Modelagem de Problemas de Programação Linear

PESQUISA OPERACIONAL

PROF. AMADO LEITE

RELEMBRANDO CONCEITOS

ANTERIORES

Como formular um problema?

Respondendo a 3 perguntas básicas:



Qual é o objetivo do problema?



Quais são as variáveis de decisão?



Quais são as restrições (ou

Modelagem de Problemas de PL

Modelagem de Problemas de PL

Novos itens para aprender ...



Construir tabela de auxilio para equacionar

um problema;

Produção de Dois Produtos

Uma pequena fabrica produz dois modelos de certo produto, Standard e Luxo. Cada unidade do modelo Standard requer 2 horas de lixação e 1,5 hora de polimento. Cada unidade do modelo Luxo exige 3 horas de lixação e 2 horas de polimento. A fabrica dispõe de dois lixadores e três polidores, e cada funcionário trabalha 8 horas por dia. As margens de lucro são R$ 47,00 e R$ 58,00, respectivamente, para cada unidade Standard e Luxo. Não existem restrições de demanda para ambos os modelos. Formule o problema de Programação Linear para definir quantas unidades de cada modelo devem ser fabricadas por dia para que o fabricante maximize o lucro.

Produção de Dois Produtos

Qual o objetivo do problema?

Maximizar o Lucro;

Quais são as variáveis de decisão do problema?

Quantidade a ser produzida, por dia,

do modelo Standard (x1);

Quantidade a ser produzida, por dia,

Produção de Dois Produtos

Quais as restrições

(limitações

técnicas) do problema?



Horas disponíveis de para lixação:

8 * 2homens = 16 horas/dia



Horas disponíveis de para polimento:

Problema da Dieta

O Sr. Celso possui uma fazenda de criação de porcos para abater e deseja determinar o custo mínimo de uma dieta que garanta aos animais os seguintes requisitos mínimos de nutrientes:

As proteínas devem ser fornecidas em uma quantidade de 250 unidades nutricionais (u.n.), as vitaminas, 230 u.n e os carboidratos 120 u.n.

Os alimentos disponíveis no mercado para a alimentação são: milho, ração preparada e alfafa, ao custo por quilo de R$ 22,00, R$ 26,00 e R$ 30,00, respectivamente. Formule o problema de Programação Linear.

Problema da Dieta

Qual o objetivo do problema?



Minimizar o Custo

Quais são as variáveis de decisão do

problema?



Qtde. de Kg de

milho

a ser utilizada na

alimentação dos porcos (x1)



Qtde. de Kg de

ração

a ser utilizada na

alimentação dos porcos (x2)



Qtde. de Kg de

alfafa

a ser utilizada na

Problema da Dieta

Quais as restrições

(limitações

técnicas) do problema?

Requisitos mínimos de nutrientes:

Proteínas

250 u. nutricionais;

Vitaminas

230 u. nutricionais;

Tabela

Variáveis Proteína Vitamina Carboidrato Custo

(R$)

x1 20 20 30 22

x2 20 40 20 26

x3 10 10 40 30

250 230 120

Relações Matemáticas

Função Objetivo:

Min Z

22x

26x

30x

Sujeito a:

20x ₂ 10x ₃ 250 40x ₂ 10x ₃ 230 20x 40x 120

1

x1,x ₂

2 3

,x ₃ 0

Divisão de Área de Cultivo

Divisão de Área de Cultivo

Qual o objetivo do problema?



Maximizar o Lucro

Quais são as variáveis de decisão do

problema?



Quantidade de unidades de área de

trigo

que o agricultor deve cultivar (x

);



Quantidade de unidades de área de

arroz

que o agricultor deve cultivar (x

);



Quantidade de unidades de área de

Divisão de Área de Cultivo

Quais as restrições (limitações técnicas) do

problema?



Armazenamento dos produtos :

No máximo 478.000 kg;



Área disponível para o plantio:

Tabela

Variáveis Área Armazenamento

(quilo)

Lucro

(R$/ár ea)

x1 1 1700 1,95 x 1700

x2 1 1900 2,80 x 1900

x3 1 2800 3,50 x 2800

210 478.000

Relações Matemáticas

Função Objetivo:

Max Z 1,95 1700x

1x

1 2,8 1900x 2

1x 1x 210

3,5 2800x ₃

Sujeito a:

1

1700x x1,x

2

1

,x

3

1900x

0 2

2800x ₃ 478.000

2 ₃

Produção de Madeira

Produção de Madeira

Qual o objetivo do problema?

