EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE PROBABILIDADE
1º) O seguinte grupo de pessoas se encontra em uma sala: ► 5 rapazes com mais de 21 anos;
► 4 rapazes com menos de 21 anos; ► 6 moças com mais de 21 anos; ► 3 moças com menos de 21 anos.
Uma pessoa é escolhida ao acaso. Determine a probabilidade de que: a) Seja uma moça ou tenha mais do que 21 anos;
b) Seja um rapaz ou tenha mais do que 21 anos; c) Seja um rapaz ou tenha menos do que 21 anos; d) Seja uma moça ou tenha menos do que 21 anos.
SOLUÇÃO
a) Consideremos os eventos:
A = {a pessoa é uma moça}
B = {a pessoa tem mais de 21 anos} Devemos determinar:
p ( A ∪B )
Observando que o grupo é formado por 18 pessoas e que a escolha é ao acaso, temos:
p ( A ) =
18 9 NTC NCF
= p ( B ) =
18 11 NTC NCF
= p ( A ∩B ) =
18 6 NTC NCF
=
Assim, resulta:
18 14 18
6 18 11 18
9 B) p(A p(B) p(A) B)
p(A∪ = + - ∩ = + − = = 0,7778 (77,78%)
b) Consideremos os eventos:
A = {a pessoa é um rapaz}
B = {a pessoa tem mais de 21 anos} Como:
p ( A ) =
18 9 NTC NCF
= p ( B ) =
18 11 NTC NCF
= p ( A ∩B ) =
18 5 NTC NCF
=
segue que:
18 15 18
5 18 11 18
9 B) p(A p(B) p(A) B)
p(A∪ = + ∩ = + − = = 0,8333 (83,33%)
c) Consideremos os eventos:
A = {a pessoa é um rapaz}
B = {a pessoa tem menos de 21 anos}
Como:
p ( A ) =
18 9 NTC NCF
= p ( B ) =
18 7 NTC NCF
= p ( A ∩B ) =
18 4 NTC NCF
=
segue que:
18 12 18
4 18
7 18
9 B) p(A p(B) p(A) B)
p(A∪ = + ∩ = + − = = 0,6667 (66,67%)
d) Consideremos os eventos:
A = {a pessoa é uma moça}
B = {a pessoa tem menos de 21 anos} Como:
p ( A ) =
18 9 NTC NCF
= p ( B ) =
18 7 NTC NCF
= p ( A ∩B ) =
18 3 NTC NCF
=
segue que:
18 13 18
3 18
7 18
9 B) p(A p(B) p(A) B)
p(A∪ = + ∩ = + − = = 0,7222 (72,22%)
2º) Jogam-se dois dados honestos. Consideremos os eventos: A = {o primeiro dado aponta o número 2} B = {a soma dos números nos dois dados é 4} C = {os números nos dois dados são iguais} Nestas condições pede-se determinar:
a) p (A) + p (B) b) p (C) + p (A ∩B) c) p (A ∩ ∩B C)
SOLUÇÃO
Observe inicialmente, que a espaço amostral decorrente do lançamento dos dois dados é composto por 36 elementos, ou seja:
S = { (1,1) , (1,2), . . . , (1,6) , (2,1) , (2,2), . . . (2,6) , ...(6,6) }
a) Notando que:
A = { (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) } e B = { (1,3) , (2,2) , (3,1) }
e sendo o espaço amostral equiprovável, segue:
p ( A ) =
36 6 NTC NCF =
e p ( B ) =
36 3 NTC NCF =
Assim, temos:
p ( A ) + p ( B ) = 36
9 36
3 36
6 + = =
b) Notando que:
C = { (1,1) , (2,2) , . . . , (6,6) } e A ∩B = { (2,2) }
segue:
p ( C ) =
36 6 NTC NCF
= e p ( A ∩B ) =
36 1 NTC NCF
=
e assim:
p ( C ) + p ( A ∩B ) = 36
7 36
1 36
6 + = =
0,1944 (19,44%)
c) Como:
A ∩B ∩C = { (2,2) }
resulta que:
p (A ∩B ∩C ) = 36
1 =
0,0278 (2,78%)
3º) De um conjunto com quatro valetes e cinco reis, são retiradas 3 três cartas, simultaneamente,
ao acaso. Qual a probabilidade de se obter: a) 3 valetes;
b) 3 reis;
c) apenas 1 valete; d) exatamente 2 reis; e) no máximo 2 reis; f) no mínimo 1 valete.
SOLUÇÃO
a) Considere o evento:
A = {obter 3 valetes}
Como a retirada é ao acaso, trata-se de um espaço equiprovável. Assim, tendo em vista que:
NCF = C 4 , 3 = 4 e NTC = C 9 , 3 = 84
podemos escrever:
p ( A ) = = = 84
4 NTC NCF
0,0476 (4,76%)
b) Considere o evento:
B = {obter 3 reis}
Tendo em vista que:
NCF = C 5 , 3 = 10 e NTC = C 9 , 3 = 84
podemos escrever:
p ( A ) = = = 84 10 NTC NCF
0,1190 (11,90%)
c) Considere o evento:
C = {obter apenas 1 valete}
Observe que obter apenas 1 valete equivale a obter 1 valete e 2 reis. Assim:
NCF = C 4 , 1 . C 5 , 2 = 4 . 10 = 40 e NTC = C 9 , 3 = 84 podemos escrever:
p ( C ) = = = 84 40 NTC NCF
0,4762 (47,62%)
d) Considere o evento:
D = {obter exatamente 2 reis}
Observe que obter exatamente 2 reis equivale a obter 1 valete e 2 reis. Assim a solução do item d) é exatamente igual a do item c).
e) Considere o evento:
E = {obter no máximo 2 reis}
Observe que obter no máximo 2 reis equivale a obter : 2 reis ou 1 rei ou nenhum rei. Assim o núme- ro de casos favoráveis, é dado pela soma das seguintes possibilidades:
2 reis (ou seja: 2 reis e 1 valete): C 4 , 1 . C 5 , 2 = 4 . 10 = 40 1 rei (ou seja: 1 rei e 2 valetes): C 4 , 2 . C 5 , 1 = 6 . 5 = 30
nenhum rei (ou seja 3 valetes): C 4 , 3 = 4
Podemos então escrever:
p ( E ) = = + + = 84
4 30 40 NTC NCF
84 74
= 0,8810(88,10%)
f) Considere o evento:
F= {obter no mínimo 1 valete}
Observe que obter no mínimo 1 valete equivale a obter : 1 valete ou 2 valetes ou 3 valetes Assim o número de casos favoráveis, é dado pela soma das seguintes possibilidades:
1 valete (ou seja: 2 reis e 1 valete): C 4 , 1 . C 5 , 2 = 4 . 10 = 40 2 valetes (ou seja: 1 rei e 2 valetes): C 4 , 2 . C 5 , 1 = 6 . 5 = 30
3 valetes (ou seja nenhum rei): C 4 , 3 = 4
4.) Dez cavalos C1, C2, ...., C10 participam de uma corrida. Sabe-se que a probabilidade do cava- lo C5 vencer a corrida é quatro vezes maior do que a probabilidade dos cavalos C1 e C10, que por sua vez tem probabilidade três vezes maior de vencer a corrida do que os cavalos C2, C4, C6 e C8, que por sua vez tem probabilidade duas vezes maior de vencer a corrida do que os cavalos C3, C7 e C9. Supondo que não há possibilidade de empate, determine qual é a pro- babilidade do cavalo C5 vencer a corrida.
