Exercicios Resolvidos de Probabilidade Fatec

27  238 

Loading.... (view fulltext now)

Loading....

Loading....

Loading....

Loading....

Texto

(1)

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE PROBABILIDADE

1º) O seguinte grupo de pessoas se encontra em uma sala: ► 5 rapazes com mais de 21 anos;

► 4 rapazes com menos de 21 anos; ► 6 moças com mais de 21 anos; ► 3 moças com menos de 21 anos.

Uma pessoa é escolhida ao acaso. Determine a probabilidade de que: a) Seja uma moça ou tenha mais do que 21 anos;

b) Seja um rapaz ou tenha mais do que 21 anos; c) Seja um rapaz ou tenha menos do que 21 anos; d) Seja uma moça ou tenha menos do que 21 anos.

SOLUÇÃO

a) Consideremos os eventos:

A = {a pessoa é uma moça}

B = {a pessoa tem mais de 21 anos} Devemos determinar:

p ( A ∪B )

Observando que o grupo é formado por 18 pessoas e que a escolha é ao acaso, temos:

p ( A ) =

18 9 NTC NCF

= p ( B ) =

18 11 NTC NCF

= p ( A ∩B ) =

18 6 NTC NCF

=

Assim, resulta:

18 14 18

6 18 11 18

9 B) p(A p(B) p(A) B)

p(A∪ = + - ∩ = + − = = 0,7778 (77,78%)

b) Consideremos os eventos:

A = {a pessoa é um rapaz}

B = {a pessoa tem mais de 21 anos} Como:

p ( A ) =

18 9 NTC NCF

= p ( B ) =

18 11 NTC NCF

= p ( A ∩B ) =

18 5 NTC NCF

=

segue que:

18 15 18

5 18 11 18

9 B) p(A p(B) p(A) B)

p(A∪ = + ∩ = + − = = 0,8333 (83,33%)

c) Consideremos os eventos:

A = {a pessoa é um rapaz}

B = {a pessoa tem menos de 21 anos}

(2)

Como:

p ( A ) =

18 9 NTC NCF

= p ( B ) =

18 7 NTC NCF

= p ( A ∩B ) =

18 4 NTC NCF

=

segue que:

18 12 18

4 18

7 18

9 B) p(A p(B) p(A) B)

p(A∪ = + ∩ = + − = = 0,6667 (66,67%)

d) Consideremos os eventos:

A = {a pessoa é uma moça}

B = {a pessoa tem menos de 21 anos} Como:

p ( A ) =

18 9 NTC NCF

= p ( B ) =

18 7 NTC NCF

= p ( A ∩B ) =

18 3 NTC NCF

=

segue que:

18 13 18

3 18

7 18

9 B) p(A p(B) p(A) B)

p(A∪ = + ∩ = + − = = 0,7222 (72,22%)

2º) Jogam-se dois dados honestos. Consideremos os eventos: A = {o primeiro dado aponta o número 2} B = {a soma dos números nos dois dados é 4} C = {os números nos dois dados são iguais} Nestas condições pede-se determinar:

a) p (A) + p (B) b) p (C) + p (A B) c) p (A ∩ ∩B C)

SOLUÇÃO

Observe inicialmente, que a espaço amostral decorrente do lançamento dos dois dados é composto por 36 elementos, ou seja:

S = { (1,1) , (1,2), . . . , (1,6) , (2,1) , (2,2), . . . (2,6) , ...(6,6) }

a) Notando que:

A = { (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) } e B = { (1,3) , (2,2) , (3,1) }

e sendo o espaço amostral equiprovável, segue:

p ( A ) =

36 6 NTC NCF =

e p ( B ) =

36 3 NTC NCF =

Assim, temos:

p ( A ) + p ( B ) = 36

9 36

3 36

6 + = =

(3)

b) Notando que:

C = { (1,1) , (2,2) , . . . , (6,6) } e A ∩B = { (2,2) }

segue:

p ( C ) =

36 6 NTC NCF

= e p ( A ∩B ) =

36 1 NTC NCF

=

e assim:

p ( C ) + p ( A ∩B ) = 36

7 36

1 36

6 + = =

0,1944 (19,44%)

c) Como:

A ∩B ∩C = { (2,2) }

resulta que:

p (A ∩B ∩C ) = 36

1 =

0,0278 (2,78%)

3º) De um conjunto com quatro valetes e cinco reis, são retiradas 3 três cartas, simultaneamente,

ao acaso. Qual a probabilidade de se obter: a) 3 valetes;

b) 3 reis;

c) apenas 1 valete; d) exatamente 2 reis; e) no máximo 2 reis; f) no mínimo 1 valete.

SOLUÇÃO

a) Considere o evento:

A = {obter 3 valetes}

Como a retirada é ao acaso, trata-se de um espaço equiprovável. Assim, tendo em vista que:

NCF = C 4 , 3 = 4 e NTC = C 9 , 3 = 84

podemos escrever:

p ( A ) = = = 84

4 NTC NCF

0,0476 (4,76%)

b) Considere o evento:

B = {obter 3 reis}

Tendo em vista que:

NCF = C 5 , 3 = 10 e NTC = C 9 , 3 = 84

(4)

podemos escrever:

p ( A ) = = = 84 10 NTC NCF

0,1190 (11,90%)

c) Considere o evento:

C = {obter apenas 1 valete}

Observe que obter apenas 1 valete equivale a obter 1 valete e 2 reis. Assim:

NCF = C 4 , 1 . C 5 , 2 = 4 . 10 = 40 e NTC = C 9 , 3 = 84 podemos escrever:

p ( C ) = = = 84 40 NTC NCF

0,4762 (47,62%)

d) Considere o evento:

D = {obter exatamente 2 reis}

Observe que obter exatamente 2 reis equivale a obter 1 valete e 2 reis. Assim a solução do item d) é exatamente igual a do item c).

e) Considere o evento:

E = {obter no máximo 2 reis}

Observe que obter no máximo 2 reis equivale a obter : 2 reis ou 1 rei ou nenhum rei. Assim o núme- ro de casos favoráveis, é dado pela soma das seguintes possibilidades:

2 reis (ou seja: 2 reis e 1 valete): C 4 , 1 . C 5 , 2 = 4 . 10 = 40 1 rei (ou seja: 1 rei e 2 valetes): C 4 , 2 . C 5 , 1 = 6 . 5 = 30

nenhum rei (ou seja 3 valetes): C 4 , 3 = 4

Podemos então escrever:

p ( E ) = = + + = 84

4 30 40 NTC NCF

84 74

= 0,8810(88,10%)

f) Considere o evento:

F= {obter no mínimo 1 valete}

Observe que obter no mínimo 1 valete equivale a obter : 1 valete ou 2 valetes ou 3 valetes Assim o número de casos favoráveis, é dado pela soma das seguintes possibilidades:

1 valete (ou seja: 2 reis e 1 valete): C 4 , 1 . C 5 , 2 = 4 . 10 = 40 2 valetes (ou seja: 1 rei e 2 valetes): C 4 , 2 . C 5 , 1 = 6 . 5 = 30

3 valetes (ou seja nenhum rei): C 4 , 3 = 4

(5)

4.) Dez cavalos C1, C2, ...., C10 participam de uma corrida. Sabe-se que a probabilidade do cava- lo C5 vencer a corrida é quatro vezes maior do que a probabilidade dos cavalos C1 e C10, que por sua vez tem probabilidade três vezes maior de vencer a corrida do que os cavalos C2, C4, C6 e C8, que por sua vez tem probabilidade duas vezes maior de vencer a corrida do que os cavalos C3, C7 e C9. Supondo que não há possibilidade de empate, determine qual é a pro- babilidade do cavalo C5 vencer a corrida.

