Matemática e Linguagem

Matemática e Linguagem

Março de 2018

Resumo: Discussão acerca do aspecto linguístico da matemática, com incursões em tópicos relacionados: lógica, padrões e a tríade de aspectos conceituação, aplicação e manipulação. Pontualmente, apresentamos algumas repercussões didáticas.

Palavras-chave: Matemática. Linguagem. Padrões. Conceituação, aplicação, manipulação.

Sumário

Matemática e Linguagem...1

1 – Matemática e Linguagem...1

2 - A tríade de aspectos da matemática: conceituação, aplicação e manipulação...3

3 - Matemática e Lógica...4

4 - A matemática é a ciência dos padrões...6

Apêndice: frases para reflexão...8

Referências...9

1 – Matemática e Linguagem

A Matemática compartilha com as linguagens humanas naturais a característica de constituir um sistema de representação da realidade, mediante o qual nos comunicamos e constituimos parte significativa do nosso conhecimento:

“Tanto a Matemática quanto a Língua Materna constituem sistemas de representação, construídos a partir da realidade a partir dos quais se constrói o significado dos objetos, das ações, das relações. Sem eles, não nos contruiríamos a nós mesmos enquanto seres humanos. (…) Do ponto de vista epistemológico a Matemática e a Língua Materna representam elementos fundamentais e complementares, que constituem condição de possibilidade do conhecimento, em qualquer setor, mas que não podem ser plenamente compreendidos quando considerados de maneira isolada.” (MACHADO, 1990: p.83)

A ideia de que a matemática representa a realidade é bastante antiga, remontando até Platão (428/427 a.C. – 348/347 a.C.) e seu discípulo Aristóteles (384 a.C. – 322 a.C), pois ambos acreditavam que a matemática representava uma realidade, embora divergissem quanto a qual realidade: Platão acreditava que a matemática tinha como origem e referente o mundo perfeito das ideias, enquanto o Aristóteles defendia que ela era uma elaboração da mente humana inspirada pela observação do mundo natural (KLINE, 1985: p.4). Concordando com Aristóteles quase 20 séculos depois dele, Galileu (1564-1642) declarou que a Matemática constitui a única linguagem pela qual o universo pode ser compreendido, ideia que fundamentou o desenvolvimento da ciência moderna:

“A filosofia [viz., ciência] está escrita neste grandíssimo livro que está continuamente aberto diante de nossos olhos (digo, o universo), mas não podemos compreendê-lo sem antes aprender sua linguagem e conhecer os caracteres nos quais está escrito. Ele está escrito em linguagem matemática e seus caracteres são

triângulos, círculos e outras figuras geométricas sem as quais é humanamente impossível compreender uma única palavra; sem isso, vagamos perdidos num escuro labirinto.”1 _{(GALILEI, 1623: pp.16-7. Tradução nossa)}

Mais recentemente, Kline (1976: p.176) diz a mesma coisa com outras palavras:

“A matemática é a chave para nossa compreensão do mundo físico; dá-nos o poder sobre a natureza; e deu ao homem a convicção de que ele pode continuar a sondar os segredos dela.”

“A matemática não é um corpo de conhecimento isolado e auto-suficiente. Existe primariamente para ajudar o homem a compreender e dominar os mundos físico, econômico e social. Serve a fins e propósitos.” (KLINE, 1976: p.176, 179)

Na base da matemática estão noções intuitivas representadas por termos compartilhados com a linguagem natural, tais como as ideias de ponto, conjunto, número e forma. Esse ponto de contato é fundamental pelo que é a partir dele que a matemática é desenvolvida e aprendida, mas ela possui elementos próprios e aspectos distintos da linguagem natural, afinados à natureza e características dos entes aos quais se refere:

"A Matemática erige-se, desde os primórdios, como um sistema de representação original; aprendê-lo tem o significado de um mapeamento da realidade, como no caso da Língua. Muito mais do que a aprendizagem de técnicas para operar com símbolos, a Matemática relaciona-se de modo visceral com o desenvolvimento da capacidade de interpretar, analisar, sintetizar, significar, conceber, transcender o imediatamente sensível, extrapolar, projetar. / Os objetos matemáticos, como números, formas, propriedades, relações, estruturas etc., aqui concebidos como construções resultantes do trabalho dos matemáticos, não são construídos tendo como referentes objetos homólogos de qualquer outro sistema preexistente – nem mesmo da Língua Materna – mas exclusivamente tendo em vista a realidade que se pretende mapear." (MACHADO, 1990: p.96)

