Diagramas no Espaço de Parâmetros do Mapa Logístico Perturbado e sua Estabilidade

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Cap´ıtulo 4

Diagramas no Espa¸co de Parˆ

ametros

do Mapa Log´ıstico Perturbado e sua

Estabilidade

No cap´ıtulo 3, apresentamos o mapa Log´ıstico Perturbado analisando vários de seus fenômenos. Através de diagramas de retorno, estudo da evolu¸cão temporal, diagramas de bifurca¸cão e o cálculo do coeficiente de Lyapunov, nós analisamos a dinâmica do mapa Log´ıstico Perturbado. Vimos o aparecimento de diferentes atratores (que causa a crise de transferência), cruzamento de trajetórias nos diagramas de bifurca¸cão, crise de fron-teira para diferentes valores dos parâmetros e maneiras de se atingir o caos, diferentes da rota de Feigenbaum. Através de diagramas de bifurca¸cão, pudemos analisar cada um dos fenômenos descritos anteriormente. No entanto, não foi feita uma análise global do compor-tamento da equa¸cão (3.1), para diferentes valores tanto do parâmetro de controle b quanto do parâmetro perturbativo q. Para isso, vamos neste cap´ıtulo apresentar diagramas no espa¸co de parâmetros (b × q), descrevendo a dinâmica da equa¸cão (3.1) através da topologia destes diagramas [10]. Além disso, veremos determinadas estruturas presentes nestes diagramas que podem ser obtidas através da análise da estabilidade da equa¸cão (3.1) (o que faremos para o caso particular de t=2 e p=2). A forma dessas estruturas, como veremos adiante, também está condicionada a existência de diferentes atratores no mapa considerado.

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4.1 Diagramas no Espa¸co de Parˆ

ametros

Os diagramas de espa¸co de parâmetros têm sido muito utilizados para descrever processos que envolvem sistemas com mais de um parâmetro, como os apresentados nos trabalhos [31], [29], [30], [39].

Inicialmente, nós vamos estudar o mapa (3.1) verificando os valores de b e q para os quais este mapa apresenta uma atrator não finito ou finito (ver tabela da se¸cão 3.4). Neste último caso, identificaremos situa¸cões para as quais o mapa é per´ıodico ou caótico.

Estes diagramas são feitos considerando-se, no nosso caso, um t fixo, e intervalos de varia¸cões dos parâmetros b e q [10]. Em seguida divide-se estes intervalos por um número m qualquer, no nosso caso m = 500, gerando 500 valores para cada um dos parâmetros.

Montamos então uma figura na qual o eixo das abscissas corresponde aos 500 valores de q e o eixo das ordenadas aos 500 valores de b. Assim, cada ponto desta figura representa um par de valores (q,b) que será usado para a itera¸cão do mapa (3.1).

Assim, consideramos um t fixo e uma condi¸cão inicial fixa X0, e iteramos o mapa (3.1) considerando o par de valores (q,b), para um número de itera¸cões consideradas razoáveis que no nosso caso é 5000, sendo que os 3000 primeiros pontos nós não consideramos (transiente). Para este conjunto de dois mil pontos, nós calculamos o coeficiente de Lyapunov e, então, marcamos no diagrama de parâmetros, um ponto com uma determinada cor, indicando se a trajetória é caótica ou periódica, para aquele par de parâmetros.

Consideramos a cor preta para indicar comportamento caótico, a cor branca para indicar comportamento periódico e a cor cinza para atratores não finitos (apêndice B).

As figuras 4.1 e 4.2 são exemplos destes tipos de diagramas obtidas para t=5 e t=2, res-pectivamente, e X0 = 0, 20. À primeira vista, podemos perceber que, para algumas regiões, a parte caótica está separada da parte de atratores não finitos por uma linha imaginária, cuja equa¸cão é dada pela condi¸cão (3.7).

