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NOTAS DID ´
ATICAS DE ELETRICIDADE B ´
ASICA
Prof. Clifford Neves Pinto
25 de maio de 2017
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Sum´
ario
1 Carga el´etrica, for¸ca el´etrica e campo el´etrico 1
1.1 Carga el´etrica . . . 1
1.2 For¸ca el´etrica . . . 2
1.3 Campo el´etrico . . . 6
2 Trabalho, energia potencial el´etrica e potencial el´etrico 9
2.1 Trabalho . . . 9
2.2 Energia potencial el´etrica e potencial el´etrico . . . 11
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iv
S
UM
´AR
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Lista de Figuras
1.1 Decompondo as for¸cas no sistema de coordanadas cartesiano. . . 4
1.2 Carga el´etrica Q muito maior que q. . . 6
1.3 Q>0 C e q>0 C. . . 7
1.4 Q>0 C e q<0 C. . . 7
1.5 Q<0 C e q<0 C. . . 7
1.6 Q<0 C e q>0 C. . . 7
2.1 Carga el´etrica +q deslocando-se no espa¸co enquanto sofre a¸c˜ao de um campo el´etrico. . . 10
2.2 Produto escalar entre os vetores campo el´etrico e deslocamento. . . 11
2.3 Trabalho em deslocar a carga el´etrica 2 at´e a posi¸c˜ao (2,0 m;0,0 m). . . 13
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v
i
LI
S
T
A
D
E
F
IG
UR
Cap´ıtulo 1
Carga el´
etrica, for¸
ca el´
etrica e campo
el´
etrico
Neste cap´ıtulo ser˜ao investigados for¸ca el´etrica e campo el´etrico gerado por carga el´etrica puntiforme. Em um pr´oximo cap´ıtulo, ser˜ao estudados campos el´etricos produzidos por distribui¸c˜oes de cargas el´etricas.
1.1
Carga el´
etrica
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2 CAP´ITULO 1. CARGA EL ´ETRICA, FORC¸ A EL ´ETRICA E CAMPO EL ´ETRICO
peda¸co de pl´astico na fita, suas duas metades se afastar˜ao, ou seja, uma for¸ca surgir´a entre as metades fazendo com estas se afastem, mas ao encostar o peda¸co de pano o efeito desaparecer´a, ou seja, a fita volta ao estado inicial. Destes ensaios pode-se concluir que a mat´eria ´e constitu´ıda, pelo menos, por dois entes desconhecidos, distintos e complementares, pois, quando colocado em contato com a fita, o excesso deste ente no pano cancela o efeito produzido pelo excesso do outro ente no pl´astico. Nestes termos pode-se concluir que a quantidade de um ente deve ser igual ao do outro pois, antes do atrito entre as partes, nenhum fenˆomeno aparece e que tamb´em devem ser opostos, ou seja, um ente deve ser negativo e, o outro, positivo, e a uni˜ao dos dois cancela o efeito produzido por eles invidualmente. Al´em disso, observou-se que entre estes entes haver´a for¸ca, at´e agora somente de repuls˜ao. Neste momento e depois de esfregar o peda¸co de pano e pl´astico, vocˆe poder´a encostar o peda¸co de pl´astico na fita deposita n o eixo isolante e, em seguida, aproximar o peda¸co de pano da fita; observe e registre o evento. Atrav´es deste fenˆomeno pode-se concluir que a for¸ca que surge entre dois entes complementares ´e uma for¸ca de atra¸c˜ao. A partir deste ponto, o leitor dever´a fazer a atividade estruturada clique aqui-E1.
Depois da investiga¸c˜ao feita acima, pode-se concluir que a mat´eria ´e constitu´ıda, pelo menos, por entes que carregam, distintamente, uma propriedade que se apresenta de forma complementar (uma negativa e outra positiva), denominada de carga el´etrica.
A unidade de medida da grandeza carga el´etrica no Sistema Internacional de Unidades ´e o coulomb, repre-sentado por C, que recebeu este nome em homenagem ao f´ısico francˆes Charles Augustin de Coulomb.