A matemática adquire uma importância prática que vai além da mera representação da realidade devido às suas aplicações em outras áreas do conhecimento humano. Suas implicações tanto justificam a necessidade de institucionalização do ensino da matemática no âmbito da sociedade organizada, quanto podem/devem ser apontadas pelos professores para justificar aos estudantes a abordagem dessa disciplina (ainda que não seja possível apresentar uma aplicação simples e específica para cada tópico estudado):

“Devamos ou não combinar matemática com ciência, apresentando a primeira como parte dos esforços do homem para compreender e dominar seu mundo, estaremos dando aos estudantes razão válida historicamente e de atualidade para a grande importância do campo. Esta é também a razão primária da presença da matemática no currículo. Somos, portanto, obrigados a apresentar este valro da matemática. Qualquer coisa menor seria ludibriar os estudantes e privá-los do fruto de sua aprendizagem.” (KLINE, 1976: p.179)

Machado (1987) parte do mesmo entendimento para destacar devidas repercussões na prática docente:

1 “La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l'universo), ma non si può intendere se prima non s'impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne' quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto.”

“É fácil convencer os alunos sobre o significado global da Matemática, sobre sua importância como ferramenta para a ciência, a tecnologia, a engenharia, a indústria, a economia, etc.; entretanto, esbarramos em dificuldades quando temos de explicar o significado de temas específicos: para aprender logaritmos, ou matrizes, ou trigonometria, ou funções, ou geometria, ou qualquer outro tema. Ainda que se possa pensar na existência de significados particulares para cada um dos temas relacionados, não funciona, em sala de aula, essa preocupação tópica com cada microassunto a ser ensinado. Devemos, sim, procurar convencer nossos alunos do macrossignificado da Matemática como instrumento. Uma faca, por exemplo, é um instrumento que serve para cortar. Mas é a lâmina que corta; o cabo nada corta. O significado do cabo é possibilitar que seguremos a faca, para que ela realize sua função, para que seja útil. Além do cabo, digamos que haja um ou mais parafusos prendendo o cabo à lâmina; eles também fazem parte do instrumento, e devem ser ‘ensinados‘. Os parafusos nada cortam, mas sem eles, o cabo não se fixa à lâmina e a faca não funciona. Muitos conteúdos de Matemática são como lâminas, cabos e parafusos. Se quisermos dispor do instrumental matemático, indiscutivelmente útil para muitas finalidades práticas, temos de aprender não somente sobre lâminas afiadas, mas também sobre cabos que lhe dão suporte e discretos parafusos coadjuvantes.” (MACHADO, 1987: pp.13-14)

2 - A tríade de aspectos da matemática: conceituação, aplicação e manipulação

A matemática possui uma tríade característica de aspectos: conceituação, aplicação e manipulação (LIMA, 2003). A conceituação diz respeito à definição e significação dos conceitos, bem como suas relações e propriedades formais; a aplicação está relacionada à utilização contextualizada dos conceitos, seja na descrição de fenômenos/situações ou na resolução de problemas; a manipulação consiste da essencialmente da execução de algoritmos.

No âmbito do ensino da matemática, a abordagem didática deve ser equilibrada, no sentido de devidamente enfatizar e adequadamente relacionar os três aspectos da Matemática. Segundo LIMA (2003: Seção 15.7), o ensino da matemática no Brasil é caracterizado pelo predomínio da manipulação em detrimento da conceituação e aplicações, com especial ênfase no emprego de fórmulas para resolver problemas padronizados. Naturalmente, isso repercute num aprendizado da matemática tipicamente carente de significado e utilidade, além de tornar seu estudo desinteressante, ou até mesmo maçante.

Lembramos que o Movimento da Matemática Moderna foi um movimento de âmbito mundial com repercussões no Brasil (circa décadas de 1960 e 1970) caracterizado pela proposição de um currículo de matemática estruturado a partir da teoria dos conjuntos e com forte ênfase nos aspectos formais. O movimento acabou fracassando especialmente porque “ensinar matemática como disciplina separada é uma perversão, uma corrupção e uma distorção do verdadeiro conhecimento”-para detalhes (KLINE, 1976: p.177). Esta é uma piada que ilustra as consequências desse movimento no aprendizado da matemática:2

Pai: Filho, o que você aprendeu hoje na escola sobre matemática? Filho: Aritmética.