SOLUÇÃO
Vamos atribuir aos cavalos C3, C7 e C9 a probabilidade k de vencer a corrida. Assim os cavalos C2, C4, C6 e C8 tem probabilidade 2k de vencer a corrida. Consequentemente os cavalos C1 e C10 tem probabilidade 6k de vencer a corrida. Finalmente o cavalo C5 tem probabilidade 24k de vencer a corrida.
Como não há possibilidade de empate, ou seja, os eventos são mutuamente exclusivos (interseção vazia), podemos escrever:
p(S) = p(C1∪C2∪ . . . . .∪C10) = p(C1)+p(C2)+ . . . . .+p(C10) = 1 ou seja:
k + k + k + 2k + 2k + 2k + 2k + 6k + 6k + 24k = 1 ⇒
47 1 k 1 k
47 = ⇒ =
Assim a probabilidade do cavalo C5 vencer a corrida é dada por:
p(C5) = 24 k =
47 24 47
1 .
24 = = 0,5106 (51,06%)
5.) Em uma sala temos 10 rapazes e 20 moças. Metade dos rapazes e metade das moças tem olhos castanhos. Escolhido um aluno ao acaso, qual a probabilidade de que seja uma moça ou te- nha olhos castanhos.
SOLUÇÃO
Consideremos os eventos:
A = {escolher uma moça ao acaso}
B = {escolher um aluno com olhos castanhos, ao acaso}
Como se trata de um espaço equiprovável, podemos escrever:
p ( A ) =
30 20 NTC NCF =
p ( B ) =
30 15 NTC NCF =
p ( A ∩B ) =
30 10 NTC NCF =
Assim:
30 25 30 10 30 15 30 20 B) p(A p(B) p(A) B)
p(A∪ = + - ∩ = + − = = 0,8333 (83,33%)
6.) Um número é escolhido ao acaso do conjunto: { 1 , 2 , 3 , . . . , 49 , 50 }. Determine a probabi lidade de que o número escolhido seja um múltiplo de 6 ou de 8.
SOLUÇÃO
Consideremos os eventos:
M6 = {número múltiplo de 6} = { 6 , 12 , 18 , 24 , 30 , 36 , 42 , 48 } M8 = {número múltiplo de 8} = { 8 , 16 , 24 , 32 , 40 , 48 }
Observando que:
M6 ∩ M8 = { 24 , 48 }
podemos escrever:
50 12 50
2 50
6 50
8 ) 8 M M6 p( ) M8 p( ) M6 p( ) M8 M6
p( ∪ = + - ∩ = + − = = 0,2400 (24%)
7.) Uma urna contém 5 bolas pretas, 4 bolas azuis e 3 bolas brancas. Três bolas são retiradas si- multaneamente ao acaso. Determine a probabilidade de se obter:
a) três bolas pretas; b) três bolas azuis; c) três bolas brancas; d) uma bola de cada cor;
e) exatamente duas bolas brancas; f) no mínimo uma bola preta;
g) duas bolas pretas ou duas bolas azuis; h) duas bolas pretas ou uma bola branca.
SOLUÇÃO
a) Consideremos o evento:
A = {obter 3 bolas pretas}
Como temos 5 bolas pretas na urna, que contém um total de 12 bolas, podemos escrever:
NCF = C 5 , 3 = 10 e NTC = C 12 , 3 = 220 Assim:
= = =
220 10 NTC NCF (A)
p 0,0455 (4,55%)
b) Consideremos o evento:
B = {obter 3 bolas azuis} Assim:
NCF = C 4 , 3 = 4 e = = = 220
4 NTC NCF (B)
c) Consideremos o evento:
C = {obter 3 bolas brancas} Assim:
NCF = C 3 , 3 = 1 e = = = 220
1 NTC NCF (B)
p 0,0045 (0,45%)
d) Consideremos o evento:
D = {obter uma bola de cada cor} Nestas condições:
NCF = C 5 , 1 . C 4 , 1 . C 3 , 1 = 60 e = = = 220
60 NTC NCF (B)
p 0,2727 (27,27%)
e) Consideremos o evento:
E = {obter exatamente duas bolas brancas}
Observe que obter exatamente duas bolas brancas equivale a dizer que a terceira bola deve ser preta ou azul. Assim podemos escrever
NCF = C 3 , 2 . C 9,1 = 27 e = = = 220
27 NTC NCF (B)
p 0,1227 (12,27%)
f) Consideremos o evento:
F = {obter no mínimo uma bola preta}
Observe que obter no mínimo uma bola preta equivale a obter uma ou duas ou três bolas pretas. Assim temos:
1 bola preta (e duas de outra cor): C 5 , 1 . C 7 , 2 = 105 2 bolas preta (e uma de outra cor): C 5 , 2 . C 7 , 1 = 70 3 bolas pretas: C 5 , 3 = 10 e podemos escrever:
NCF = 105 + 70 + 10 = 185 e = = = 220 185 NTC NCF (B)
p 0,8409 (84,09%)
Este item também poderia ser resolvido da seguinte forma:
Como o único caso que não satisfaz ao problema é a ocorrência de nenhuma bola preta, pode- mos escrever:
Nenhuma bola preta (apenas bolas brancas e azuis): C 7 , 3 = 35
Assim a ocorrência de pelo menos uma bola preta é dada por: 220 – 35 = 185, o que nos leva a mesma solução.
g) Consideremos os eventos:
G1 = {obter duas bolas pretas} tal que NCFG1 = C 5 , 2 . C 7 , 1 = 70 G2 = {obter duas bolas azuis} tal que NCFG2 = C 4 , 2 . C 8 , 1 = 48
Como os eventos G1 e G2 são mutuamente exclusivos (não podem ocorrer simultaneamente), ou seja: G1 ∩ G2 ) = Ǿ, podemos escrever:
∪ = + = + = + = =
220 118 220
48 220
70 NTC
NCF NTC
NCF p(G2)
p(G1) )
G2 G1
p( G1 G2 0,5364 (53,64%)
f) Consideremos os eventos:
F1 = {obter duas bolas pretas} tal que NCFF1 = C 5 , 2 . C 7 , 1 = 70 F2 = {obter uma bola branca} tal que NCFF2 = C 3 , 1 . C 9 , 2 = 108
Como os eventos F1 e F2 não são mutuamente exclusivos (podem ocorrer simultaneamente), ou seja: F1 ∩ F2 ) ≠ Ǿ, e como:
NCF F1 ∩F2 = C 5 , 2 . C 3 , 1 = 30 podemos escrever:
NTC NCF NTC
NCF NTC
NCF F2)
p(F1 -p(F2) p(F1)
) F2 F1
p( ∪ = + ∩ = F1 + F2 − F1 ∩ F2
= = − + = ∪
220 148 220
30 220 108 220
70 ) F2 F1
p( 0,6727 (67,27%)
8.) Em uma prova de um concurso caíram dois problemas P1 e P2. Sabe-se que 150 candidato a- certaram o problema P1, 100 erraram o problema P2, 75 acertaram os dois problemas e 200 acertaram apenas um problema. Determine a probabilidade de que um aluno escolhido ao a- caso não tenha acertado nenhum problema.
