Estudo computacional em poroelasticidade e mecânica dos fluidos

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DEPARTAMENTO DE F´ISICA

PROGRAMA DE P ÓS-GRADUAÇ ÃO EM FÍSICA

MAUR´ICIO SOARES DE ALMEIDA

ESTUDO COMPUTACIONAL EM POROELASTICIDADE E MEC ˆANICA

DOS FLUIDOS

FORTALEZA 2018

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ESTUDO COMPUTACIONAL EM POROELASTICIDADE E MEC ˆANICA DOS FLUIDOS

Tese de Doutorado apresentada ao Programa de Pós-Gradua¸cão em F´ısica da Universidade Federal do Ceará, como requisito parcial para a obten¸cão do T´ıtulo de Doutor em F´ısica.

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Area de Concentra¸c˜ao: F´ısica da Mat´eria Condensada.

Orientador: Prof. Dr. Murilo Pereira de Al-meida.

FORTALEZA 2018

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ESTUDO COMPUTACIONAL EM POROELASTICIDADE E MEC ˆANICA DOS FLUIDOS

Tese de Doutorado apresentada ao Programa de Pós-Gradua¸cão em F´ısica da Universidade Federal do Ceará, como requisito parcial para a obten¸cão do T´ıtulo de Doutor em F´ısica.

´

Area de Concentra¸c˜ao: F´ısica da Mat´eria Condensada.

Aprovada em 30/07/2018.

BANCA EXAMINADORA

Prof. Dr. Murilo Pereira de Almeida (Orientador) Universidade Federal do Cear´a (UFC)

Prof. Dr. Cl´audio Lucas Nunes de Oliveira Universidade Federal do Cear´a (UFC)

Prof. Dr. Francisco Nepomuceno Filho Universidade Federal do Cear´a (UFC)

Prof. Dr. Luiz Oz´orio de Oliveira Filho Universidade Estadual Vale do Acara´u (UVA)

Prof. Dr. Francisco Leandro de Oliveira Rodrigues Universidade Estadual Vale do Acara´u (UVA)

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Biblioteca do Curso de F´ısica

A000p Almeida, Maur´ıcio Soares.

ESTUDO COMPUTACIONAL EM POROELASTICIDADE E MEC ˆANICA DOS FLUIDOS / Maur´ıcio Soares de Almeida. – Fortaleza, 2018.

112.:il.

Tese (doutorado) - Universidade Federal do Cear´a, Centro de Ciˆencias, Depar-tamento de F´ısica, Fortaleza, 2018.

´

Area de Concentra¸cão: F´ısica da Matéria Condensada. Orienta¸cão: Prof. Dr. Murilo Pereira de Almeida.

1. Poroelasticidade. 2. Ondas el´asticas. 3. Edif´ıcios. 4. Ventos. 5. Fortaleza-CE. I. T´ıtulo.

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A Deus, pelo dom da vida. `

A minha amada esposa, Emiliane, pelo apoio, carinho e compreens˜ao durante essa jornada.

`

A minha m˜ae, Maria Sˆonia, e a minha tia Elizeuda e seu marido Roosevelt, pelos valorosos ensinamentos apresentados ao longo da minha vida.

Ao professor Murilo, pela orienta¸c˜ao e paciˆencia.

Aos professores Ascânio e Ozório, pelas ricas contribui¸cões.

A todos meus amigos e colegas que contribu´ıram de forma direta ou indireta para a conclus˜ao deste trabalho.

`

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não me incomodei. No dia seguinte, vieram e levaram meu outro vizinho que era comunista. Como não sou comunista, não me incomodei. No terceiro dia vieram e levaram meu vizinho católico. Como não sou católico, não me incomodei. No quarto dia, vieram e me levaram; já não havia mais ninguém para reclamar...”

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Este trabalho consiste em um estudo computacional em mecânica do cont´ınuo: aplica¸cões em poroelasticidade e no estudo da influência de edif´ıcios sobre os ventos em uma zona litorânea. Uma primeira análise foi realizada para verificar, através de modelos com-putacionais, a influência que poros vazios ou incrusta¸cões em rochas causam sobre a propaga¸cão de ondas mecânicas. Para isso, foi comparado o tempo em que ondas do tipo P e S levavam para se propagar em um meio com essas caracter´ısticas, quando as propriedades elásticas das incrusta¸cões, como densidade e módulo de cisalhamento, eram alteradas. Utilizou-se como metodologia a resolu¸cão numérica das equa¸cões diferenciais parciais das ondas elásticas através do método dos elementos finitos usando o software FEniCS, cuja plataforma possibilita a implementa¸cão de problemas de multi-f´ısica, onde diferentes equa¸cões diferenciais podem ser resolvidas num mesmo dom´ınio espacial. Um conjunto de malhas com porosidade distintas foi criado para um dom´ınio bidimensional, onde foram tra¸cados sismogramas sintéticos para serem analisados e comparados com re-sultados de meios homogêneos. A segunda parte da pesquisa consistiu em um estudo da intera¸cão vento-edif´ıcios em uma região da beira-mar de Fortaleza. Devido o crescimento da popula¸cão nos grandes centros urbanos, a necessidade da cria¸cão de edif´ıcios cada vez maiores torna-se imediata. Esse fenômeno também pode ser verificado em regiões tur´ısticas, onde é preciso hospedar um número elevado de pessoas. Essa verticaliza¸cão interfere no fluxo de vento e pode afetar o conforto e a seguran¸ca de pedestres. Outra con-sequência é a redu¸cão da ventila¸cão natural em bairros mais afastadas da orla mar´ıtima. Para melhor compreender esse fenômeno, um conjunto de simula¸cões numéricas foram re-alizadas utilizando a caixa de ferramenta OpenFOAM, onde foram resolvidas as equa¸cões RANS com a turbulência formulada pelo modelo k_{− . Foram considerados os casos onde} os ventos eram provenientes das dire¸cões NNE e SSE, com diferentes intensidades. A região estudada correspondia a uma área de 1, 6× 105_m2_{. Com os resultados, foi poss´ıvel}

identificar os pontos em que acontecem uma maior acelera¸cão do fluxo, provocado pelo efeito de Venturi, além do mapeamento de zonas de recircula¸cão. Um perfil de velocidade vertical também foi tra¸cado. Para ventos superiores a 5 m/s, foi identificado uma redu¸cão de 23% da sua intensidade, em localidades situadas a 1 km de distância das barreiras criadas pelos edif´ıcios. Curvas da energia cinética turbulenta, dissipa¸cão turbulenta e da fun¸cão de participa¸cão da energia cinética ao longo do dom´ınio também foram plotadas.

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This work consists of a computational study in the mechanics of the continuum: appli-cations in poroelasticity and in the study of the influence of buildings on the winds in a coastal zone. A first analysis was performed to verify, through computational models, the influence that empty pores or incrustations in rocks cause on the propagation of mechani-cal waves. For this, the time in which P and S waves were propagated in a medium with these characteristics was compared when the elastic properties of the scale, such as den-sity and shear modulus, were altered. The numerical resolution of the partial differential equations of the elastic waves using the finite element method using the FEniCS software, whose platform allows the implementation of multi-physics problems, where different dif-ferential equations can be solved in the same spatial domain were used as methodology. A set of distinct porosity meshes was created for a two-dimensional domain, where synthetic seismograms were plotted to be analyzed and compared with homogeneous media results. The second part of the research consisted of a study of the wind-building interaction in a region of Fortaleza’s waterfront. Due to population growth in large urban centers, the need for ever-increasing building becomes immediate. This phenomenon can also be seen in tourist regions, where a large number of people are required. This verticalization in-terferes with the wind flow and can affect the comfort and safety of pedestrians. Another consequence is the reduction of natural ventilation in neighborhoods further away from the sea shore. To better understand this phenomenon, a set of numerical simulations were performed using the OpenFOAM toolbox, where the RANS equations were solved with the turbulence formulated by the k- model. We considered the cases where the winds came from the NNE and SSE directions, with different intensities. The region studied corresponded to an area of 1, 6_{× 10}5_m2_{. With the results, it was possible to identify the}

points at which a greater acceleration of the flow, caused by the Venturi effect occurs, besides the mapping of recirculation zones. A vertical velocity profile was also plotted. For winds above 5 m/s, a 23% reduction in intensity has been identified at locations 1 km away from barriers created by buildings. Curves of energetic turbulent kinetics, turbulent dissipation, and the role of the energetic kinetics along the domain were also plotted.

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Tabela 1 – Valores de k e nas equa¸cões de transporte. . . 44 Tabela 2 – Parâmetros utilizados para a simula¸cão do meio elástico homogêneo. . . . 61 Tabela 3 – Dimensões da camada de esponja. . . 69 Tabela 4 – Comparativo dos erros entre as simula¸cões. . . 70 Tabela 5 – Critérios de conforto desejável de vento para pedestres em vários ambientes. 75

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Figura 1 – Movimento caracter´ıstico de uma onda longitudinal. A vibra¸cão das part´ıculas e a propaga¸cão da onda estão na mesma dire¸cão. . . 22 Figura 2 – Nas ondas transversais, as vibra¸cões das part´ıculas se dão em uma dire¸cão

perpendicular a da propaga¸cão da onda. . . 22 Figura 3 – Diagrama mostrando a propaga¸cão da onda de superf´ıcie. . . 23 Figura 4 – As ondas Rayleigh propagam-se como as ondas na superf´ıcie da água. . . 23 Figura 5 – Tensões sobre um elemento na dire¸cão x. . . 24 Figura 6 – Transi¸cão do escoamento laminar par o turbulento, com Re_{' 2, 5 ×10}3_. ₃₃

Figura 7 – Deforma¸cão sofrida por um elemento de fluido devido a tensão cisalhante. 34 Figura 8 – As linhas de corrente em torno da bola são simétricas. . . 34 Figura 9 – A camada limite é laminar por uma curta distância a jusante da borda de

ataque; existe uma região de transi¸cão onde, depois dela, o escoamento torna-se completamente turbulento. A velocidade do fluido varia de zero até U∞ através da camada limite. . . 35