Pai: Legal. Então, quanto é três mais dois?

Filho: Essa é fácil: três mais dois é igual a dois mais três, pela propriedade comutativa da adição.

Pai: ???

2 O livro 'O Fracasso da Matemática Moderna' de Morris Kline traduzido no Brasil, tem como título original em inglês 'Why Johnny can't add? The failure of the new math' ['Por que Joãozinho não consegue somar? O fracasso

Operacionalização

A operacionalização é uma característica distintiva da matemática em relação às linguagens naturais, correspondendo aproximadamente a seu aspecto manipulativo. Por operacionalidade me refiro a procedimentos algorítmicos passíveis de serem executados por qualquer pessoa capaz de ententer suas instruções, ou mesmo por computadores devidamente programados para isso.

Acontece que um conceito pode dar origem a um procedimento algoritmico que aparenta não ter qualquer relação com ele. Essa situação é bastante comum e, acredito, constitui uma das dificuldades típicas para a aprendizagem da matemática.

Para ilustrar o caráter operacional da matemática e a aparente desvinculação entre conceitos e algoritmos, lembramos o conceito de máximo divisor comum de um par de números inteiros (MDC):

Dados inteiros a e b, o máximo divisor comum de a e b é o número inteiro positivo c tal que (i) c é divisor comum de a e b e (ii) c é maior do que qualquer outro divisor comun de a e b.

Essa definição caracteriza do MDC de um par de números inteiros, mas não especifica como calculá-lo. O Algoritmo de Euclides é um procedimento para o cálculo do MDC, respondendo a questão de como calculá-lo. Esta é uma descrição iterativa do algoritmo que usa usa três variáveis auxiliares: Algoritmo de Euclides 1. Entrada: a, b; 2. Faça: 3. u = a; 4. v = b;

5. r = resto da divisão de a por b; 6. Enquanto r ≠ 0, faça:

7. u = v; 8. v = r;

9. r = resto da divisão de u por v; 10. Retorne: v.

Veja que o Algoritmo de Euclides é relativamente fácil de ser executado ou programado num computador, mas seu significado e utilidade não são evidentes a partir dele próprio - embora uma análise adequada possa determinar para que serve. Dizendo em termos gerais: não basta ter memorizado e ser capaz de executar um algoritmo para saber (depreender, intuir) sua utilidade e o significado do(s) conceito(s) envolvido(s).

3 - Matemática e Lógica

O raciocíno lógico é um elemento constitutivo das demonstrações, as quais são as justificativas ou explicações dadas pelos matemáticos para a validade dos seus teoremas (aquelas sentenças ou afirmações cridas como necessariamente verdadeiras).

Já no início do movimento em que a matemática começou a ser estruturada num corpo de conhecimentos, Platão (428/427 a.C. – 348/347 a.C.) “estabeleceu os princípios do método

axiomático-dedutivo (…) [e] via esse método como o modo ideal para sistematizar o conhecimento e chegar a novos conhecimentos” (KLINE, 1985: p.42). Seu discípulo Aristóteles (384 a.C. - 322 a.C) estabeleceu os princípios básicos da (disciplina) Lógica e reconheceu sua importância para os filósofos-matemáticos daquela época, tendo dito que “para Tales (…) a questão primária não era o Que conhecemos, mas Como conhecemos” (BOYER-MERZBACH, 2009: p.40). Não foi por acaso que a primeira demonstração matemática conhecida ocorre nos Elementos de Euclides (c. 300 a.C), amplo tratado sobre Geometria constituido por treze livros, que se tornou a obra mais influente de toda história da matemática e serviu (e ainda serve) de paradigma para o os trabalhos matemáticos (KLINE, 1985: p.43).

A importância do aspecto axiomático-dedutivo na matemática repercute numa tendência ao formalismo, i.e., numa ênfase no aspecto manipulativo. Entretanto, a matemática não pode ser teoricamente reduzida à lógica ou seu aspecto formal:

“A matemática formal é como a ortografia e a gramática - uma questão de aplicar corretamente as regras pertinentes. A matemática com significado é como o jornalismo - que conta uma história interessante. Mas diferente de algumas peças jornalísticas, a história deve ser verdadeira. A melhor matemática é como a literatura - ela dá vida à história diante dos nossos olhos e nos envolve nela, intelectualmente e emocionalmente.” (COURANT-ROBBINS, 1996: Section What is Mathematics? Tradução nossa)