SOLUÇÃO
Consideremos o evento:
A = {o candidato não acertou nenhum problema} Assim:
= = =
300 25 NTC NCF (A)
p 0,0833 (8,33%)
P1 P2
75
75 125
9.) De um total de 130 estudantes, 80 não estudam francês, 70 não estudam espanhol e 30 estu- dam francês e espanhol. Determine a probabilidade de que um estudante escolhido ao acaso: a) não estude nenhuma das duas línguas;
b) estude apenas uma das duas línguas. SOLUÇÃO
y + z = 80 ⇒ y = 80 - z (1) x + z = 70 ⇒ x = 70 - z (2)
x + y + z + 30 = 130 ⇒ x + y + z = 100 (3)
substituindo (1) e (2) em (3) resulta: (70 – z) + (80 – z) + z = 100 ⇒ z = 50 e consequentemente:
x = 20 e y = 30
a) Consideremos o evento: A = {o aluno não estuda nenhuma das duas línguas}
= = = = =
130 50 130
50 130
z NTC NCF (A)
p 0,3846 (38,46%)
b) Consideremos o evento: B = { o aluno estuda apenas uma das duas línguas }
= = + = + = =
130 50 130
30 20 130
y x NTC NCF (B)
p 0,3846 (38,46%)
10.) Um colégio tem 400 alunos. Destes: 100 estudam matemática, 80 estudam física, 100 estudam química, 20 estudam matemática, física e química, 30 estudam matemática e física, 30 estu- tudam física e química e 50 estudam somente química. Determine a probabilidade de que um aluno escolhido ao acaso:
a) não estude nenhuma das três matérias; b) estude matemática e química.
SOLUÇÃO
a) Considere o evento:
A = {o aluno não estuda nenhuma matéria} Assim
= = =
400 200 NTC NCF (A)
p 0,5000 (50%)
b) Considere o evento:
B = {o aluno estuda matemática e química} Assim:
400 40 NTC NCF (B)
p = = = 0,1000 (10%)
9
F E
30
x y
z
M F
Q
20 10
10
50 20
50 40
11.) Em uma loteria com 50 bilhetes, 3 são premiados. Comprando-se 2 bilhetes, qual a probabili- dade de:
a) nenhum deles ser premiado; b) apenas um ser premiado; c) os dois serem premiados.
SOLUÇÃO
Observe inicialmente que a compra pode ser considerada um procedimento simultâneo.
a) Consideremos o evento:
A = {nenhum dos bilhetes é premiado}
Como dos 50 bilhetes, 3 são premiados, podemos escrever:
NCF = C 47 , 2 = 1081 e NTC = C 50 , 2 = 1.225 e consequentemente:
1.225 1.081 NTC
NCF (A)
p = = = 0,8824 (88,24%)
b) Consideremos o evento:
B = {apenas um bilhete é premiado}
Observe que neste caso, o outro bilhete necessariamente não é premiado. Assim, podemos es- crever:
NCF = C 47 , 1 . C 3 , 1 = 141 e NTC = C 50 , 2 = 1.225 e consequentemente:
1.225 141 NTC
NCF (B)
p = = = 0,1151 (11,51%)
c) Consideremos o evento:
C = {os dois bilhetes são premiados} Como neste caso:
NCF = C 3 , 2 = 3 e NTC = C 50 , 2 = 1.225 e consequentemente:
1.225 3 NTC NCF (B)
p = = = 0,0024 (0,24%)
12.) Dois jogadores J1 e J2 vão lançar um par de dados honestos. Eles combinam que se a soma dos pontos for 5, o jogador J1 ganha, e, se essa soma for 8, o jogador J2 é quem ganha. Os da dos são lançados. Sabe-se que J1 não ganhou. Qual a probabilidade de J2 ter ganho?
SOLUÇÃO O lançamento de dois dados gera 36 possibilidades.
Como J1 não ganhou, então não ocorreu soma 5, ou seja, não ocorreram os seguintes pares de números: {(1,4) , (2,3) , (3,2) , (4,1)}
Consideremos o evento:
J2 = {a soma dos números é 8} = {(2,6) , (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)}
Assim, podemos escrever:
32 5 NTC NCF (J1)
p = = = 0,1563 (15,63%)
13.) Duas cartas são retiradas sucessivamente, ao acaso, de um baralho honesto com 52 cartas. De termine a probabilidade de ambas serem valetes. Estude o problema:
a) com reposição; b) sem reposição.
SOLUÇÃO Consideremos os eventos:
A = {a primeira carta retirada é um valete} B = {a segunda carta retirada é um valete}
a) Retirada com reposição
Neste caso, os eventos são estatisticamente independentes, e como temos 4 valetes no baralho, podemos escrever:
∩ = = = =
704 . 2
16 52
4 . 52
4 (B) p . (A) p B) (A
p 0,0059 (0,59%)
b) Retirada sem reposição
Neste caso, os eventos não são estatisticamente independentes. Assim sendo, podemos escre- ver:
= =
= =
∩
2.652 12 51
3 . 52
4 A) / (B p . (A) p B) (A
p 0,0045 (0,45%)
14.) Determine a probabilidade de ocorrer o número 5, pelo menos uma vez, em duas jogadas con secutivas de um dado honesto.
SOLUÇÃO
Consideremos os seguintes eventos:
A = {ocorrer o número 5 na primeira jogada do dado} ; p (A) = 1/6 B = {ocorrer o número 5 na segunda jogada do dado} ; p (B) = 1/6 C = {ocorrer o número 5 pelo menos uma vez nas duas jogadas do dado}
Observe agora que:
A = {não ocorrer o número 5 na primeira jogada do dado} e p(A)=1-p(A)=1-1/6=5/6 B = {não ocorrer o número 5 na primeira jogada do dado} e p(B)=1-p(B)=1-1/6=5/6
Assim, podemos escrever:
p(C) = p(A∩B)+p(A∩B)+p(A∩B)
Por outro lado, como os eventos A e B são estatisticamente independentes, podemos escrever:
p(C) = p(A) .p(B) + p(A) .p(B) + p(A) .p(B)
36 11 6 1 . 6 1 6 1 . 6 5 6 5 . 6 1 (C)
p = + + = = 0,3056 (30,56%)
Este exercício também poderia ser resolvido da seguinte forma:
Consideremos o evento C , ou seja:
C = {não ocorrer o número 5 nas duas jogadas do dado}
cuja probabilidade é:
36 25 6 5 . 6 5 ) B p( . ) A p( ) B A ( p ) C (
p = ∩ = = =
Assim:
= = = =
36 11 36 25 1 ) C ( p 1 (C)
p 0,3056 (30,56%)
15.) Uma urna contém 7 bolas vermelhas e 3 bolas brancas. Três bolas são retiradas da urna, con secutivamente, ao acaso. Determine a probabilidade de que as duas primeiras sejam verme- lhas e que a última seja branca. Estude o problema:
a) com reposição; b) sem reposição.