Como mencionado na se¸cão 2.5 do cap´ıtulo 3, quando esta condi¸cão é satisfeita pode ocorrer crise de fronteira que destrói a bacia do atrator caótico. Acima desta linha imaginária, ou seja, quando a condi¸cão (3.8) é satisfeita, a possibilidade de ocorrência de um atrator não finito já existe. Sempre que a condi¸cão (3.8) for satisfeita, pode haver um atrator não finito desde que a trajetória atinja a região dada pela equa¸cão (3.9) e δn,t=0.

Outra caracter´ıstica deste mapa é o comportamento ligado ao fato do per´ıodo da per-turba¸cão ser par ou ´ımpar. Como pode-se ver na figuras 4.1 e 4.2, os diagramas são es-truturalmente diferentes. O formato de cada um dos diagramas se conserva para diferentes

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4.1 Diagramas no Espa¸co de Parˆametros 53 0,00 0,10 0,20 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 q b

Figura 4.1: Diagrama no espa¸co dos parâmetros, para t=5 e X0=0,20. Pontos em preto, branco e cinza representam, respectivamente, atratores caóticos, periódicos e não finitos. valores de t, dependendo de sua paridade.

Considerando diagramas com valores crescentes de t, a mudan¸ca básica observada é que, quanto maior o valor de t, menos densa é a parte caótica da figura para valores de b menores do que b = 3, 569 . . .. Isso é devido ao fato de que, quanto maior t, a dinâmica do mapa (3.1) é cada vez mais parecida com a dinâmica do mapa (2.1).

O mapa Log´ıstico Perturbado, como mencionado no cap´ıtulo anterior, apresenta dife-rentes bacias de atra¸cão. Isso significa que, para difedife-rentes condi¸cões iniciais, a trajetória irá para diferentes atratores. Dessa maneira, devemos supor que esses diagramas devem ter sua estrutura alterada para diferentes valores da condi¸cão inicial. E é exatamente o que se verifica, quando mudamos a condi¸cão inicial.

Na figura 4.3, estão dois diagramas para duas condi¸cões iniciais diferentes, X0=0, 20 (figura 4.3A) e X0=0, 3 (figura 4.3B). Em (A), podemos ver uma região, dentro da área onde pode haver atrator não finito, onde aparecem os comportamentos caótico e periódico. Isso acontece porque a condi¸cão inicial, X0=0, 20, faz parte de uma bacia de atra¸cão na qual a

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0,00 0,10 0,20 2,80 3,05 3,30 3,55 3,80 q b

Figura 4.2: Diagrama no espa¸co dos parâmetros, para t=2 e X0=0,20. Pontos em preto, branco e cinza representam, respectivamente, atratores caóticos, periódicos e não finitos. trajetória nunca visita o intervalo (3.9), ou, quando a visita, δn,t= 0 (ver tabela 3.1).

Em algumas regiões em que a trajetória é caótica, aparecem lacunas brancas (casos periódicos), que apresentam uma forma que se repete, como é o caso da figura 4.2 na parte inferior esquerda.

Para estudar estas estruturas precisamos analisar com mais detalhes as regiões periódicas. Assim, iremos trabalhar com um novo tipo de diagrama denominado de isoperiódico [29] e [30], no qual marcaremos as regiões periódicas, identificando os poss´ıveis per´ıodos p do mapa (3.1), o que será feito na próxima se¸cão.

4.2 Diagramas Isoperi´

odicos

Nos diagramas isoperiódicos consideram-se apenas as regiões periódicas dos diagramas no espa¸co de parâmetros. No entanto, algumas vezes assinalaremos nos diagramas isoperiódicos também as regiões caóticas.

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4.2 Diagramas Isoperi´odicos 55 0,079 0,081 0,083 0,085 3,675 3,685 3,695 3,705 q b (A) 0,0790 0,0810 0,0830 0,0850 3,675 3,685 3,695 3,705 q (B) b

Figura 4.3: Diagramas no espa¸co dos parâmetros, para t=2. Em (A) X0=0,20 e em (B) X0=0,3. Pontos em preto, branco e cinza representam, respectivamente, atratores caóticos, periódicos e não finitos.