SOLUÇÃO

Vamos atribuir aos cavalos C3, C7 e C9 a probabilidade k de vencer a corrida. Assim os cavalos C2, C4, C6 e C8 tem probabilidade 2k de vencer a corrida. Consequentemente os cavalos C1 e C10 tem probabilidade 6k de vencer a corrida. Finalmente o cavalo C5 tem probabilidade 24k de vencer a corrida.

Como não há possibilidade de empate, ou seja, os eventos são mutuamente exclusivos (interseção vazia), podemos escrever:

p(S) = p(C1∪C2∪ . . . . .∪C10) = p(C1)+p(C2)+ . . . . .+p(C10) = 1 ou seja:

k + k + k + 2k + 2k + 2k + 2k + 6k + 6k + 24k = 1 ⇒

47 1 k 1 k

47 = ⇒ =

Assim a probabilidade do cavalo C5 vencer a corrida é dada por:

p(C5) = 24 k =

47 24 47

1 .

24 = = 0,5106 (51,06%)

5.) Em uma sala temos 10 rapazes e 20 moças. Metade dos rapazes e metade das moças tem olhos castanhos. Escolhido um aluno ao acaso, qual a probabilidade de que seja uma moça ou te- nha olhos castanhos.

SOLUÇÃO

Consideremos os eventos:

A = {escolher uma moça ao acaso}

B = {escolher um aluno com olhos castanhos, ao acaso}

Como se trata de um espaço equiprovável, podemos escrever:

p ( A ) =

30 20 NTC NCF =

p ( B ) =

30 15 NTC NCF =

p ( A ∩B ) =

30 10 NTC NCF =

Assim:

30 25 30 10 30 15 30 20 B) p(A p(B) p(A) B)

p(A∪ = + - ∩ = + − = = 0,8333 (83,33%)

(6)

6.) Um número é escolhido ao acaso do conjunto: { 1 , 2 , 3 , . . . , 49 , 50 }. Determine a probabi lidade de que o número escolhido seja um múltiplo de 6 ou de 8.

SOLUÇÃO

Consideremos os eventos:

M6 = {número múltiplo de 6} = { 6 , 12 , 18 , 24 , 30 , 36 , 42 , 48 } M8 = {número múltiplo de 8} = { 8 , 16 , 24 , 32 , 40 , 48 }

Observando que:

M6 ∩ M8 = { 24 , 48 }

podemos escrever:

50 12 50

2 50

6 50

8 ) 8 M M6 p( ) M8 p( ) M6 p( ) M8 M6

p( ∪ = + - ∩ = + − = = 0,2400 (24%)

7.) Uma urna contém 5 bolas pretas, 4 bolas azuis e 3 bolas brancas. Três bolas são retiradas si- multaneamente ao acaso. Determine a probabilidade de se obter:

a) três bolas pretas; b) três bolas azuis; c) três bolas brancas; d) uma bola de cada cor;

e) exatamente duas bolas brancas; f) no mínimo uma bola preta;

g) duas bolas pretas ou duas bolas azuis; h) duas bolas pretas ou uma bola branca.

SOLUÇÃO

a) Consideremos o evento:

A = {obter 3 bolas pretas}

Como temos 5 bolas pretas na urna, que contém um total de 12 bolas, podemos escrever:

NCF = C 5 , 3 = 10 e NTC = C 12 , 3 = 220 Assim:

= = =

220 10 NTC NCF (A)

p 0,0455 (4,55%)

b) Consideremos o evento:

B = {obter 3 bolas azuis} Assim:

NCF = C 4 , 3 = 4 e = = = 220

4 NTC NCF (B)

(7)

c) Consideremos o evento:

C = {obter 3 bolas brancas} Assim:

NCF = C 3 , 3 = 1 e = = = 220

1 NTC NCF (B)

p 0,0045 (0,45%)

d) Consideremos o evento:

D = {obter uma bola de cada cor} Nestas condições:

NCF = C 5 , 1 . C 4 , 1 . C 3 , 1 = 60 e = = = 220

60 NTC NCF (B)

p 0,2727 (27,27%)

e) Consideremos o evento:

E = {obter exatamente duas bolas brancas}

Observe que obter exatamente duas bolas brancas equivale a dizer que a terceira bola deve ser preta ou azul. Assim podemos escrever

NCF = C 3 , 2 . C 9,1 = 27 e = = = 220

27 NTC NCF (B)

p 0,1227 (12,27%)

f) Consideremos o evento:

F = {obter no mínimo uma bola preta}

Observe que obter no mínimo uma bola preta equivale a obter uma ou duas ou três bolas pretas. Assim temos:

1 bola preta (e duas de outra cor): C 5 , 1 . C 7 , 2 = 105 2 bolas preta (e uma de outra cor): C 5 , 2 . C 7 , 1 = 70 3 bolas pretas: C 5 , 3 = 10 e podemos escrever:

NCF = 105 + 70 + 10 = 185 e = = = 220 185 NTC NCF (B)

p 0,8409 (84,09%)

Este item também poderia ser resolvido da seguinte forma:

Como o único caso que não satisfaz ao problema é a ocorrência de nenhuma bola preta, pode- mos escrever:

Nenhuma bola preta (apenas bolas brancas e azuis): C 7 , 3 = 35

Assim a ocorrência de pelo menos uma bola preta é dada por: 220 – 35 = 185, o que nos leva a mesma solução.

(8)

g) Consideremos os eventos:

G1 = {obter duas bolas pretas} tal que NCFG1 = C 5 , 2 . C 7 , 1 = 70 G2 = {obter duas bolas azuis} tal que NCFG2 = C 4 , 2 . C 8 , 1 = 48

Como os eventos G1 e G2 são mutuamente exclusivos (não podem ocorrer simultaneamente), ou seja: G1 ∩ G2 ) = Ǿ, podemos escrever:

∪ = + = + = + = =

220 118 220

48 220

70 NTC

NCF NTC

NCF p(G2)

p(G1) )

G2 G1

p( G1 G2 0,5364 (53,64%)

f) Consideremos os eventos:

F1 = {obter duas bolas pretas} tal que NCFF1 = C 5 , 2 . C 7 , 1 = 70 F2 = {obter uma bola branca} tal que NCFF2 = C 3 , 1 . C 9 , 2 = 108

Como os eventos F1 e F2 não são mutuamente exclusivos (podem ocorrer simultaneamente), ou seja: F1 ∩ F2 ) ≠ Ǿ, e como:

NCF F1 ∩F2 = C 5 , 2 . C 3 , 1 = 30 podemos escrever:

NTC NCF NTC

NCF NTC

NCF F2)

p(F1 -p(F2) p(F1)

) F2 F1

p( ∪ = + ∩ = F1 + F2 − F1 ∩ F2

= = − + = ∪

220 148 220

30 220 108 220

70 ) F2 F1

p( 0,6727 (67,27%)

8.) Em uma prova de um concurso caíram dois problemas P1 e P2. Sabe-se que 150 candidato a- certaram o problema P1, 100 erraram o problema P2, 75 acertaram os dois problemas e 200 acertaram apenas um problema. Determine a probabilidade de que um aluno escolhido ao a- caso não tenha acertado nenhum problema.