SOLUÇÃO
Consideremos os eventos:
V1 = {a primeira bola é vermelha} V2 = {a segunda bola é vermelha} B3 = {a terceira bola é branca}
a) Neste caso, como os eventos são estatisticamente independentes, temos:
∩ ∩ = = = =
1000 147 10
3 . 10
7 . 10
7 ) (B p . ) (V p . ) (V p ) B V (V
p 1 2 3 1 2 3 0,1470 (14,70%)
b) Neste caso, como os eventos não são estatisticamente independentes, temos:
∩ ∩ = ∩ = = =
720 126 8 3 . 9 6 . 10
7 ) V V / (B p . ) V / (V p . ) (V p ) B V (V
16.) Uma urna contém 8 bolas vermelhas, 3 bolas brancas e 9 bolas azuis. Extraindo-se sucessiva- mente, ao acaso, três bolas, qual a probabilidade de se obter ao menos uma bola branca. Es- tude o problema:
a) com reposição; b) sem reposição.
SOLUÇÃO
Devemos observar inicialmente, que obter ao menos uma bola branca, equivale a obter uma ou duas ou três bolas brancas.
Além disso, como não foi imposta uma ordem, no caso por exemplo, de uma bola branca, esta po- deria ser a primeira, a segunda ou a terceira bola extraída da urna.
Assim como temos muitos casos a estudar, é preferível trabalhar com o complementar.
Consideremos os eventos:
B = {obter ao menos uma bola branca} Bi = {obter bola branca na i-ésima extração} assim:
B = {não obter bola branca nas três extrações} B = {não obter bola branca na i-ésima extração} i
Nestas condições, podemos escrever:
p(B) = p(B1 ∩B2 ∩B3)
a) com reposição
Como neste caso os eventos são estatisticamente independentes, podemos escrever:
8.000 4.913 20 17 . 20 17 . 20 17 ) B ( p . ) B ( p . ) B ( p ) B B B ( p ) B (
p = 1∩ 2∩ 3 = 1 2 3 = =
E assim:
= = = =
8.000 3.087 8.000 4.913 1 ) B ( p 1 (B)
p 0,3859 (38,59%)
b) sem reposição
Como neste caso os eventos não são estatisticamente independentes, podemos escrever:
6.840 4.080 18 15 . 19 16 . 20 17 ) B B / B ( p . ) B / B ( p . ) B ( p ) B B B ( p ) B (
p = 1∩ 2 ∩ 3 = 1 2 1 3 1∩ 2 = =
E assim:
= = = =
6.840 2.760 6.840 4.080 1 ) B ( p 1 (B)
p 0,4035 (40,35%)
17.) Três pessoas que iremos denominar P1, P2 e P3 adquiriram uma certa moléstia infecciosa. Tendo em vista as condições físicas de cada uma, com tratamento adequado, estas pessoas tem respectivamente 90%, 70% e 60% de probabilidade de cura. Determine a probabilidade de:
a) todas se curarem; b) P1 ou P2 se curarem; c) somente P1 se curar.
SOLUÇÃO
Consideremos os eventos:
Ci = { a pessoa Pi fica curada} Ci = { a pessoa Pi não fica curada} e observemos que ele são estatisticamente independentes.
a) p(C1∩ C2 ∩ C3) = p(C1) .p(C2) .p(C3) = 0,90 .0,70 .0,60 = 0,3780 (37,80%)
b) p(C1∪ C2) = p(C1) + p(C2) - p(C1∩C2)
p(C1∪ C2) = p(C1) + p(C2) - p(C1) .p(C2)
p(C1∪ C2) = 0,90 + 0,70 - 0,90 .0,70 = 0,9700 (97%)
c) p(C1∩ C2 ∩ C3) = p(C1) .p(C2) .p(C3) Mas como:
p(C2) = 1 - p(C2) = 1 - 0,70 = 0,30 p(C3) = 1 - p(C3) = 1 - 0,60 = 0,40
podemos escrever:
p(C1∩ C2∩ C3) = 0,90 .0,30 .0,40 = 0,1080 (10,80%)
18.) Uma urna contém 7 bolas de igual formato, gravadas com as letras: A–A–A–C–C–R–R. As bolas são retiradas consecutivamente, ao acaso. Determine a probabilidade de que a extração, nos conduza a palavra: CARCARA. Estude o problema com e sem reposição.
SOLUÇÃO
a) Sem reposição
Neste caso, como os eventos não estatisticamente independentes, podemos escrever:
R) A C R A C (A / .p ... A) C / (R p . C) (A / p . (C) p A) R A C R A (C
p ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ = ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩
= =
= ∩ ∩ ∩ ∩ ∩
∩
5040 24 1 1 . 2 1 . 3 2 . 4 1 . 5 2 . 6 3 . 7 2 A) R A C R A (C
p 0,0048 (0,48%)
a) Com reposição
Neste caso, como os eventos são estatisticamente independentes, podemos escrever:
(A) .p ) R ( p . (A) p . (C) p . (R) p . (A) p . (C) p A) R A C R A (C
p ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ =
= = = ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ 823.543 432 7 3 . 7 2 . 7 3 . 7 2 . 7 2 . 7 3 . 7 2 A) R A C R A (C
p 0,0005 (0,05%)
19.) Ao tentar abrir uma porta com um chaveiro contendo várias chaves parecidas, das quais ape nas uma destranca a referida porta, muitas pessoas acreditam que é mínima a chance de encon- trar a chave certa na primeira tentativa, e chegam mesmo a dizer que essa chave só vai aparecer na última tentativa (Lei de Murphy). Para esclarecer esta questão, calcule no caso de um chavei- ro contendo 10 chaves, a probabilidade de encontrar a chave certa:
a) na primeira tentativa; b) após a primeira tentativa; c) somente na última tentativa.
SOLUÇÃO
a) Consideremos o evento:
A = {encontrar a chave certa na primeira tentativa}
Como as chaves são parecidas, o espaço pode ser considerado equiprovável, e podemos escrever:
= = = 10 1 NTC NCF (A)
p 0,10 (10%)
b) Consideremos o evento:
B = {encontrar a chave certa após a primeira tentativa}
Como o evento B, é o complementar de A, podemos escrever:
= = = = = 10 9 10 1 1 (A) p 1 ) A ( p (B)
p 0,90 (90%)
c) Consideremos os eventos:
N i = {não encontrar a chave certa na i-ésima tentativa} E i = {encontrar a chave certa na i-ésima tentativa}
Observando que a escolha das chaves pode ser considerado como um processo sucessivo, sem repo- sição, podemos escrever:
) N . . . . . N / (E p . . . . . ) N N / (N p . ) N / (N p . ) (N p ) E N . . . . . N N (N
p 1∩ 2 ∩ 3 ∩ ∩ 9 ∩ 10 = 1 2 1 3 1∩ 2 10 1∩ ∩ 9
= = = ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ 10 1 1 1 . 2 1 . 3 2 . 4 3 . 5 4 . 6 5 . 7 6 . 8 7 . 9 8 . 10 9 ) E N . . . . . N N (N
p 1 2 3 9 10 0,10 (10%)
Observe assim que a probabilidade de encontrar a chave na última tentativa é idêntica à de encontrá-la na primeira tentativa.