Figura 10 –Espectro de energia em fun¸cão do número de onda. O máximo da energia se dá para os redemoinhos que possuem o menor número de onda. A medida que esse número aumenta, a energia decresce rapidamente. . . 36 Figura 11 –Conhecida como árvore da pregui¸ca, essa árvore que fica no munic´ıpio de

Jericoacoara-CE cresceu inclinada devido aos fortes ventos que existem na regi˜ao. . . 38 Figura 12 –Perfil vertical da velocidade do vento desde a superf´ıcie at´e a altura do

vento geostr´ofico. O comprimento da rugosidade (z0) ´e a altura onde a

velocidade é nula. . . 39 Figura 13 –Comparativo entre o custo computacional dos modelos de turbulência. . . 41 Figura 14 –Esquema de solu¸cão numérica de uma equacao diferencial_{L. . . 46} Figura 15 –Balan¸co de massa. . . 46 Figura 16 –Exemplo de bloco criado pelo blockMesh. Cada vértice é escrito em uma

lista, de tal forma que possa ser acessado utilizando seu rótulo. Neste caso, a borda que conecta os vértices 1 e 5 é curva (lembrando que o tipo de borda é especificado no blockMesh). . . 49

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hexaédricas (b) que preenche toda a região dentro do limite externo e em seguida come¸ca um processo de divisão e refino nas superf´ıcies especifi-cadas (c). Quando essas divisões estiverem conclu´ıdas, um processo de

remo¸cão das células será iniciado (d). . . 50

Figura 18 –Discretiza¸c˜ao do dom´ınio com uma malha triangular. . . 52

Figura 19 –Cole¸c˜ao de componentes que formam o projeto FEniCS. . . 54

Figura 20 –Sequˆencia de execu¸c˜ao dos componentes de FEniCS. . . 54

Figura 21 –Malha gerada gerada para as simula¸c˜oes. As diferentes cores indicam as subdivis˜oes do dom´ınio. . . 60

Figura 22 –À esquerda tem-se as frentes de onda para o instante de tempo t = 6, 8× 10−3_{s. O detalhe da separa¸cão entre ondas primarias e secundarias} é apresentado no lado direito da figura. . . 60

Figura 23 –O aumento do coeficiente de viscosidade no meio em que as incrusta¸cões estão submetidas, promove um retardamento a propaga¸cão das ondas. . 61

Figura 24 –Uma simula¸cão foi realizada com todo dom´ınio tendo densidade ρ0. Em seguida, novas simula¸cões foram feitas modificando a densidade na região R3, que corresponde as incrusta¸cões circulares no meio sólido. As imagens correspondem a propaga¸cão das ondas geradas para o instante de tempo t = 6,8×10−3_{s. A sequência apresentada evidencia o retardo na frente} de onda devido o aumento da densidade da referida região, bem como as reflexões geradas devido a mudan¸ca de meio. . . 62

Figura 25 –Uma simula¸cão foi realizada com todo dom´ınio tendo densidade G0. Em seguida, novas simula¸cões foram feitas modificando o módulo de cisa-lhamento na região R3. As imagens correspondem a propaga¸cão das ondas geradas para o instante de tempo t = 6,8_×10−3_{s. Pela sequência} é poss´ıvel verificar o aumento da velocidade de propaga¸cão das ondas devido ao crescimento do módulo de cisalhamento. . . 63

Figura 26 –Deslocamento no ponto P1 em fun¸cão do tempo, devido a varia¸cão da densidade das incrusta¸cões no meio elástico. . . 64

Figura 27 –Deslocamento no ponto P1 em fun¸cão do tempo, devido ao aumento no módulo de cisalhamento das incrusta¸cões no meio elástico. . . 65

Figura 28 –A varia¸cão da densidade produz mudan¸cas mais significativas à velocidade de propaga¸cão das ondas em meios elásticos do que a mudan¸ca do módulo de cisalhamento. . . 66

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de referência utilizados para calcular o tempo médio de chegada da frente de onda. . . 66 Figura 30 –As curvas apresentam uma aparente convergência no tempo de atraso da

onda elástica, ao se propagar pelo meio, devido a presen¸ca das lacunas. Em todos os casos, os poros foram considerados circulares. O que os diferenciava de uma malha para outra, era apenas o tamanho do diâmetro e a disposi¸cão espacial. . . 67 Figura 31 –A maior região, em cor laranja, será a camada de esponja. . . 67 Figura 32 –Solu¸cão numérica sem a camada de esponja no instante de tempo t = 10 s. 69 Figura 33 –Solu¸cão numérica para diferentes tipos de fun¸cão no instante de tempo t

= 10 s. . . 70 Figura 34 –Devido a altura do pr´edio, parte do fluxo de ar ´e desviado para o n´ıvel

da rua. Esse fenômeno é comumente conhecido como downdraught effect. 74 Figura 35 –A canaliza¸cão faz com que o fluxo de ar acelere na região entre os edif´ıcios.

Esse ´e o chamado efeito de Venturi. . . 75 Figura 36 –Vista superior da regi˜ao de estudo obtida pelo Google Maps. A geometria

foi constru´ıda para os edif´ıcios contidos na ´area de destaque. . . 76 Figura 37 –Malha criada pelo OpenFoam atrav´es do snappyMexMesh, com

apro-ximadamente 3, 7 × 106 _{c´elulas. Um maior refinamento foi dado nas}

proximidades dos edif´ıcios. . . 77 Figura 38 –Dom´ınio computacional. . . 78 Figura 39 –A regi˜ao escolhida possui um formato geom´etrico retangular. Sendo

as-sim, o vento que incide pelo leste atravessa uma maior área constru´ıda de obstáculos (4 quarteirões), em rela¸cão ao incidente pelo norte (3 quar-teirões). . . 79 Figura 40 –Efeito de Venturi devido a canaliza¸cão do vento. É poss´ıvel perceber um

aumento de 20 a 40% na velocidade do fluxo de ar no in´ıcio das ruas em rela¸c˜ao a velocidade inicial. Essa an´alise foi feita para uma altura de 1, 6 m acima do n´ıvel do solo. . . 80

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DD e EE correspondem a planos verticais onde foram calculados o fator de participa¸cão π. Também é poss´ıvel observar o efeito de Venturi nas ruas mais estreitas, além de vórtices nas proximidades dos obstáculos. Nas áreas circuladas a velocidade do vento sofreu uma acréscimo de 24% em rela¸cão a definida como condi¸cão de entrada. . . 81 Figura 42 –Glyph do campo de velocidade. É poss´ıvel observar zonas de recircula¸cão

entre os prédios e o downdraught effect. Estruturas localizadas nessas regiões ou nas zonas de canto, podem experimentar pressões de vento muito além daquelas para as quais tenham sido projetadas, caso tenham negligenciado esse fator. . . 82 Figura 43 –Campo de velocidade para diferentes alturas. Para estes casos, foi

ado-tada como condi¸cão de entrada uma velocidade com módulo de 5 m/s. . . 83 Figura 44 –Divisão do dom´ınio em planos verticais ao longo do eixo x. Em cada uma

dessas se¸cões, foi calculada a velocidade média dos ventos e o fator de participa¸cão. . . 84 Figura 45 –Varia¸cão da velocidade dos ventos ao longo do eixo x. Os edif´ıcios estão

compreendidos entre o intervalo de 20 a 380 m e foi considerado para a condi¸cão de inlet ventos provenientes da dire¸cão NNE. . . 84 Figura 46 –Varia¸cão da velocidade dos ventos ao longo do eixo x. Foram simulados

cinco velocidades distintas para inlet: 1 m/s, 2 m/s, 3 m/s, 4 m/s e 5 m/s. Nesse caso foi considerado que os ventos são incidem através da dire¸cão ESE. Os edif´ıcios estão compreendidos entre o intervalo de 0 a 450 m. . . 85 Figura 47 –Gráfico da fra¸cão Umin/Umax × Umax para valores de Umax entre 1 m/s

e 5m/s. Observe que a fra¸cão decresce de _{≈ 0.45 para ≈ 0.4 e que a} segunda derivada é positiva. . . 85 Figura 48 –Gráfico da energia cinética turbulenta (k) para valores de Uinlet entre

1m/s e 5m/s. Note que a energia cin´etica turbulenta aumenta com o crescimento de Uinlet. . . 86

Figura 49 –Dissipa¸c˜ao da energia cin´etica turbulenta () para valores de Uinlet entre

1 m/s e 5 m/s. Observe que a dissipa¸cão da energia cinética turbulenta aumenta com o crescimento de Uinlete é mais forte sobre a área constru´ıda. 86

Figura 50 –Participa¸c˜ao calculada nos planos verticais tra¸cados em: x=0, x=110, x=220, x=340 e x=450. . . 87

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Se¸cão 2.2 σii Tensão normal τij Tensão cisalhante σ Tensor de tensões Tensor de deforma¸cões λ e µ Parâmetros de Lamè G Módulo de cisalhamento K Módulo volumétrico ρ Densidade ~u Deslocamento do sólido ~b For¸ca de corpo θ Dilata¸cão

cp Velocidade de propaga¸c˜ao da onda prim´aria

cs Velocidade de propaga¸c˜ao da onda secund´aria

~ω vetor rota¸cão Se¸cão 2.3 ~ U Deslocamento do flu´ıdo p pressão do fluido β Porosidade k Permeabilidade µ viscosidade ρ11, ρ12 e ρ22 Coeficientes de massa Se¸cão 3.1 Re Número de Reynolds µ Viscosidade absoluta µt Viscosidade turbulenta µef f Viscosidade efetiva D Comprimento

U Campo de velocidade do flu´ıdo U∞ Velocidade de corrente livre

E Energia

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λ Comprimento de onda dos redemoinhos λ Eq. 3.4 Escala de comprimento