Assim, na figura 4.4, vemos um diagrama no espa¸co de parâmetros onde estão indicadas as regiões caóticas (cor preta), atratores não finitos (cor vermelha) e periódicas. Além de termos considerado diferentes cores para cada valor do per´ıodo p, indicamos na figura o valor p do per´ıodo.

Como esta figura foi feita para t=3 (´ımpar), a estrutura dela é semelhante à da figura 4.1. No entanto, como a figura 4.4 é feita para um t menor do que o da figura 4.1, a parte caótica é mais densa.

As regiões periódicas desta figura se assemelham a camarões, segundo terminologia in-troduzida nas referências [29], [30]. Essas regiões, ou ilhas, em geral aparecem entre regiões caóticas.

Supondo uma linha imaginária, na figura 4.4 posicionada em b ∼= 3, 18, podemos ver uma poss´ıvel rota para o caos, considerando-se um aumento do parâmetro q, cuja sequência de bifurca¸cões é p=6,12,24,...,caos,...24,12,3. Neste caso, podemos ver bifurca¸cões de per´ıodo e também cascatas inversas. Outras rotas podem ser identificadas considerando-se não apenas varia¸cões em um só parâmetro, mas tanto em b quanto em q.

Podemos indagar sobre uma poss´ıvel regra no posicionamento das ilhas de per´ıodo p. Para esclarecer isso, faremos duas amplia¸cões de áreas desta figura, indicadas pelos retângulos. Com isso, obtemos as figuras 4.5 e 4.6.

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0,00 0,10 0,20 2,8 4,0 3,2 3,4 3,6 3,8 q b 3 3 6 6 9 9 9 9 3 6 12 12 12 3 6 3 6 24 18 18 3,0

Figura 4.4: Diagrama no espa¸co de parâmetros para t=3 e X0=0,20. Pontos pretos e verme-lhos representam, respectivamente, atratores caóticos e não finitos. Outras cores representam os atratores periódicos de per´ıodo indicado na figura.

Na figura 4.5 notamos que as ilhas, de mesmo per´ıodo p, aparecem sempre alinhadas a uma reta b = F q + G, onde F é a inclina¸cão da reta, G uma constante e b e q são os parâmetros da equa¸cão (3.1).

Há regiões neste diagrama em que podemos aplicar as constantes de Feigenbaum no estudo das duplica¸cões de per´ıodo. No entanto isso não é verdade para todas as regiões.

Uma outra caracter´ıstica importante da estrutura topológica deste diagrama é que ele não é fractal. Na figura 4.6 podemos ver que não aparecem novas ilhas periódicas de per´ıodo k, dentro de ilhas periódicas de per´ıodo k’, caracter´ıstica de uma geometria fractal [5]. Ao contrário, as ilhas de per´ıodo k e k’ aparecem paralelamente (figura 4.5).

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4.3 Diagrama no Espa¸co de Parˆametros para t Grande 57 0,00 0,02 0,04 3,50 3,65 3,60 3,55 q b 3 6 12 6 12 6 12 12 24 6 12 9 18 18 18 18 15 15 12 12 24

Figura 4.5: Diagrama isoperiódico para t=3 e X0=0,20. Os números indicam o per´ıodo da órbita periódica.

4.3 Diagrama no Espa¸co de Parˆ

ametros para t Grande

Mostramos na figura 4.7 as regiões caóticas para quatro valores de t: t=7 em (A); t=8 em (B); t=9 em (C) e t=10 em (D). Nessas figuras, vemos a semelhan¸ca da forma das regiões caóticas, para valores de t par ou ´ımpar, o que pode ser identificado comparando a semelhan¸ca das figuras (A) e (B) (com t ´ımpar e par respectivamente) com as figuras (C) e (D). Outra caracter´ıstica é que quanto maior t menos densa é a região caótica.