Ainda,

"Parece haver um grande perigo na ênfase exagerada do aspecto axiomático-dedutivo da Matemática. Verdadeiramente, o elemento de invenção construtiva, de intuição direcionada e motivada, é capaz de iludir uma formulação filosófica simples; mas é nisso que está o núcleo de toda descoberta matemática, mesmo nos campos mais abstratos. Se a forma dedutiva cristalizada é a meta, a intuição e a construção são pelo menos as forças motrizes. Uma ameaça séria à verdadeira vida dessa ciência está na asserção de que a Matemática não é nada mais do que um sistema para deduzir conclusões a partir de definições e postulados que devem ser consistentes, mas que, fora isso, pode ser criado arbitrariamente pelo matemático. Se essa descrição fosse acuarada, a Matemática não poderia interessar qualquer pessoa inteligente. Ela seria um jogo com definições, regras e silogismos, sem motivação e meta.” (COURANT-ROBBINS, 1996: Section What is Mathematics? Tradução nossa)

É importante destacar que uma abordagem formalista da matemática destoa do modo como ela foi tratada pelos povos antigos que descobriram empiricamente diversos fatos matemáticos envolvendo números e formas geométricas - dentre os quais se destacaram os egípcios, babilônios e chinezes. Até a Antiguidade Clássica, o conhecimento matemático era predominantemente empírico e pouco sistematizado:

“O conhecimento [matemático] nos papiros egípcios existentes é principalmente de natureza prática, e o cálculo era o elemento principal das questões. Onde parece entrar um elemento teórico, o provável propósito era facilitar a técnica. Mesmo a alardeada geometria egípcia foi principalmente um ramo da aritmética aplicada.” (BOYER-MERZBACH, 2011: p.19. Tradução nossa)

Relacionado ao raciocínio lógico, cabe mencionar que não passa de preconceito a ideia de que o estudo da matemática nos ensina a pensar (mais do que outros assuntos podem fazer).

a História, a Biologia, assim como pensar ensina a pensar.” (MACHADO, 1987: p.99)

Estrutura hierárquica

Uma teoria matemática específica, ou a própria matemática como um todo, pode ser organizada numa estrutura hierárquica no sentido de que seus conceitos sejam relacionados de modo que uns são definidos em termos de outros, com algumas noções intuitivas fundamentais constituindo a base ou ponto de partida para toda estrutura.

Exemplos:

 o conceito de número racional pode ser definido em termos dos conceitos de número inteiro e de relação de equivalência;

 o conceito de função pode ser definido em termos dos conceitos de conjunto e relação;  o conceito geométrico de tangente pode ser definido em termos do conceito analítico de

limite.

Uma estruturação da matemática é importante tanto para a pesquisa quanto para o ensino, posto que ela estabelece uma sequência natural para estudarmos os diversos tópicos, começando pelos mais básicos e progredindo para os mais complexos. Entretanto, cabem duas ressalvas. A primeira, é que devemos estar conscientes de que o significado intuitivo de um conceito não necessariamente é esgotado por uma definição dada termos de outros conceitos - ou seja, podemos saber mais sobre alguma coisa do que somos capazes de expressar. A segunda ressalva é que não precisamos estudar a matemática numa sequência rígida de tópicos estabelecida por uma dada estruturação, pois nossa compreensão não necessariamente aumenta pari passu com a complexidade. No âmbito do ensino, isso significa que não é necessário esgotar um tópico mais básico para iniciar outro considerado mais avançado: as abordagens podem ser paralelas ou até mesmo numa ordem invertida, dependendo do modo como cada tópico é abordado.

Exemplo do que acabei de dizer: é verdade que não precisamos conhecer profundamente os números naturais para poder saber muitas coisas sobre os números reais, embora um conhecimento aprofundado dos números reais requeira um conhecimento básico dos números naturais, além do domínio de outros conceitos mais ou menos complexos. Além disso, há questões elementares sobre os números reais que não podem ser respondidas sem apelo a conceitos sofisticados, eventualmente localizados em posições posteriores numa sequência de tópicos originada de alguma estruturação da matemática!

4 - A matemática é a ciência dos padrões

Se a matemática é uma linguagem, quais são seus referentes3_{? Bem, embora possamos usar a}

matemática para descrever muitas coisas, atualmente entendemos que os referentes principais da matemática são padrões.