Dissipa¸c˜ao de energia ν Viscosidade cinem´atica

τ Escala de tempo

v Escala de velocidade

u∗ _{Velocidade de fric¸c˜ao}

η Parˆametro escalar de viscosidade

P Press˜ao modificada

z0 Comprimento de rugosidade

zr Altura de referˆencia

α Expoente de Hellmann

U , V e W Componentes do valor médio da velocidade u’, v’ e w’ Componentes da flutua¸cão da velocidade β Primeiro parâmetro de Newmark

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DNS Direct Numerical Simulation DF Diferen¸cas Finitas

EDP Equa¸cão Diferencial Parcial MVF Método dos Volumes Finitos MEF Método dos Elementos Finitos LES Large Eddy Simulation

LSNROP Laboratório de Simula¸cão Numérica de Redes e Óleos Pesados PML Perfectly Matched Layer

RANS Reynolds Averaged Navier-Stokes VTI Vertical Transverse Isotropy UFL Unified Form Language

FFC FEniCS Form Compiler

FIAT Element Finit Tabulator

CFD Computational Fluid Dynamics VTK Visualization Toolkit

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1 INTRODUC¸ ˜AO . . . 19

2 MEC ˆANICA DOS S ´OLIDOS . . . 21

2.1 Ondas S´ısmicas . . . 21

2.1.1 Ondas Longitudinais . . . 21

2.1.2 Ondas Transversais . . . 21

2.1.3 Ondas Love . . . 22

2.1.4 Ondas Rayleigh . . . 23

2.2 Propaga¸c˜ao de Ondas El´asticas em Meios Cont´ınuos . . . 23

2.2.1 Ondas P . . . 26

2.2.2 Ondas S . . . 27

2.3 Propaga¸c˜ao de Ondas em Meios Porosos Saturados . . . 28

3 MEC ˆANICA DOS FLUIDOS . . . 32

3.1 Escoamento laminar e escoamento turbulento . . . 32

3.2 Camada limite . . . 33

3.3 Perfil de velocidade dos ventos . . . 37

3.4 As equa¸c˜oes de Navier Stokes . . . 38

3.5 Modelo de Turbulˆencia RANS . . . 41

3.5.1 Modelo k − . . . 44

4 M´ETODOS NUM´ERICOS . . . 45

4.1 Introdu¸c˜ao ao M´etodo dos Volumes Finitos . . . 45

4.1.1 OpenFOAM . . . 47

4.1.1.1 Pr´e-processamento . . . 48

4.1.1.2 Solu¸c˜ao . . . 49

4.1.1.3 P´os-processamento . . . 50

4.2 Introdu¸c˜ao ao M´etodo dos Elementos Finitos . . . 50

4.2.1 FEniCS . . . 53

5 PROPAGAÇ ÃO DE ONDAS EL ÁSTICAS EM MEIOS HE-TEROGÊNEOS . . . 56

5.1 Introdu¸c˜ao . . . 56

5.2 Metodologia . . . 58

5.3 Resultados . . . 61

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6.1 Introdu¸c˜ao . . . 72

6.1.1 Efeitos causados pelas constru¸c˜oes . . . 74

6.2 Metodologia . . . 75

6.3 Resultados . . . 79

6.4 Conclus˜ao . . . 87

ANEXO A -- INTERNATIONAL JOURNAL OF MODERN PHYSICS C . . . 89

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1 INTRODUC¸ ˜AO

Com o aumento do poder de processamento dos computadores nas últimas décadas, tornou-se viável analisar simultaneamente, por meio de simula¸cões numéricas, os diversos fenômenos f´ısicos que acontecem em eventos do mundo real. Esse conceito é chamado de multif´ısica.

Antigamente, pequenas simula¸cões poderiam demorar tanto tempo que se tor-navam inviáveis de serem reproduzidas. Dessa forma, para continuar a pesquisa, os mode-los precisavam sofrer uma séria de simplifica¸cões para serem estudados de forma individual. Esta tese apresenta um conjunto de simula¸cões numéricas em mecânica do cont´ınuo para dois estudos de caso: o primeiro consistiu na análise dos parâmetros que influenciam a propaga¸cão de ondas mecânicas em meios elásticos homogêneos ou meios elásticos com incrusta¸cões; já o segundo, tratou dos impactos causados devido a presen¸ca de edif´ıcios em uma zona litorânea na circula¸cão dos ventos, para regiões que estivessem até 1,5 km de distância das constru¸cões.

O estudo de perturba¸cões mecânicas em meios materiais é frequente em f´ısica e dele resultaram várias aplica¸cões tecnológicas relevantes tais como o imageamento através de ultrassom usado em medicina e ciências de materiais, e o imageamento s´ısmico para identifica¸cão, localiza¸cão e prospeçcão de reservas minerais. No caso de ondas s´ısmicas sobre a crosta terrestre o meio pode ser considerado elástico e heterogêneo. A indústria do petróleo usa a prospeçcão s´ısmica para localizar potenciais reservas de óleo e gás, os quais se encontram em rochas porosas.

No que diz respeito a constru¸cão de grandes edif´ıcios em regiões à beira-mar, a presen¸ca destes reduzem a velocidade dos ventos em bairros mais afastados da orla, impedindo que haja o processo de refrigera¸cão natural, contribuindo para a forma¸cão das ilhas de calor. Além disso, outros impactos como a canaliza¸cão do fluxo de ar, a forma¸cão de zonas de recircula¸cão, a dispersão de poluentes, etc, são afetados diretamente por essas constru¸cões.

As simula¸cões foram realizadas em softwares gratuitos, de código aberto (Open-FOAM e FEniCS), que permitiram implementar a abordagem multif´ısica, onde equa¸cões diferenciais parciais distintas puderam ser solucionadas concomitantemente. Por se tratar de problemas que exigiam malhas de geometria complexa e com um grande número de elementos, fez-se necessário um estudo de convergência.

Visando uma melhor condu¸cão da leitura deste trabalho, os próximos cinco cap´ıtulos foram organizados de tal maneira que os três primeiros correspondem a

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fun-damenta¸cão teórica exigida para a compreensão dos problemas e os dois últimos são as aplica¸cões numéricas nos estudos de caso selecionados. Sendo assim, o segundo cap´ıtulo trata de efeitos relacionados a mecânica dos sólidos enquanto o terceiro cap´ıtulo aborda os conceitos referentes a mecânica dos fluidos. O quarto cap´ıtulo apresenta os principais métodos numéricos utilizados para solucionar problemas que envolvam equa¸cões diferen-ciais pardiferen-ciais. Nos cap´ıtulos cinco e seis estão descritas toda metodologia e resultado das simula¸cões da propaga¸cão de ondas elásticas em meios heterogêneos e dos impactos causados pela intera¸cão dos ventos com edif´ıcios em uma zona litorânea, respectivamente.

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2 MEC ˆANICA DOS S ´OLIDOS

Neste cap´ıtulo serão apresentados os tipos de ondas s´ısmicas e a teoria para a propaga¸cão de ondas em meios elásticos e poroelásticos que estejam completamente saturados.

2.1 Ondas S´ısmicas

O deslocamento causado devido a propaga¸cão de ondas em um meio hete-rogêneo é bastante complexo. Para o estudo desse tipo de problema são feitas algumas simplifica¸cões do caso real, como assumir que o deslocamento das part´ıculas presentes no meio é elástico (as part´ıculas retornam para a posi¸cão de origem) e que o meio hete-rogêneo pode ser dividido em sucessivas camadas homogêneas. Mesmo não sendo verdade em determinadas regiões, essas simplifica¸cões representam, com boa aproxima¸cão, o com-portamento do caso real.

As ondas s´ısmicas propagam-se de maneira similar às ondas sonoras. En-tretanto, essas normalmente possuem baixas frequências, compreendidas entre décimos a centésimos de Hertz. A amplitude de tais ondas também decresce com o inverso da distância à fonte. Elas podem ser de vários tipos, sendo as principais: longitudinais, transversais, Love e Rayleigh, onde as duas primeiras são ondas de corpo, que propagam-se por todo o meio, e as duas últimas são ondas de superf´ıcie [1].

2.1.1 Ondas Longitudinais

Também chamadas em sismologia de ondas primárias ou simplesmente ondas P, por serem as primeiras a serem registradas quando ocorre um sismo, são ondas nas quais as part´ıculas do meio oscilam para a frente e para trás ao longo da mesma dire¸cão de propaga¸cão da onda (Fig. 1).

Conforme é poss´ıvel observar, esse tipo de onda apresenta alternadamente uma região de compressão seguida de uma rarefa¸cão (ou de distensão), provocando altera¸cões de volume aos corpos sólidos elásticos.

2.1.2 Ondas Transversais

Também conhecidas como ondas de cisalhamento, ocorrem quando as part´ıculas do meio oscilam perpendicularmente à dire¸cão de propaga¸cão da onda (Fig. 2). São mais lentas que as ondas longitudinais e por isso são chamadas de ondas secundárias ou ondas

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Figura 1 – Movimento caracter´ıstico de uma onda longitudinal. A vibra¸cão das part´ıculas e a propaga¸cão da onda estão na mesma dire¸cão.

Fonte: Adaptado de https://earthquake.usgs.gov

S. Em geral s˜ao ondas em que os esfor¸cos n˜ao mudam o volume de qualquer parte do material.

Figura 2 – Nas ondas transversais, as vibra¸cões das part´ıculas se dão em uma dire¸cão perpendicular a da propaga¸cão da onda.

Fonte: Adaptado de https://earthquake.usgs.gov

Essas ondas podem estar polarizadas no plano horizontal ou vertical sendo chamadas em cada um desses casos de ondas SH ou SV, respectivamente. Em geral, propagam-se apenas em meios sólidos, uma vez que os fluidos com baixa viscosidade não suportam tensões de cisalhamento.

2.1.3 Ondas Love

São ondas superficiais resultantes da superposi¸cão de ondas com cisalhamento horizontal das camadas mais superiores da terra, conforme está representado na Fig. 3. Recebem esse nome em homenagem ao matemático britânico que estudou esse modelo, A.E.H. Love.

