Universidade de Aveiro Departamento de Engenharia Mecânica 2018
Luís Carlos Pinto
Universidade de Aveiro Departamento de Engenharia Mecânica 2018
Luís Carlos Pinto
Sousa
Integração de optimização topológica em
desenvolvimento de produto
Dissertação apresentada à Universidade de Aveiro para cumprimento dos re-quisitos necessários à obtenção do grau de Mestre em Engenharia Mecânica, realizada sob orientação cientí ca de João Alexandre Dias de Oliveira, Pro-fessor Auxiliar do Departamento de Engenharia Mecânica da Universidade de Aveiro e coorientado por António Gil D'Orey de Andrade Campos, Pro-fessor Auxiliar do Departamento de Engenharia Mecânica da Universidade de Aveiro .
Com o apoio dos projetos: UID/EMS/00481/2013-FCT e CENTRO-01-0145-FEDER-022083
O júri / The jury
Presidente / President Prof. Doutor Carlos Alberto Moura Relvas
Professor Auxiliar da Universidade de Aveiro
Vogais / Committee Prof. Doutor Ricardo Nuno de Oliveira Bastos Torcato
Professor Adjunto da Universidade do Aveiro
Prof. Doutor João Alexandre Dias de Oliveira
Agradecimentos /
Acknowledgements Uma grande etapa chegou ao m, foram anos com bastantes alegrias e desa- os ainda maiores. Por detrás destes desa os existiram muitas di culdades e esta dissertação é exemplo disso, mas tal como todas as outras, foi supe-rada.
Queria agradecer, do fundo do coração, ao Professor Doutor João Alexan-dre Dias de Oliveira pela persistência que teve ao longo deste ano e meio, admito foi uma etapa complicada, mas se não me tivesse dado a motivação, o apoio e o desa o de fazer melhor, esta dissertação não seria possível. Ao Professor Doutor António Gil D'Orey Andrade Campos, pela ajuda prestada nesta etapa. Sem esquecer todos os outros professores e funcionários do Departamento de Engenharia Mecânica pelo acolhimento, pela ajuda e pela simpatia diária ao longo destes anos.
Aos meus pais, pelo esforço que zeram para me proporcionar tanto a for-mação académica que tive, assim como tudo o resto. A eles e ao meu irmão por estarem sempre ao meu lado em qualquer situação.
À Mariana, por ter sido o meu braço direito e esquerdo, sem dúvida foste o meu grande suporte em tudo. Não existem palavras para agradecer o apoio nos momentos bons, nos maus, mas sobretudo nos momentos certos. Obri-gado por tudo.
Àqueles que me acompanharam numa das melhores aventuras desta vida académica, o NEEMec, pelo apoio e pelo companheirismo prestado, foi um prazer e uma honra servir o nosso grande curso ao vosso lado.
Ao Alex e aos meus pedaços pela receção que me foi dada, pelas gargalha-das, amizade, vocês são incríveis.
Aos quatro companheiros com quem partilhei o gabinete, vocês zeram com que tudo parecesse mais fácil, o apoio que deram foi excelente, mesmo depois de todos abandonarmos aquela sala. Obrigado pelos conselhos, brincadeiras, e a camaradagem.
Ao Nuno, um obrigado, por nunca dizer um não, pela disponibilidade. Obri-gado por teres sido um companheiro de casa, por teres aceitado o desa o do NEEMec, por estes 5 anos e simplesmente por seres tu.
À Sara, ao Free, Caldas, Filipe, Rafa, Ana Clara, Carla, Tiago, Inha, Pi, Catarina, obrigado por tudo.
Palavras-chave Otimização topológica; Pós-processamento; Restrições de Fabrico; Desen-volvimento de Produto
Resumo O processo de otimização topológica consiste em obter o melhor domínio para uma determinada geometria tendo como nalidade a sua função obje-tivo, estando por sua vez limitada por restrições estabelecidas a priori. Nou-tra vertente existe a temática de desenvolvimento de produto, que, como o próprio nome indica, consiste no desenvolvimento de novos produtos ou no aperfeiçoamento de outros já existentes. O processo de desenvolvimento de produto tem como um dos objetivos gerar peças que satisfaçam os in-teresses impostos pelo cliente. Estes podem ser o tipo processo de fabrico que produzirá a peça, ou determinadas restrições a que a peça nal tem que obedecer, como por exemplo a força máxima exercida ou o deslocamento máximo. Neste sentido, o processo de otimização topológica pode intervir no processo de desenvolvimento, determinando a distribuição ótima de ma-terial para uma geometria nal.
Contudo, o processo de otimização topológica, apesar de garantir uma ge-ometria ótima, pode ter resultados não viáveis ao nível dos processos de fabrico. Com o intuito de gerar uma geometria viável são adotadas algu-mas técnicas de tratamento de resultados, destacando-se a implementação de ltros durante o processo de otimização e o recurso a técnicas de pós-processamento sobre a geometria gerada. Dentro das técnicas utilizadas, existem casos de parametrização do problema, nos quais são aplicadas res-trições relacionadas com os processos de fabrico.
Nesta dissertação será estudado como é que dois programas, HyperWorks e Inventor, executam todo o processo de otimização topológica, desde o pré-processamento até à peça nal, tendo como foco o que é que cada um permite manipular a nível de parâmetros, quais são as ferramentas dispo-níveis para pós-processamento, assim como o estudo sobre a utilização de restrições de fabrico no próprio processo de otimização.
Keywords Topology Optimization; Post-processing; Manufacturing Restrictions; Pro-duct Development
Abstract The process of topology optimization consists in obtaining the best geome-try within a given domain, according to an objective function. In turn, this domain is restricted by a set of rules and restrictions. This has implications on another this topic, which is product development, both on the develop-ment of new products and on the revision of existing ones. One of the goals of product development is generating products that satisfy the demands set by clients, while compatible with fabrication processes, and satisfying re-quirements of the nal product such as the maximum load applied or the maximum displacement. In this way topology optimization can intervene in the development process determining the optimal material distribution of the nal geometry.
This process, although e cient at guarantying an optimal geometry, may not be viable when it comes to fabrication. So, in order to generate better results which need to be viable for manufacturing, several techniques can be applied, such as the implementation of lters or parameter control during optimization, and the use of post-processing techniques over the generated geometry. Of the techniques used there are also cases in which restrictions related to manufacturing process are applied within problem parametrization and post-processing.
This document will explore how two programs, HyperWorks and Inventor, execute the topology optimization process from the pre-processing until the nal product, focusing in what each one allows in terms of manipulating the parameters, what tools exist for post-processing,and study the use of manufacturing restrictions within the optimization.