SOLUÇÃO

Consideremos o evento:

A = {o candidato não acertou nenhum problema} Assim:

= = =

300 25 NTC NCF (A)

p 0,0833 (8,33%)

P1 P2

75

75 125

(9)

9.) De um total de 130 estudantes, 80 não estudam francês, 70 não estudam espanhol e 30 estu- dam francês e espanhol. Determine a probabilidade de que um estudante escolhido ao acaso: a) não estude nenhuma das duas línguas;

b) estude apenas uma das duas línguas. SOLUÇÃO

y + z = 80 ⇒ y = 80 - z (1) x + z = 70 ⇒ x = 70 - z (2)

x + y + z + 30 = 130 ⇒ x + y + z = 100 (3)

substituindo (1) e (2) em (3) resulta: (70 – z) + (80 – z) + z = 100 ⇒ z = 50 e consequentemente:

x = 20 e y = 30

a) Consideremos o evento: A = {o aluno não estuda nenhuma das duas línguas}

= = = = =

130 50 130

50 130

z NTC NCF (A)

p 0,3846 (38,46%)

b) Consideremos o evento: B = { o aluno estuda apenas uma das duas línguas }

= = + = + = =

130 50 130

30 20 130

y x NTC NCF (B)

p 0,3846 (38,46%)

10.) Um colégio tem 400 alunos. Destes: 100 estudam matemática, 80 estudam física, 100 estudam química, 20 estudam matemática, física e química, 30 estudam matemática e física, 30 estu- tudam física e química e 50 estudam somente química. Determine a probabilidade de que um aluno escolhido ao acaso:

a) não estude nenhuma das três matérias; b) estude matemática e química.

SOLUÇÃO

a) Considere o evento:

A = {o aluno não estuda nenhuma matéria} Assim

= = =

400 200 NTC NCF (A)

p 0,5000 (50%)

b) Considere o evento:

B = {o aluno estuda matemática e química} Assim:

400 40 NTC NCF (B)

p = = = 0,1000 (10%)

9

F E

30

x y

z

M F

Q

20 10

10

50 20

50 40

(10)

11.) Em uma loteria com 50 bilhetes, 3 são premiados. Comprando-se 2 bilhetes, qual a probabili- dade de:

a) nenhum deles ser premiado; b) apenas um ser premiado; c) os dois serem premiados.

SOLUÇÃO

Observe inicialmente que a compra pode ser considerada um procedimento simultâneo.

a) Consideremos o evento:

A = {nenhum dos bilhetes é premiado}

Como dos 50 bilhetes, 3 são premiados, podemos escrever:

NCF = C 47 , 2 = 1081 e NTC = C 50 , 2 = 1.225 e consequentemente:

1.225 1.081 NTC

NCF (A)

p = = = 0,8824 (88,24%)

b) Consideremos o evento:

B = {apenas um bilhete é premiado}

Observe que neste caso, o outro bilhete necessariamente não é premiado. Assim, podemos es- crever:

NCF = C 47 , 1 . C 3 , 1 = 141 e NTC = C 50 , 2 = 1.225 e consequentemente:

1.225 141 NTC

NCF (B)

p = = = 0,1151 (11,51%)

c) Consideremos o evento:

C = {os dois bilhetes são premiados} Como neste caso:

NCF = C 3 , 2 = 3 e NTC = C 50 , 2 = 1.225 e consequentemente:

1.225 3 NTC NCF (B)

p = = = 0,0024 (0,24%)

12.) Dois jogadores J1 e J2 vão lançar um par de dados honestos. Eles combinam que se a soma dos pontos for 5, o jogador J1 ganha, e, se essa soma for 8, o jogador J2 é quem ganha. Os da dos são lançados. Sabe-se que J1 não ganhou. Qual a probabilidade de J2 ter ganho?

SOLUÇÃO O lançamento de dois dados gera 36 possibilidades.

Como J1 não ganhou, então não ocorreu soma 5, ou seja, não ocorreram os seguintes pares de números: {(1,4) , (2,3) , (3,2) , (4,1)}

(11)

Consideremos o evento:

J2 = {a soma dos números é 8} = {(2,6) , (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)}

Assim, podemos escrever:

32 5 NTC NCF (J1)

p = = = 0,1563 (15,63%)

13.) Duas cartas são retiradas sucessivamente, ao acaso, de um baralho honesto com 52 cartas. De termine a probabilidade de ambas serem valetes. Estude o problema:

a) com reposição; b) sem reposição.

SOLUÇÃO Consideremos os eventos:

A = {a primeira carta retirada é um valete} B = {a segunda carta retirada é um valete}

a) Retirada com reposição

Neste caso, os eventos são estatisticamente independentes, e como temos 4 valetes no baralho, podemos escrever:

∩ = = = =

704 . 2

16 52

4 . 52

4 (B) p . (A) p B) (A

p 0,0059 (0,59%)

b) Retirada sem reposição

Neste caso, os eventos não são estatisticamente independentes. Assim sendo, podemos escre- ver:

= =

= =

2.652 12 51

3 . 52

4 A) / (B p . (A) p B) (A

p 0,0045 (0,45%)

14.) Determine a probabilidade de ocorrer o número 5, pelo menos uma vez, em duas jogadas con secutivas de um dado honesto.

SOLUÇÃO

Consideremos os seguintes eventos:

A = {ocorrer o número 5 na primeira jogada do dado} ; p (A) = 1/6 B = {ocorrer o número 5 na segunda jogada do dado} ; p (B) = 1/6 C = {ocorrer o número 5 pelo menos uma vez nas duas jogadas do dado}

Observe agora que:

A = {não ocorrer o número 5 na primeira jogada do dado} e p(A)=1-p(A)=1-1/6=5/6 B = {não ocorrer o número 5 na primeira jogada do dado} e p(B)=1-p(B)=1-1/6=5/6

Assim, podemos escrever:

p(C) = p(A∩B)+p(A∩B)+p(A∩B)

(12)

Por outro lado, como os eventos A e B são estatisticamente independentes, podemos escrever:

p(C) = p(A) .p(B) + p(A) .p(B) + p(A) .p(B)

36 11 6 1 . 6 1 6 1 . 6 5 6 5 . 6 1 (C)

p = + + = = 0,3056 (30,56%)

Este exercício também poderia ser resolvido da seguinte forma:

Consideremos o evento C , ou seja:

C = {não ocorrer o número 5 nas duas jogadas do dado}

cuja probabilidade é:

36 25 6 5 . 6 5 ) B p( . ) A p( ) B A ( p ) C (

p = ∩ = = =

Assim:

= = = =

36 11 36 25 1 ) C ( p 1 (C)

p 0,3056 (30,56%)

15.) Uma urna contém 7 bolas vermelhas e 3 bolas brancas. Três bolas são retiradas da urna, con secutivamente, ao acaso. Determine a probabilidade de que as duas primeiras sejam verme- lhas e que a última seja branca. Estude o problema:

a) com reposição; b) sem reposição.