20.) Lançando-se simultaneamente um dado honesto e uma moeda honesta, determine a probabi- lidade de se obter o número 3 ou o número 5 no dado e cara na moeda.
SOLUÇÃO
Consideremos os eventos:
A = {obter o número 3 no dado} B = {obter o número 5 no dado}
C = {obter cara na moeda}
Como se trata de um espaço equiprovável, podemos escrever:
6 1 NTC NCF (A)
p = =
6 1 NTC NCF (B)
p = =
2 1 NTC NCF (C)
p = =
Como os eventos A e B não podem ocorrer simultaneamente ( A ∩B = Ǿ ), temos: ∪
(A
p B) = p (A) + p (B) =
3 1 6 1 6 1
= +
Assim, como os eventos A ∪B e C são estatisticamente independentes:
6 1 2 1 . 3 1 ) C ( p . ) B A ( p ) C ) B A ( (
p ∪ ∩ = ∪ = = = 0,1667 (16,67%)
20.) Suponha as seguintes previsões para um determinado domingo:
1ª) A probabilidade do glorioso time do Corinthians vencer o São Paulo é de 85%; 2ª) A probabilidade do fraco time do Palmeiras vencer o Grêmio é de 25%;
Determine, a partir destes dados, a probabilidade de: a) o Corinthians vencer e do Palmeiras vencer;
b) o Corinthians vencer ou do Palmeiras vencer;
c) do Corinthians não vencer e do Palmeiras não vencer; d) do Corinthians não vencer ou do Palmeiras não vencer. e) Corinthians vencer e do Palmeiras não vencer;
f) o Corinthians vencer ou do Palmeiras não vencer; g) o Corinthians não vencer e do Palmeiras vencer; h) do Corinthians não vencer ou do Palmeiras vencer;
SOLUÇÃO
Consideremos os seguintes eventos, estatisticamente independentes:
A = {o Corinthians vencer o seu jogo} e A = {o Corinthians não vencer o seu jogo} B = {o Palmeiras vencer o seu jogo} e B = {o Palmeiras não vencer o seu jogo}
Assim, temos as seguintes probabilidades:
p ( A ) = 85% , p ( A ) = 15% , p ( B ) = 25% , p ( B ) = 75%
a) p(A ∩B) = p(A ) .p(B) = 0,85 .0,25 = 0,2125 (21,25%)
b) p(A ∪B) = p(A ) + p(B) - p(A ∩B) = 0,85 + 0,25 - 0,2125 = 0,8875 (88,75%)
c) p(A∩B) = p(A ∪B) = 1 - p(A ∪B) = 1 - 0,8875 = 0,1125 (11,25%)
d) p(A∪B) = p(A) + p(B) - p(A∩B) = 0,15 + 0,75 - 0,1125 = 0,7875 (78,75%)
ou
p(A∪B) = p(A ∩B) = 1 - p(A ∩B) = 1 - 0,2125 = 0,7875 (78,75%)
e) p(A ∩B) = p(A ) .p(B) = 0,85 .0,75 = 0,6375 (63,75%)
f) p(A ∪B) = p(A ) + p(B) - p(A ∩B) = 0,85 + 0,75 - 0,6375 = 0,9625 (96,25%)
g) p(A∩B) = p(A) .p(B) = 0,15 .0,25 = 0,0375 (3,75%)
h) p(A∪B) = p(A) + p(B) - p(A∩B) = 0,15 + 0,25 - 0,0375 = 0,3625 (36,25%)
21.) João, Carlos e Roberto residem em estados brasileiros diferentes, não se conhecem e estudam na primeira série do segundo grau. A probabilidade de João ser aprovado é de 50%, a de Paulo é de 30% e a de Roberto é de 80%. Determine a probabilidade de:
a) apenas João ser aprovado;
b) apenas João e Roberto serem aprovados; c) os três serem aprovados;
d) pelo menos um deles ser aprovado; e) apenas um deles ser aprovado; f) nenhum deles ser aprovado;
g) apenas dois deles serem aprovados; h) pelo menos dois deles serem aprovados; i) no máximo dois deles serem aprovados.
SOLUÇÃO
Consideremos os seguintes eventos, estatisticamente independentes: J = {João ser aprovado} e J = {João não ser aprovado} C = {Carlos ser aprovado} e C = {Carlos não ser aprovado} R = {Roberto ser aprovado} e R = {Roberto não ser aprovado}
Assim, temos as seguintes probabilidades:
p ( J ) = 50% , p ( J) = 50% , p ( C ) = 30% , p ( C) = 70% , p ( R ) = 80% e p ( R ) = 20%
a) p(J∩C∩R) = p(J) . p(C) . p(R) = 0,50 . 0,70 . 0,20 = 0,,0700 (7%)
b) p(J∩C∩R) = p(J) . p(C) . p(R) = 0,50 . 0,70 . 0,80 = 0,2800 (28%)
c) p(J∩C∩R) = p(J) . p(C) . p(R) = 0,50 . 0,30 . 0,80 = 0,1200 (12%)
d) p(J∪C∪R) =p(J) + p(C) + p(R) - p(J∩C) - p(J∩R) - p(C∩R) +p(J∩C∩R)
p(J∪C∪R) =p(J) + p(C) + p(R) - p(J) .p(C) - p(J) .p(R) - p(C) .p(R) + p(J) .p(C) .p(R)
p(J∪C∪R) = 0,50 + 0,30 + 0,80 - 0,50 .0,30 - 0,50 .0,80 - 0,30 .0,80 - 0,50.0,30 .0,80
p(J∪C∪R) = 0,9300 (93%)
e) p((J∩C∩R)∪(J∩C∩R)∪(J∩C∩R)) = p(J∩C∩R) + p(J∩C∩R) + p(J∩C∩R) =
p(J) .p(C) .p(R) + p(J) .p(C) .p(R) + p(J) .p(C) .p(R) =
0,50 . 0,70 . 0,20 + 0,50 . 0,30 . 0,20 + 0,50 . 0,70 . 0,80 = 0,3800 (38%)
f) p(J ∩ C ∩ R) = p(J) . p(C) . p(R) = 0,50 . 0,70 . 0,20 = 0,0700 (7%)
ou
p(J ∩ C ∩ R) = p(J∪C∪R) = 1 - p(J∪C∪R) = 1 - 0,93 = 0,0700 (7%)
g) p((J∩C∩R)∪(J∩C∩R)∪(J∩C∩R)) = p(J∩C∩R) + p(J∩C∩R) + p(J∩C∩R) =
p(J) .p(C) .p(R) + p(J) .p(C) .p(R) + p(J) .p(C) .p(R) =
0,50 . 0,30 . 0,20 + 0,50 . 0,70 . 0,80 + 0,50 . 0,30 . 0,80 = 0,4300 (43%)
h) p((J∩C∩R) ∪ (J∩C∩R) ∪ (J∩C∩R) ∪ p(J∩C∩R)) =
((p(J∩C∩R) + p(J∩C∩R) + p(J∩C∩R)) + p(J∩C∩R) =
(p(J) .p(C) .p(R) + p(J) .p(C) .p(R) + p(J) .p(C) .p(R)) + p(J) .p(C) .p(R) =
0,4300 + 0,1200 = 0,5500 (55%)
22.) Uma pesquisa realizada com 2.500 paulistanos do sexo masculino, com idades entre 18 e 30 anos, constatou que: 2.000 homens preferem mulheres bonitas (MB), 1.000 homens preferem mu- lheres inteligentes (MI) e 250 homens não se interessam pelo assunto. Escolhido um homem ao acaso, dentre os entrevistados, qual a probabilidade de que ele prefira uma mulher bonita e inte- ligente?