Conteúdo
I Enquadramento 1 1 Introdução 3 1.1 Enquadramento . . . 3 1.2 Objetivos . . . 4 1.3 Guia de leitura . . . 4 2 Optimização 7 2.1 Conceitos gerais . . . 7 2.2 Otimização estrutural . . . 82.2.1 Tipos de otimização estrutural . . . 8
2.3 Otimização topológica . . . 12 2.3.1 Conceitos gerais . . . 12 2.3.2 Pós-processamento . . . 14 2.3.3 Restrição de fabrico . . . 18 II Metodologia e Resultados 23 3 Metodologia 25 3.1 Programas a utilizar . . . 25
3.2 Ferramentas presentes nos programas . . . 25
3.3 Metodologia processo de otimização topológica . . . 27
4 Validação 31 4.1 Processo de validação da metodologia dos programas apresentados . . . . 31
4.1.1 Viga bi-apoiada . . . 32
4.1.2 Viga 3D encastrada . . . 34
5 Aplicação de Engenharia 43 5.1 Triângulo de suspensão de um automóvel . . . 43
6 Conclusões Gerais 57
Bibliogra a 59
Lista de Tabelas
4.1 Resultados nais do caso da viga bi-apoiada . . . 34
4.2 Resultados nais do caso da viga encastrada . . . 37
5.1 Resultado da análise FEM para o caso de uma travagem . . . 51
5.2 Resultado da análise FEM para o caso de uma viragem . . . 52
5.3 Resultado da análise FEM para o caso da passagem por um buraco . . . . 52
Lista de Figuras
2.1 Diferenças mais notáveis de um problema nas diferentes abordagens de
otimização estrutural [5]. . . 9
2.2 Exemplo de aplicação de otimização paramétrica [8] . . . 9
2.3 Exemplo de um resultado do processo de otimização topológica [16] . . . . 11
2.4 Representação de uma função level-set [30] . . . 14
2.5 Efeito de operações morfológicas no resultado de otimização topológica [13] 15 2.6 Efeito da utilização de um ltro Heaviside no resultado nal do processo de otimização [33] . . . 16
2.7 Efeito da utilização de um ltro relacionado com o processo de fabrico aditivo no processo de otimização [34]. . . 17
2.8 Tipos de peças obtidas por extrusão (a) secção transversal sólida (b) secção transversão com furo [16] . . . 18
2.9 Tipos de forjamento: (a) - forjamento em matriz fechada; (b) - forjamento em matriz aberta [38] . . . 18
2.10 Peça obtida por forjamento em matriz fechada [37] . . . 19
2.11 Geometrias a evitar e geometrias a adoptar num processo de forjamento [38]. . . 20
2.12 Metodologia de obtenção do esqueleto para criação do modelo CAD: (a) resultado obtido no processo de otimização topológica; (b) re namento nal do resultado do processo de otimização; (c) de nição do esqueleto do resultado; (d) identi cação das zonas críticas [40]. . . 21
2.13 Metodologia de obtenção do modelo STL através do tratamento das zonas críticas [40]. . . 21
3.1 Processo de criação de uma superfície . . . 27
3.2 In uência dos parâmetros de controlo de checkerboard e de penalização no resultado nal da simulação . . . 28
3.3 Pós-processamento no HyperWorks com recurso a técnicas de ltragem: (a) resultado do processo de otimização topológica; (b) pós-processamento com recurso a uma técnica de suavização (c) seleção da geometria nal com recurso à técnica de morfologia, threshold, com valor mínimo de ρ de 0.5 . 29 3.4 Metodologia geral dos dois programas. . . 30
4.1 Caso de validação: viga apoia nas extrimidades [6] . . . 32
4.2 Resultado da simulação no Inventor . . . 32
4.3 Resultado da simulação no HyperWorks . . . 33
4.4 Resultado da simulação no HyperWorks . . . 33 v
4.5 Resultado obtido no HyperWorks para o caso 2D . . . 34
4.6 Dados relativos ao processo de otimização topológica no caso 2D . . . 35
4.7 Caso de validação: viga encastrada [7]. . . 36
4.8 Ilustração do problema executado no Inventor . . . 36
4.9 Resultado nal da simulação no Inventor . . . 37
4.10 Resultado da simulação no Inventor com uma malha mais re nada . . . . 38
4.11 Resultado após o pós-processamento da geometria . . . 39
4.12 Resultado nal da simulação no HyperWorks . . . 39
4.13 Análise de tensões nal da geometria resultante no Inventor . . . 40
4.14 Resultado nal da simulação no HyperWorks para o caso de forjamento com um punção com a existência de cavidades. . . 40
4.15 Resultado nal da simulação no HyperWorks para o caso de forjamento com um punção sem furação . . . 41
4.16 Resultado nal da simulação no HyperWorks para o caso de extrusão -vista lateral esquerda . . . 41
4.17 Resultado nal da simulação no HyperWorks para o caso de impressão 3D 42 5.1 Exemplos de triângulos de suspensão de um automóvel [41] . . . 43
5.2 Geometria utilizada na simulação . . . 44
5.3 Geometria com as dimensões máximas da mesma . . . 44
5.4 Ilustração das forças aplicadas . . . 45
5.5 Resultado da simulação sem a utilização de ltros . . . 46
5.6 Resultado da simulação com a utilização de ltros . . . 47
5.7 Resultado da simulação com a utilização de ltros para o processo de impressão 3D . . . 48
5.8 Resultado da simulação após o pós-processamento . . . 49
5.9 Resultado da simulação com a utilização de ltros para o processo de extrusão . . . 50
5.10 Resultado da simulação com a utilização de ltros para o processo de forjamento com furação . . . 50
5.11 Resultado a simulação com a utilização de ltros para o processo de for-jamento sem furação . . . 51
5.12 Evolução da função objetivo e da violação relativamente às restrições im-postas para as simulações: sem ltros; com parametrização; impressão 3D; extrusão . . . 53
5.13 Evolução da função objetivo e da violação relativamente às restrições im-postas para as simulações: forjamento com cavidades; sem cavidades . . . 54
5.14 Evolução do deslocamento no processo de forjamento . . . 55
Parte I
Enquadramento
Capítulo 1
Introdução
Neste capítulo será feita uma breve introdução sobre a temática desenvolvida nesta disser-tação. Será feito um enquadramento sobre a relação entre o processo de desenvolvimento de produto e uma das formas de otimização estrutural, a otimização topológica. Para além de enunciar os objetivos do trabalho desenvolvido, será apresentado um guia de leitura para a estrutura adotada ao longo do documento.
1.1 Enquadramento
Ao longo dos tempos, a forma como os projetos de engenharia são feitos e planeados têm sofrido um processo de mudanças. Estas mudanças têm como consequência o de-senvolvimento cientí co de softwares capazes de responder aos problemas criados pelo objetivo da busca do ótimo. Há cada vez mais investigação e desenvolvimento (I & D) com intenção de aprofundar o estudo teórico, em busca da geometria perfeita e de usá-la na realidade da indústria.
Hoje em dia, o mercado exige ideias e ações inovadoras, seja usando ferramentas que permitam controlar variáveis de fabrico, usadas na indústria, ou apenas para tornar todo o processo concetual mais e ciente e rápido, com o m de fornecer mais soluções para estas questões, alguns softwares têm sido melhorados e outros estão a começar a integrar-se neste propósito. Esta ideia baintegrar-seia-integrar-se em conjugar condições físicas e mecânicas com o intuito de originar uma estrutura, analisá-la e tratá-la de modo a atingir uma geometria ideal para que esta satisfaça os requisitos propostos e que possa ser fabricada.
Uma das estratégias que conjuga o desenvolvimento de produto com a realidade fabril pode ser pelo recurso ao processo da otimização estrutural e as suas variantes. A ideia de estudar alguns problemas com a nalidade de minimizar (ou maximizar) algo necessita de um pós-processamento com a intenção de torná-lo praticável, ou por outras palavras, para que este possa ser fabricado. Este conceito pode ser usado em diversas áreas, como a construção civil, sistemas mecânicos, desenvolvimento de novos produtos, etc.
Ao longo desta dissertação será demonstrado como um estudo ao nível da otimização estrutural (otimização topológica) pode ser envolvido no processo, desde o seu desenvol-vimento até obter uma geometria preparada para ser fabricada.
4 1.Introdução
1.2 Objetivos
A aplicação das metodologias têm como nalidade relacionar a otimização topológica com desenvolvimento de produto ainda são escassas. Problemas ligados com a di cul-dade de fabrico dos resultados obtidos por otimização topológica são uma realidi cul-dade. Por esta razão têm sido desenvolvidas algumas ferramentas de modo a facilitar o fabrico dos vários resultados. Neste trabalho pretende-se por um lado estudar a in uência de deter-minados parâmetros presentes no processo de otimização topológica, como por exemplo a utilização de diferentes tipos de ltros, ou a contribuição de ações de pós-processamento no resultado nal.
Neste sentido, os objetivos do trabalho desenvolvido podem ser resumidos nos seguin-tes pontos:
Analisar as estratégias de inserção de otimização topológica no processo de desen-volvimento de produto;
Estudar a in uência de diferentes tipos de parâmetros/ ltros no processo de otimi-zação topológica;
Estudar o trabalho desenvolvido na aplicação de parâmetros/ ltros relacionados com os diferentes processos de fabrico;
Estudar a in uência do pós-processamento no processo de otimização topológica; Estudar o que dois softwares distintos permitem executar no processo de otimização
topológica;
Estabelecer uma metodologia geral de trabalho para o processo de otimização to-pológica na temática de desenvolvimento de produto;
Por m é do interesse que esta dissertação seja de fácil perceção, de modo a que leitores que nunca tenham tido contacto com o processo de otimização topológica percebam a metodologia do mesmo.
1.3 Guia de leitura
No sentido de introduzir o trabalho desenvolvido será apresentado um pequeno guia de modo a facilitar a leitura do documento.
No capítulo Otimização serão apresentados alguns conceitos introdutórios do pro-cesso de otimização estrutural, e em especí co a otimização topológica. Será um breve resumo daquilo que foi o trabalho desenvolvido na temática de otimização topológica. Ainda neste capítulo, através da explicação do método de ltragem e o pós-processamento, é feita uma ligação entre o processo teórico da otimização e a tentativa do fabrico de pe-ças.