SOLUÇÃO

Consideremos os eventos:

V1 = {a primeira bola é vermelha} V2 = {a segunda bola é vermelha} B3 = {a terceira bola é branca}

a) Neste caso, como os eventos são estatisticamente independentes, temos:

∩ ∩ = = = =

1000 147 10

3 . 10

7 . 10

7 ) (B p . ) (V p . ) (V p ) B V (V

p 1 2 3 1 2 3 0,1470 (14,70%)

b) Neste caso, como os eventos não são estatisticamente independentes, temos:

∩ ∩ = ∩ = = =

720 126 8 3 . 9 6 . 10

7 ) V V / (B p . ) V / (V p . ) (V p ) B V (V

(13)

16.) Uma urna contém 8 bolas vermelhas, 3 bolas brancas e 9 bolas azuis. Extraindo-se sucessiva- mente, ao acaso, três bolas, qual a probabilidade de se obter ao menos uma bola branca. Es- tude o problema:

a) com reposição; b) sem reposição.

SOLUÇÃO

Devemos observar inicialmente, que obter ao menos uma bola branca, equivale a obter uma ou duas ou três bolas brancas.

Além disso, como não foi imposta uma ordem, no caso por exemplo, de uma bola branca, esta po- deria ser a primeira, a segunda ou a terceira bola extraída da urna.

Assim como temos muitos casos a estudar, é preferível trabalhar com o complementar.

Consideremos os eventos:

B = {obter ao menos uma bola branca} Bi = {obter bola branca na i-ésima extração} assim:

B = {não obter bola branca nas três extrações} B = {não obter bola branca na i-ésima extração} i

Nestas condições, podemos escrever:

p(B) = p(B1 ∩B2 ∩B3)

a) com reposição

Como neste caso os eventos são estatisticamente independentes, podemos escrever:

8.000 4.913 20 17 . 20 17 . 20 17 ) B ( p . ) B ( p . ) B ( p ) B B B ( p ) B (

p = 123 = 1 2 3 = =

E assim:

= = = =

8.000 3.087 8.000 4.913 1 ) B ( p 1 (B)

p 0,3859 (38,59%)

b) sem reposição

Como neste caso os eventos não são estatisticamente independentes, podemos escrever:

6.840 4.080 18 15 . 19 16 . 20 17 ) B B / B ( p . ) B / B ( p . ) B ( p ) B B B ( p ) B (

p = 123 = 1 2 1 3 12 = =

E assim:

= = = =

6.840 2.760 6.840 4.080 1 ) B ( p 1 (B)

p 0,4035 (40,35%)

(14)

17.) Três pessoas que iremos denominar P1, P2 e P3 adquiriram uma certa moléstia infecciosa. Tendo em vista as condições físicas de cada uma, com tratamento adequado, estas pessoas tem respectivamente 90%, 70% e 60% de probabilidade de cura. Determine a probabilidade de:

a) todas se curarem; b) P1 ou P2 se curarem; c) somente P1 se curar.

SOLUÇÃO

Consideremos os eventos:

Ci = { a pessoa Pi fica curada} Ci = { a pessoa Pi não fica curada} e observemos que ele são estatisticamente independentes.

a) p(C1∩ C2 ∩ C3) = p(C1) .p(C2) .p(C3) = 0,90 .0,70 .0,60 = 0,3780 (37,80%)

b) p(C1∪ C2) = p(C1) + p(C2) - p(C1∩C2)

p(C1∪ C2) = p(C1) + p(C2) - p(C1) .p(C2)

p(C1∪ C2) = 0,90 + 0,70 - 0,90 .0,70 = 0,9700 (97%)

c) p(C1∩ C2 ∩ C3) = p(C1) .p(C2) .p(C3) Mas como:

p(C2) = 1 - p(C2) = 1 - 0,70 = 0,30 p(C3) = 1 - p(C3) = 1 - 0,60 = 0,40

podemos escrever:

p(C1∩ C2∩ C3) = 0,90 .0,30 .0,40 = 0,1080 (10,80%)

18.) Uma urna contém 7 bolas de igual formato, gravadas com as letras: A–A–A–C–C–R–R. As bolas são retiradas consecutivamente, ao acaso. Determine a probabilidade de que a extração, nos conduza a palavra: CARCARA. Estude o problema com e sem reposição.

SOLUÇÃO

a) Sem reposição

Neste caso, como os eventos não estatisticamente independentes, podemos escrever:

R) A C R A C (A / .p ... A) C / (R p . C) (A / p . (C) p A) R A C R A (C

p ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ = ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩

= =

= ∩ ∩ ∩ ∩ ∩

5040 24 1 1 . 2 1 . 3 2 . 4 1 . 5 2 . 6 3 . 7 2 A) R A C R A (C

p 0,0048 (0,48%)

(15)

a) Com reposição

Neste caso, como os eventos são estatisticamente independentes, podemos escrever:

(A) .p ) R ( p . (A) p . (C) p . (R) p . (A) p . (C) p A) R A C R A (C

p ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ =

= = = ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ 823.543 432 7 3 . 7 2 . 7 3 . 7 2 . 7 2 . 7 3 . 7 2 A) R A C R A (C

p 0,0005 (0,05%)

19.) Ao tentar abrir uma porta com um chaveiro contendo várias chaves parecidas, das quais ape nas uma destranca a referida porta, muitas pessoas acreditam que é mínima a chance de encon- trar a chave certa na primeira tentativa, e chegam mesmo a dizer que essa chave só vai aparecer na última tentativa (Lei de Murphy). Para esclarecer esta questão, calcule no caso de um chavei- ro contendo 10 chaves, a probabilidade de encontrar a chave certa:

a) na primeira tentativa; b) após a primeira tentativa; c) somente na última tentativa.

SOLUÇÃO

a) Consideremos o evento:

A = {encontrar a chave certa na primeira tentativa}

Como as chaves são parecidas, o espaço pode ser considerado equiprovável, e podemos escrever:

= = = 10 1 NTC NCF (A)

p 0,10 (10%)

b) Consideremos o evento:

B = {encontrar a chave certa após a primeira tentativa}

Como o evento B, é o complementar de A, podemos escrever:

= = = = = 10 9 10 1 1 (A) p 1 ) A ( p (B)

p 0,90 (90%)

c) Consideremos os eventos:

N i = {não encontrar a chave certa na i-ésima tentativa} E i = {encontrar a chave certa na i-ésima tentativa}

Observando que a escolha das chaves pode ser considerado como um processo sucessivo, sem repo- sição, podemos escrever:

) N . . . . . N / (E p . . . . . ) N N / (N p . ) N / (N p . ) (N p ) E N . . . . . N N (N

p 123 ∩ ∩ 910 = 1 2 1 3 12 10 1∩ ∩ 9

= = = ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ 10 1 1 1 . 2 1 . 3 2 . 4 3 . 5 4 . 6 5 . 7 6 . 8 7 . 9 8 . 10 9 ) E N . . . . . N N (N

p 1 2 3 9 10 0,10 (10%)

Observe assim que a probabilidade de encontrar a chave na última tentativa é idêntica à de encontrá-la na primeira tentativa.