Analisando os diagramas isoperiódicos, mostrados na figura 4.8, referentes aos mesmos parâmetros usados na figura 4.8, vemos que ao passo que as regiões caóticas se tornam menos densas para um aumento em t, as regiões periódicas se tornam mais densas, em especial as regiões correspondentes a valores do per´ıodo p próximo do valor de t. Assim, vemos que as regiões para p=t e p=2t passam a representar uma área maior no diagrama ao passo que t aumenta. Nota-se nesses diagramas isoperiódicos que a forma das regiões periódicas, de per´ıodo p, são semelhantes para diagramas com t ´ımpar, ou par.

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q b 3 6 12 12 12 24 24 9 9 18 18 9 15 15 15 9 12 36 3 3 6 18 3,50 3,40 3,30 3,20 0,084 0,094 0,104 0,114 0,122

Figura 4.6: Diagrama isoperiódico para t=3 e X0=0,20. Os números indicam o per´ıodo da órbita periódica.

4.4 Estrutura dos Diagramas no Espa¸co de Parˆ

ametros

para Amplitudes Negativas (q < 0)

Quando consideramos uma perturba¸cão q negativa, uma mudan¸ca drástrica acontece na forma dos diagramas isoperiódicos. Na figura 4.9 temos um diagrama para t=3 onde podemos ver que a região caótica, que para uma perturba¸cão positiva (figura 4.4) preenchia grande parte do diagrama, para uma perturba¸cão negativa preenche uma parte menor do diagrama. Além disso a região caótica, para q < 0, parece ter se deslocado para a parte superior do diagrama.

Esse deslocamento pode ser facilmente entendido através da análise da condi¸cão para a ocorrência da crise de fronteira. A condi¸cão (3.7), para q < 0, fica

b

4 − q = 1, 0. (4.1)

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4.5 Bacias de Atra¸c˜ao 59 0,0 1,0 2,0 3,0 2,8 3,3 3,8 q b b q (A) (B) (C) (D)

Figura 4.7: Diagrama no espa¸co de parâmetros, mostrando as regiões caóticas. A condi¸cão inicial nos quatro diagramas é X0=0,20 e t=7 (A), t=8 (B), t=9 (C) e t=10 (D).

de acontecer, j´a que a perturba¸c˜ao, caso o ponto tenha sa´ıdo do intervalo (3.2), tende sempre a fazer com que o ponto retorne a esse intervalo.

Todos os outros fenômenos observados nos diagramas isoperiódicos para q positivo estão presentes para diagramas obtidos para q negativo. No entanto a estrutura dos dois tipos de diagramas não é simétrica através da mudan¸ca de sinal da perturba¸cão.

4.5 Bacias de Atra¸c˜

ao

Iremos agora analisar as consequências da existência de diferentes bacias de atra¸cão da equa¸cão (3.1). Para isso, montamos dois diagramas isoperiódicos para t=2, usando difentes condi¸cões iniciais.

Esses dois diagramas podem ser vistos nas figuras 4.10A (obtida usando-se X0=0, 20) e a figura 4.10B (obtida usando-se X0=0, 45). Nestas figuras somente os per´ıodos cujas regiões são densas estão indicados (p=2, 4, 8, 9, 18). No entanto nos interessam somente as regiões

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0,0 1,0 2,0 3,0 7 14 7 q b b q 8 8 16 9 9 18 10 10 20 2,8 3,3 3,8 (A) _(B) (C) (D)

Figura 4.8: Diagrama isoperiódico para t=7 (A), t=8 (B), t=9 (C) e t=10 (D). A condi¸cão inicial usada nos quatro diagramas é X0=0,20.

com p=2, 4, 8.

Como vemos em (A), a região de per´ıodo p=2 (a “ilha” de per´ıodo p=2) aparece princi-palmente em duas regiões do diagrama, separadas por um “mar” caótico que também isola as ilhas de per´ıodo p=4 e p=8. A ilha de per´ıodo p=2, localizada na parte superior direita do diagrama, atinge a região onde é poss´ıvel a ocorrência de crise de fronteira (condi¸cão 3.8) e consequentemente a região onde podem existir atratores não finitos. No entanto, essa ilha de per´ıodo p=2 sobrevive à existência do atrator não finito até atingir as proximidades do ponto d, indicado na figura 4.10A. A partir da´ı, surge o atrator não finito, que pode ser identificado no diagrama isoperiódico por causa das lacunas neste.