As ondas Love viajam com uma velocidade menor que as ondas P ou S, mas mais rápido que as ondas Rayleigh. Essas ondas são observadas somente quando há uma camada de baixa velocidade sobreposta a uma camada/sub-camadas de alta velocidade.

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Figura 3 – Diagrama mostrando a propaga¸c˜ao da onda de superf´ıcie. Fonte: Adaptado de https://earthquake.usgs.gov

2.1.4 Ondas Rayleigh

Essas ondas são o resultado das superposi¸cão de ondas P e SV, como as encon-tradas nas superf´ıcie da água. As part´ıculas do meio que são atingidas pela perturba¸cão descrevem um movimento el´ıptico contrário ao sentido de propaga¸cão conforme represen-tado na Fig. 4.

Figura 4 – As ondas Rayleigh propagam-se como as ondas na superf´ıcie da ´agua. Fonte: Adaptado de https://earthquake.usgs.gov

Embora as part´ıculas atingidas pelas ondas de Rayleigh e Love n˜ao sejam apenas as presentes na superf´ıcie livre, a amplitude do movimento desse tipo de onda decrescem rapidamente com a profundidade.

2.2 Propaga¸c˜ao de Ondas El´asticas em Meios Cont´ınuos

Consideremos um cubo infinitesimal, em equil´ıbrio est´atico, de massa dm e volume dV = dx dy dz. Sejam σij e τij as tens˜oes normais e cisalhantes, respectivamente,

atuantes no centro do elemento diferencial. Nessa nota¸cão o primeiro ´ındice denota o plano no qual a tensão é aplicada e o segundo a dire¸cão da tensão. Dessa forma, as tensões atuantes ao longo da dire¸cão x em cada face do elemento podem ser obtidas através de uma expansão em séries de Taylor em torno do centro do elemento, conforme mostrado na Fig. 5.

(25)

Figura 5 – Tens˜oes sobre um elemento na dire¸c˜ao x.

Fonte: Fox, et al. Introdu¸cão à Mecânica dos Fluidos. Grupo Gen-LTC, 8a _edi¸cão.

for¸cas nessa dire¸c˜ao. Assim procedendo,

dFSx = σxx+ ∂σxx ∂x dx 2 dydz− σxx− ∂σxx ∂x dx 2 dydz + τyx+ ∂τyx ∂y dy 2 dxdz− τyx− ∂τyx ∂y dy 2 dxdz + τzx+ ∂τzx ∂z dz 2 dxdy− τzx− ∂τzx ∂z dz 2 dxdy, (2.1)

o que resulta em, dFSx = ∂σxx ∂x + ∂τyx ∂y + ∂τzx ∂z dxdydz. (2.2)

Seja bx a componente da for¸ca de corpo dFBx, por unidade de massa, ao longo do eixo x. A for¸ca resultante nessa dire¸c˜ao, dFx, ser´a dada por

dFx = dFSx + dFBx = ∂σxx ∂x + ∂τyx ∂y + ∂τzx ∂z + ρbx dV, (2.3)

onde ρ ´e a densidade do elemento infinitesimal. Pela segunda lei de Newton,

dFx = dm ∂2_u x ∂t2 = ρ ∂2_u x ∂t2 dV, (2.4)

(26)

Das equa¸c˜oes (2.3) e (2.4,) conclui-se que ρ∂ 2_u x ∂t2 = ∂σxx ∂x + ∂τyx ∂y + ∂τzx ∂z + ρbx, (2.5)

similarmente, para as outras dire¸c˜oes obt´em-se:

ρ∂ 2_u y ∂t2 = ∂τxy ∂x + ∂σyy ∂y + ∂τzy ∂z + ρby, (2.6) ρ∂ 2_u z ∂t2 = ∂τxz ∂x + ∂τyz ∂y + ∂σzz ∂z + ρbz. (2.7)

Para um material que mantém caracter´ısticas elásticas, pode-se expressar as tensões pela lei de Hooke generalizada. Quando trata-se de um meio isotrópico, que possui propriedades independentes da dire¸cão no espa¸co, a rela¸cão entre o tensor de tensões, σ, e o tensor de deforma¸cões, , é simplificada por

σ = λtr () I + 2µ, (2.8)

onde λ = K -2

3G e µ = G são as constantes de Lamé, com G sendo o módulo de cisalhamento

e K o módulo volumétrico. Além disso, I é o tensor identidade e a forma matricial do tensor de tensões é dada por

σ =     σxx τxy τxz τyx σyy τyz τzx τzy σzz     . (2.9)

Em um material elástico e isotrópico as seguintes rela¸cões são válidas:

σxx = λθ + 2µxx (2.10)

σyy = λθ + 2µyy (2.11)

σzz = λθ + 2µzz (2.12)

τyx= 2µyx (2.13)

τzx= 2µzx, (2.14)

sendo θ = ∂u/∂x = xx + yy + zz a dilata¸c˜ao do material. Dessa forma, podemos

reescrever a Eq. (2.5) da seguinte maneira,

ρ∂ 2_u x ∂t2 = ∂ (λθ + 2µxx) ∂x + ∂ (2µyx) ∂y + ∂ (2µzx) ∂z + ρbx. (2.15)

(27)

Pela defini¸c˜ao da deforma¸c˜ao, xx = ∂ux ∂x , (2.16) yx = 1 2 ∂ux ∂y + ∂uy ∂x , (2.17) zx = 1 2 ∂ux ∂z + ∂uz ∂x , (2.18)

substituindo as Eq. (2.16), (2.17) e (2.18) em (2.15) ´e poss´ıvel chegar na se-guinte express˜ao ρ∂ 2_u x ∂t2 = (λ + µ) ∂θ ∂x + µ∇ 2_u x+ ρbx, (2.19)

o mesmo é válido para as outras dire¸cões. É conveniente escrever essa equa¸cão em sua forma vetorial,

ρ∂

2_~u

∂t2 = (λ + µ)∇ (∇ · ~u) + µ∇

2_{~u + ρ~b,} _(2.20)

onde esta é a equa¸cão da elastodinâmica para ondas elásticas lineares em um meio ho-mogêneo e isotrópico.

2.2.1 Ondas P

Consideremos o caso trivial onde n˜ao existem for¸cas de campo (_{| ~b |= 0). Dessa} forma a Eq. (2.20) se resume a

ρ∂

2_~u

∂t2 = (λ + µ)∇ (∇ · ~u) + µ∇

2_~u. _(2.21)

Aplicando o operador divergente nos dois lados dessa equa¸c˜ao, obt´em-se:

∇ · ρ∂ 2_~u ∂t2 =_{∇ ·}(λ + µ) ∇ (∇ · ~u) + µ∇2_{~u ,} _(2.22) ρ∂ 2 ∂t2 (∇ · ~u) = (λ + µ) ∇ 2₍ ∇ · ~u) + µ∇2(_{∇~·u) ,} (2.23) onde foi usado_∇·∇2_{~u =}_∇2₍_{∇~·u). A equa¸c˜ao (2.23), tamb´em pode ser escrita da seguinte}

forma: ρ ∂ 2 ∂~ut2 (∇ · ~u) = (λ + 2µ) ∇ 2₍ ∇ · ~u) , (2.24) ρ∂ 2_θ ∂t2 = (λ + 2µ)∇ 2_θ. _(2.25)

(28)

A (2.25) trata-se de uma equa¸cão de onda para a propaga¸cão da dilata¸cão e pode ser reescrita como

∇2_{θ =} 1

cp

∂2_θ

∂t2, (2.26)

sendo cp a velocidade de propaga¸c˜ao, dada por

cp =

s

λ + 2µ

ρ . (2.27)

A Equa¸cão (2.25) é conhecida como a equa¸cão da onda tridimensional e aparece em muitos problemas f´ısicos. É comumente chamada de onda longitudinal P. Em um meio cont´ınuo, elástico e isotrópico, os problemas definidos por essa equa¸cão possuem simetria esférica.

2.2.2 Ondas S

Aplicando o operador rotacional em ambos os lados da Eq. (2.20) e desconsi-derando as for¸cas de campo, temos

ρ∂

2

∂t2∇ × ~u = (λ + µ) ∇ × ∇ (∇ · ~u) + µ∇ × ∇

2_~u. _(2.28)

Para prosseguir o desenvolvimento matem´atico, faremos uso das seguintes propriedades: i)∇2_{~a =}_{∇ (∇ · ~a) − ∇ × ∇ × ~a para um vetor ~a;}

ii)_{∇ × ∇F = 0 para qualquer fun¸c˜ao escalar F ;} iii) _{∇ · ∇ × ~a = 0 para um vetor ~a;}

Podemos escrever_{∇ × ∇}2_{~u, fazendo uso da propriedade (i), da seguinte forma}

∇ × ∇2~u =_{∇ × [∇ (∇ · ~u) − ∇ × ∇ × ~u] ,} (2.29) pela propriedade (ii),

∇ × ∇2~u =_{−∇ × ∇ × ∇ × ~u,} (2.30)

substituindo ~a por_{∇ × ~u na propriedade (i),}

∇2(_{∇ × ~u) = ∇ (∇ · ∇ × ~u) − ∇ × ∇ × ∇ × ~u} (2.31) −∇ × ∇ × ∇ × ~u = −∇ (∇ · ∇ × ~u) + ∇2(_{∇ × ~u) ,} (2.32) sendo assim, ao substituir (2.32) em (2.30), chega-se em

(29)

onde, por interm´edio da propriedade (iii), conclui-se que

∇ × ∇2~u =_∇2(_{∇ × ~u) .} (2.34)

Ao substituir (2.34) em (2.28) determina-se a equa¸cão criada ao aplicar o rotacional na equa¸cão da elastodinâmica

ρ∂

2

∂t2∇ × ~u = (λ + µ) ∇ × ∇ (∇ · ~u) + µ∇

2₍_{∇ × ~u) ,} _(2.35)

entretanto, o primeiro termo depois da igualdade é zero, uma vez que o rotacional da divergência de um campo de vetores é nulo. Portanto,

ρ∂ 2 ∂t2∇ × ~u = µ∇ 2₍ ∇ × ~u) , (2.36) ou ainda, ∇2₍_{∇ × ~u) =} ρ µ ∂2 ∂t2∇ × ~u. (2.37)

A Eq. (2.37) pode ser reescrita em termos do vetor de rota¸c˜ao ~ω = (1/2)(∇~u). Assim procedendo,

∇2~ω = 1 cs

∂2_~u

∂t2, (2.38)

e nesse caso cs ´e a velocidade da onda, obtida por

cs=

r µ

ρ. (2.39)

A Eq. (2.38) é uma equa¸cão de ondas transversais ou de cisalhamento, também chamadas de onda do tipo S (shear ou secundárias).