(16)

20.) Lançando-se simultaneamente um dado honesto e uma moeda honesta, determine a probabi- lidade de se obter o número 3 ou o número 5 no dado e cara na moeda.

SOLUÇÃO

Consideremos os eventos:

A = {obter o número 3 no dado} B = {obter o número 5 no dado}

C = {obter cara na moeda}

Como se trata de um espaço equiprovável, podemos escrever:

6 1 NTC NCF (A)

p = =

6 1 NTC NCF (B)

p = =

2 1 NTC NCF (C)

p = =

Como os eventos A e B não podem ocorrer simultaneamente ( A ∩B = Ǿ ), temos: ∪

(A

p B) = p (A) + p (B) =

3 1 6 1 6 1

= +

Assim, como os eventos A ∪B e C são estatisticamente independentes:

6 1 2 1 . 3 1 ) C ( p . ) B A ( p ) C ) B A ( (

p ∪ ∩ = ∪ = = = 0,1667 (16,67%)

20.) Suponha as seguintes previsões para um determinado domingo:

1ª) A probabilidade do glorioso time do Corinthians vencer o São Paulo é de 85%; 2ª) A probabilidade do fraco time do Palmeiras vencer o Grêmio é de 25%;

Determine, a partir destes dados, a probabilidade de: a) o Corinthians vencer e do Palmeiras vencer;

b) o Corinthians vencer ou do Palmeiras vencer;

c) do Corinthians não vencer e do Palmeiras não vencer; d) do Corinthians não vencer ou do Palmeiras não vencer. e) Corinthians vencer e do Palmeiras não vencer;

f) o Corinthians vencer ou do Palmeiras não vencer; g) o Corinthians não vencer e do Palmeiras vencer; h) do Corinthians não vencer ou do Palmeiras vencer;

SOLUÇÃO

Consideremos os seguintes eventos, estatisticamente independentes:

A = {o Corinthians vencer o seu jogo} e A = {o Corinthians não vencer o seu jogo} B = {o Palmeiras vencer o seu jogo} e B = {o Palmeiras não vencer o seu jogo}

Assim, temos as seguintes probabilidades:

p ( A ) = 85% , p ( A ) = 15% , p ( B ) = 25% , p ( B ) = 75%

(17)

a) p(A ∩B) = p(A ) .p(B) = 0,85 .0,25 = 0,2125 (21,25%)

b) p(A ∪B) = p(A ) + p(B) - p(A ∩B) = 0,85 + 0,25 - 0,2125 = 0,8875 (88,75%)

c) p(A∩B) = p(A ∪B) = 1 - p(A ∪B) = 1 - 0,8875 = 0,1125 (11,25%)

d) p(A∪B) = p(A) + p(B) - p(A∩B) = 0,15 + 0,75 - 0,1125 = 0,7875 (78,75%)

ou

p(A∪B) = p(A ∩B) = 1 - p(A ∩B) = 1 - 0,2125 = 0,7875 (78,75%)

e) p(A ∩B) = p(A ) .p(B) = 0,85 .0,75 = 0,6375 (63,75%)

f) p(A ∪B) = p(A ) + p(B) - p(A ∩B) = 0,85 + 0,75 - 0,6375 = 0,9625 (96,25%)

g) p(A∩B) = p(A) .p(B) = 0,15 .0,25 = 0,0375 (3,75%)

h) p(A∪B) = p(A) + p(B) - p(A∩B) = 0,15 + 0,25 - 0,0375 = 0,3625 (36,25%)

21.) João, Carlos e Roberto residem em estados brasileiros diferentes, não se conhecem e estudam na primeira série do segundo grau. A probabilidade de João ser aprovado é de 50%, a de Paulo é de 30% e a de Roberto é de 80%. Determine a probabilidade de:

a) apenas João ser aprovado;

b) apenas João e Roberto serem aprovados; c) os três serem aprovados;

d) pelo menos um deles ser aprovado; e) apenas um deles ser aprovado; f) nenhum deles ser aprovado;

g) apenas dois deles serem aprovados; h) pelo menos dois deles serem aprovados; i) no máximo dois deles serem aprovados.

SOLUÇÃO

Consideremos os seguintes eventos, estatisticamente independentes: J = {João ser aprovado} e J = {João não ser aprovado} C = {Carlos ser aprovado} e C = {Carlos não ser aprovado} R = {Roberto ser aprovado} e R = {Roberto não ser aprovado}

Assim, temos as seguintes probabilidades:

p ( J ) = 50% , p ( J) = 50% , p ( C ) = 30% , p ( C) = 70% , p ( R ) = 80% e p ( R ) = 20%

(18)

a) p(J∩C∩R) = p(J) . p(C) . p(R) = 0,50 . 0,70 . 0,20 = 0,,0700 (7%)

b) p(J∩C∩R) = p(J) . p(C) . p(R) = 0,50 . 0,70 . 0,80 = 0,2800 (28%)

c) p(J∩C∩R) = p(J) . p(C) . p(R) = 0,50 . 0,30 . 0,80 = 0,1200 (12%)

d) p(J∪C∪R) =p(J) + p(C) + p(R) - p(J∩C) - p(J∩R) - p(C∩R) +p(J∩C∩R)

p(J∪C∪R) =p(J) + p(C) + p(R) - p(J) .p(C) - p(J) .p(R) - p(C) .p(R) + p(J) .p(C) .p(R)

p(J∪C∪R) = 0,50 + 0,30 + 0,80 - 0,50 .0,30 - 0,50 .0,80 - 0,30 .0,80 - 0,50.0,30 .0,80

p(J∪C∪R) = 0,9300 (93%)

e) p((J∩C∩R)∪(J∩C∩R)∪(J∩C∩R)) = p(J∩C∩R) + p(J∩C∩R) + p(J∩C∩R) =

p(J) .p(C) .p(R) + p(J) .p(C) .p(R) + p(J) .p(C) .p(R) =

0,50 . 0,70 . 0,20 + 0,50 . 0,30 . 0,20 + 0,50 . 0,70 . 0,80 = 0,3800 (38%)

f) p(J ∩ C ∩ R) = p(J) . p(C) . p(R) = 0,50 . 0,70 . 0,20 = 0,0700 (7%)

ou

p(J ∩ C ∩ R) = p(J∪C∪R) = 1 - p(J∪C∪R) = 1 - 0,93 = 0,0700 (7%)

g) p((J∩C∩R)∪(J∩C∩R)∪(J∩C∩R)) = p(J∩C∩R) + p(J∩C∩R) + p(J∩C∩R) =

p(J) .p(C) .p(R) + p(J) .p(C) .p(R) + p(J) .p(C) .p(R) =

0,50 . 0,30 . 0,20 + 0,50 . 0,70 . 0,80 + 0,50 . 0,30 . 0,80 = 0,4300 (43%)

h) p((J∩C∩R) ∪ (J∩C∩R) ∪ (J∩C∩R) ∪ p(J∩C∩R)) =

((p(J∩C∩R) + p(J∩C∩R) + p(J∩C∩R)) + p(J∩C∩R) =

(p(J) .p(C) .p(R) + p(J) .p(C) .p(R) + p(J) .p(C) .p(R)) + p(J) .p(C) .p(R) =

0,4300 + 0,1200 = 0,5500 (55%)

(19)

22.) Uma pesquisa realizada com 2.500 paulistanos do sexo masculino, com idades entre 18 e 30 anos, constatou que: 2.000 homens preferem mulheres bonitas (MB), 1.000 homens preferem mu- lheres inteligentes (MI) e 250 homens não se interessam pelo assunto. Escolhido um homem ao acaso, dentre os entrevistados, qual a probabilidade de que ele prefira uma mulher bonita e inte- ligente?