SOLUÇÃO
Como:
x y
z
250
MB MI
y = 1.000 – x (♠) z = 2.000 – x (●)
x + y + z + 250 = 2.500 (♣) substituindo (♠) e (●) em (♣) resulta:
x + (1.000 – x) + (2.000 – x) + 250 = 2.500 x = 750
Assim: p (MB ∩MI ) = = 2.500
750
0,30 (30%)
23.) Uma cidade com 25.000 famílias possui três redes de supermercados que iremos denominar: SM1, SM2 e SM3. Uma pesquisa sobre a utilização das redes de supermercados por estas famí- lias, apresentou o seguinte resultado:
SM1 SM2 SM3 SM1 e SM2 SM1 e SM3 SM2 e SM3 NENHUM
12.000 15.000 12.000 5.000 6.000 7.500 1.000
Escolhida, ao acaso, uma família da cidade, qual a probabilidade de que ela utilize as três re- des de supermercados?
SOLUÇÃO
Observe que:
y = 5.000 – x (1) z = 6.000 – x (2) w = 7.500 – x (3)
r = 12.000 – ( x + y + z ) (4) s = 15.000 – ( x + y + w ) (5) t = 12.000 – ( x + z + w ) (6)
x + y + z + w + r + s + t + 1.000 = 25.000 (7)
Substituindo (1) e (2) em (4) resulta:
r = 12.000 – ( x + (5.000 – x) + (6.000 – x) ) = 1.000 + x (8) Substituindo (1) e (3) em (5) resulta:
s = 15.000 – ( x + (5.000 – x) + (7.500 – x) ) = 2.500 + x (9) Substituindo (2) e (3) em (6) resulta:
t = 12.000 – ( x + (6.000 – x) + (7.500 – x) ) = – 1.500 + x (10)
19
SM1 SM2
SM3 x y
w
t z
r s
Substituindo finalmente: (1) , (2) , (3) , (8) , (9) e (10) em (7) resulta:
x + (5000 – x) + (6000 – x) + (7500 – x) + (1000 + x) + (2500 + x) + (– 1500 + x) + 1000 = 25.000
x = 3.500
Assim: p (SM1 ∩ SM2 ∩ SM3) = = 000 . 25
500 . 3
0,1400 (14%)
24.) A probabilidade de ocorrer pelo menos uma vitória do fraco time do Palmeiras sobre o ma- jestoso esquadrão do Corinthians, em um ano qualquer, é de 3%. Determine a probabilidade de ocorrer pelo menos uma vitória do Palmeiras sobre o Corinthians, em 10 anos consecutivos.
SOLUÇÃO
Consideremos os eventos: VPi= {ocorrer pelo uma vitória do Palmeiras no ano “i”} VP = {não ocorrer nenhuma vitória do Palmeiras no ano “i”} i
Assim sendo:
p (VPi) = 3% e p ( VP ) = 97% i
Observe que o evento “ocorrer pelo menos uma vitória do Palmeiras em 10 anos consecuti- vos” pode ser considerado como evento complementar de “não ocorrer nenhuma vitória do Palmei- ras em 10 anos consecutivos”, ou seja:
= =
∩ ∩
∩ VP . . . VP ) 1 - p(VP ) .p(VP ) . . . p(VP )
VP ( p
1 1 2 10 1 2 10
= =
= 1 - (0,97) 1 - 0,7374
) 0,97 . . . 0.97 . 0,97 (
1 10 0,2626 (26,26%)
25.) Um péssimo atirador, tem uma probabilidade de 30% de acertar o centro do alvo. Quantos tiros deverão ser disparados, para que a probabilidade do atirador acertar o centro do alvo, pelo pelo menos uma vez, seja de no mínimo 95%.
SOLUÇÃO
Consideremos os eventos: Ai= {o atirador acerta o centro do alvo no tiro “i” } A = {o atirador não acerta o centro do alvo no tiro “i”} i
Assim sendo:
p ( Ai) = 30% e p ( A ) = 70% i
Observe que o evento “acertar o centro do alvo pelo menos uma vez em n tiros” pode ser considerado como o evento complementar de “não acertar o centro do alvo nenhuma vez em n ti- ros”.
⇒ = ⇒ = ∩ ∩
∩ A . . . A ) 0,95 1 - p(A ) .p(A ) . . . p(A ) 0,95 A ( p
1 1 2 n 1 2 n
1 - ( 0,70 . 0,70 . . . 0,70 ) = 0,95 ⇒ 1 - ( 0,70 ) n = 0,95 ⇒ ( 0,70 ) n = 0,05 ⇒
LN ( 0,70) n = LN ( 0,05 ) ⇒ n . LN ( 0,70 ) = LN ( 0,05) ⇒ = = ) 0,70 ( LN ) 0,05 ( LN
n 8,40
Portanto devem ser disparados 9 tiros para que a probabilidade de acertar o centro do alvo seja de no mínimo 95%.
26.) Considere a configuração de urnas e bo- las ao lado. Escolheu-se uma urna ao acaso e dela retirou-se uma bola ao acaso.
a) Sabendo que a bola é branca qual a proba bilidade dela ter vindo da urna 3?
BOLAS / URNAS U1 U2 U3
PRETAS (P) 1 7 3
BRANCAS (B) 4 2 9
AMARELAS (A) 5 6 8
b) Sabendo que a bola é amarela qual a probabilidade dela ter vindo da urna 2? c) Sabendo que a bola é preta qual a probabilidade dela ter vindo da urna 1? d) Sabendo que a bola é preta qual a probabilidade dela ter vindo da urna 2? e) Sabendo que a bola é preta qual a probabilidade dela ter vindo da urna 3?