2.3 Propaga¸c˜ao de Ondas em Meios Porosos Saturados

Em seu primeiro trabalho sobre ondas elásticas que se propagam em meios porosos [2], Biot formulou um modelo que representava os casos de baixas frequências, onde a suposi¸cão de fluxo de Poiseuille era válida. Os poros foram considerados totalmente saturados por um fluido viscoso, como água. Em sua teoria, as tensões aplicadas sobre um volume unitário (cubo) de um sistema sólido-fluido poderiam ser divididas em duas partes:

1) componentes de for¸cas atuantes nas partes s´olidas de cada face do cubo     σx τz τy τx σy τz τy τx σz     , (2.40)

(30)

2) e as for¸cas que atuam nas partes fluidas de cada face do cubo, representadas por     s 0 0 0 s 0 0 0 s     , (2.41)

sendo s um escalar proporcional a press˜ao p do fluido de acordo com

s =_−βp, (2.42)

e β a fra¸cão da área de fluido por unidade de se¸cão transversal.

Por meio dessas defini¸cões é poss´ıvel escrever o tensor de tensões da parte sólida,     ex 1₂γz 1₂γy 1 2γx ey 1 2γz 1 2γy 1 2γx ez     , (2.43) com ex = ∂ux ∂x , etc., (2.44) γz = ∂ux ∂y + ∂uy ∂x , etc., (2.45)

onde ux, uy e uz s˜ao as componentes do vetor deslocamento do s´olido.

Similarmente, é poss´ıvel descrever o deslocamento médio do fluido e representar o fluxo volumétrico. A tensão no elemento de fluido é definida pela dilata¸cão,

= ∂Ux ∂x + ∂Uy ∂y + ∂Uz ∂z , (2.46)

sendo Ux, Uy e Uz as componentes do campo vetorial de deslocamento do fluido.

(31)

e isotropia do material, é poss´ıvel reduzir as rela¸cões tensão-deforma¸cão a σx = 2N ex+ Ae + Q (2.47) σy = 2N ey + Ae + Q (2.48) σz = 2N ez+ Ae + Q (2.49) τx = N γx (2.50) τy = N γy (2.51) τz = N γz (2.52) s = Qe + R, (2.53)

com e = ex + ey + ez. Ao examinar o significado dessas constantes, percebe-se que A e

N correspondem aos coeficientes de Lamè, da teoria da elasticidade, onde N representa o módulo volumétrico do material [2].

O coeficiente R é uma medida da pressão necessária no fluido para deslocar um determinado volume de fluido para o elemento infinitesimal em análise, enquanto o volume total permanece constante. O coeficiente Q está relacionado a natureza do acoplamento entre a mudan¸ca de volume da parte sólida e da parte fluida.

Após escrever a energia cinética do sistema e aplicar as equa¸cões de Lagrange, é poss´ıvel chegar mediante algum algebrismo na equa¸cão que descreve a dinâmica do movimento: ∂σx ∂x + ∂τz ∂y + ∂τy ∂z = ∂2 ∂t2 (ρ11ux+ ρ12Ux) , (2.54) ∂s ∂x = ∂2 ∂t2(ρ12ux+ ρ22Ux) , etc. (2.55)

Nesse caso, ρ11, ρ12, e ρ22 s˜ao coeficientes de massa que levam em conta o fato do fluxo

relativo de fluidos através dos poros não ser uniforme. As equa¸cões para a propaga¸cão de ondas são obtidas substituindo as tensões nas rela¸cões dinâmicas (2.54) pelas expressões de tensão e deforma¸cão apresentadas na Eq. (2.47). Sendo assim, temos:

N_∇2~u +_{∇ [(A + N) e + Q] =} ∂ 2 ∂t2 ρ11~u + ρ12U~ (2.56) ∇ (Qe + R) = ∂ ∂t2 ρ12~u + ρ22U~ , (2.57)

de tal forma que as seis equa¸c˜oes para as seis componentes desconhecidos dos desloca-mentos ~u e ~U determinam completamente a propaga¸c˜ao.

(32)

dentro da matriz sólida. Reescrevendo as Eqs. (2.56) e (2.57) em termos da fun¸cão de dissipa¸cão, temos: N_∇2~u +_{∇ [(A + N) e + Q] =} ∂ 2 ∂t2 ρ11~u + ρ12U~ + b∂ ∂t ~u_{− ~U} (2.58) ∇ (Qe + R) = ∂ ∂t2 ρ12~u + ρ22U~ − b∂ ∂t ~u− ~U, (2.59) onde o coeficiente b está relacionado a permeabilidade da lei de Darcy com k dado por:

b = µβ

2

k , (2.60)

(33)

3 MEC ˆANICA DOS FLUIDOS

Os movimentos turbulentos são caracterizados por flutua¸cões instantâneas da velocidade, temperatura e outros escalares que dificultam a cria¸cão de uma abordagem determin´ıstica do fenômeno [3] . Trata-se, portanto, de uma caracter´ıstica do escoamento e não do fluido. Em virtude destas flutua¸cões, o estado turbulento possui significativa contribui¸cão no transporte de momento, calor e massa.

A compreensão da turbulência é de grande interesse prático, pois está presente em diferentes escalas, desde a dinâmica da atmosfera a escoamentos em dutos ou canais. A sua modelagem permite reduzir custos, aumentar eficiência e melhorar a seguran¸ca de projetos tecnológicos como turbinas eólicas, na matriz energética ou ve´ıculos terrestre, mar´ıtimo e aéreo, nos meios de transporte.

3.1 Escoamento laminar e escoamento turbulento

Um escoamento é dito do tipo laminar quando o fluxo segue de forma orde-nada, com baixas oscila¸cões ou em lâminas planas e paralelas, como sugere o próprio nome. Já o escoamento turbulento acontece quando as part´ıculas fluidas se misturam rapidamente devido a flutua¸cão do campo de velocidade, gerando um movimento caótico e, aparentemente, aleatório (Fig. 6). Esse fenômeno acontece quando as for¸cas viscosas no fluido não conseguem amortecer tais oscila¸cões.

O fluxo turbulento promove um aumento nas for¸cas de arrasto e na dissipa¸cão da energia, sendo por isso que na maioria das vezes tenta-se evitá-lo. Entretanto, há situa¸cões onde a turbulência é desejável, como no escoamento do sangue através dos vasos sangu´ıneos, pois o movimento aleatório permite o contato de todas as células de sangue com as paredes dos vasos para trocar oxigênio e outros nutrientes [4].

Uma forma de identificar a separa¸cão de um escoamento laminar para o es-coamento turbulento é através do número de Reynolds (Re), que mede a razão entre as for¸cas de inércia e viscosas, dado por

Re = ρU D

µ , (3.1)

em que ρ e µ s˜ao, respectivamente, a massa espec´ıfica e a viscosidade do fluido e U e D s˜ao a velocidade e o comprimento t´ıpicos do escoamento.

Um fluido de alta viscosidade ´e capaz de conter as flutua¸c˜oes mais efetivamente que um fluido de baixa viscosidade e, por isso, permanecer laminar mesmo que esteja

(34)

Figura 6 – Transi¸c˜ao do escoamento laminar par o turbulento, com Re_{' 2, 5 ×10}3_.

Fonte: Structure and dynamics of round turbulent jets [5].

sujeito a vazões relativamente altas. Entretanto, as for¸cas de inércia geradas por um fluido de alta densidade, devido às flutua¸cões aleatórias no movimento, poderão ser tão significativas que este fluido poderá sofrer uma transi¸cão para o regime turbulento mesmo em vazões relativamente baixas.

3.2 Camada limite

O estudo da hidrodinâmica permitiu a explica¸cão de escoamentos limitados devido as considera¸cões impostas na formula¸cão da teoria, dentre elas a de o fluido ser ideal. Sendo assim, este era assumido como laminar, incompress´ıvel e não viscoso. Para os casos onde a intera¸cão fluido estrutura fosse desprez´ıvel e que se utilizasse água ou ar, que possuem baixa viscosidade, a teoria fornecia bons resultados.

Euler adicionou em suas equa¸cões a compressibilidade do fluido. Sua expressão correspondia às equa¸cões de Navier-Stokes quando as componentes dissipativas fossem irrelevantes frente às convectivas. Apesar do avan¸co gerado, muitos resultados de experi-mentos conhecidos na literatura ainda divergiam de resultados teóricos previstos. Grande parte disso era devido aos efeitos viscosos.

Consideremos o caso onde um fluido repousa entre duas placas planas e infinitas separadas por uma distância infinitesimal y (Fig. 7). A experiência mostra que, em fluidos Newtonianos, ao se aplicar uma for¸ca na placa superior, deslizando-a horizontalmente com uma velocidade u, é produzida uma tensão de cisalhamento τ no fluido dada por,

τ _∝ du

dy. (3.2)

A viscosidade absoluta (ou dinˆamica) nada mais ´e do que a constante de pro-porcionalidade na Eq. 3.2, sendo portanto uma caracter´ıstica do fluido. Logo,

τ = µdu

(35)

Assumir um fluido como não viscoso traz grandes implica¸cões, como por exem-plo a não existência de for¸cas de arrasto. Sendo assim, se fosse poss´ıvel empurrar um barco em uma água com viscosidade zero, ele seguiria com velocidade constante, uma vez que não existiria for¸cas resistivas que ocasionassem a dissipa¸cão de energia no sistema.