Maximizar o Lucro

Quais são as variáveis de decisão do

problema?

Quantidade de madeira

beneficiada

(em m

) que deverão ser produzidas (x

);

Quantidade de madeira

compensada

Produção de Madeira

Quais as restrições

técnicas) do problema?

Compromisso de vendas:

Madeira Beneficiada

Madeira Compensada

(limitações

13 m

128 m²

Disponibilidade de produto:

Pinho = 82 m

Canela = 42 m

Tabela

Variáveis Pinho Canela Dem. x1 Dem. x2 Lucro

($)

x1 1 4 1 0 47

x2 0,04 0,02 0 1 10

82 42 13 128

Relações Matemáticas

Função Objetivo:

Max Z

1x 0,04x

47x 10x _{1 2}

82

1 ₂

4x _{0,02x 42}

Sujeito a:

Carregamento (transporte)

Carregamento (transporte)



Qual o objetivo do problema?

•

Maximizar a Receita



Quais são as variáveis de decisão do

problema?

• Quantidade de fardos de

madeira que devem ser transportados (x1);

• Quantidade de sacos de

Carregamento (transporte)

Capacidade de transporte do carrinho:

Peso

15 kg;

Espaço

12 dm

.

29

Quais as restrições (limitações técnicas) do

Tabela

Variáveis Peso (kg) Espaç o (dm3) Rec eita (R$)

x1 1 2 20

x2 4 3 35

15 12

Relações Matemáticas

Função Objetivo:

1x 4x

Max Z 20x

15

35x

1 2

Sujeito a:

1 2

2x ₁ 3x 12 x1,x ₂

2

0

Programação de TV

Uma rede de televisão local tem o seguinte problema:

foi descoberto que o programa “A”, com 18 minutos de

musica e 2 minutos de propaganda, possui uma audiência de 20.000 telespectadores, enquanto o

programa “B”, com 12 minutos de musica e 1 minuto

Programação de TV

Qual o objetivo do problema?

Maximizar número de telespectadores

Quais são as variáveis de decisão do

problema?



Quantidade de vezes, por semana, que

o

Programa A deve entrar no ar

(x

);



Quantidade de vezes, por semana, que

Programação de TV

Quais as restrições

(limitações

técnicas) do problema?

Tempo propaganda

(patrocínio):

5

minutos;

Tabela

Variáveis Pr opaganda Music a Telespectadores

x1 2 18 20.000

x2 1 12 15.000

Relações Matemáticas

Função Objetivo:

Max Z

2x

x

20.000x

5

1

15.000x

2

Uma empresa, apos um processo de racionalização de produção, ficou com disponibilidade de 3 recursos produtivos, R1, R2 e R3. Um estudo sobre o uso desses recursos indicou a possibilidade de se fabricarem 2 produtos P1 e P2. Levantando os custos e consultando o departamento de vendas sobre o preço de colocação no mercado, verificou-se que P1 daria um lucro de R$ 500,00 por unidade e P2 seria responsável pelo lucro de R$ 600,00 por unidade. O departamento de produção forneceu as seguintes informações: para fabricar uma unidade de P1 utilizam-se 10 recursos de R1, 9 de R2 e 12 de R3; para fabricar uma unidade de P2, gastam-se 20 unidades do recurso R1, 12 do R2 e 15 do R3. A disponibilidade de cada recurso por mês e de 100, 90 e 120, respectivamente, para R1, R2 e R3. Formule o problema construindo o modelo de Programação Linear para a produção mensal de P1 e P2 resultando em um maior lucro para a empresa.

Uma empresa fabrica 2 modelos de cintos de couro. O modelo M1, de melhor qualidade, requer o dobro do tempo de fabricação em relação ao modelo M2. Se todos os cintos fossem do modelo M2, a empresa poderia produzir 1.000 unidades por dia. A disponibilidade de couro permite fabricar 800 cintos de ambos os modelos por dia. Os cintos empregam fivelas diferentes, cuja disponibilidade diária é de 400 para M1 e 700 para M2. Os lucros unitários são de $4,00 para M1 e $3,00 para M2. Qual o programa ótimo de produção que maximiza o lucro total diário da empresa? Construa, o modelo do sistema descrito.