SOLUÇÃO

Como:

x y

z

250

MB MI

y = 1.000 – x (♠) z = 2.000 – x (●)

x + y + z + 250 = 2.500 (♣) substituindo (♠) e (●) em (♣) resulta:

x + (1.000 – x) + (2.000 – x) + 250 = 2.500 x = 750

Assim: p (MB ∩MI ) = = 2.500

750

0,30 (30%)

23.) Uma cidade com 25.000 famílias possui três redes de supermercados que iremos denominar: SM1, SM2 e SM3. Uma pesquisa sobre a utilização das redes de supermercados por estas famí- lias, apresentou o seguinte resultado:

SM1 SM2 SM3 SM1 e SM2 SM1 e SM3 SM2 e SM3 NENHUM

12.000 15.000 12.000 5.000 6.000 7.500 1.000

Escolhida, ao acaso, uma família da cidade, qual a probabilidade de que ela utilize as três re- des de supermercados?

SOLUÇÃO

Observe que:

y = 5.000 – x (1) z = 6.000 – x (2) w = 7.500 – x (3)

r = 12.000 – ( x + y + z ) (4) s = 15.000 – ( x + y + w ) (5) t = 12.000 – ( x + z + w ) (6)

x + y + z + w + r + s + t + 1.000 = 25.000 (7)

Substituindo (1) e (2) em (4) resulta:

r = 12.000 – ( x + (5.000 – x) + (6.000 – x) ) = 1.000 + x (8) Substituindo (1) e (3) em (5) resulta:

s = 15.000 – ( x + (5.000 – x) + (7.500 – x) ) = 2.500 + x (9) Substituindo (2) e (3) em (6) resulta:

t = 12.000 – ( x + (6.000 – x) + (7.500 – x) ) = – 1.500 + x (10)

19

SM1 SM2

SM3 x y

w

t z

r s

(20)

Substituindo finalmente: (1) , (2) , (3) , (8) , (9) e (10) em (7) resulta:

x + (5000 – x) + (6000 – x) + (7500 – x) + (1000 + x) + (2500 + x) + (– 1500 + x) + 1000 = 25.000

x = 3.500

Assim: p (SM1 ∩ SM2 ∩ SM3) = = 000 . 25

500 . 3

0,1400 (14%)

24.) A probabilidade de ocorrer pelo menos uma vitória do fraco time do Palmeiras sobre o ma- jestoso esquadrão do Corinthians, em um ano qualquer, é de 3%. Determine a probabilidade de ocorrer pelo menos uma vitória do Palmeiras sobre o Corinthians, em 10 anos consecutivos.

SOLUÇÃO

Consideremos os eventos: VPi= {ocorrer pelo uma vitória do Palmeiras no ano “i”} VP = {não ocorrer nenhuma vitória do Palmeiras no ano “i”} i

Assim sendo:

p (VPi) = 3% e p ( VP ) = 97% i

Observe que o evento “ocorrer pelo menos uma vitória do Palmeiras em 10 anos consecuti- vos” pode ser considerado como evento complementar de “não ocorrer nenhuma vitória do Palmei- ras em 10 anos consecutivos”, ou seja:

= =

∩ ∩

∩ VP . . . VP ) 1 - p(VP ) .p(VP ) . . . p(VP )

VP ( p

1 1 2 10 1 2 10

= =

= 1 - (0,97) 1 - 0,7374

) 0,97 . . . 0.97 . 0,97 (

1 10 0,2626 (26,26%)

25.) Um péssimo atirador, tem uma probabilidade de 30% de acertar o centro do alvo. Quantos tiros deverão ser disparados, para que a probabilidade do atirador acertar o centro do alvo, pelo pelo menos uma vez, seja de no mínimo 95%.

SOLUÇÃO

Consideremos os eventos: Ai= {o atirador acerta o centro do alvo no tiro “i” } A = {o atirador não acerta o centro do alvo no tiro “i”} i

Assim sendo:

p ( Ai) = 30% e p ( A ) = 70% i

Observe que o evento “acertar o centro do alvo pelo menos uma vez em n tiros” pode ser considerado como o evento complementar de “não acertar o centro do alvo nenhuma vez em n ti- ros”.

(21)

⇒ = ⇒ = ∩ ∩

∩ A . . . A ) 0,95 1 - p(A ) .p(A ) . . . p(A ) 0,95 A ( p

1 1 2 n 1 2 n

1 - ( 0,70 . 0,70 . . . 0,70 ) = 0,95 ⇒ 1 - ( 0,70 ) n = 0,95 ⇒ ( 0,70 ) n = 0,05 ⇒

LN ( 0,70) n = LN ( 0,05 ) ⇒ n . LN ( 0,70 ) = LN ( 0,05) ⇒ = = ) 0,70 ( LN ) 0,05 ( LN

n 8,40

Portanto devem ser disparados 9 tiros para que a probabilidade de acertar o centro do alvo seja de no mínimo 95%.

26.) Considere a configuração de urnas e bo- las ao lado. Escolheu-se uma urna ao acaso e dela retirou-se uma bola ao acaso.

a) Sabendo que a bola é branca qual a proba bilidade dela ter vindo da urna 3?

BOLAS / URNAS U1 U2 U3

PRETAS (P) 1 7 3

BRANCAS (B) 4 2 9

AMARELAS (A) 5 6 8

b) Sabendo que a bola é amarela qual a probabilidade dela ter vindo da urna 2? c) Sabendo que a bola é preta qual a probabilidade dela ter vindo da urna 1? d) Sabendo que a bola é preta qual a probabilidade dela ter vindo da urna 2? e) Sabendo que a bola é preta qual a probabilidade dela ter vindo da urna 3?