Figura 7 – Deforma¸cão sofrida por um elemento de fluido devido a tensão cisalhante. Fonte: Próprio autor.

Outro exemplo seria o escoamento de um fluido incompress´ıvel em torno de uma bola (Fig. 8). Tomando como hipótese que o número de Reynolds seja muito grande, o fluido poderia ser tratado como não viscoso o que ocasionaria uma simetria nas linhas de corrente e no campo de pressão em torno da bola. Consequentemente, poderia-se concluir que não haveria for¸cas de arrasto resultantes sobre a bola devido a pressão ou atrito, o que constitui o famoso paradoxo de d’Alembert. Evidentemente isso não condiz com a realidade, pois um fluido real, naturalmente, opõe resistência ao deslocamento de um corpo através dele. Esse paradoxo seria resolvido por Prandtl, cerca de 150 anos depois, com o conceito de camada limite.

Figura 8 – As linhas de corrente em torno da bola são simétricas. Fonte: Próprio autor.

Prandtl mostrou [6] que muitos escoamentos viscosos podem ser analisados dividindo o escoamento em duas regiões, uma perto da fronteira sólida e a outra cobrindo o resto do escoamento. Apenas na camada delgada junto à superf´ıcie do obstáculo (chamada de camada limite) o efeito da viscosidade é importante. Tal camada possui espessura consideravelmente menor do que as dimensões do obstáculo e nela a velocidade varia

(36)

rapidamente, desde um valor nulo junto à parede (fato experimental conhecido), até um valor caracter´ıstico do escoamento, no seio do fluido. Para a região fora da camada limite, o efeito da viscosidade é desprez´ıvel e o fluido pode ser tratado como não viscoso. Isso explica, por exemplo, o porque de part´ıculas de poeira aderirem às pás de um ventilador mesmo se ele estiver girando rapidamente.

A camada limite tanto pode apresentar escoamento laminar como turbulento. A Fig. 9 ilustra como se d´a essa transi¸c˜ao1 _{em uma placa plana. Diversos fatores podem}

influenciar nessa transi¸cão, tais como o gradiente de pressão, a rugosidade superficial, transferência de calor, etc.

Figura 9 – A camada limite é laminar por uma curta distância a jusante da borda de ataque; existe uma região de transi¸cão onde, depois dela, o escoamento torna-se com-pletamente turbulento. A velocidade do fluido varia de zero até U∞ através da camada

limite.

Fonte: Adaptado de Fox, et al. Introdu¸cão à Mecânica dos Fluidos. Grupo Gen-LTC, 8a

edi¸c˜ao.

Chama-se de espessura de pertuba¸c˜ao, δ, a distˆancia da superf´ıcie na qual a velocidade encontra-se dentro de 1% da velocidade de corrente livre U∞.

Em 1941 o matemático soviético Kolmogorov formulou uma teoria para ex-plicar o processo de dissipa¸cão de energia no fluxo turbulento [7]. Ele concluiu, através de seus experimentos, que o campo de velocidade induzido por todos os vórtices levava a um estiramento médio desses vórtices, reduzindo o seu diâmetro. Por conserva¸cão do momento angular, quando o diâmetro diminui, a taxa de rota¸cão (vorticidade) e a energia cinética rotacional aumentam. Dessa forma, a energia cinética é transferida dos grandes redemoinhos para os redemoinhos progressivamente menores e menores até que torne-se energia interna do escoamento (na forma de calor), sendo esse fenômeno conhecida como cascata de energia (ou cascata de Kolmogorov).

1_{Ainda n˜}_{ao se tem um completo entendimento dos fenˆ}_{omenos que desencadeiam a dinˆ}_{amica da}

(37)

Todas as propriedades flutuantes de um fluxo turbulento contêm energia através de uma ampla faixa de frequências ou números de onda (= 2πf /U , onde f é a frequência). Isso é demonstrado na Fig. 10, que fornece o espectro de energia da turbulência a jusante de uma grade. A energia espectral E(k) é mostrada em fun¸cão do número de onda (k = 2π/λ), onde λ é o comprimento de onda dos redemoinhos. A energia espectral E(k) (unidades m3_/s2_{) é a energia cinética por unidade de massa e por unidade de n´}_{umero de}

ondas de flutua¸cões em torno do número de onda k. O diagrama mostra que o conteúdo de energia atinge o pico nos números de onda baixos, de modo que os redemoinhos mai-ores são os mais energéticos. Eles adquirem sua energia através de fortes intera¸cões com o fluxo médio. O valor de E(k) diminui rapidamente à medida que o número de onda aumenta, portanto os menores redemoinhos têm o menor conteúdo de energia. As me-nores escalas de movimento em um fluxo turbulento (comprimentos da ordem de 0,1 a 0,01 mm e frequências em torno de 10 kHz em fluxos t´ıpicos de engenharia turbulenta) são dominadas por efeitos viscosos [8].

Figura 10 – Espectro de energia em fun¸cão do número de onda. O máximo da energia se dá para os redemoinhos que possuem o menor número de onda. A medida que esse número aumenta, a energia decresce rapidamente.

Fonte: Adaptado de Veersteg, et al. An introduction to computational fluid dynamics: the finite volume method. Pearson Schweiz, Volume 20.

(38)

associado com pequenas escalas, que incluem a taxa de dissipa¸cão de energia por unidade de massa (m2_s−3_{) e a viscosidade cinemática ν(m}2_s−1_{), são expressas por}

comprimento λ = ν 3 1/4 , (3.4) tempo τ =ν 1/2 , (3.5) velocidade v = (ν)1/4. (3.6)

A taxa de dissipa¸c˜ao viscosa pode ser relacionada com escalas de comprimento e velocidade da turbulˆencia de larga escala da seguinte forma

_≈ U

2

t = U3

L , (3.7)

onde t = L/U . A análise dimensional pode ser usada para obter propor¸cões das escalas de comprimento, tempo e velocidade dos redemoinhos entre as pequenas e grandes escalas de turbulência: λ = ν 3 1/4 = ν 3_L U3 1/4 = 1 Re3/4L⇒ λ L = Re −3/4 _(3.8) τ =ν 1/2 = νL U3 1/2 = 1 Re1/2t ⇒ τ t = Re −1/2 _(3.9) v = (v)1/4= vU 3 L 1/4 = 1 Re1/4U ⇒ v U = Re −1/4_. _(3.10)

As escalas associados a pequenos vórtices são muito menores que aquelas dos grandes vórtices, mais energéticos, e a diferen¸ca -chamada de separa¸cão de escala- aumenta com o número de Reynolds.

3.3 Perfil de velocidade dos ventos

A Terra é aquecida de forma desigual pelo Sol, devido a sua inclina¸cão em torno do próprio eixo, do movimento de rota¸cão, entre outros fatores. Isso faz com que surja uma diferen¸ca de densidade nas massas de ar, que provoca a circula¸cão atmosférica e determina a forma¸cão dos ventos.

O tipo do perfil da velocidade dos ventos encontrado em uma determinada região é fun¸cão do relevo, da vegeta¸cão, presen¸ca de lagos, casas, edif´ıcios, além das condi¸cões climáticas [9]. A intensidade de sua velocidade pode ser fator decisivo para a mudan¸ca de paisagens naturais, conforme mostrado na Fig. 11, transporte de dunas,

(39)

sementes, etc.

Figura 11 – Conhecida como árvore da pregui¸ca, essa árvore que fica no munic´ıpio de Jericoacoara-CE cresceu inclinada devido aos fortes ventos que existem na região.

Fonte: Pr´oprio autor.

Existem vários modelos que tentam representar a extrapola¸cão do perfil verti-cal dos ventos na camada limite superficial, sendo o perfil logar´ıtmico e a lei de potência os mais utilizados.

O perfil logar´ıtimo (Fig. 12) é uma rela¸cão semi-emp´ırica normalmente apli-cada para os 100 m mais baixos da atmosfera. Nele, a velocidade u(z) é dada por,

u(z) = u ∗ k ln z z0 , (3.11)

onde a u∗ _{é a velocidade de friçcão, k é a constante de von Kármán e z}

0 ´e o comprimento

de rugosidade que ´e uma caracter´ıstica do tipo da superf´ıcie.

A lei de potência, devido sua simplicidade, é amplamente utilizada para fins de energia eólica. Nela, a velocidade do vento a uma certa altura z é encontrada da seguinte forma u(z) = u(zr) z zr α , (3.12)

sendo zr uma altura de referˆencia e α o expoente de Hellmann, que ´e empiricamente

derivado e varia dependendo da estabilidade da atmosfera. 3.4 As equa¸c˜oes de Navier Stokes

A dinâmica da circula¸cão atmosférica é um processo complexo que depende dos efeitos de conveçcão, capaz de alterar a velocidade dos ventos devido ao fluxo de calor e, também, da presen¸ca de obstáculos topográficos, como edif´ıcios e constru¸cões, com

(40)

Figura 12 – Perfil vertical da velocidade do vento desde a superf´ıcie até a altura do vento geostrófico. O comprimento da rugosidade (z0) é a altura onde a velocidade é nula.

Fonte: O aproveitamento da energia e´olica [10].

os quais o fluxo possa interagir, resultando em zonas de acelera¸cão ou recircula¸cão. O escoamento de ar sobre as cidades obedece a equa¸cão da continuidade,

∂ρ

∂t +∇ · (ρ~u) = 0, (3.13)

sendo ρ a densidade do fluido, t o tempo e ~u a velocidade.