No capítulo Metodologia, serão apresentados os programas que serão alvos de es-tudo. Aqui será demonstrada a metodologia de trabalho, as ferramentas que os programas oferecem a nível do processo de otimização topológica. Em especí co, será demonstrado a que nível os programas estão desenvolvidos nas tarefas de pós-processamento, assim como sobre as restrições ligadas aos diferentes tipos de fabrico.
1.Introdução 5
No capítulo Validação, programas utilizados serão validados. A veri cação da me-todologia proposta será feita a dois níveis, no primeiro pretende-se ver como os dois programas se comportam num caso 2D. No segundo caso, é feito o mesmo processo para um caso de 3D, neste ponto será feito um estudo não só da coerência de resultados a nível das diferentes restrições que fazem parte do problema, mas também será realizada uma validação da aplicação de restrições relacionadas com os processos de fabrico.
No capítulo Aplicação de Engenharia, será utilizada a metodologia validada an-teriormente para o caso de um triângulo de suspensão de um automóvel. Serão estabe-lecidas algumas restrições, assim como diferentes parâmetros de modo a ser estudada a sua in uência no resultado nal. Neste capítulo serão realizadas as diversas operações necessárias de modo a obter peças preparadas para serem fabricadas.
No capítulo Conclusões Gerais, serão apresentadas as conclusões que foram reti-radas no desenvolver do trabalho.
6 1.Introdução
Capítulo 2
Optimização
2.1 Conceitos gerais
Num problema de otimização existem alguns conceitos gerais associados à formulação do problema no qual a sua introdução é necessária. A transcrição do problema para uma formulação matemática trata-se de um ponto crítico para o processo de resolução do problema. Caso a formulação do problema não seja a mais adequada é muito provável que a sua solução não seja a correta [1].
A formulação do problema tem como base os seguintes pontos. As variáveis do pro-blema, x, a sua função objetivo, f(x), e as restrições do propro-blema, g(x), sejam estas igualdades ou desigualdades.
Relativamente às variáveis do problema, estas podem caracterizar-se como contínuas ou discretas, consoante o problema em análise. As variáveis contínuas podem ser apli-cadas no modelo de programação não-linear (PNL), sendo estas sujeitas a restrições de igualdade e de desigualdade, como se pode ver no seguinte exemplo.
Encontrar a variável x = [x1, x2, ..., xn]T que minimize a função objetivo f(x), tendo
como restrições as seguintes:
gj(x) = 0 , j = 1 ... p, (2.1)
gj(x) 6 0 , j = p + 1 ... m. (2.2)
sendo n o número de variáveis, p o número de restrições de igualdade e m o número de restrições total. O domínio de um problema de otimização é de nido pela reunião de todos os pontos que satisfaçam todas as restrições de nidas em 2.1 e 2.2 ,
S = {x | gj(x) = 0, j = 1 ... p; gj(x) 6 0, j = p + 1 ... m} (2.3)
o problema pode ser formulado como,
minimizar f (x), em que x ∈ S (2.4)
Contudo, é preciso ter em atenção que a imposição de muitas restrições pode resultar num conjunto S vazio, ou seja, um problema em que não haja solução. Tendo num
8 2.Optimização
problema inicial a inexistência de uma solução nal, é necessário fazer um relaxamento ao nível de restrições, ou seja diminuir o seu número, ou alterá-las de modo a que não entrem em con ito umas com as outras.
Ao nível de restrições, existem casos que não têm in uência nas variáveis, originando assim problemas de otimização não restringido. No caso de problemas que são sujeitos a restrições de desigualdade g 6 0, as mesmas só passam ao estado ativo quando a restrição de igualdade g = 0 seja satisfeita, estando no estado de inatividade nos restantes casos.
Os problemas de otimização podem ter como objetivo minimizar algo (estratégia mais comum nos estudos realizados), tendo como exemplo o peso, a exibilidade da estrutura, os custos, contudo existe a possibilidade deste objetivo seja maximizar, como por exemplo a rigidez de uma estrutura (ou seja a minimização da exibilidade, tradução portuguesa do termo compliance ) [2].
Para encontrar este ótimo existem duas situações, a existência de um ou mais mínimos locais, ou a existência de um mínimo global. Estas duas situações ocorrem quando o objetivo é a minimização de algo.
Diz-se que uma função objetivo f(x) tem um mínimo local quando num ponto x∗,
dentro do conjunto S, o valor da função é o mais baixo do ponto x∗ e dos outros pontos
x na sua vizinhança, ou seja,
f (x∗) 6 f (x) (2.5)
por outro lado, caso f(x∗) seja o valor mais baixo de todo o conjunto S, este é o
mínimo global. Um problema de otimização pode ter vários mínimos locais, caso a equação 2.5 seja testada para vários subconjuntos de S.
2.2 Otimização estrutural
Dentro dos problemas de otimização existem vários tipos. A otimização estrutural surge com a necessidade de encontrar estruturas mais e cazes e com um custo mais reduzido. De outra forma, este tipo de otimização caracteriza-se como um processo matemático que visa a busca de estruturas otimizadas através de características pré-de nidas (o seu objetivo, restrições, carga máxima admitida, entre outras).
Segundo Lopez e Miguel [3], uma estrutura entende-se por um sistema cujo objetivo é transmitir esforços mecânicos estáticos ou dinâmicos. De um modo geral, os objetivos gerais da otimização estrutural passam por diminuir os custos do projeto mantendo a abilidade da estrutura inerente. Por outro lado, este processo possibilita diminuir a dependência da experiência prática do projetista na conceção do projeto.
Desta forma o processo de otimização estrutural aparece como uma ferramenta de interesse para o projeto de novas estruturas, que pode resultar na criação de produtos com os objetivos descritos anteriormente [4] .
2.2.1 Tipos de otimização estrutural
A Otimização Estrutural pode-se distinguir em 3 tipos. Estes classi cam-se da seguinte forma [4]:
otimização paramétrica;
2.Optimização 9
otimização de forma; otimização topológica.
As diferenças mais relevantes podem observar-se na Figura 2.1 , que demonstra para o mesmo problema os diferentes tipos de resultados.
Figura 2.1: Diferenças mais notáveis de um problema nas diferentes abordagens de otimização estrutural [5].
A otimização paramétrica caracteriza-se por possuir um domínio conhecido e xo durante todo o processo de otimização. As variáveis de projeto são parâmetros que caracterizam a sua estrutura, como por exemplo área transversal das barras, espessura das placas, propriedades do material. O processo de otimização paramétrica tenta encontrar, por exemplo, uma estrutura que maximize a sua rigidez, através da conjugação dos seus parâmetros, como se podem ver na gura 2.2 [6].
Figura 2.2: Exemplo de aplicação de otimização paramétrica [8]
10 2.Optimização
Relativamente à otimização de forma, esta determina o domínio da estrutura baseado na variação da fronteira (condições de contorno). As suas variáveis de otimização são parâmetros que caracterizam o domínio ocupado pela estrutura, tal como por exemplo, a posição dos nós de ligação dos elementos da sua fronteira [7], podendo assim diferenciar a forma dos furos no seu interior.
Por m, a otimização topológica, diferenciando-se dos outros dois tipos, rege-se pela variação de um domínio. A otimização topológica distingue-se dos outros problemas de otimização estrutural devido a não considerar a topologia xa à partida. As variáveis de projeto são escolhidas de forma a permitir decidir quais as zonas do espaço onde existe ou não estrutura.
Desta forma, é possível a rmar que a otimização topológica, ao contrário das outras, pode obter diferentes orifícios, que inicialmente não estavam presentes na estrutura. Este facto possibilita uma melhor distribuição do material, reduzindo assim o seu volume sem prejudicar a estrutura ao nível do seu desempenho [6] .
A investigação à volta desta temática começou com Newton, Cauchy e Lagrange, com a contribuição no cálculo numérico por parte de Newton e Leibnitz. Os fundamentos do cálculo das variações foram lideradas por Bernoulli, Euler, Lagrange e Weierstrass. Apesar destas contribuições, o progresso foi lento até a meio do século 20, onde com o avanço da tecnologia a nível computacional, possibilitou a implementação inicial para a resolução dos primeiros problemas de otimização. Com este avanço tecnológico, não só se conseguiu realizar o processo descrito, como também estimulou a pesquisa por novos métodos [9].