SOLUÇÃO

p ( U1 ) = p ( U2 ) = p ( U3 ) = 1/3

a) p ( B / U1 ) = 4/10 ; p ( B / U2 ) = 2/15 ; p ( B / U3 ) = 9/20 Assim, como: ) / U3 B ( p . ) U3 ( p ) / U2 B ( p . ) U2 ( p ) / U1 B ( p . ) U1 ( p ) / U3 B ( p . ) U3 ( p ) B / U3 ( p + + = segue que: 59 / 27 180 / 59 60 / 9 20 / 9 . 3 / 1 15 / 2 . 3 / 1 10 / 4 . 3 / 1 20 / 9 . 3 / 1 ) B / U3 (

p = =

+ +

= = 0,4576 (45,76%)

b) p ( A / U1 ) = 5/10 ; p ( A / U2 ) = 6/15 ; p ( A / U3 ) = 8/20

Assim, como:

) A / U3 ( p . ) U3 ( p ) A / U2 ( p . ) U2 ( p ) A / U1 ( p . ) U1 ( p ) A / U2 ( p . ) U2 ( p ) A / U2 ( p + + = segue que: 78 / 24 180 / 78 45 / 6 20 / 8 . 3 / 1 15 / 6 . 3 / 1 10 / 5 . 3 / 1 15 / 6 . 3 / 1 ) A / U2 (

p = =

+ +

= = 0,3077 (30,77%)

(22)

c) p ( P / U1 ) = 1/10 ; p ( P / U2 ) = 7/15 ; p ( P / U3 ) = 3/20 Assim, como: ) / U3 P ( p . ) U3 ( p ) / U2 P ( p . ) U2 ( p ) / U1 P ( p . ) U1 ( p ) / U1 P ( p . ) U1 ( p ) P / U1 ( p + + = segue que: 43 / 6 180 / 43 30 / 1 20 / 3 . 3 / 1 15 / 7 . 3 / 1 10 / 1 . 3 / 1 10 / 1 . 3 / 1 ) A / U2 (

p = =

+ +

= = 0,1395 (13,95%)

d) p ( P / U1 ) = 1/10 ; p ( P / U2 ) = 7/15 ; p ( P / U3 ) = 3/20 Assim, como: ) / U3 P ( p . ) U3 ( p ) / U2 P ( p . ) U2 ( p ) / U1 P ( p . ) U1 ( p ) / U2 P ( p . ) U2 ( p ) P / U2 ( p + + = segue que: 43 / 28 180 / 43 45 / 7 20 / 3 . 3 / 1 15 / 7 . 3 / 1 10 / 1 . 3 / 1 15 / 7 . 3 / 1 ) P / U2 (

p = =

+ +

= = 0,6512 (65,12%)

e) p ( P / U1 ) = 1/10 ; p ( P / U2 ) = 7/15 ; p ( P / U3 ) = 3/20 Assim, como: ) / U3 P ( p . ) U3 ( p ) / U2 P ( p . ) U2 ( p ) / U1 P ( p . ) U1 ( p ) / U3 P ( p . ) U3 ( p ) P / U3 ( p + + = segue que: 43 / 9 180 / 43 60 / 3 20 / 3 . 3 / 1 15 / 7 . 3 / 1 10 / 1 . 3 / 1 20 / 3 . 3 / 1 ) P / U3 (

p = =

+ +

= = 0,2093 (20,93%)

SOLUÇÃO ALTERNATIVA

Utilizando os resultados obtidos em c) e d) podemos escrever:

(23)

27.) Três mesas idênticas em aparência, que iremos denominar por M1, M2 e M3, possuem duas gavetas cada uma. Sabe-se que em cada gaveta existe uma moeda e que estas moedas estão assim distribuídas: na mesa M1 as duas gavetas tem uma moeda de ouro (Au), na mesa M2 as duas ga- vetas tem uma moeda de prata (Ag) e a mesa M3 tem uma moeda de ouro em um gaveta e uma de prata na outra. Escolheu-se uma mesa ao acaso e dela retirou-se uma moeda ao acaso.

a) Sabendo que a moeda é de prata, qual a probabilidade de que ela tenha vindo da mesa M2? b) Sabendo que a moeda é de ouro, qual a probabilidade de que ela tenha vindo da mesa M3?

SOLUÇÃO

p ( M1 ) = p ( M2 ) = p ( M3 ) = 1/3

a) p ( Ag / M1 ) = 0 ; p ( Ag / M2 ) = 1 ; p ( Ag / M3 ) = 1/2 Assim, como: ) M3 / Ag ( p . ) M3 ( p ) M2 / Ag ( p . ) M2 ( p ) M1 / Ag ( p . ) M1 ( p ) M2 / Ag ( p . ) M2 ( p ) Ag / M2 ( p + + = segue que: 2/3 6 / 3 3 / 1 1/2 . 3 / 1 1 . 3 / 1 0 . 3 / 1 1 . 3 / 1 ) Ag / M2 (

p = =

+ +

= = 0,6667 (66,67%)

b) p ( Au / M1 ) = 1 ; p ( Au / M2 ) = 0 ; p ( Au / M3 ) = 1/2 Assim, como: ) M3 Au / ( p . ) M3 ( p ) M2 Au / ( p . ) M2 ( p ) M1 Au / ( p . ) M1 ( p ) M3 Au / ( p . ) M3 ( p ) Au / M3 ( p + + = segue que: 3 / 1 6 / 3 6 / 1 1/2 . 3 / 1 0 . 3 / 1 1 . 3 / 1 2 / 1 . 3 / 1 ) Au / M1 (

p = =

+ +

= = 0,3333 (33,33%)

28.) Três fabricas fornecem equipamentos de precisão para o laboratório de química de uma uni- versidade. Apesar de serem aparelhos de precisão, existe uma pequena probabilidade de subes- timação ou superestimação das medidas efetuadas, conforme nos mostra a tabela a seguir:

EQUIP. - FABRICA I EQUIP. – FABRICA II EQUIP. – FABRICA III

MEDIDA PROBABILIDADE PROBABILIDADE PROBABILIDADE

SUBESTIMA 1% 0,5% 0%

EXATA 98% 98% 99%

SUPERESTIMA 1% 1,5% 1%

As fábricas I, II e III fornecem, respectivamente, 20%, 30% e 50% dos aparelhos utilizados. Escolhemos, ao acaso, um destes aparelhos, e perguntamos a probabilidade de:

a) fornecendo medidas exatas, ter sido fabricado em III?

b) ter sido fabricado em I sabendo que não subestima as medidas? c) Haver superestimação de medidas?

(24)

SOLUÇÃO

p ( F I ) = 0,20 , p ( F II ) = 0,30 , p ( F III ) = 0,50

a) p ( EX / F I ) = 0,98 ; p ( EX / F II ) = 0,98 ; p ( EX / F III ) = 0,99 Assim, como: ) III F / EX ( p . ) III F ( p ) II F / EX ( p . ) II F ( p ) I F / EX ( p . ) I F ( p ) III F / EX ( p . ) III F ( p ) EX / III F ( p + + = segue que: 0,9850 0,4950 0,99 . 0,50 0,98 . 0,30 0,98 . 0,20 0,99 . 0,50 ) EX / III F (

p = =

+ +

= 0,5025 (50,25%)

b) Observe que não subestimar corresponde a fornecer medidas exatas ou superestimadas.

p ( NSUB / F I ) = 0,99 ; p ( NSUB / F II ) = 0,995 ; p ( NSUB / F III ) = 1,00 Assim, como: ) III F / NSUB ( p . ) III F ( p ) II F / NSUB ( p . ) II F ( p ) I F / NSUB ( p . ) I F ( p ) I F / NSUB ( p . ) I F ( p ) NSUB / I F ( p + + = segue que: 0,99965 0,1980 1,00 . 0,50 0,995 . 0,30 0,99 . 0,20 0,99 . 0,20 ) NSUP / I F (

p = =

+ +

= 0,1987 (19,87%)

c) = + + = = ∩ + ∩ + ∩ = = ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ = ) III F / SUP ( p . ) III F ( p ) II F / SUP ( p . ) II F ( p ) I F / SUP ( p . ) I F ( p ) SUP III F ( p ) SUP II F ( p ) SUP I F ( p ) ) SUP III F ( p ) SUP II F ( ) SUP I F ( ( p ) SUP ( p