Antes de passar para a pr´oxima se¸c˜ao, responda ao question´ario clicando aqui formul´ario de avalia¸c˜ao
1.2
For¸
ca el´
etrica
Como foi investigado na se¸c˜ao anterior, existe for¸ca entre cargas el´etricas e estas podem ser de atra¸c˜ao ou repuls˜ao. Esta for¸ca foi investigada por Charles Augustin de Coulomb que, utilizando a balan¸ca de tor¸c˜ao, estabeleceu empiricamente a for¸ca el´etrica entre duas cargas el´etricas distribu´ıdas em esferas met´alicas de diˆametro bem pequeno (podem ser considerados puntiformes1
), dada por:
F= 1
4πǫo
q1·q2
r2 12
, (1.1)
em que q1 e q1 s˜ao as quantidades de carga el´etrica, r12 ´e a distˆancia entre elas e a constante 1
4πǫo ´e uma
constante que surge devido ao meio material em que as cargas el´etricas est˜ao imersas e seu valor ´e devido ao sistema de unidades utilizado; no sistema internacional (SI) ǫo = 8,854·10−12C2/N·m2 e ´e denominada de permissividade el´etrica do v´acuo. Observe que a rela¸c˜ao ´e an´aloga a lei de gravita¸c˜ao proposta por Isaac Newton; para tanto, basta trocar as cargas el´etricas pelas massas e a constante el´etrica pela constante gravitacional. Uma
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1.2. FORC¸ A EL ´ETRICA 3 explica¸c˜ao detalhada da for¸ca el´etrica pode ser feita usando a bibliografia b´asica. Sendo a for¸ca uma grandeza f´ısica vetorial2
, esta deve ser escrita apropriadamente como um vetor. Observe o esquema dado a seguir:
Observe que~r1, ~r2e~r12=~r2−~r1s˜ao, respectivamente, a posi¸c˜ao das cargas el´etricas 1, 2, e a distˆancia entre as cargas el´etricas 1 e 2. Se as duas cargas el´etricas s˜ao positivas ou negativas, a for¸ca entre elas ser´a de repuls˜ao e ao longo da reta que une as duas cargas el´etricas, ou seja, na dire¸c˜ao de~r12, sendo assim:
~ F12=
1 4πǫo
q1·q2
r2 12
·rˆ12, (1.2)
em que ˆr12´e um vetor unit´ario, ou seja, ˆr12=~r12
r12 er12´e o m´odulo de~r12. A nota¸c˜ao usada aqui ´e a seguinte:
F12´e a for¸ca com que a carga el´etrica 1 exerce sobre a carga el´etrica 2 e,F21, ´e a for¸ca com que a carga el´etrica 2 exerce sobre a carga el´etrica 1.
Para o caso em que as cargas el´etricas sejam opostas, ou seja, uma positiva e outra negativa, tem-se:
Para os dois casos tratados acima, vocˆe pode concluir que a terceira lei de Newton se aplica, poisF~21=−F~12. Al´em disso, e sendo a for¸ca entre as cargas el´etricas grandezas vetoriais, todas as opera¸c˜oes v´alidas para vetores tamb´em ser˜ao v´alidas aqui, Para ilustrar o ponto acima, considere 4 cargas el´etricas puntiformes (q3 =q4 = 1,5µC,q2 = 2·q3, q1 = 3·q3) colocadas nos v´ertices de um retˆangulo e deseja-se calcular a for¸ca resultante sobre a carga el´etricaq3, como mostra o esquema dado a seguir:
Neste momento, deve-se calcular o m´odulo dos vetores for¸cas entre as cargas el´etricas, para tanto aplique a
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4 CAP´ITULO 1. CARGA EL ´ETRICA, FORC¸ A EL ´ETRICA E CAMPO EL ´ETRICO
f´ormula dada em (1.1). Sendo assim:
F13 = 1 4πǫo
q1·q3
r2 13
= 1
4πǫo
|3·1,5·10−6
| · |1,5·10−6 | 0,402
+ 0,802 = 0,80
F23 = 1 4πǫo
q2·q3
r2 23
, (1.3)
F43 = 1 4πǫo
q4·q3
r2 43
,
observe quer13´e a diagonal do retˆangulo e, portanto, a hipotenusa do triˆangulo formado pelas arestas e diagonais deste. Determine as for¸cas dadas acima substituindo os valores dados e calculando as respectivas distˆancias entre as cargas el´etricas. Seguindo o procedimento dado em Introdu¸c˜ao `a vetor, os vetores for¸cas s˜ao escritos no sistema de coordenadas cartesianas, a saber: Observe que cos(α) = 80
89,44 esen= 40
89,44. A decomposi¸c˜ao dos
Figura 1.1: Decompondo as for¸cas no sistema de coordanadas cartesiano.