SOLUÇÃO
p ( U1 ) = p ( U2 ) = p ( U3 ) = 1/3
a) p ( B / U1 ) = 4/10 ; p ( B / U2 ) = 2/15 ; p ( B / U3 ) = 9/20 Assim, como: ) / U3 B ( p . ) U3 ( p ) / U2 B ( p . ) U2 ( p ) / U1 B ( p . ) U1 ( p ) / U3 B ( p . ) U3 ( p ) B / U3 ( p + + = segue que: 59 / 27 180 / 59 60 / 9 20 / 9 . 3 / 1 15 / 2 . 3 / 1 10 / 4 . 3 / 1 20 / 9 . 3 / 1 ) B / U3 (
p = =
+ +
= = 0,4576 (45,76%)
b) p ( A / U1 ) = 5/10 ; p ( A / U2 ) = 6/15 ; p ( A / U3 ) = 8/20
Assim, como:
) A / U3 ( p . ) U3 ( p ) A / U2 ( p . ) U2 ( p ) A / U1 ( p . ) U1 ( p ) A / U2 ( p . ) U2 ( p ) A / U2 ( p + + = segue que: 78 / 24 180 / 78 45 / 6 20 / 8 . 3 / 1 15 / 6 . 3 / 1 10 / 5 . 3 / 1 15 / 6 . 3 / 1 ) A / U2 (
p = =
+ +
= = 0,3077 (30,77%)
c) p ( P / U1 ) = 1/10 ; p ( P / U2 ) = 7/15 ; p ( P / U3 ) = 3/20 Assim, como: ) / U3 P ( p . ) U3 ( p ) / U2 P ( p . ) U2 ( p ) / U1 P ( p . ) U1 ( p ) / U1 P ( p . ) U1 ( p ) P / U1 ( p + + = segue que: 43 / 6 180 / 43 30 / 1 20 / 3 . 3 / 1 15 / 7 . 3 / 1 10 / 1 . 3 / 1 10 / 1 . 3 / 1 ) A / U2 (
p = =
+ +
= = 0,1395 (13,95%)
d) p ( P / U1 ) = 1/10 ; p ( P / U2 ) = 7/15 ; p ( P / U3 ) = 3/20 Assim, como: ) / U3 P ( p . ) U3 ( p ) / U2 P ( p . ) U2 ( p ) / U1 P ( p . ) U1 ( p ) / U2 P ( p . ) U2 ( p ) P / U2 ( p + + = segue que: 43 / 28 180 / 43 45 / 7 20 / 3 . 3 / 1 15 / 7 . 3 / 1 10 / 1 . 3 / 1 15 / 7 . 3 / 1 ) P / U2 (
p = =
+ +
= = 0,6512 (65,12%)
e) p ( P / U1 ) = 1/10 ; p ( P / U2 ) = 7/15 ; p ( P / U3 ) = 3/20 Assim, como: ) / U3 P ( p . ) U3 ( p ) / U2 P ( p . ) U2 ( p ) / U1 P ( p . ) U1 ( p ) / U3 P ( p . ) U3 ( p ) P / U3 ( p + + = segue que: 43 / 9 180 / 43 60 / 3 20 / 3 . 3 / 1 15 / 7 . 3 / 1 10 / 1 . 3 / 1 20 / 3 . 3 / 1 ) P / U3 (
p = =
+ +
= = 0,2093 (20,93%)
SOLUÇÃO ALTERNATIVA
Utilizando os resultados obtidos em c) e d) podemos escrever:
27.) Três mesas idênticas em aparência, que iremos denominar por M1, M2 e M3, possuem duas gavetas cada uma. Sabe-se que em cada gaveta existe uma moeda e que estas moedas estão assim distribuídas: na mesa M1 as duas gavetas tem uma moeda de ouro (Au), na mesa M2 as duas ga- vetas tem uma moeda de prata (Ag) e a mesa M3 tem uma moeda de ouro em um gaveta e uma de prata na outra. Escolheu-se uma mesa ao acaso e dela retirou-se uma moeda ao acaso.
a) Sabendo que a moeda é de prata, qual a probabilidade de que ela tenha vindo da mesa M2? b) Sabendo que a moeda é de ouro, qual a probabilidade de que ela tenha vindo da mesa M3?
SOLUÇÃO
p ( M1 ) = p ( M2 ) = p ( M3 ) = 1/3
a) p ( Ag / M1 ) = 0 ; p ( Ag / M2 ) = 1 ; p ( Ag / M3 ) = 1/2 Assim, como: ) M3 / Ag ( p . ) M3 ( p ) M2 / Ag ( p . ) M2 ( p ) M1 / Ag ( p . ) M1 ( p ) M2 / Ag ( p . ) M2 ( p ) Ag / M2 ( p + + = segue que: 2/3 6 / 3 3 / 1 1/2 . 3 / 1 1 . 3 / 1 0 . 3 / 1 1 . 3 / 1 ) Ag / M2 (
p = =
+ +
= = 0,6667 (66,67%)
b) p ( Au / M1 ) = 1 ; p ( Au / M2 ) = 0 ; p ( Au / M3 ) = 1/2 Assim, como: ) M3 Au / ( p . ) M3 ( p ) M2 Au / ( p . ) M2 ( p ) M1 Au / ( p . ) M1 ( p ) M3 Au / ( p . ) M3 ( p ) Au / M3 ( p + + = segue que: 3 / 1 6 / 3 6 / 1 1/2 . 3 / 1 0 . 3 / 1 1 . 3 / 1 2 / 1 . 3 / 1 ) Au / M1 (
p = =
+ +
= = 0,3333 (33,33%)
28.) Três fabricas fornecem equipamentos de precisão para o laboratório de química de uma uni- versidade. Apesar de serem aparelhos de precisão, existe uma pequena probabilidade de subes- timação ou superestimação das medidas efetuadas, conforme nos mostra a tabela a seguir:
EQUIP. - FABRICA I EQUIP. – FABRICA II EQUIP. – FABRICA III
MEDIDA PROBABILIDADE PROBABILIDADE PROBABILIDADE
SUBESTIMA 1% 0,5% 0%
EXATA 98% 98% 99%
SUPERESTIMA 1% 1,5% 1%
As fábricas I, II e III fornecem, respectivamente, 20%, 30% e 50% dos aparelhos utilizados. Escolhemos, ao acaso, um destes aparelhos, e perguntamos a probabilidade de:
a) fornecendo medidas exatas, ter sido fabricado em III?
b) ter sido fabricado em I sabendo que não subestima as medidas? c) Haver superestimação de medidas?
SOLUÇÃO
p ( F I ) = 0,20 , p ( F II ) = 0,30 , p ( F III ) = 0,50
a) p ( EX / F I ) = 0,98 ; p ( EX / F II ) = 0,98 ; p ( EX / F III ) = 0,99 Assim, como: ) III F / EX ( p . ) III F ( p ) II F / EX ( p . ) II F ( p ) I F / EX ( p . ) I F ( p ) III F / EX ( p . ) III F ( p ) EX / III F ( p + + = segue que: 0,9850 0,4950 0,99 . 0,50 0,98 . 0,30 0,98 . 0,20 0,99 . 0,50 ) EX / III F (
p = =
+ +
= 0,5025 (50,25%)
b) Observe que não subestimar corresponde a fornecer medidas exatas ou superestimadas.