= 0,20 . 0,01 + 0,30 . 0,015 + 0,50 . 0,01 = 0,0115 (1,15%)

d) = + + = = ∩ + ∩ + ∩ = = ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ = ) III F / NSUB ( p . ) III F ( p ) II F / NSUB ( p . ) II F ( p ) I F / NSUB ( p . ) I F ( p ) NSUB III F ( p ) NSUB II F ( p ) NSUB I F ( p ) ) NSUB III F ( p ) NSUB II F ( ) NSUB I F ( ( p ) NSUB ( p

(25)

29.) Considere os eventos A e B tais que: p( A ) = 0,2 , p( B ) = x e p ( A U B ) = 0,6. Deter- mine o valor de x sabendo que os eventos são:

a) mutuamente exclusivos;

b) estatisticamente independentes.

SOLUÇÃO

a) Dizer que os eventos são estatisticamente independentes equivale a dizer que: A ∩B = Ǿ Assim:

p(A ∪B) = p(A ) + p(B) - p(A ∩B) ⇒ 0,6 = 0,2 + x + 0 ⇒ x = 0,4 b) Se os eventos são estatisticamente independentes, então: p(A ∩B) = p(A) .p(B)

Assim:

⇒ +

= ∪ ⇒

∩ +

=

∪B) p(A ) p(B) - p(A B) p(A B) p(A ) p(B) -p(A ) .p(B) A

( p

0,4 x . 0,8 x . 0,2 x 0,2 0,6

= + ⇒ = ⇒

x = 0,5

30.) Em uma avenida existem três sinaleiros de trânsito, suficientemente espaçados, para que pos sam ser considerados independentes. O primeiro fornece luz verde durante 30 segundos por mi- nuto, o segundo fornece luz verde 40 segundos por minuto e o terceiro fornece luz verde 50 se- gundos a cada minuto. Um motorista percorre a avenida em toda a sua extensão. Qual a probabi- bilidade de que ele encontre:

a) todos os sinais abertos? b) apenas um sinal fechado? c) pelo menos um sinal fechado?

SOLUÇÃO

Sejam os eventos: S i = { o sinal “ i ” está aberto } S = { o sinal “ i ” está fechado } i Assim: p ( S 1 ) =

60 30

= 0,50 , p ( S 2 ) = 60 40

= 0,67 , p ( S 3 ) = 60 50

= 0,83

e:

p ( S ) = 0,50 , p ( 1 S2 ) = 0,33 , p ( S3 ) = 0,17

a) p(S1 ∩ S2 ∩ S3) = p(S1) . p(S2 ) . p(S3) = 0,50 . 0,67 . 0,83 = 0,2781 ( 27,81%)

b) p((S1∩ S2 ∩ S3 ) ∪ (S1∩ S2 ∩ S3 ) ∪ (S1∩ S2 ∩ S3) =

= p(S1∩ S2 ∩ S3 ) + p(S1∩ S2 ∩ S3) + p(S1∩ S2 ∩ S3) =

= p(S1) .p(S2 ) .p(S3) + p(S1) .p(S2 ) .p(S3) + p(S1) .p(S2 ) .p(S3) =

= 0,50 . 0,67 . 0,83 + 0,50 . 0,33 . 0,83 + 0,50 . 0,67 . 0,17 = 0,4720 (47,20%)

(26)

c) Observe que o evento “pelo menos um sinal fechado” equivale ao complementar do evento “todos os sinais abertos”. Assim podemos escrever:

p({pelomenosumsinalfechado}) = 1 - p(S1 ∩ S2 ∩ S3) = 1 - 0,2781 = 0,7219 (72,19%)

31.) A URNA I contém cinco bolas brancas e quatro bolas vermelhas e a URNA II contém três bo las brancas e duas vermelhas. Uma bola é retirada ao acaso da URNA I e colocada na URNA II. Uma bola é então retirada ao acaso da URNA II. Determine a probabilidade de que esta bola seja branca.

SOLUÇÃO

Consideremos os eventos:

B1 = { retirar uma bola branca da URNA I } B2 = { retirar uma bola branca da URNA II } V1 = { retirar uma bola vermelha da URNA I } V2 = { retirar uma bola vermelha da URNA II }

Notemos agora que o problema não impõe condições sobre a cor da bola a ser retirada da UR- NA I. Temos assim dois casos a considerar:

5 B 4 V

URNA I

B

V

URNA II

URNA II 2 V

4 B

3 B 3 V

B

B

Logo a probabilidade de que a bola retirada da URNA II seja branca é dada por:

) B2 V1 ( p ) B2 B1 ( p ) ) B2 V1 ( ) B2 B1 ( (

p ∩ ∪ ∩ = ∩ + ∩ =

= = +

= +

=

54 32 6 3 . 9 4 6 4 . 9 5 ) V1 / B2 ( p . ) V1 ( p ) B1 / B2 ( p . ) B1 ( p

0,5926 (59,26%)

32.) Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 3 bolas brancas. Uma bola é selecionada ao acaso da urna e abandonada. Duas bolas da outra cor são então colocadas na urna. Uma segunda bola é então selecionada da urna ao acaso. Determine a probabilidade de que:

a) a segunda bola seja vermelha;

b) as bolas selecionadas sejam da mesma cor;

(27)

SOLUÇÃO

Consideremos os eventos:

B1 = {a primeira bola retirada da urna é branca} B2 = {a segunda bola retirada da urna é branca} V1 = {a primeira bola retirada da urna é vermelha} V2 = {a segunda bola retirada da urna é vermelha}

a) temos dois casos a considerar;

3 B 5 V B V 7 V 2 B 5 B 4 V V V ) V2 B1 ( p ) V2 V1 ( p ) ) V2 B1 ( ) V2 V1 ( (

p ∩ ∪ ∩ = ∩ + ∩ =

= = + = + = 72 41 9 7 . 8 3 9 4 . 8 5 ) B1 / V2 ( p . ) B1 ( p ) V1 / V2 ( p . ) V1 ( p

0,5694 (56,94%)

b) temos dois casos a considerar;

3 B 5 V B V 7 V 2 B 5 B 4 V B V ) V2 V1 ( p ) B2 B1 ( p ) ) V2 V1 ( ) B2 B1 ( (

p ∩ ∪ ∩ = ∩ + ∩ =

= = + = + = 72 26 9 4 . 8 5 9 2 . 8 3 ) V1 / V2 ( p . ) V1 ( p ) B1 / B2 ( p . ) B1 ( p

0,3611 (36,11%)

c) = ∩ = = = =

41 20 41/72 4/9 . 5/8 ) V2 ( p ) V1 / V2 ( p . ) V1 ( p ) V2 ( p ) V2 V1 ( p ) V2 / V1 (

p 0,4878 (48,78%)

Imagem

Referências