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1.2. FORC¸ A EL ´ETRICA 5 quanto no oy. Portanto,F~23=−F23ˆj,F~43=F43ˆi eF~13=F13xˆi−F
y
13ˆj. As proje¸c˜oes deF~13 s˜ao
Fx
13 = F13·cos(α),
F13y = F13·sen(α). (1.4)
O vetor resultante ´e obtido ao se executar a soma dos vetores, a saber:
~
Fresultante = F~13+F~23+F~43, = Fx
13ˆi−F y
13ˆj−F23ˆj+F~43ˆi, = (Fx
13+F~43)ˆi+ (−F y
13−F23)ˆj,
= (F13·cos(α) +F~43)ˆi+ (−F13·sen(α)−F23)ˆj, =
0,0759375·8980,44+ 0,0253125
ˆi+−0,0759375· 40
89,44−0,10125
ˆ
j,
= (0,093235129 N)ˆi+ (−0,135211314 N)ˆj. (1.5)
O respectivo m´odulo ´e
Fresultante = p
0,0932351292+ (
−0,135211314)2,
= 0,164240338 N (1.6)
Exerc´ıcios:
1. Trˆes cargas el´etricas,q1=−1,5µC,q2= 2,5µCeq3=−3,0µC, encontram-se sobre o eixo x nas posi¸c˜oes 2,0 m, 3,5 m e 5,0 m, respectivamente. Determine a for¸ca resultante sobre a carga el´etrica 1, 2 e 3.
2. Trˆes cargas el´etricas, q1 = −1,5µC, q2 = 2,5µC e q3 = −3,0µC, encontram-se nos v´ertices de um triˆangulo equil´atero, conforme esquema dado a seguir:
Determine a for¸ca el´etrica sobre uma carga el´etrica igual a 2,5µC colocada no baricentro3
do triˆangulo.
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6 CAP´ITULO 1. CARGA EL ´ETRICA, FORC¸ A EL ´ETRICA E CAMPO EL ´ETRICO
1.3
Campo el´
etrico
Ao assumir que duas cargas el´etricas puntiformes encontram-se no espa¸co e est˜ao a uma distˆancia uma da outra, como mostra afigura a seguir,
Figura 1.2: Carga el´etrica Q muito maior que q.