Schmit, na decada de 60, propôs algumas novas aproximações para a otimização estrutural, que serviram de fundamento para muitos métodos modernos da mesma. Sch-mit conjugou a abilidade da análise estrutural do método de elementos nitos (MEF) com programação não-linear (PNL), com o intuito de criar estruturas ótimas de modo a suportar certos condicionantes estruturais [10].
Na década de 70, Schmit e Farshi apresentaram uma formulação do conceito de aproximação da análise estrutural com recurso a programação matemática. Este conceito de busca pela forma ótima foi feito a partir de aproximações das soluções nais, ou seja, obtendo a primeira solução nal, era efetuado uma análise precisa de elementos nitos e a partir desta era efetuada uma nova aproximação [11].
Anos depois, na década de 90, as análises estruturais foram sendo associadas a siste-mas com prograsiste-mas de design assistido por computador (do inglês computer aided design, CAD), tornando assim a resposta aos problemas associados mais facilitada,como também com soluções otimizadas mais e cientes [12].
Na década de 2000, a analise estrutural começou a ter um impacto ainda maior, substituindo já alguns testes físicos. Contudo ainda não é recorrente utilizar o método de otimização na indústria devido à di culdade de transpor a estrutura obtida no processo de otimização para a realidade fabril [12]. A investigação à volta do tratamento do resultado obtido das simulações, do desenvolvimento de ferramentas que potenciam a criação de design e estruturas e cientes, sofreu algumas melhorias, nomeadamente em ltros de gradiente [5], processamento de imagem [13] e outras técnicas que visam prevenir instabilidades numéricas de checkerboard [14].
Na sintetização de estruturas a partir de uma simulação de otimização topológica podem ocorrer algumas di culdades, sejam estas pela sua complexidade geométrica ou pelo seu custo. O procedimento comum passa pela interpolação de funções que tenham
2.Optimização 11
uma intervenção direta na forma da estrutura que visem descomplicar o seu fabrico [5]. Por vezes a alteração da sua forma pode levar à perda de características que foram otimizadas, com o intuito de se obter uma estrutura prática. Este problema tem sofrido um foco a nível de investigação de forma a encontrar soluções para processos de fabrico especí cos, como por exemplo nos processo de fabrico aditivo [15].
A abordagem por parte da comunidade cientí ca passa por de nir restrições no pro-blema de otimização de modo a satisfazer os requisitos dos processos de fabrico. A atual tendência para o desenvolvimento de um produto leva a que a forma do mesmo, as si-mulações que sejam necessárias, o processo de otimização, as restrições de fabrico sejam todas executadas nos programas de Engenharia Assistidos por Computador (do inglês computer aided engineering, CAE), e posteriormente sujeitos a um tratamento ao nível da sua geometria, através de programas de Desenho Assistido por Computador (CAD). Desta forma, conseguir-se-ão obter geometrias otimizadas que respeitem as restrições de fabrico.
Uma destas abordagens foi proposta por Vatanabe em que diferentes tipos de restri-ções de fabrico são implementadas no processo de otimização topológica. Como se pode ver na gura 2.3, o resultado do processo de otimização topológica pode conter geome-trias complexas que não são rentáveis tanto ao nível de custos de fabrico assim como da facilidade de execução. Segundo Vatanabe existem duas metodologias que facilitam o fabrico do resultado do processo de otimização. Uma das metodologias passa pelo recurso a técnicas de pós-processamento através da suavização das superfícies. Contudo por vezes é necessário realizar mudanças excessivas, de modo a garantir que o resultado seja fabricado, o que pode levar à perda das características ótimas ao nível da forma. Com o intuito de prevenir que tais características se mantenham, as aplicações de restri-ções de fabrico surgem como um complemento às técnicas de pós-processamento. Cada processo de fabrico tem características próprias, o que leva a que cada um contenha res-trições diferentes. O propósito da investigação feita por Vatanabe [16] teve como objetivo combinar modelação, simulação, otimização com restrições de fabrico de modo a conse-guir que tudo seja executado em simultâneo. O objetivo passa por alcançar soluções de engenharia viáveis, com menor esforço computacional e que possa ser fabricado.
Figura 2.3: Exemplo de um resultado do processo de otimização topológica [16] Diversos investigadores desenvolveram trabalhos nesta área. Zuo et al. [17] come-çaram por conjugar as características de alguns tipos de fabrico com os problemas de otimização topológica, introduzindo restrições de fabrico de acordo com os diferentes requisitos das diferentes aplicações. Harzheim and Graf [18], estudaram o impacto da aplicação do controlo da espessura mínima de uma estrutura. Desta forma concluíram que os custos de produção quando as restrições de fabrico são introduzidas no processo
12 2.Optimização
de otimização, em relação à ausência das mesmas, são mais baixos. Ishii e Aomura [19], propuseram uma metodologia baseada em secções constantes otimizadas com aplicabi-lidade em técnicas de extrusão. Para melhorar o processo do otimização topológica em técnicas de extrusão, Lia et al. propõem a utilização de técnicas com o recurso a funções de level set [20]. Mais tarde, em 2013, Zhu et al. [21] propuseram uma interpolação linear que teve como objetivo ligar o processo de otimização a casos de fabrico de larga escala para o processo de forjamento.
Ao nível da implementação do processo de otimização em softwares comerciais, Je Brennan, na década de 90, começou a desenvolver um software comercial que permitisse aplicar o processo de otimização estrutural. Desta forma, em 1994, surgiu o Optistruct da Altair. De modo a desenvolver o produto, viajou pelo mundo de modo a divulgar o seu programa e a recolher as opiniões das empresas. Ao longo dos anos foram sendo aprimorados diferentes parâmetros a nível da análise de otimização, potenciando assim simulações nos três tipos de otimização, tratamento dos resultados, assim como outros tipos de simulações [22]. Outras empresas seguiram o exemplo da Altair, como por exemplo ABAQUS, ANSYS, IDEAS, Autodesk, entre outras.
2.3 Otimização topológica
2.3.1 Conceitos gerais
De um modo geral, o problema de otimização topológica consiste na distribuição ótima do material que maximize ou minimize algo. Este tipo de otimização está associado a um domínio contínuo, no qual está de nido uma distribuição inicial de material. Estando inserido no grupo de otimização estrutural, este tipo de análise contém condições de fronteira que garantem o equilíbrio estático do corpo em análise. Estas condições de fronteira de nem-se na forma de carregamentos e restrições.
Nesta dissertação, serão abordados vários casos que têm em comum o objetivo de minimizar a exibilidade das estruturas, ou por outras palavras, maximizar a sua rigidez. Existem vários tipos de abordagem ou métodos que são utilizados no processo de otimização topológica. O. Sigmund em 2001 [23], elaborou um código em Matlab no qual utiliza um desses métodos. Sigmund baseou-se na abordagem SIMP (Solid Isotropic Material with Penalization) [24; 25; 26], esta abordagem pode ser inserida em vários métodos como o Critério do Ótimo (tradução da expressão em inglês Optimality Crite-ria, OC), Método de Programação Linear Sequencial (tradução da expressão em inglês Sequential Linear Programming, SLP) ou o Método das Assintotas Móveis (tradução da expressão em inglês Method of Moving Asymptotes, MMA), sendo o método OC o mais comum.
A abordagem teve origem nos estudos feitos por Bendsøe, em 1989 [24], Zhou e Rozvany, em 1991 [25], e Mlejnek, em 1992[26]. Aqui, as propriedades dos materiais são consideradas como constantes em que cada elemento é usado para discretizar o domínio do problema e as variáveis são as densidades relativas de cada elemento [23] .
Este tipo de abordagem pode ser de nido sobre a seguinte equação,
K(ρ) = ρp× K0, (2.6)
onde K0 e K(ρ) são propriedades do material de base (correspondente à densidade 1 e
a uma determinada densidade ρ, respetivamente) , p o fator de penalização que
2.Optimização 13
determina a forma como as variáveis são conduzidas aos seus extremos e ρ, que representa a variável de densidade. Sigmund, em 2001 [23], propôs a seguinte
formulação do problema que tem como objetivo minimizar a exibilidade da estrutura,
min ρ : c(ρ) = U TKU = N X e=1 ρpuTek0ue (2.7) sujeito a : V (ρ) V0 = fv ; KU = F ; 0 < ρmin≤ ρ ≤ 1 (2.8)
onde U e F são, respetivamente, os deslocamentos globais e os vetores de forças, K é a matriz global de rigidez, ue e keos vetores de deslocamento e a matriz de rigidez,
relativo a cada elemento respetivamente, ρ é o vetor das variáveis de design, ρmin é o
vetor das densidades mínimas relativas (diferentes de 0 para evitar a inexistência de material), N é o número de elementos usado para descrever o domínio, p é o valor de penalização, V0 é o volume relativo ao domínio inicial, V (ρ) é o volume em função do
material e desta forma fv é a fração de volume resultante [23].