p ( NSUB / F I ) = 0,99 ; p ( NSUB / F II ) = 0,995 ; p ( NSUB / F III ) = 1,00 Assim, como: ) III F / NSUB ( p . ) III F ( p ) II F / NSUB ( p . ) II F ( p ) I F / NSUB ( p . ) I F ( p ) I F / NSUB ( p . ) I F ( p ) NSUB / I F ( p + + = segue que: 0,99965 0,1980 1,00 . 0,50 0,995 . 0,30 0,99 . 0,20 0,99 . 0,20 ) NSUP / I F (
p = =
+ +
= 0,1987 (19,87%)
c) = + + = = ∩ + ∩ + ∩ = = ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ = ) III F / SUP ( p . ) III F ( p ) II F / SUP ( p . ) II F ( p ) I F / SUP ( p . ) I F ( p ) SUP III F ( p ) SUP II F ( p ) SUP I F ( p ) ) SUP III F ( p ) SUP II F ( ) SUP I F ( ( p ) SUP ( p
= 0,20 . 0,01 + 0,30 . 0,015 + 0,50 . 0,01 = 0,0115 (1,15%)
d) = + + = = ∩ + ∩ + ∩ = = ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ = ) III F / NSUB ( p . ) III F ( p ) II F / NSUB ( p . ) II F ( p ) I F / NSUB ( p . ) I F ( p ) NSUB III F ( p ) NSUB II F ( p ) NSUB I F ( p ) ) NSUB III F ( p ) NSUB II F ( ) NSUB I F ( ( p ) NSUB ( p
29.) Considere os eventos A e B tais que: p( A ) = 0,2 , p( B ) = x e p ( A U B ) = 0,6. Deter- mine o valor de x sabendo que os eventos são:
a) mutuamente exclusivos;
b) estatisticamente independentes.
SOLUÇÃO
a) Dizer que os eventos são estatisticamente independentes equivale a dizer que: A ∩B = Ǿ Assim:
p(A ∪B) = p(A ) + p(B) - p(A ∩B) ⇒ 0,6 = 0,2 + x + 0 ⇒ x = 0,4 b) Se os eventos são estatisticamente independentes, então: p(A ∩B) = p(A) .p(B)
Assim:
⇒ +
= ∪ ⇒
∩ +
=
∪B) p(A ) p(B) - p(A B) p(A B) p(A ) p(B) -p(A ) .p(B) A
( p
0,4 x . 0,8 x . 0,2 x 0,2 0,6
= + ⇒ = ⇒
⇒ x = 0,5
30.) Em uma avenida existem três sinaleiros de trânsito, suficientemente espaçados, para que pos sam ser considerados independentes. O primeiro fornece luz verde durante 30 segundos por mi- nuto, o segundo fornece luz verde 40 segundos por minuto e o terceiro fornece luz verde 50 se- gundos a cada minuto. Um motorista percorre a avenida em toda a sua extensão. Qual a probabi- bilidade de que ele encontre:
a) todos os sinais abertos? b) apenas um sinal fechado? c) pelo menos um sinal fechado?
SOLUÇÃO
Sejam os eventos: S i = { o sinal “ i ” está aberto } S = { o sinal “ i ” está fechado } i Assim: p ( S 1 ) =
60 30
= 0,50 , p ( S 2 ) = 60 40
= 0,67 , p ( S 3 ) = 60 50
= 0,83
e:
p ( S ) = 0,50 , p ( 1 S2 ) = 0,33 , p ( S3 ) = 0,17
a) p(S1 ∩ S2 ∩ S3) = p(S1) . p(S2 ) . p(S3) = 0,50 . 0,67 . 0,83 = 0,2781 ( 27,81%)
b) p((S1∩ S2 ∩ S3 ) ∪ (S1∩ S2 ∩ S3 ) ∪ (S1∩ S2 ∩ S3) =
= p(S1∩ S2 ∩ S3 ) + p(S1∩ S2 ∩ S3) + p(S1∩ S2 ∩ S3) =
= p(S1) .p(S2 ) .p(S3) + p(S1) .p(S2 ) .p(S3) + p(S1) .p(S2 ) .p(S3) =
= 0,50 . 0,67 . 0,83 + 0,50 . 0,33 . 0,83 + 0,50 . 0,67 . 0,17 = 0,4720 (47,20%)
c) Observe que o evento “pelo menos um sinal fechado” equivale ao complementar do evento “todos os sinais abertos”. Assim podemos escrever:
p({pelomenosumsinalfechado}) = 1 - p(S1 ∩ S2 ∩ S3) = 1 - 0,2781 = 0,7219 (72,19%)
31.) A URNA I contém cinco bolas brancas e quatro bolas vermelhas e a URNA II contém três bo las brancas e duas vermelhas. Uma bola é retirada ao acaso da URNA I e colocada na URNA II. Uma bola é então retirada ao acaso da URNA II. Determine a probabilidade de que esta bola seja branca.
SOLUÇÃO
Consideremos os eventos:
B1 = { retirar uma bola branca da URNA I } B2 = { retirar uma bola branca da URNA II } V1 = { retirar uma bola vermelha da URNA I } V2 = { retirar uma bola vermelha da URNA II }
Notemos agora que o problema não impõe condições sobre a cor da bola a ser retirada da UR- NA I. Temos assim dois casos a considerar:
5 B 4 V
URNA I
B
V
URNA II
URNA II 2 V
4 B
3 B 3 V
B
B
Logo a probabilidade de que a bola retirada da URNA II seja branca é dada por:
) B2 V1 ( p ) B2 B1 ( p ) ) B2 V1 ( ) B2 B1 ( (
p ∩ ∪ ∩ = ∩ + ∩ =
= = +
= +
=
54 32 6 3 . 9 4 6 4 . 9 5 ) V1 / B2 ( p . ) V1 ( p ) B1 / B2 ( p . ) B1 ( p
0,5926 (59,26%)
32.) Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 3 bolas brancas. Uma bola é selecionada ao acaso da urna e abandonada. Duas bolas da outra cor são então colocadas na urna. Uma segunda bola é então selecionada da urna ao acaso. Determine a probabilidade de que:
a) a segunda bola seja vermelha;
b) as bolas selecionadas sejam da mesma cor;
SOLUÇÃO
Consideremos os eventos:
B1 = {a primeira bola retirada da urna é branca} B2 = {a segunda bola retirada da urna é branca} V1 = {a primeira bola retirada da urna é vermelha} V2 = {a segunda bola retirada da urna é vermelha}
a) temos dois casos a considerar;
3 B 5 V B V 7 V 2 B 5 B 4 V V V ) V2 B1 ( p ) V2 V1 ( p ) ) V2 B1 ( ) V2 V1 ( (
p ∩ ∪ ∩ = ∩ + ∩ =
= = + = + = 72 41 9 7 . 8 3 9 4 . 8 5 ) B1 / V2 ( p . ) B1 ( p ) V1 / V2 ( p . ) V1 ( p
0,5694 (56,94%)
b) temos dois casos a considerar;
3 B 5 V B V 7 V 2 B 5 B 4 V B V ) V2 V1 ( p ) B2 B1 ( p ) ) V2 V1 ( ) B2 B1 ( (
p ∩ ∪ ∩ = ∩ + ∩ =
= = + = + = 72 26 9 4 . 8 5 9 2 . 8 3 ) V1 / V2 ( p . ) V1 ( p ) B1 / B2 ( p . ) B1 ( p
0,3611 (36,11%)
c) = ∩ = = = =
41 20 41/72 4/9 . 5/8 ) V2 ( p ) V1 / V2 ( p . ) V1 ( p ) V2 ( p ) V2 V1 ( p ) V2 / V1 (
p 0,4878 (48,78%)