Analisando o diagrama 4.10B, vemos que o mar caótico, que antes dividia a região periódica de p=2 em duas ilhas, não está presente (isso não quer dizer que ele não exista). Além disso, a ilha resiste por mais tempo à existência do atrator não finito, persistindo até depois da região marcada pelo ponto d em (A).

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4.6 An´alise da Estabilidade para t=2 e p=2 61 0,00 -0,05 -0.10 -0.15 -0.20 3,20 3,40 3,60 3,80 4,00 q b 4 4 8 8 12 12 12 12 12 8 8 8 8 8 8 8 1632 32₁₆ 32 4 8

Figura 4.9: Diagrama no espa¸co de parâmetros, para q ≤ 0, para t=3 e X0=0,20. Pontos pretos e vermelhos representam, respectivamente, atratores caóticos e não finitos. Outras cores representam os atratores periódicos de per´ıodo indicado na figura.

a ilha de per´ıodo p=2 da figura 4.10B tem sua bacia de atra¸c˜ao transferida para a bacia do mar ca´otico da figura 4.10A.

Faremos na próxima se¸cão uma análise detalhada de como as ilhas de per´ıodo p=2 perdem ou ganham estabilidade a fim de podermos estudar a geometria por trás desses diagramas.

4.6 An´

alise da Estabilidade para t=2 e p=2

Para estudar a estabilidade das ilhas de mesmo per´ıodo (ilhas isoperiódicas), devemos resolver a equa¸cão (3.5). Para valores grandes de p e t, temos uma equa¸cão com um polinômio de grau grande o que dificulta a nossa análise. Assim, por simplicidade, estudaremos o caso no qual t=2 e p=2.

Para tanto, devemos analisar a estabilidade das trajetórias periódicas (com p=2) da equa¸cão (3.1). Usando a equa¸cão (3.5), a equa¸cão que nos dá os pontos periódicos de p=2 é

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0,10 0,20 2,80 3,20 3,60 4,0 q b 2 2 2 ₂ 4 4 4 4 8 8 6 16 8 (A) 8 12 a b c d 0,10 0,20 2,80 3,20 4,00 3,60 q b 2 2 2 2 2 4 4 44 4 4 8 8 6 12 8 8 8 (B)

Figura 4.10: Diagrama isoperiódico para t=2. Em (A) X0=0,20 e em (B) X0=0,45. Os números indicam o per´ıodo da órbita periódica.

F2(Xn) + q = Xn. (4.2)

Portanto, com esta equa¸cão, é poss´ıvel obter quatro pontos reais ou complexos que dão a posi¸cão dos pontos fixos da trajetória de per´ıodo p=2. De (4.2) obtemos

−b3 Xj∗4 + 2b3 Xj∗3 − (b3 + b2 )Xj∗2 + (b2 − 1)Xj∗_{+ q = 0,} _(4.3) cuja solu¸c˜ao s˜ao os pontos desejados.

Entretanto, somente as solu¸cões reais e estáveis da equa¸cão (4.3) são relevantes para a obten¸cão dos diagramas isoperiódicos. Assim, para um ponto fixo Xj∗ _{ser estável, a seguinte} condi¸cão deve ser satisfeita

∂F2 (X) ∂X |x→xJ ∗ <1, 0. (4.4)

No caso aqui considerado, para t=2 e p=2, haverá nenhum, um ou dois pontos fixos estáveis (X2∗_{e X}4∗_{), dependendo dos parâmetros b e q. Com respeito às outras duas solu¸cões,} uma (X1∗_{) não satisfaz a condi¸cão (4.4) e não faz parte do atrator finito. O outro ponto}

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4.6 Análise da Estabilidade para t=2 e p=2 63 (X3∗_{) nunca satisfaz a condi¸cão (4.4) e, portanto, é sempre instável, como pode ser visto nas} figuras 4.12 - 4.15.

A existência de mais de um ponto fixo estável de per´ıodo p=2 explica a existência de mais de uma bacia de atra¸cão para atratores de per´ıodo p=2.