O movimento de um elemento cubico infinitesimal de fluido, em um sistema de coordenadas retangulares, ser´a descrito pela equa¸c˜ao do momento:

ρDu Dt = ρgx+ ∂σxx ∂x + ∂τyx ∂y + ∂τzx ∂z (3.14) ρDv Dt = ρgy+ ∂τxy ∂x + ∂σyy ∂y + ∂τzy ∂z (3.15) ρDw Dt = ρgz+ ∂τxz ∂x + ∂τyz ∂y + ∂σzz ∂z , (3.16)

sendo σij e τij as tens˜oes normais e cisalhantes, respectivamente. Nesta nota¸c˜ao, o primeiro

´ındice indica o plano no qual a tensão atua e o segundo ´ındice indica a dire¸cão de atua¸cão. Para um fluido Newtoniano, podemos adotar as rela¸cões:

τxy = τyx= µ ∂v ∂x + ∂u ∂y (3.17) τyz= τzy= µ ∂w ∂y + ∂v ∂z (3.18)

(41)

τzx= τxz = µ ∂u ∂z + ∂w ∂x (3.19) σxx =−p − 2 3µ∇ · ~u + 2µ ∂u ∂x (3.20) σyy =−p − 2 3µ∇ · ~u + 2µ ∂v ∂y (3.21) σzz =−p − 2 3µ∇ · ~u + 2µ ∂w ∂z , (3.22)

onde p é a pressão termodinâmica local e µ a viscosidade dinâmica. Substituindo as expressões das tensões nas equa¸cões do movimento, obtém-se as chamadas equa¸cões de Navier-Stokes, ρDu Dt = ρgx− ∂p ∂x + ∂ ∂x µ 2∂u ∂x − 2 3∇ · ~u + ∂ ∂y µ ∂v ∂x + ∂u ∂y + ∂ ∂z µ ∂u ∂z + ∂w ∂x (3.23) ρDv Dt = ρgy − ∂p ∂y + ∂ ∂x µ ∂v ∂x + ∂u ∂y + ∂ ∂y µ 2∂v ∂y − 2 3∇ · ~u + ∂ ∂z µ ∂w ∂y + ∂v ∂z (3.24) ρDw Dt = ρgz− ∂p ∂z + ∂ ∂x µ ∂u ∂z + ∂w ∂x + ∂ ∂y µ ∂w ∂y + ∂v ∂z + ∂ ∂z µ 2∂w ∂z − 2 3∇ · ~u , (3.25)

onde do lado esquerdo das equa¸cões temos a contribui¸cão das for¸cas inerciais e do lado direito, as for¸cas de corpo, for¸cas de pressão e as for¸cas viscosas, respectivamente.

(42)

3.5 Modelo de Turbulˆencia RANS

Existem v´arios modelos para descrever o comportamento turbulento de um fluido2_{. Entre eles, destacam-se o DNS (Direct Numerical Simulation), de elevado custo}

computacional, o LES (Large Eddy Simulation), que realiza modelagem apenas nas escalas sub-malha e o RANS (Reynolds Averaged Navier–Stokes equations) baseado nas equa¸c˜oes de Navier-Stokes m´edias no tempo, sendo largamente utilizado em problemas de f´ısica e engenharia.

O que eleva o custo computacional do modelo DNS é o fato de ele resolver todo o espectro da energia cinética turbulenta, necessitando assim de malhas muito refinadas. Em contra partida, isso fornece uma maior precisão na solu¸cão do problema, uma vez que obtém-se os valores instantâneos dos campos de pressão e velocidade. Em termos gerais, esse modelo é atualmente indicado apenas para simula¸cões de escoamentos com baixo número de Reynolds.

O modelo LES resolve diretamente apenas as grandes escalas de turbulência, usando modelos de sub-malha para a modelagem das pequenas escalas. Isso é interessante porque reduz os erros obtidos, uma vez que a transferência da energia cinética turbulenta se dá das grandes escalas, mais energéticas, para as pequenas escalas, menos energéticas. Nos dias atuais, esse é um dos modelos mais atrativos para simula¸cões de fluxo turbulento. A Fig. 13 mostra a rela¸cão entre o custo computacional e o grau de modelagem dos modelos RANS, LES e DNS.

Figura 13 – Comparativo entre o custo computacional dos modelos de turbulˆencia. Fonte: Pr´oprio autor.

2_{Apesar de todos os avan¸cos obtidos nas ´}_{ultimas d´ecadas, ainda n˜}_{ao existe uma teoria abrangente e}

(43)

A utiliza¸cão das médias das equa¸cões de Navier-Stokes e da equa¸cão da con-tinuidade, no modelo RANS, desencadeia os chamados tensores de Reynolds. Estes são responsáveis por descrever os efeitos das flutua¸cões turbulentas da pressão e da veloci-dade no escoamento do fluido. Existem diversas tentativas de se modelar os fechamentos de segunda ondem das equa¸cões RANS, entre eles os modelos algébricos ou de equa¸cões diferenciais parciais, que utilizam ou não o conceito de viscosidade turbulenta. Veremos a seguir um breve resumo do desenvolvimento desse modelo.

Em regime de escoamento turbulento, os parâmetros instantâneos podem ser determinados em fun¸cão de um valor médio e da flutua¸cão em torno desse valor. Dessa forma, sendo U o valor médio da velocidade e u0 _{a flutua¸cão, a componente horizontal da}

velocidade instantˆanea ser´a dada por

u = U + u0_, _(3.26)

similarmente, para as outras componentes

v = V + v0 (3.27)

w = W + w0. (3.28)

Substituindo (3.26), (3.27) e (3.28) nas equa¸cões da continuidade e do momento, aplicando a média de Reynolds e considerando que ρ0 = 0 e p0 = 0, obtém-se

∂ρ ∂t + ∂ ∂x ρU + ∂ ∂y ρV + ∂ ∂z ρW = 0 (3.29) ∂ ∂t ρU + ∂ ∂x ρU U + ∂ ∂y ρV U + ∂ ∂z ρW U = ρgx− ∂p ∂x + ∂ ∂xσxx− ρu 0_u0₊ ∂ ∂yτxy− ρu 0_v0 + ∂ ∂z τxz − ρu 0_w0 (3.30) ∂ ∂t ρV + ∂ ∂x ρU V + ∂ ∂y ρV V + ∂ ∂z ρW V = ρgy− ∂p ∂y + ∂ ∂xτyx− ρv 0_u0₊ ∂ ∂yσyy− ρv 0_v0 + ∂ ∂z τyz− ρv 0_w0 (3.31)

(44)

∂ ∂t ρW + ∂ ∂x ρU W + ∂ ∂y ρV W + ∂ ∂z ρW W = ρgz− ∂p ∂x + ∂ ∂xτzx− ρw 0_u0₊ ∂ ∂yτzy− ρw 0_v0 + ∂ ∂z σzz− ρw 0_w0_. (3.32)

Os termos adicionais dos componentes de velocidade flutuante que surgiram no lado es-querdo das novas equa¸c˜oes s˜ao chamados de tensores de Reynolds que, para um fluido incompress´ıvel, pode ser escrito na forma matricial

uiuj =     u0_u0 _u0_v0 _u0_w0 v0_u0 _v0_v0 _v0_w0 w0_u0 _w0_v0 _w0_w0     , (3.33)

onde a soma dos elementos da diagonal principal ´e utilizada para calcular a energia cin´etica turbulenta, k = 1₂pu02_{+ v}02_{+ w}02_.

Adotando a hipótese de Boussinesq, em que as tensões de Reynolds tem a mesma forma que as tensões viscosas, e a generaliza¸cão proposta por Kolmogorov, rees-crevemos as equa¸cões (3.17)-(3.22) da seguinte maneira [11]:

−ρu0 iu0j = µt ∂Ui ∂xj +∂Uj ∂xi − 2 3µt ∂uk ∂xk δij − 2 3ρkδij, (3.34) onde µt ´e viscosidade turbulenta. Substituindo esse termo nas equa¸c˜oes (3.30)-(3.32)

obtemos, de forma compacta, a base da equa¸c˜ao para os modelos de turbulˆencia, ρ ∂Ui ∂t + Uj ∂Ui ∂xj = ρgi+ ∂ ∂xj µef f ∂ui ∂xj +∂uj ∂xi −∂P ∂xi , (3.35)

sendo µef f a viscosidade efetiva

µef f = µ + µt, (3.36) e P a press˜ao modificada P = p + 2 3µt ∂uk ∂xk + 2 3ρk. (3.37)

(45)

Tabela 1: Valores de k e nas equa¸c˜oes de transporte.

Cµ C1 C2 σk σ

0.09 1.44 1.92 1 1.3

3.5.1 Modelo k −

A viscosidade turbulenta não é uma propriedade do fluido, mas uma fun¸cão do escoamento e sua representa¸cão é o ponto de partida para os modelos de turbulência3_.

O modelo k− é um dos mais utilizados em simula¸cões RANS onde µté fun¸cão

de dois parâmetros: da energia cinética turbulenta k e do taxa de dissipa¸cão turbulenta . Esses parâmetros passam a ser encontrados através de equa¸cões de transporte [8].

Para a energia cin´etica turbulenta, ∂ (ρk) ∂t + ∂ ∂xj (ρkuj) = µt ∂ui ∂xj + ∂uj ∂xi ∂ui ∂xj + ∂ ∂xj µ + µt σk ∂k ∂xj − ρ. (3.38)

e para a taxa de dissipa¸c˜ao turbulenta, ∂ ∂t(ρ) + ∂ ∂xj (ρuj) = ∂ ∂xj µ + µt σ ∂ ∂xj +C1µt ∂ui ∂xj +∂uj ∂xi ∂ui ∂xj k −C2ρ 2 k. (3.39)

Os valores das constantes das Equa¸cões (3.38) e (3.39) são fornecidos na Tab. 1 e a viscosidade turbulenta é dada por

µt = cµρ

k2

. (3.40)

3_{Os modelos de viscosidade turbulenta s˜}_{ao baseados na hip´}_{otese feita por Boussinesq que propˆ}_os

uma analogia entre as tensões turbulentas e as tensões moleculares existentes no regime laminar. O principal ponto fraco desta hipótese está no fato da viscosidade turbulenta ser uma grandeza escalar, o que pressupõe isotropia.