A for¸ca entre elas ser´a
~ F12=
1 4πǫo
Q·q r2
12
·rˆ12. (1.7)
Ao dividir a rela¸c˜ao acima porq, encontra-se
~ F12
q =
1 4πǫo
Q r2
12
·rˆ12. (1.8)
Observe que o lado direito da equa¸c˜ao acima est´a escrito em termos somente da carga el´etricaQ, da distˆancia entre os pontos 1 e 2 e do vetor unit´ario, indicando que a carga el´etricaQgera uma perturba¸c˜ao que se propaga pelo espa¸co e que ´e notada quando a carga el´etrica de prova q ´e colocada em sua vizinha¸ca pois, ao se fazer isso, surge for¸ca. Esta a¸c˜ao no espa¸co a uma distˆancia ´e denominada de campo el´etrico (E~12(r)) e, portanto, ´e definida como sendo
~
E(r) = 1 4πǫo
Q r2
12
·rˆ12, (1.9)
e
~ F12
q =E~12(r). (1.10)
Assim, ´e poss´ıvel afirmar que os vetores for¸ca e campo el´etrico s˜ao paralelos. Desta forma, se q >0C , ent˜ao
~
F12eE~12 possuem o mesmo sentido, caso contr´ario, ser˜ao opostos, vide figuras dadas a seguir:
Observe que a dire¸c˜ao e sentido do vetor campo el´etrico n˜ao se alterou. Agora, observe as figuras dadas a seguir: Sendo assim, conclui-se que a carga el´etrica que gera o campo el´etrico determina o seu sentido, ou seja, se a carga for positiva, o campo el´etrico se afasta da carga fonte e, se negativa, o campo se aproxima da carga fonte. Para melhorar a compreens˜ao, execute um ensaio virtual interativo clicando aqui ensaio sobre linhas de campo e campo el´etrico de carga puntiforme.
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1.3. CAMPO EL ´ETRICO 7
Figura 1.3: Q>0 C e q>0 C.
Figura 1.4: Q>0 C e q<0 C.
Figura 1.5: Q<0 C e q<0 C.
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8 CAP´ITULO 1. CARGA EL ´ETRICA, FORC¸ A EL ´ETRICA E CAMPO EL ´ETRICO
1. Trˆes cargas el´etricas,q1=−1,5µC,q2= 2,5µCeq3=−3,0µC, encontram-se sobre o eixo x nas posi¸c˜oes 2,0 m, 3,5 m e 5,0 m, respectivamente. Determine o campo el´etrico resultante sobre a carga el´etrica 1, 2 e 3.
2. Trˆes cargas el´etricas,q1=−1,5µC,q2eq3= 2,5µC, encontram-se nos v´ertices de um quadrado, conforme esquema dado a seguir:
Determine a carga el´etricaq2de modo que o campo el´etrico resultante no v´ertice P seja nulo.
3. Trˆes cargas el´etricas, q1 = −1,5µC, q2 = −2,5µC e q3 = 2,5µC, encontram-se nos v´ertices de um quadrado, conforme esquema dado a seguir:
Determine:
(a) o campo el´etrico resultante no v´ertice P;
(b) se uma carga el´etrica de 2,0µC for colocada em P, determine a for¸ca sobre esta.
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Cap´ıtulo 2
Trabalho, energia potencial el´
etrica e
potencial el´
etrico
Neste cap´ıtulo ser˜ao investigados trabalho, energia potencial el´etrica e potencial el´etrico gerado por carga el´etrica puntiforme. Em um pr´oximo cap´ıtulo, ser˜ao consideradas outras distribui¸c˜oes de cargas el´etricas.
2.1
Trabalho
Considere uma carga el´etrica fonte +Q e uma carga de teste +q1
no espa¸co e que +q se deslocar´a de uma posi¸c˜ao inicial 1 at´e uma posi¸c˜ao final 2, seguindo uma trajet´oria aleat´oria, conforme mostra a figura a seguir: Observe quedl~ ´e a distˆancia percorrida ao longo da trajet´oria entre as posi¸c˜oes~r(ti) e~r(ti+dt), em quei= 1, N eN→ ∞. Como estas posi¸c˜oes foram tomadas em um intervalo de tempo extremamente pequeno,dt, ou seja, infinitesimalmente pequeno, a respectiva distˆancia ´e denominada elemento infinitesimal de comprimento (dl~). Este vetor perfaz uma ˆanguloαcom o vetor campo el´etricoE~(~r(ti), ti) e, portanto, com a respectiva for¸ca, dada por
~
F(~r(ti), ti) = (+q)·E~(~r(ti), ti). (2.1)
O trabalho realizado pela for¸ca ao se deslocardl~ ´e
dWi =F~(~r(ti), ti)·dl.~ (2.2)
Observe que o trabalho realizado pela for¸ca el´etrica sobre a carga el´etrica +q, de modo que esta se desloque da posi¸c˜ao 1 (~r1) para a posi¸c˜ao 2 (~r2), consiste em calcular o trabalho realizado em cada trecho da trajet´oria
1
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10 CAP´ITULO 2. TRABALHO, ENERGIA POTENCIAL EL ´ETRICA E POTENCIAL EL ´ETRICO
Figura 2.1: Carga el´etrica +q deslocando-se no espa¸co enquanto sofre a¸c˜ao de um campo el´etrico.