Tomamos agora 150 valores de b e 150 valores de q, para o mesmo intervalo dos parˆametros da figura 4.10. Para cada um desses valores, determinamos a estabilidade dos pontos fixos X2∗ _{e X}4∗_{, usando a condi¸c˜ao (4.4).}

Sabemos que, se há um ponto fixo estável de per´ıodo p=2 para determinado par de parâmetros (q,b), então há a possibilidade da equa¸cão (3.1) apresentar uma órbita com esse per´ıodo. Dependendo somente, para isso, da condi¸cão inicial.

Marcamos (figura 4.11), num diagrama de parâmetros (q,b), todos os pontos para os quais a equa¸cão (4.3) apresenta pelo menos um ponto fixo estável de per´ıodo p=2.

Assim, nesta figura as regiões em branco são aquelas em que a equa¸cão (3.1) não apresenta nenhum ponto fixo de per´ıodo p=2 estável. As região onde há pontos representam valores de q e b , para os quais a equa¸cão (3.1) pode apresentar um atrator periódico de per´ıodo p=2. Indicamos na figura três regiões nas quais podem haver, um ou dois pontos fixos periódicos. Embora a figura 4.11 tenha menos precisão (150x150) do que a da figura 4.10 (500x500), podemos dizer que as ilhas periódicas de p=2, da figura 4.10, só podem existir nas regiões da figura 4.11 para as quais existe pelo menos um ponto fixo de per´ıodo p=2 estável.

Devemos salientar que esta figura foi obtida graficando-se pontos de coordenada (q,b) para os quais a equa¸cão (4.4) apresentava pontos fixos de per´ıodo p=2 estáveis, enquanto que a figura 4.10 foi obtida iterando-se a equa¸cão (3.1).

Vimos que a análise da estabilidade de pontos fixos pode descrever a geometria das ilhas isoperiódicas no diagrama no espa¸co de parâmetros. No entanto, um diagrama como o da figura 4.11 descreve as poss´ıveis regiões em que a equa¸cão (3.1) pode apresentar ilhas de per´ıodo p=2. Para saber quais foram as causas do diagrama isoperiódico assumir a forma que podemos ver na figura 4.10A, vamos analisar quatro pontos, indicados na figura pelas letras a,b,c,d.

Para cada um destes pontos (com coordenadas (q,b)) nós estudamos suas bacias de atra¸cão e a estabilidade das solu¸cões (os pontos fixos) obtidas através da equa¸cão (4.3). Para isso, nós fizemos dois tipos de figuras (figuras 4.12 - 4.13).

Cada parte (A) das figuras 4.12 até 4.15 mostra a dependência de três diferente fun¸cões em rela¸cão à posi¸cão X. Assim, a linha preta representa o valor da fun¸cão no lado esquerdo da equa¸cão (4.2), para cada um dos quatro pontos escolhidos na figura 4.10. A linha cinza

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X X ,X X 0,00 0,05 0,10 0,15 3,00 3,20 3,40 3,60 q b 2* 2* 4* 4*

Figura 4.11: Regiões estáveis dos pontos fixos de per´ıodo p=2, X2∗ _{e X}4∗_{, no diagrama do} espa¸co de parâmetros para t=2.

representa a fun¸cão identidade e a linha pontilhada representa o valor da fun¸cão no lado esquerdo da condi¸cão (4.4), que é a derivada da fun¸cão representada pela linha preta em rela¸cão à X. Portanto, na parte (A) destas figuras, os pontos fixos, Xj∗_{, podem ser localizados} pelo cruzamento da linha preta com a linha cinza (fun¸cão identidade). Para verificar se este ponto fixo Xj∗ _{é estável ou instável, nós só necessitamos olhar para a linha pontilhada} e verificar seu valor indicado no eixo vertical. Caso o ponto seja estável, então a fun¸cão representada pela linha pontilhada deve ter valor menor que 1,0 e maior que -1,0 e portanto pode ser vista na figura. Caso o ponto seja instável, então a fun¸cão tem valor maior que 1,0 ou menor que -1,0 e portanto não pode ser vista na figura, já que o eixo das ordenadas do gráfico está compreendido no intervalo [-1,0, 1,0].