Devlin (1998; 2003) afirma que foi somente na segunda metade do Século XX que os matemáticos chegaram ao consenso sobre o que é matemática. Portanto, foram mais de 25 séculos de desenvolvimentos desde a Antiguidade Clássica (com Tales, Pitágoras e Eudoxo) até a consolidação de uma concepção abrangente e geralmente incontroversa.4 _{Segundo ele, a matemática é a ciência}

3 Aqui, referente significa, conforme o dicionário Houaiss, “o elemento do mundo extralinguístico, real ou imaginário, ao qual remete o signo linguístico, num determinado contexto sociocultural e de discurso”.

dos padrões:

“O que matemático faz é examinar 'padrões' abstratos - padrões numéricos, padrões de forma, padrões de movimento, padrões de comportamento, padrões dos votos numa população, padrões de eventos aleatórios repetidos, e assim por diante. Esses padrões podem ser reais ou imaginários, visuais ou mentais, estáticos ou dinâmicos, qualitativos ou quantitativos, puramente utilitários ou de interesse um pouco mais que recreacional. Eles podem surgir do mundo ao nosso redor, das profundezas do espaço e tempo, ou das atividades internos da mente humana.” (DEVLIN, 1998: p.3. Tradução nossa)5

Nessa concepção, as diversas áreas da matemática são naturalmente associadas às estruturas fundamentais do seu campo de estudo, por exemplo: a teoria dos números (incluindo a aritmética) estuda os padrões do processo de contagem e dos números; a geometria estuda os padrões de forma; o cálculo, os padrões de mudança; a lógica, os padrões do raciocínio; a teoria das probabilidades, os padrões dos fenômenos aleatórios; a topologia, os padrões da posição e da aproximação (DEVLIN, 1998: p.3). Em síntese: os padrões de uma estrutura matemática correspondem às propriedades dos elementos constitutivos dessa própria estrutura.

Resnik (1997) também defende que “o conhecimento matemático tem suas raízes no reconhecimento de padrões e representação, e que a manipulação de representações de padrões provê a conexão entre a prova matemática e a verdade matemática” (p.9, tradução nossa), e esclarece que “a idéia filosófica subjacente é que o assunto primário da matemática não são os objetos matemáticos individuais, mas sim as estruturas nas quais eles são organizados” (p.201, tradução nossa). Ele desenvolve uma teoria dos padrões a partir da qual “nós podemos resolver muito problemas ontológicos da matemática pela construção dos objetos matemáticos como posições em padrões” (p.9, tradução nossa).6

Para ilustrar, seguem dois exemplos bastante elementares de padrões matemáticos:

i) Os números inteiros possuem o padrão (relacionado à operação de adição) de que a ordem das parcelas não altera a soma de dois números:

Dados números inteiros a e b, a + b = b + a.

ii) Os polígonos na Geometria Euclideana possuem o padrão de que a soma dos ângulos internos de um triângulo é equivalente a um ângulo raso:

Se α, β e γ são os ângulos internos de um triângulo, então α + β + γ = π. Esses exemplos mostram duas coisas: primeiro, o caráter abstrato dos padrões matemáticos (mesmo no exemplo de padrão geométrico, ele não corresponde a uma regularidade ou simetria numa figura); em segundo lugar, há necessidade de haver uma estrutura para que possamos descrever

certo que isso já ocorreu ao longo da história, à medida em que a matemática foi agregando disciplinas distintas, particularmente a teoria dos números, a geometria, a análise e a álgebra.

5 “What the mathematician does is examine abstract 'patterns'—numerical patterns, patterns of shape, patterns of motion, patterns of behavior, voting patterns in a population, patterns of repeating chance events, and so on. Those patterns can be either real or imagined, visual or mental, static or dynamic, qualitative or quantitative, purely utilitarian or of little more than recreational interest. They can arise from the world around us, from the depths of space and time, or from the inner workings of the human mind.”

6 Resnik (1997) focaliza os fundamentos filosóficos da matemática, discutindo e refutando algumas abordagens históricas que pretenderam definir a natureza da matemática, dentre as quais: dedutivismo, formalismo, nominalismo e intuicionismo.

esses padrões (nos dois exemplos dados, estas estruturas são partes significativas da aritmética e a geometria).

Para o ensino da matemática, essa concepção nos leva a pensar que o professor deve sempre ensinar considerando o contexto amplo no qual os conceitos abordados estão inseridos. Um número (tal como o número 2) ou uma figura (tal como um triângulo) não são entes isolados, mas elementos de estruturas.