No processo de otimização topológica podem existir alguns problemas. Instabilidades numéricas e problemas de convergência para a solução ótima são exemplos disso, e os mesmos podem dividir-se em três categorias: checkerboard, dependência de malha e mínimos locais [27]. A utilização de métodos de ltragem ou simplesmente a conjugação de parâmetros, como o caso do fator de penalização presente na abordagem SIMP, surgem como ferramentas que têm como objetivo prevenir estas instabilidades.
Relativamente à aplicação de técnicas de ltragem, estas podem ser divididas naquelas que atuam diretamente nas variáveis do problema ou naquelas que atuam em gradientes da função objetivo. No primeiro caso, as densidades entre as vizinhanças passam a ser ponderadas e tratadas antes de se voltar a calcular a nova iteração. No segundo caso as densidades são primeiro calculadas e só depois é que são ponderadas com a sua vizinhança.
O ltro ideal segundo Sigmund deveria conter os seguintes requisitos [13] : obter soluções independentes de malha e sem problema de checkerboard; obter soluções discretas (0/1);
controlar a exequibilidade da solução (raios mínimos de ferramentas, dimensões mínimas de vazios, limitações geométricas, etc.);
não necessitar de restrições adicionais ao problema de otimização; depender de poucos parâmetros e ser robusto;
originar uma convergência rápida e estável; ter aplicabilidade geral;
ser de implementação simples; ter um baixo custo computacional.
14 2.Optimização
Para além da abordagem SIMP, que está inserida no método do Critério Ótimo, existem outros métodos que são utilizados no processo de otimização. Em 1988, Osher e Sethian [28], introduziram outro tipo abordagem para descrever o processo de otimização. A abordagem feita pelos autores designa-se por LSM (Level-Set Method). A abordagem começada por Osher e Sethian costumava ser usada para estudar interações dinâmicas como um modelo matemático. Contudo, começou-se a aplicar em casos de otimização estrutural, um desses casos foi o estudo feito por Masaki Otomori. O modelo matemático que descreve esta aproximação resume-se à utilização de uma função level-set [29] .
No caso aplicado à otimização topológica, a função pode ser representada como na gura 2.4,
Figura 2.4: Representação de uma função level-set [30]
onde é de nido uma função ϕ e N como o seu domínio. Os valores positivos da função representam a área de material existente e os valores negativos como o domínio que faz parte do vazio, esta a rmação pode ser convertida na equação 2.9.
ϕ(ρ) > 0 se ρ ∈ Ω ϕ(ρ) = 0 se ρ ∈ ∂Ω ϕ(ρ) < 0 se ρ ∈ D \ Ω (2.9) Desta forma, ao determinar o valor ρ a geometria nal é determinada de modo ime-diato, sendo que todos os valores de densidade superiores a este são considerados como parte integrante da geometria, e os restantes valores correspondem ao vazio. Como a geometria do resultado nal é determinado de forma imediata, não existe controlo sobre o seu resultado, sendo assim a necessidade de recorrer a outras técnicas que façam esse tratamento.
Neste sentido, existem outros tipos de técnicas que se inserem no processo de pós-processamento.
2.3.2 Pós-processamento
A etapa de pós-processamento em otimização topológica, neste trabalho, retrata a fase da metodologia que tem como objetivo tornar o resultado do processo de otimização em algo fabricável. Deste modo, este passo não é realizado numa ação. Com o intuito de chegar a um modelo nal, o processo de pós-processamento pode ser dividido nos seguintes pontos: tratamento dos resultados obtidos de modo a construir uma geometria inicial; veri cação da geometria nal.
2.Optimização 15
A etapa pós-processamento pode ser implementada de várias formas. Neste trabalho são apresentadas técnicas de ltragem que são inseridas no pós-processamento.
Alguns ltros podem ser comparados com técnicas de morfologia, usualmente usadas em sistemas de visão. As técnicas de morfologia em sistemas de visão são usadas para quanti car objectos, limpar o ruido das imagens e numa última análise, inspecionar dife-rentes imagens de forma automática. Técnicas básicas que utilizam ltros de morfologia são aplicadas em imagens, com o intuito de tratar as que possuem ruído e efetuar uma análise automática das mesmas [13]. Deste modo técnicas como dilate, erode, open e close podem ser aplicadas em resultados do estudo da otimização. Algumas formulações foram propostas por Kreisselmeier e Steinhauser, em 1983 [13]. A aplicação deste tipo de ltros pode ser observada na gura 2.5.
Figura 2.5: Efeito de operações morfológicas no resultado de otimização topológica [13] Apesar de este tipo de ltros poderem ser usados, os mesmos não tiveram grande seguimento como técnica de pós-processamento. Uma das razões da sua ine ciência é a perda de informações a nível da forma ótima proveniente da otimização [6].
Havendo falhas nos ltros associados à morfologia, é necessário recorrer a outros tipos de ltros para a análise das imagens resultantes. O ltro Heaviside foi um dos que foram desenvolvidos ao longo do tempo, Sigmund em 2007 [13], Xu, Cai e Cheng em 2010 [31], e Guest, Asadpoure, e Ha em 2011 [32], foram alguns dos investigadores que contribuíram para esta temática. O ltro em questão obriga a que as densidades que variem entre ]0,1[,
16 2.Optimização
se tornem resultado binário (0 ou 1), ou por outras palavras, que a imagem resultante seja descrita unicamente por áreas com material e sem material. A imagem 2.6 demonstra a ação por detrás deste ltro.
(a) Resultado com base no método de penalização
(b) Resultado sujeito a ltros
(c) Resultado sujeito a ltro de Heaviside
Figura 2.6: Efeito da utilização de um ltro Heaviside no resultado nal do processo de otimização [33]
Havendo técnicas que tornem o resultado bem de nido, é importante passar para o próximo passo. Sendo este processo de ordem teórica, é necessário algo para fazer a ponte entre o estudo teórico e a conceção do fabrico. Uma das formas da implementação desta ação pode ser novamente com a utilização de ltros.
Na tentativa de fazer a ponte entre o estudo teórico e a conceção das peças, a uti-lização de ltros relacionados com os diferentes processos de fabrico começaram a ser introduzidos. Cada processo possui um método diferente com características próprias. Entre os processos mais conhecidos, pode-se citar: injeção, fundição, forjamento, torne-amento, fresagem, furação, extrusão, corte a laser, fabrico aditivo, entre outros.
Langelaar, em 2016 [34], propôs um ltro com aplicabilidade em técnicas de adição de material. O ltro de Langelaar baseia-se em alguns critérios pré-estabelecidos, tais como a de nição do valor do ângulo de inclinação crítico. Brackett em 2011, tentou combinar
2.Optimização 17
este critério com o cálculo envolvido na otimização topológica e em 2014, Gaynor e Guest propuseram um ltro espacial com aplicação na otimização [35; 36].
Na técnica de ltragem em questão, para que um elemento numa determinada posição possa ser impresso, o mesmo tem de estar bem suportado por outros elementos impressos anteriormente. Para além disto, o elemento impresso necessita que densidade do mesmo não ultrapasse a densidade máxima de impressão presente na região de suporte.
Langelaar demonstra a in uência e/ou a e ciência de um ltro relacionado com o processo de fabrico aditivo, como se pode observar na gura 2.7. Na gura 2.7b pode observar-se diferentes colunas com diferentes densidades de material que são totalmente impressas, e outras, que usando o mesmo tipo de densidades que a impressão não ocorre. Neste último caso, não havendo ligação com a camada inferior a geometria não é impressa. Outro exemplo da não impressão por falta de ligação a camadas inferiores é o exemplo da direita, no qual existem camadas intermédias que não têm suporte algum. Ainda neste caso, é possível ver o tratamento do resultado para uma impressão com um ângulo crítico de 45º.
(a) Imagem inicial
(b) Resultado sujeitado ao ltro
Figura 2.7: Efeito da utilização de um ltro relacionado com o processo de fabrico aditivo no processo de otimização [34].