e, em seguida, somar todos eles. Como a trajet´oria est´a dividida em um n´umero infinito de partes, a soma de infinitas partes, ou seja,
W1→2 =
∞ X
i=1
dWi,
=
∞ X
i=1
~
F(~r(ti), ti)·dl,~
=
∞ X
i=1
(+q)·E~(~r(ti), ti)·dl,~
=
Z 2
1
(+q)·E~(~r(t), t)·dl,~ tempo discreto(ti)→tempo cont´ınuo(t) (2.3)
= (+q)·
Z 2
1
~
E(~r(t), t)·dl.~
Observe que o trabalho de uma for¸ca sobre uma carga el´etrica, deslocando-a de uma posi¸c˜ao para outra, ´e obtida ao resolver a integral acima. Para tanto, vamos avaliar a rela¸c˜ao entre o campo el´etrico e o vetor deslocamento,
transcritos da fig.(2.1). O produto escalar entre os vetores supracitados s˜ao
~
E(~r(ti), ti)·dl~ = E(~r(ti), ti)·dl·cos(α),
= E(~r(ti), ti)·dr (2.4)
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2.2. ENERGIA POTENCIAL EL ´ETRICA E POTENCIAL EL ´ETRICO 11
Figura 2.2: Produto escalar entre os vetores campo el´etrico e deslocamento.
encontra ao longo desta dire¸c˜ao. Desta forma, a eq.(2.3) pode ser reescrita como
W1→2 = (+q)·
∞ X
i=1
~
E(~r(ti), ti)·dl,~
= (+q)·
Z 2
1
~
E(~r(t), t)·dl,~
= (+q)·
Z 2
1
E(~r(t), t)·dl·cos(α),
= (+q)·
Z 2
1
E(~r(t), t)·dr. (2.5)
Como ainda estamos tratando somente o caso da carga el´etrica puntiforme, o campo el´etrico ´e dado por eq.(1.9) e, portanto, ao substituir a express˜ao do campo el´etrico na f´ormula do trabalho, encontra-se
W1→2 = (+q)·
Z 2
1 1 4πǫo
Q
r2(t)·rˆ(t)·dl,~ = (+q)·
Z 2 1
1 4πǫo
Q
r2(t)·dl·cos(α), = (+q)·
Z 2
1 1 4πǫo
Q r2
(t)·dr, (2.6)
= −(+4qπǫ)·Q o
1
r(t)| r2 r1,
= −(+q)·Q 4πǫo
1
r2 − 1
r1
,
= (+q)·Q 4πǫo
1
r1 − 1
r2
.
2.2
Energia potencial el´
etrica e potencial el´
etrico
Do princ´ıpio da conserva¸c˜ao da energia mecˆanica, pode-se concluir que
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12 CAP´ITULO 2. TRABALHO, ENERGIA POTENCIAL EL ´ETRICA E POTENCIAL EL ´ETRICO
Substituindo a eq.(2.5) na equa¸c˜ao acima, obt´em-se
(+q)·
Z 2 1
E(~r(t), t)·dr=−∆U =−(U2−U1). (2.8)
Dividindo a equa¸c˜ao acima por (+q), obt´em-se
Z 2
1
E(~r(t), t)·dr=−(+∆Uq)=−
U2 (+q)−
U1 (+q)
. (2.9)
Defindo o potencial el´etrico como sendoV = U
q, a express˜ao acima ´e reescrita como
Z 2
1
E(~r(t), t)·dr=−∆V =−(V2−V1) (2.10)
que, de outra forma, ´e
(V1−V2) =
Z 2 1
E(~r(t), t)·dr. (2.11)
Nestes termos, o trabalho ´e reescrito como
W1→2= (+q)·(V1−V2). (2.12)
Comparando a express˜ao acima com a dada em eq.(2.6), pode-se concluir que o potencial el´etrico associado a uma carga el´etrica puntiforme ´e
V = 1
4πǫo
Q
r. (2.13)
Se a carga el´etrica de teste fosse (−q), basta trocar (+q) por (-q) nas express˜oes acima; o mesmo ocorre para a carga +Q.