O professor que busca relacionar e integrar os diversos temas da matemática estudados com seus alunos estará realmente ensinando matemática, ao invés de apenas tópicos da matemática. Enfim, desse modo a compreensão de novos assuntos deve tornar-se cada vez mais fácil, já que

“o estudo matemático de qualquer fenômeno tem muitas similaridades com o estudo matemático de qualquer outro. Há uma simplificação inicial, na qual os conceitos chave são identificados e isolados. Então, esses conceitos são analisados em profundidade cada vez maior, na medida em que padrões relevantes são descobertos e investigados. Conecções com outras partes da matemática são reveladas ou suspeitas. A teoria é generalizada, levando a descoberta de mais similaridades - e conexões - com outras áreas da matemática.” (DEVLIN, 1998: p.337. Tradução nossa)7

Apêndice: frases para reflexão

"Devamos ou não combinar matemática com ciência, apresentando a primeira como parte dos esforços do homem para compreender e dominar seu mundo, estaremos dando aos estudantes razão válida historicamente e de atualidade para a grande importância do campo. Esta é também a razão primária da presença da matemática no currículo. Somos, portanto, obrigados a apresentar este valro da matemática. Qualquer coisa menor seria ludibriar os estudantes e privá-los do fruto de sua aprendizagem." (KLINE, 1976: p.179)

"A própria matemática não atrai e talvez não deva atrair noventa e oito por cento dos esteudantes. É um estudo esotérico, inteiramente intelectual em sua atração e falta-lhe a atração emocional de, digamos, música e pintura. O matemático criativo pode obter alguns valores emocionais tais como satisfação do ego, orgulho na realização e glória - valores, em todo caso, não muito nobres - mas o estudante não pode obter mesmo esses valores no estudo da matéria, ou, se pode, a força dessas emoções é leve. O desafio intelectual pode desperter algumas pessoas, mas dificilmente se poderiam refutar aqueles que afirmassem que os desafios de construir uma sociedade mais humana e conseguir líderes honestos são mais importantes. / Portanto, a motivação para o não-matemático não pode ser a matemática. (KLINE, 1976: p.181) "O treinamento de bons professores é muito mais importante que o currículo. Tais professores podem operar maravilhas com qualquer currículo. (...) Um professor medíocre e um currículo também medíocre ensinará mediocremente ao passo que um bom professor superará as deficiências de qualquer currículo." (KLINE, 1976: p.204)

7 “A mathematical study of any one phenomenon has many similarities to a mathematical study of any other. There is an initial simplification, in which the key concepts are identified and isolated. Then those key concepts are analyzed in greater and greater depth, as relevant patterns are discovered and investigated. There are attempts at

axiomatization. The level of abstraction increases. Theorems are formulated and proved. Connections to other parts of mathematics are uncovered or suspected. The theory is generalized, leading to the discovery of further similarities to — and connections with — other areas of mathematics.”

Referências

BOYER, Carl B.; MERZBACH, Uta C. (2010) A History of Mathematics - Third Edition. John Wiley & Sons: New Jersey, 2010.

COURANT, R., ROBBINS, H. (1996) What is Mathematics? An elementary approach to ideas and methods. Oxford University Press: New York and Oxford, 1996.

GALILEI, G. (1623). Il Saggiatore. Disponível em: < https://www.liberliber.it/online/autori/autori-g/galileo-galilei/il-saggiatore/ > Acessado em: 24/02/2018.

KLINE, Morris. (1976). Mathematics and the Search for Knowledge. Oxford University Press: New York, 1986.

KLINE, Morris. (1976). O Fracasso da Matemática Moderna. Ibrasa: São Paulo, 1976. LIMA, Elon L. (2003). Matemática e Ensino. SBM: Rio de Janeiro, 2003.

RESNIK, Michael D. (1997) Mathematics as a Science of Patterns. Oxford University Press, 2005.

DEVLIN, Keith. (1998) Language Mathematics: making the invisible visible. W.H. Freeman: New York, 1998.

DEVLIN, Keith (2003). Mathematics: The Science of Patterns: The Search for Order in Life, Mind and the Universe. Henry Holt, 2003. 216p.

MACHADO, Nílson J. (1990). Matemática e Língua Materna. Editora Cortez: São Paulo, 1990. MACHADO, Nílson J. (1987). Matemática e Realidade: das concepções às ações docentes. 8a. Edição. Editora Cortez: São Paulo, 1987.