As técnicas de pós-processamento são bastante úteis para garantir que os resultados obtidos possam ser fabricados, contudo existem outras técnicas que usadas em simultâneo com a etapa de pós-processamento garantem um resultado mais ável a nível do seu fabrico. Uma destas técnicas é relativa à incorporação de restrições de fabrico na etapa da parametrização do problema.
18 2.Optimização
2.3.3 Restrição de fabrico
Nos programas comerciais, estes utilizam a parametrização do problema para incorporar as restrições de fabrico no processo de otimização topológica. Desta forma, o que ocorre não são técnicas de ltragem, mas sim manipulação de parâmetros que originam restrições de fabrico para os demais.
No processo de fabrico de extrusão, a passagem de um per l cilíndrico quente é for-çado através de uma matriz contendo um per l de nido, produzindo uma barra alongada com secção transversal constante ao longo da direção da extrusão. De um modo geral, este processo de fabrico é usado para gerar secções transversais sólidas ou com furos, po-dendo obter grande variedade de vigas, per s estruturais direitos ou curvados, conforme ilustrado na gura 2.8.
Figura 2.8: Tipos de peças obtidas por extrusão (a) secção transversal sólida (b) secção transversão com furo [16]
O processo de forjamento pode dividir-se em dois grupos, forjamento em matriz aberta e forjamento em matriz fechada, como se pode ver visualizado na gura 2.9.
Figura 2.9: Tipos de forjamento: (a) - forjamento em matriz fechada; (b) - forjamento em matriz aberta [38]
2.Optimização 19
O forjamento em matriz aberta é utilizado na conformação de peças de grandes di-mensões e com forma relativamente simples, como é o caso das âncoras, alavancas, etc. . Neste processo as peças passam por diversas operações de conformação plástica a quente, onde o desperdício de material é reduzido.
O processo em matriz fechada já é capaz de fabricar peças com maior complexidade graças à matriz que conforma a peça para uma determinada geometria. Este processo permite obter peças de dimensões mais reduzidas, tendo que no nal retirar o excesso de rebarba que poderá existir. O processo da obtenção de uma peça por matriz fechada pode ser visualizado na gura 2.10.
Figura 2.10: Peça obtida por forjamento em matriz fechada [37]
A nível de restrições de fabrico, o processo de forjamento necessita de ter algumas considerações. Uma delas é sobre o ângulo de saída das superfícies ser paralelo à direção do movimento do punção. A necessidade da existência de raios de concordância para os cantos, como se pode ver na gura 2.11, é outra restrição do processo.
Para além destes tipos de fabrico existem outros que têm vindo a ser alvo de estudo, mas que não serão abordados neste trabalho.
Construção do Modelo CAD
Existem várias técnicas que podem descrever o processo de modelação 3D. Borlin e Igasto, em 2009, propõem as seguintes ferramentas com exemplos do procedimento desejado [39]. Aquisição de imagem: Criação da geometria a partir de imagens/fotos, calibração de câmaras e reti cação de imagens. Os diferentes tipos de aquisição requerem diferentes formas de manipulação. Alguns exemplos são as imagens obtidas a partir de câmaras únicas, ou de várias câmaras (tendo estas diferentes ângulos entre si), vídeos, ou até mesmo scanner a partir de laser.
Posições relativas entre diferentes imagens: criação de uma geometria a partir do cálculo da posição relativa das imagens em que estas são tiradas
20 2.Optimização
Figura 2.11: Geometrias a evitar e geometrias a adoptar num processo de forjamento [38].
Triangulação: criação da estrutura 3D a partir da intersecção dos diferentes pontos. Co-registo: organização de diferentes nuvens de pontos no mesmo sistema de
coor-denadas.
Densi cação da nuvem de pontos: é usado para obter mais detalhes, para a criação da geometria, assim como restaurar mais pontos para a criação de planos e da geometria.
Segmentação e estruturação: usado para separar diferentes objetos dentro da ima-gem
Texturização (texturing): a criação da geometria 3D a partir de texturas extraídas torna o modelo mais real e completo.
No caso desta dissertação, a criação do modelo CAD é feita através da transformação do resultado da otimização topológica num cheiro com extensão STL. Liu propõem uma estratégia de obtenção do modelo CAD através da extração do esqueleto, uma técnica de morfologia de imagem, do resultado de otimização [40]. Liu aplicou esta técnica no programa de Matlab desenvolvido por Sigmund [23] com o intuito de preparar o resultado para o processo de fabrico aditivo. Na gura 2.12 pode observar-se a metodologia de obtenção do esqueleto. A metodologia centra-se nos seguintes passos: de nir o resultado nal do processo de otimização topológica; extração do esqueleto a partir do resultado do processo de otimização; deteção de zonas críticas, ou seja, zonas que no resultado da otimização não se consigam obter por fabrico aditivo devido ao tamanho das mesmas [40].
Com o intuito de evitar as zonas críticas apresentadas, Liu propôs os seguintes passos: re namento da malha inicial do processo de otimização topológica; aumentar a densidade dos elementos que compõem as zonas críticas; ltragem das zonas críticas de modo a garantir que estas possam ser fabricadas; estabelecer a forma nal; obter o cheiro STL. Na gura 2.13 está representada a metodologia descrita. Tendo o modelo STL sido criado, este pode ser posteriormente convertido num modelo CAD, podendo ser efetuadas as alterações desejadas.
2.Optimização 21
Figura 2.12: Metodologia de obtenção do esqueleto para criação do modelo CAD: (a) resultado obtido no processo de otimização topológica; (b) re namento nal do resultado do processo de otimização; (c) de nição do esqueleto do resultado; (d)
identi cação das zonas críticas [40].
Figura 2.13: Metodologia de obtenção do modelo STL através do tratamento das zonas críticas [40].
22 2.Optimização
Parte II
Metodologia e Resultados
Capítulo 3
Metodologia
3.1 Programas a utilizar
Neste trabalho serão utilizados dois programas de tipologias diferentes, um programa típico de modelação CAD e outro descrito como um programa de simulação. A intenção de aplicar o processo nestes dois programas passa por veri car o que cada um permite executar, o quão diferentes eles são entre si, assim como determinar para quais exemplos é que eles são mais indicados.
O software Inventor, solução oriunda da empresa Autodesk, revela-se como um pro-grama de modelação. Apesar de ser uma solução mais focada para a modelação de di-ferentes geometrias, nos últimos anos começaram a ser integrados didi-ferentes add-in que possibilitam diferentes tipos de análise, como por exemplo as simulações MEF (Método dos Elementos Finitos).
O software HyperWorks faz parte do leque de soluções que a empresa Altair oferece. O programa integra-se no grupo de softwares de simulação. O programa da Altair oferece vários tipos de soluções para a modelação de uma geometria, análise, visualização e tra-tamento dos resultados, para diferentes tipos de simulações, como por exemplo diversos tipos de otimização estrutural, contando também com as simulações de análise linear e não-linear.
O HyperWorks contém vários tipos de módulos de modo diferenciado entre si, especia-lizados para resolver diferentes tipos de simulação. Nesta dissertação, o módulo utilizado foi o OptiStruct, considerado como um software de design e de otimização, permitindo não só realizar a simulação de otimização topológica, como também efetuar o pré e o pós-processamento do processo.
3.2 Ferramentas presentes nos programas
InventorO produto da Autodesk, o Inventor, sendo um programa de modelação apresenta algumas limitações na realização do processo de otimização topológica. De modo a aprofundar esta temática apresentam-se algumas ferramentas do programa enunciado.
Geometria inicial - Apesar de ser possível importar uma geometria de outros pro-gramas, o Inventor é um programa CAD consegue criar sem di culdades qualquer
26 3.Metodologia
geometria.
Malha - A criação da mesma tem como fundamento os seguintes componentes, tamanho médio e mínimo dos elementos e o fator de nivelamento. A malha é ca-racterizada com elementos tetraédricos de 4 nós. O inventor contém alguns tipos de malha já pré-de nidas desde uma malha mais grosseira a uma malha mais re- nada. O tempo de processamento da simulação dependerá, em grande parte do re namento da malha;
Restrições/Condições de fronteira - ao nível de apoios o programa em questão contém três tipos de opções diferentes, o encastre, o apoio simples e a restrição cilíndrica. A primeira, podendo ser aplicada em vértices, faces ou arestas, impede que a geometria se mova ou deforme em qualquer direção. A segunda, é aplicável em superfícies e impede que esta se mova e deforme na direção perpendicular relativa à superfície em questão, deste modo a superfície torna-se livre de girar, mover-se ou deformar-se na direção tangencial da mesma. Na última, esta aplica uma restrição rotacional, sendo apenas aplicada em faces cilíndricas.