Exerc´ıcios:
1. Duas cargas el´etricas,q1=−1,5µCeq2= 2,5µC, encontram-se nas posi¸c˜oes (2,0 m; 2,0 m) e (0,0 m; 0,0 m), respectivamente. Determine o trabalho realizado sobre a segunda carga el´etrica ao desloc´a-la de sua posi¸c˜ao inicial at´e a posi¸c˜ao (2,0 m; 0,0 m) .
Resolu¸c˜ao:
Segundo as informa¸c˜oes dadas no problema, as cargas est˜ao dispostas no plano da seguinte forma: Como as cargas el´etricas s˜ao puntiformes, o potencial el´etrico ´e dado pela eq.(2.13). Nestes termos, o potencial el´etrico gerado pela carga el´etrica que se mant´em estacion´aria dever´a ser calculado nas posi¸c˜oes inicial e final da carga el´etrica que se deslocar´a, a saber:
Os potenciais el´etricos s˜ao:
V1 =
1 4πǫo
q1
r1
= 1
4πǫo
−1,5·10−6 √
22+ 22 =−4.773volts,
V2 =
1 4πǫo
q1
r2
= 1
4πǫo
−1,5·10−6
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2.2. ENERGIA POTENCIAL EL ´ETRICA E POTENCIAL EL ´ETRICO 13
Figura 2.3: Trabalho em deslocar a carga el´etrica 2 at´e a posi¸c˜ao (2,0 m;0,0 m).
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14 CAP´ITULO 2. TRABALHO, ENERGIA POTENCIAL EL ´ETRICA E POTENCIAL EL ´ETRICO
Usando a rela¸c˜ao dada na eq.(2.12), o trabalho pode ser calculado como sendo
W1→2 = (+2,5·10
−6
)·(V1−V2), = (+2,5·10−6
)·(−4.773−(−6.750)), (2.15) = 4,943·10−3
J.
2. Trˆes cargas el´etricas, q1 =−1,5µC, q2 = 2,5µC e q3 =−3,0µC, encontram-se nas posi¸c˜oes (2,0 m; 0,0 m), (0,0 m; 3,5 m) e (5,0 m;5,0 m), respectivamente. Determine o trabalho realizado sobre a terceira carga el´etrica ao desloc´a-la de sua posi¸c˜ao inicial at´e a origem do sistema de coordenadas.
3. Trˆes cargas el´etricas, q1 = −1,5µC, q2 = −2,5µC e q3 = 2,5µC, encontram-se nos v´ertices de um quadrado, conforme esquema dado a seguir:
Determine o trabalho realizado sobre uma carga el´etrica−3,5µC ao desloc´a-la do baricentro at´e o ponto m´edio da base do quadrado.
4. Trˆes cargas el´etricas, q1 = −1,5µC, q2 = −2,5µC e q3 = 2,5µC, encontram-se nos v´ertices de um quadrado, conforme esquema dado a seguir:
Determine o trabalho realizado sobre uma carga el´etrica −3,5µC ao desloc´a-la do ponto m´edio da base do quadrado at´e baricentro.
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2.3. BIBLIOGRAFIA B ´ASICA 15
2.3
Bibliografia b´
asica
YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A.. F´ısica III Eletromagnetismo, 10a
edi¸c˜ao, Pearson Education, 2003. HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Yearl. Fundamentos de f´ısica. Rio de Janeiro: LTC,19962002.
4 v.