(46)

4 M´ETODOS NUM´ERICOS

Os métodos numéricos são geralmente utilizados para solucionar problemas em que a solu¸cão anal´ıtica não é conhecida. Sendo assim, sua tarefa consiste em resolver uma ou mais equa¸cões diferenciais, substituindo as derivadas existentes por expressões algébricas que envolvem a fun¸cão incógnita. A solu¸cão será um valor aproximado, devido a discretiza¸cão do dom´ınio, de tal modo que quanto maior for o número de pontos, mais perto da solu¸cão exata será a solu¸cão numérica.

Em um problema que exista N valores da variável no dom´ınio, teremos N incógnitas, sendo necessárias N equa¸cões algébricas para o fechamento, formando um sis-tema de N equa¸cões a N incógnitas. Se quisermos tornar mais precisos nossos cálculos, aumentando o número de incógnitas, o sistema linear a ser resolvido também vai igual-mente aumentando em número de equa¸cões. O esfor¸co computacional também cresce e de forma não linear, se algoritmos especiais, como os multigrid, não forem empregados [12]. Neste cap´ıtulo serão apresentados dois dos principais métodos numéricos uti-lizados para solucionar problemas que envolvem equa¸cões diferenciais parciais.

4.1 Introdu¸c˜ao ao M´etodo dos Volumes Finitos

O Método dos Volumes Finitos (MVF) é um método de solu¸cão de equa¸cões diferenciais parciais baseado na resolu¸cão dos balan¸cos de massa, momento e energia de um determinado volume de controle. Basicamente, a aplica¸cão do método consiste nas seguintes etapas: 1) Discretizar o dom´ınio em pequenos volumes de controle; 2) Formular as equa¸cões integrais de conserva¸cão para cada um desses pequenos volumes; 3) Fazer a integra¸cão das equa¸cões diferenciais em cada volume de controle; 4) Aproximar os valores das variáveis nas faces e as derivadas com a informa¸cão das variáveis nodais; 5) Resolver o sistema de equa¸cões algébricas obtido.

A Fig. 14 mostra um sistema de equa¸cões algébricas obtidas de uma equa¸cão diferencial, definida em um dom´ınio Ω, através do processo de discretiza¸cão.

Consideremos o caso em que um sólido qualquer Q, de fronteiras σ, é atra-vessado por um campo vetorial ~A. O teorema da divergência de Gauss (Eq.4.1) mostra a igualdade vetorial entre o fluxo de ~A, sobre uma superf´ıcie fechada S e a integra¸cão volumétrica do seu respectivo divergente ao longo de todo o volume V delimitado pela

(47)

Figura 14 – Esquema de solu¸cão numérica de uma equacao diferencial _L. Fonte: Adaptado de Maliska, Transferência de calor e mecânica dos fluidos computacional. Grupo Gen-LTC, 2017.

superf´ıcie. Z Z σ ~ A_{· ~n dS =} Z Z Z Q ~_{∇ · ~}_A dV. (4.1)

A aplica¸cão do MVF fará uso do teorema da divergência de Gauss para con-verter as integrais de volume sobre operadores de gradiente e divergência em integrais de superf´ıcie, uma vez que depois de terem sido definidos os volumes de controle, as equa¸cões de conserva¸cão serão descritas em sua forma integral para cada um deles.

Para efeito de ilustra¸cão da integra¸cão das equa¸cões diferenciais nos volumes de controle, consideremos o caso de conserva¸cão da massa, Eq. 4.2, sobre um volume elementar bidimensional mostrado na Fig. 15,

Figura 15 – Balan¸co de massa. Fonte: Pr´oprio autor.

(48)

∂ (ρu) ∂x +

∂ (ρv)

∂y = 0 (4.2)

sendo u e v as componentes da velocidade. Depois de realizar a integra¸c˜ao sobre o volume especificado, obt´em-se Z l o Z n s ∂(ρu) ∂x + ∂(ρv) ∂y dydx = 0 (4.3) Z n s [ρu|l− ρu|o] dy + Z l o [ρv|n− ρv|s] dx = 0, (4.4)

assumindo que o fluxo de massa no centro da face do volume de controle representa a m´edia da varia¸c˜ao de toda a face, chega-se ao seguinte resultado

ρu∆y|l− ρu∆y|o+ ρv∆x|n− ρv∆x|s = 0, (4.5)

que nada mais ´e do que o balan¸co de massa realizado sobre o volume de controle, podendo ser reescrita da seguinte forma:

˙

me− ˙mo+ ˙mn− ˙ms = 0, (4.6)

comprovando que realizar uma integra¸cão na forma conservativa da equa¸cão diferencial é equivalente a fazer o balan¸co.

O MVF continua sendo um dos mais utilizados em problemas de mecânica dos fluidos, devido aos bons resultados e estabilidade numérica. Softwares comerciais como ANSYS Fluent e de código aberto como OpenFOAM utilizam esse método na solu¸cão de problemas de dinâmica dos fluidos computacional.

4.1.1 OpenFOAM

O OpenFOAM (Open source Field Operation And Manipulation) é um pro-grama em linguagem de propro-grama¸cão C++, gratuito, utilizado para solu¸cão de problemas de mecânica dos fluidos (ou cont´ınuo) tais como fluxos complexos de fluidos envolvendo rea¸cões qu´ımicas, turbulência e transferência de calor, dinâmica dos sólidos e eletromagne-tismo. Por ser de código aberto, permite aos usuários a oportunidade de implementar seus próprios solvers, que podem ser utilizados em problemas espec´ıficos, além de utilitários para pré ou pós-processamento de dados e bibliotecas, que podem ser empregadas em problemas personalizados. O trecho a seguir mostra como é poss´ıvel escrever com relativa facilidade, fazendo uso da Programa¸cão Orientada a Objetos, uma equa¸cão diferencial

(49)

parcial com a sintaxe adotada no software, para a cria¸c˜ao de um poss´ıvel solver : ∂ρ~U

∂t +∇ ·

φ~U_{− ∇}2µ~U=_−∇p a forma codificada ser´a:

1 s o l v e ( 3 fvm : : ddt ( rho ,U) + fvm : : d i v ( phi ,U) 5 − fvm : : l a p l a c i a n (mu,U) == 7 − f v c : : grad ( p ) ) ; 4.1.1.1 Pr´e-processamento

Essa etapa consiste na gera¸cão da geometria, cria¸cão da malha e nas defini¸cões dos parâmetros que serão utilizados na simula¸cão. Essa etapa é de fundamental im-portância, pois consistirá na gera¸cão da geometria e na discretiza¸cão do dom´ınio compu-tacional. Quanto maior o número de elementos que este tiver, melhor será o resultado da solu¸cão numérica e, consequentemente, maior será o tempo de simula¸cão uma vez que o número de equa¸cões a serem resolvidas no sistema linear também aumentam.

Todas as defini¸cões f´ısicas do problema, como condi¸cões de contorno e ou-tros parâmeou-tros que devem ser usados na simula¸cão, devem ser informados no pré-processamento.

Apesar de não possuir um programa de CAD para a constru¸cão de geometrias, o OpenFOAM disponibiliza um utilitário, blockMesh, que cria malhas a partir do arquivo de dicionário blockMeshDict. Este é um arquivo no qual as informa¸cões da geometria são armazenadas. Sendo assim, o blockMesh lê essas informa¸cões e cria os dados da malha em pontos, faces e células.

O princ´ıpio por trás do blockMesh é decompor a geometria do dom´ınio em um conjunto de 1 ou mais blocos tridimensionais hexaédricos Fig. 16, cujas bordas podem ser linhas retas, arcos ou splines. A malha é ostensivamente especificada como um número de células em cada dire¸cão do bloco, informa¸cão suficiente para o blockMesh gerar os dados da malha.

O OpenFOAM tamb´em permite fazer a importa¸c˜ao de arquivos de outros softwares comerciais, para os casos de problemas que exijam geometrias complexas ou

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Figura 16 – Exemplo de bloco criado pelo blockMesh. Cada vértice é escrito em uma lista, de tal forma que possa ser acessado utilizando seu rótulo. Neste caso, a borda que conecta os vértices 1 e 5 é curva (lembrando que o tipo de borda é especificado no blockMesh). Fonte: Greenshields, Christopher J. ”OpenFOAM user guide.”OpenFOAM Foundation Ltd, version 3.1 (2015).

que necessitem de malhas do tipo n˜ao-estruturadas.

Outra op¸cão para a gera¸cão de malhas é fazer uso do utilitário snappyHexMesh. Esse utilitário permite a cria¸cão de malhas tridimensionais automaticamente a partir de geometrias de superf´ıcies trianguladas no formato Stereolithography (STL) ou Wavefront Object (OBJ). O procedimento consiste em aproximar a malha com a superf´ıcie refinando iterativamente uma malha de partida e transformando a malha hexagonal dividida resul-tante na superf´ıcie, conforme representado na Fig. 17.

4.1.1.2 Solu¸c˜ao

Após a conclusão das etapas do pré-processamento, inicia-se o processo de solu¸cão numérica das equa¸cões diferenciais parciais. Isso é feito através de arquivos exe-cutáveis (os chamados solvers) que leem as informa¸cões referentes ao problema, como condi¸cões iniciais, condi¸cões de contorno, caracter´ısticas da malha, etc. e resolvem os problemas de mecânica do cont´ınuo de acordo com a metodologia previamente especifi-cada.

O OpenFOAM disponibiliza, em seu pacote original, um grande n´umero de solvers que podem ser utilizados nos mais diversos problemas.

Similarmente a outros softwares comerciais, também é poss´ıvel acompanhar os res´ıduos gerados durante a solu¸cão do problema, bem como os valores de convergência e tempo de simula¸cão.