Forças e momentos - a Autodesk fornece uma grande variedade de opções rela-tivas a este tópico,entre elas as habituais forças, pressões e momentos, mas este software também oferece outras soluções tais como, forças radiais (rolamento) que são aplicadas apenas em superfícies cilíndricas ou perpendiculares ao eixo (momen-tos); acelerações, que podem ser aplicadas numa face ou aresta; força remota, que permite impor uma força num ponto em especí co.
Função objetivo e restrições de otimização - Ao nível da função objetivo, o Inventor apenas usa a opção da rigidez, sendo que o objetivo é maximizá-la. Relativamente às restrições do processo, o Inventor aplica apenas uma, a redução do seu volume. HyperWorks
O produto da Altair, o HyperWorks tem algumas ferramentas que relacionam uma geo-metria inicial com restrições, forças, limites e malhas, conjugando-as para encontrar uma forma ótima de maneira a satisfazer a vontade do cliente. Antes de explicar a metodologia por trás deste programa é essencial demonstrar o que é que este permite manipular.
Geometria inicial - o HyperWorks permite ao utilizador importar um arquivo CAD, ou criar um novo. Criar uma nova geometria neste programa requer um conheci-mento mais aprofundado sobre o seu funcionaconheci-mento. A criação de uma geometria baseia-se na criação de nós e na ligação entre eles através de linhas. Após a criação das linhas, de modo a formar uma geometria fechada, criar-se-ia uma superfície como se pode ver na gura 3.1. A criação de geometrias 3D passa pela conjugação de superfícies, formando assim um sólido. Outra alternativa a este processo é a importação de geometria a partir de outros programas.
Malha - com base na pesquisa efetuada em otimização topológica, a importância da utilização de uma malha apropriada é essencial e, neste tópico, o HyperWorks oferece um grande conjunto de soluções. Estas dividem-se em três grupos de ele-mentos, bidimensionais e tridimensionais. A nível dos elementos bidimensionais,
3.Metodologia 27
Figura 3.1: Processo de criação de uma superfície
no qual também se inserem os elementos axissimétricos, os tipos disponíveis são os elementos quadráticos com 4 e 8 pontos de integração, assim como os elementos triangulares com 3 e 6 pontos de integração. Nos elementos tridimensionais os ele-mentos que podem ser usados são os hexaédricos de 8 e 20 pontos de integração ou os elementos tetraédricos de 4 e 10 pontos de integração.
Restrições/Condições de fronteira - em relação aos apoios, estes podem ser aplica-dos de diferentes formas, como por exemplo, em linhas, superfícies e num ponto qualquer da estrutura. O programa em questão permite restringir a nível do deslo-camento e a nível da sua rotação, podendo optar-se por qual a constrição que quer que esteja ativa, ou por outras palavras, que graus de liberdade é que o utilizador quer restringir.
Forças e momentos - podem ser aplicados da mesma maneira que as restrições nos apoios. Há algumas formas de descrever as forças de aplicação, estas podem ser apresentadas na forma de equações, pressão, vetores (esta é a forma mais popular, mas existem outras formas para aplicar as forças e os momentos).
Função objetivo e restrições de otimização - no HyperWorks o problema de otimi-zação pode conter diferentes alternativas tanto para a função objetivo como para as restrições do processo de otimização. Volume, massa, deslocamentos, centro de gravidade, inércia, rigidez, deformação, tensão e forças são exemplos das alterna-tivas possíveis. Essas respostas podem ser usadas como restrições ou objetivos, cando assim ao critério do utilizador.
3.3 Metodologia processo de otimização topológica
A metodologia de trabalho entre os dois programas é muito similar. A nível de méto-dos de otimização os dois programas usam abordagens diferentes. O Inventor utiliza o Método de Level-Set (LSM), de nindo automaticamente o valor de ρ que, excluindo as densidades inferiores a esse valor, forma a geometria nal. No caso do HyperWorks, o método utilizado é Critério do Ótimo, com a abordagem SIMP. Neste caso, o resultado do programa contém valores de ρ que variam entre [0,1], como se pode ver na gura 3.2. No HyperWorks, todos os parâmetros que se de nam, quer sejam condições de fron-teira, forças, propriedades físicas, têm sempre de ser relacionados com a geometria. Para
28 3.Metodologia
isso acontecer é necessário criar conectores (por exemplo no caso das forças e condições de fronteira, Load Colectors), fazendo com que o processo de preparação seja mais de-morado. Enquanto que no Inventor estas operações são automáticas, ou seja, ao de nir as cargas, e os outros parâmetros estes cam logo associados à geometria, sem necessitar de outras tarefas.
No processo de otimização, no Inventor, só é necessário indicar qual a redução de volume que se deseja cumprir. Já no HyperWorks, este processo é novamente mais demorado, sendo necessário criar as variáveis de otimização que sejam tratadas (peso, volume, rigidez, deslocamento, entre outras), de nir se são restrições ou o objetivo, e depois associá-las novamente à peça em questão.
A nível de variáveis de processo, apenas o HyperWorks permite manipulá-las. Pa-râmetros como controlo de checkerboard, valores de penalização, são exemplos. A sua in uência no resultado nal pode ser visualizada na gura 3.2. Para além destes pa-râmetros o programa permite controlar 24 papa-râmetros que interferem diretamente com a solução nal, podendo estes ser relativos a valores mínimos de densidade de cada ele-mento, parâmetros dimensionais, parâmetros relativos à malha que se gerará na geometria resultante.
(a) Resultado sem penalização
(b) Resultado sem controlo de checkerboard e com p = 3
(c) Resultado com controlo de checkerboard e com p = 3
Figura 3.2: In uência dos parâmetros de controlo de checkerboard e de penalização no resultado nal da simulação
Na gura 3.2, é visível a importância da de nição correta dos parâmetros e adequar os mesmos a cada problema. O exemplo disso é o caso da aplicação do parâmetro de controlo de checkerboard, que como visto na gura em questão, usado isoladamente para
3.Metodologia 29
este caso não surte qualquer efeito, pois não existem zonas alternadas entre elementos com ρ = 0 (ausência de material) e ρ = 1 (presença de material).
A nível de pós-processamento, no Inventor este cria um resultado sem possibilidade da manipulação sobre a forma de ltros. O resultado é exportado para um cheiro com extensão STL, no qual o programa não oferece uma ferramenta que transponha o resultado nal numa peça de modo imediato, sendo necessário recriar um modelo CAD através do cheiro STL e efetuar as operações de modelação da forma à posterior.
No HyperWorks, o programa permite realizar um processo de ltragem com o recurso a funções de morfologia de dois tipos. Enquanto o primeiro tipo de ltragem suaviza o resultado do processo de otimização topológica, o segundo realiza a seleção da geome-tria nal com base num ltro de threshold. O recurso desta técnica, leva a separação a nível dos diferentes valores de densidade, ρ, de nindo quais valores pertencem ou não à geometria nal. Nesta técnica é de nido o valor mínimo de ρ que obedeça às restri-ções impostas inicialmente. A combinação destas duas técnicas de ltragem pode ser observada na gura 3.3. Para além disto, o HyperWorks permite exportar o resultado do processo de otimização para um formato IGES ou STEP, sendo depois possível executar operações de modelação.
Figura 3.3: Pós-processamento no HyperWorks com recurso a técnicas de ltragem: (a) resultado do processo de otimização topológica; (b) pós-processamento com recurso a
uma técnica de suavização (c) seleção da geometria nal com recurso à técnica de morfologia, threshold, com valor mínimo de ρ de 0.5
Na gura 3.4, é possível observar a metodologia geral adotada para os dois programas apresentados. De forma resumida, o processo de otimização topológica inicia-se com a de nição de uma geometria inicial (o domínio no qual vai incidir o estudo do processo de otimização), sendo depois atribuída características físicas. É de nida uma malha, assim como as condições de fronteira e as forças aplicadas. Posto isto, inicia-se o processo de otimização, onde os dois programas diferem entre si. Enquanto que no Inventor apenas é necessário de nir as restrições do problema, ou seja, de nir qual será o volume a diminuir, no HyperWorks é necessário de nir tanto a função objetivo, como as próprias restrições do problema. Após a de nição destes dois parâmetros, é feita a simulação do processo de otimização no qual é veri cado se o resultado obtido corresponde com as restrições de nidas inicialmente. É realizado um processo iterativo até veri car que o resultado da otimização corresponde com as restrições impostas. Com a obtenção do resultado, é iniciada a etapa de pós-processamento, na qual a geometria é novamente analisada através de uma análise MEF, sendo posteriormente alterada de modo a obter a geometria nal. Este processo trata-se novamente de um processo iterativo de modo a veri car se as alterações obedecem às restrições iniciais, e como as mesmas alterações
30 3.Metodologia
afetam a geometria na análise MEF.
