:



A própria definição já traz a expressão



m + 0 = m

(EXISTE A DEFINIÇÃO!)

A soma m + n

ii. Se P(k), então P(s(k))

 Suponha que a soma está definida para n = k, ou seja

 m + k está definida

 Queremos mostrar que a soma está definida também

para s(k), isto é

 m + s(k) está também definida (?)

 Mas a definição nos dá

 m + s(k) = s(m + s(k)) (definição de m + s(k))

 O que mostra que P(s(k)) é verdade 

Observação

 A definição de adição apresentada aqui é feita de

forma recursiva (como a multiplicação, a potência, etc.)

 É possível provar que existe uma única operação em

IN com as propriedades e características definidas na adição (não há outra possibilidade de adição), isto é

 *: IN x IN  IN dada por

 m*0 = m

 m*s(k) = s(m*k)

 * então é a própria adição

 Estas demonstrações são temas de funções recursivas

Associando à noção intuitiva

 A definição de adição é feita a partir da função

sucessor s(n), único recurso até agora definido em IN

 É necessário definir m + 0 = m , pois 0 não é sucessor

de nenhum natural, portanto não se encaixa em

 m + s(n) = s(m + n)

 Se assumirmos os símbolos dos naturais conhecidos,

temos que s(0) = 1, e:

 m +1 = m + s(0) = s(m + 0) = s(m), isto é  s(m) = m + 1

 E a definição de soma:

 m + s(n) = s(m + n) fica na forma (utilizada em outros livros)  m + (n + 1) = (m + n) + 1

Definição e Proposição



Definição: Indicaremos por 1, (lê-se

“um”) o número natural que é o

sucessor de 0, ou seja



1 = s(0)



Proposição: Para todo natural m,

tem-se



s(m) = m + 1 e s(m) = 1 + m, portanto

m + 1 = 1 + m

Demonstração



Para a primeira igualdade

temos



pela definição de 1 (1 = s(0))

 m + 1 = m + s(0) usando a definição de adição  m + s(0) = s(m + 0) = s(m) (também pela definição)



Para a segunda igualdade

consideremos a propriedade



P(m): m



IN|s(m) = 1 + m

Demonstração



P(m): m



IN|s(m) = 1 + m

i.

(Base de indução): P(0) é verdade (?)

s(0) = 1 (def. de 1)



Pela definição de adição temos



m + 0 = m (para qualquer m em IN)

Então vale para m = 1, e temos

 1 + 0 = 1, e ficamos com

Demonstração

 P(m): mIN|s(m) = 1 + m ii. (Se P(k), então P(s(k)))

 Suponha que P(k) é V., isto é  s(k) = 1 + k

 Queremos mostrar que P(s(k)) é V., ou seja  s(s(k)) = 1 + s(k) (?)

 Já sabemos que s(k) = 1 + k, então

 s(s(k)) = s(1 + k) que, pela definição de adição  s(1 + k) = 1 + s(k)  P(s(k)) é V. 

Definição



A partir desta etapa introduziremos a

notação indo-arábica de base 10

para os elementos de IN



Já são conhecidos



0 e 1 = s(0)



Definição: Notação indo-arábica

2 = s(1)

O conjunto IN



Com as definições acima podemos observar

que IN contém o conjunto

 {0,s(0),s(s(0)),s(s(s(0))),...} = {0,1,2,3,...}



Resta saber se, de fato, IN = {0,1,2,3,...}, ou

seja, se IN contém outros elementos

diferentes destes. Se não contiver, os

Axiomas

de

Peano

concretizam

formalmente nossa ideia intuitiva do

conjunto dos números naturais

Teorema



IN = {0,1,2,3,...}

 D] Seja S = {0,1,2,3,...}. Como a construção de S foi

feita a partir das imagens de s(n), todos os seus elementos são números naturais

 S  IN por construção

 Por indução, mostremos que S = IN i. 0  S (ok)

ii. Suponha que k  S

 Por construção, sabemos que s(k)  S

 Logo S = IN  (não há nenhum número natural

Exemplo e exercício

Observe as somas:

1 + 1 = s(1) = 2

2 + 1 = s(2) = 3

2 + 2 = 2 + s(1) = s(2 + s(0)) = s(s(2 + 0)) =

= s(s(2)) = s(3) = 4

0 + 2 = 0 + s(1) = s(0 + 1) = s(1 + 0) = s(1) = 2

Efetue as adições

3 + 4

11 + 5

Terminologia



Na adição dos naturais



m + n = p



Dizemos



m e n são as parcelas

Propriedades da adição



Teorema: Sejam m, n e p números

naturais arbitrários. São verdadeiras as

afirmações:

i.

Propriedade Associativa

m + (n + p) = (m + n) + p

Propriedade Comutativa



m + n = n + m

iii.

Lei do Cancelamento

m + p = n + p



m = n

Demonstrações

Propriedade Associativa]



P(p): m + (n + p) = (m + n) + p



Fixemos m e n com indução sobre p

P(0): m + (n + 0) = (m + n) + 0 (?)

 m + (n + 0) = m + (n) (def. de adição)  Que, por outro lado

 (m + n) + 0 = m + n (mesma definição anterior)

 O que conclui a igualdade

Demonstrações

Propriedade Associativa]

b)

Se P(k), então P(s(k))

 Suponha que m + (n + k) = (m + n) + k  Queremos mostrar que

 m + (n + s(k)) = (m + n) + s(k) (?)

 Usemos a def. de adição para identificar  n + s(k) = s(n + k) e ficamos com

 m + (n + s(k)) = m + s(n + k)

 Que pela mesma def.

Demonstrações



Que pela mesma def.



m + s(n + k) = s(m + (n + k))



Usando a hip. de indução



s(m + (n + k)) = s((m + n) + k)



E usando novamente a def. de adição



s((m + n) + k) = (m + n) + s(k)



O que conclui que P(s(k)) é verdade





Como m e n são arbitrários, garantimos a

validade da Propriedade Associativa da

adição em IN

Demonstrações

Propriedade Comutativa]



P(n): m + n = n + m



Usemos Indução sobre n

P(0): m + 0 = 0 + m



Obs.: Já sabemos que m + 0 = m

adição)

. Ao provarmos que m + 0 = 0 + m,

estaremos garantindo a existência de um

Demonstrações

 Como 0  Im(s), não podemos usar a segunda

expressão da def. de adição, então façamos indução sobre m

 P(m): 0 + m = m

1. Base de indução: P(0): 0 + 0 = 0 (?)

 Na definição de adição, tome m = 0  P(0) ok 2. Se P(k), então P(s(k))

 Suponha que 0 + k = k, queremos calcular 0 + s(k)

 0 + s(k) = s(0 + k) (def. de adição) = s(k) (hip. de indução)  Logo, P(s(k)) é Verdade 

 O que garante a existência do Elemento Neutro

Demonstrações

 A existência do elemento neutro é a base de

indução sobre n para a propriedade comutativa

b) Se P(k), então P(s(k))

 Suponha que m + k = k + m

 Já sabemos que s(n) = n+1 = 1+n, nIN (Proposição)

 s(k) = k + 1 = 1 + k  Calculando m + s(k), temos  m + s(k) = s(m + k) (def. de adição)  m + s(k) = m + (k + 1) = m + (1 + k) = (m + 1) + k (assoc.) = (1 + m )+ k = 1 + (m + k) = 1 + (k + m) (hip. de indução) = (1 + k) + m (assoc.) = s(k) + m 

Exercício e Proposição

Lei do Cancelamento]

 m + p = n + p  m = n  Exercício!



Proposição (unicidade do elemento

neutro): Existe um único elemento neutro

para a adição em IN

 D] A existência já foi demonstrada

 Suponha que x é também elemento neutro  x + 0 = 0 = 0 + x (x é elemento neutro)

 0 + x = x (0 é elemento neutro)