Figura 3.4: Metodologia geral dos dois programas.
Capítulo 4
Validação
4.1 Processo de validação da metodologia dos programas
apresentados
Com o estudo e a metodologia apresentada na gura 3.4, é necessário proceder-se a uma veri cação da validade do procedimento adotado. Recorreu-se a dois problemas de modo a comparar as soluções que cada programa apresenta, assim como a validade dos seus resultados.A seleção dos problemas foi feita com base em características que ambos os programas possam executar, por outras palavras, a forças, restrições e objetivos comuns nos dois programas.
O primeiro trata-se de uma viga apoiada nas extremidades com uma espessura mínima em relação às outras dimensões de modo a tentar simular um problema bi-dimensional do tipo estado plano de tensão (EPT). Esta espessura mínima foi necessária por causa da impossibilidade da realização de uma simulação de otimização 2D no programa Inventor da Autodesk. O problema em questão é similar à simulação MBB-beam, um problema usado em vários casos de estudo a nível de optimização topológica, sendo por exemplo utilizado por Sigmund [23].
Já o segundo problema resume-se a um problema 3D, no qual uma viga está encas-trada numa das faces e sofre uma força na face oposta.
Para cada problema foram executados os seguintes passos, Modelação do problema - executado num programa CAD;
Análise FEM da geometria inicial - executado nos respetivos programas; Preparação da simulação - executado nos respetivos programas;
Otimização da geometria - executado nos respetivos programas;
Pós-processamento dos resultados - geometria V0 modelada em cada programa; Análise FEM da geometria nal - executado nos respetivos programas;
Comparação dos resultados - executado nos respetivos programas; Obtenção da geometria nal;
32 4.Validação
4.1.1 Viga bi-apoiada
Neste caso de validação foi utilizada uma viga bi-apoiada com as seguintes dimensões, 80 × 20 × 1 [mm3], na qual foi aplicada uma força F de 20 kN no centro da viga. A ilus-tração do problema pode ser observada na gura 4.1. Realizaram-se todas as simulações usando simetria da estrutura de modo a conseguir utilizar uma malha o mais re nada possível.
Figura 4.1: Caso de validação: viga apoia nas extrimidades [6]
O material que compõe a viga tem como módulo de Young 210 GPa, coe ciente de Poisson 0.3. O problema teve como objetivo maximizar a sua rigidez, com uma fração de volume de 40 %.
A nível do programa Inventor, realizou-se uma simulação com 27192 nós e 15985 elementos tetraédricos de 4 nós, o resultado da simulação pode ser visualizado na gura 4.2.
Figura 4.2: Resultado da simulação no Inventor
A geometria ilustrada apresenta como volume nal 320 mm3, respeitando assim a
4.Validação 33
restrição da redução de 60%, neste caso de meia viga.
No caso do Hyperworks, a simulação realizou-se com 9963 nós, valor imposto pelo limite de 10000 nós na versão de estudante, e 6400 elementos hexaédricos com 8 nós. O resultado nal pode ser observado na gura 4.3. Para realizar a simulação nas mesmas condições, seja a nível de função objetivo e de restrições, foi necessário realizá-la de modo a que a função objetivo fosse minimizar a exibilidade. Admitindo que a exibilidade é o inverso da rigidez, a função objetivo utilizada nos dois programas é a mesma.
Figura 4.3: Resultado da simulação no HyperWorks
A gura 4.3, representa o resultado nal da otimização topológica, com recurso a uma penalização com valor 3 e o ltro de checkerboard ativado.
Após obter o resultado da simulação, é realizado o procedimento de pós-processamento que está representado na gura 3.3, no qual são aplicadas duas técnicas de ltragem. No caso da operação de threshold o valor de ρ foi de 0.501, de modo a garantir a redução de volume desejada. O resultado nal pode ser observado na gura 4.4.
Figura 4.4: Resultado da simulação no HyperWorks
O programa HyperWorks permite realizar simulações bi-dimensionais com elementos do tipo casca, desta forma realizou-se uma simulação bi-dimensional (2D) com as mesmas características e as mesmas tarefas executadas nas outras simulações, de modo a comparar os resultados obtidos. Neste caso a simulação foi realizada com 3200 nós, sendo composta por elementos quadráticos de 4 nós.
Assim o resultado da simulação para o caso 2D está visível na gura 4.5a. Sendo que o resultado nal pode ser visualizado na gura 4.5b, aqui é possível veri car que o resultado apresentado é igual ao resultado presente na gura 4.3.
Tendo as geometrias nais obtidas, estas foram estudadas através de uma análise de MEF.Na tabela 4.1 está presente os resultado da análise de elementos nitos das dife-rentes estruturas. Nos resultados apresentados observa-se um aumento do deslocamento máximo. Os valores do deslocamento na geometria inicial apresentam valores iguais entre
34 4.Validação
(a) Resultado da simulação
(b) Geometria nal
Figura 4.5: Resultado obtido no HyperWorks para o caso 2D
si, havendo apenas um desfasamento de valores entre as simulações da geometria nal de 2.5×10−3 mm. A nível da redução de volume, a fração de volume da geometria
ge-rada pelo Inventor é de 40 % enquanto que os resultados apresentados pelo HyperWorks, apresentam valores 39.9 %. Numa comparação entre os resultados apresentados pelo HyperWorks, o deslocamento da geometria inicial e da geometria nal são iguais entre si, o mesmo acontece no volume nal.
Tabela 4.1: Resultados nais do caso da viga bi-apoiada
Geometria Programa Deslocamento máx. [mm] Tensão máx.[MPa] Vol. [mm3]
Inicial Autodesk 0.024 227.7 800 Inicial (3D) HyperWorks 0.024 234.6 800 Inicial (2D) HyperWorks 0.024 234.0 800 Final Autodesk 0.044 363.4 320 Final (3D) HyperWorks 0.0460 234.3 319.1 Final (2D) HyperWorks 0.0465 233.8 319.1
A nível de informação relativamente aos dados da função objetivo e da simulação em si, o Inventor não fornece qualquer informação. Já o HyperWorks fornece várias informações relativas a isso.
A simulação de otimização no HyperWorks teve 28 iterações. A evolução dos parâ-metros de otimização, tal como o valor da função objetivo e a percentagem da violação relativamente à restrição imposta podem ser vistas na gura 4.6.
4.1.2 Viga 3D encastrada
Neste caso de validação foi utilizada uma viga encastrada com as dimensões seguintes, 200 × 60 × 100 [mm3], sofrendo uma carga de 100 N na face oposta à encastrada, como
4.Validação 35
(a) Evolução da função objetivo (valor da exibilidade) ao longo das iterações
(b) Evolução da violação da restrição ao longo das iterações
Figura 4.6: Dados relativos ao processo de otimização topológica no caso 2D
se pode ver na gura 4.7.
Neste caso de validação, o processo em si teve duas fases, na primeira realizou-se uma simulação com o objetivo de comparar os resultados entre os dois programas, e na segunda fase testaram-se as funcionalidades do HyperWorks ao nível da utilização de restrições de fabrico.
O material terá as seguintes propriedades, módulo de Young de 210 GPa, coe ciente de Poisson de 0.3. O problema de otimização teve mais uma vez objetivo maximizar a rigidez da estrutura, garantindo uma fração volúmica de 40 %.
O problema de otimização no Inventor realizou-se com 9857 nós e 6391 elementos tetraédricos de 4 nós. A estrutura com a malha nal pode-se ver na gura 4.8.
O resultado nal do processo de otimização pode observar-se na gura 4.9, tendo como resultado nal um volume de 482×103 mm3, perfazendo a redução pretendia de
61% do volume inicial. Contudo o resultado em si não era o esperado, como a geometria é simétrica e a força é aplicada no centro da face era de esperar que o resultado da si-mulação fosse simétrico. Realizou-se uma nova sisi-mulação com uma malha mais re nada