A outra parte destas figuras (B) representa o atrator de (3.1), para os mesmos parâmetros q e b considerados na parte (A), isto é, os valores Xn da orbita (depois do transiente) para cada condi¸cão inicial X0 indicada no eixo das abscissas. Então, nestas figuras, é poss´ıvel identificar as bacias de atra¸cão dos atratores da equa¸cão (3.1).

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4.6 An´alise da Estabilidade para t=2 e p=2 65 x * x * x * x * X2*=0,4965 X4*=0,8369 E E 2 4 _(A) (B) 1 2 3 4 X X₀ X 0,00 0,20 0,50 0,75 1,00 0,00 F (x)+q F (x)’ 2 2 0,20 0,50 0,75 1,00 0,0 0,5 1,0 0,0 -1,0 1,0

Figura 4.12: (A) Solu¸cão gráfica da equa¸cão 4.2, para b=3,3 e q=0,02 (ponto a da figura 4.10A), mostrando dois pontos fixos estáveis, X2∗_{e X}4∗_{. A fun¸cão graficada com linha} ponti-lhada representa a derivada da equa¸cão 4.10A. (B) Atratores do mapa Log´ıstico Perturbado para os mesmos parâmetros de (A) e diferentes condi¸cões iniciais, mostrando as bacias de atra¸cão dos dois pontos fixos. Nestas figuras t=2.

O mapa Log´ıstico Perturbado, iterado para os parâmetros correspondentes indicados pela letra a na figura 4.10, tem dois pontos fixos periódicos e estáveis (X2∗ _{e X}4∗_{) indicados na} figura 4.12A. Nesta figura, as bacias de atra¸cão desses dois pontos fixos estáveis podem ser identificadas pela linha grossa preta e pela linha normal preta, respectivamente. Essas linhas mostram o conjunto de condi¸cões iniciais para os quais a equa¸cão (3.1) atinge um atrator ou outro. Os dois poss´ıveis atratores podem ser vistos na figura 4.12B.

Similarmente, para o ponto b, na figura 4.10, nós obtemos a figura 4.13 com somente um ponto fixo (X2∗_{) de per´ıodo p=2 estável. Entretanto, neste caso, há também um atrator} caótico. As bacias de atra¸cão desses dois atratores são mostradas nesta figura e os corres-pondentes valores Xn obtidos através da itera¸cão da equa¸cão (3.1) são mostrados em (B).

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(A) (B) x * x * F (x)+q F (x)’2 2 E x * 0,00 X2*=0,4529 0,50 0,75 0,25 1,00 X₀ x * 2 1 3 4 0,0 0,5 1,0 2_-1,0 0,0 1,0 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 X X

Figura 4.13: (A) Solu¸cão gráfica da equa¸cão 4.2, para b=3,5 e q=0,05 (ponto b da figura 4.10A), mostrando o ponto fixo estável X2∗_{. A fun¸cão graficada com linha pontilhada} re-presenta a derivada da equa¸cão 4.10A. (B) Atratores do mapa Log´ıstico Perturbado para os mesmos parâmetros de (A) e diferentes condi¸cões iniciais, mostrando as bacias de atra¸cão do ponto fixo e do atrator caótico. Nestas figuras t=2.

fazer parte da bacia de atra¸cão do ponto fixo X2∗_{, ou seja uma bacia foi transferida para} a outra devido a uma crise de transferência. Embora estejamos comentando a crise, ela não aconteceu exatamente neste valor dos parâmetros, representado na figura 4.10 pela letra c. No entanto, mostramos esse caso como um exemplo do que acontece com as bacias de atra¸cão quando acontece a crise de fronteira.

Finalmente, para o ponto d da figura 4.10, a equa¸cão (3.1) apresenta somente um ponto fixo, X2∗_{. Entretanto, neste caso, em que os valores de b e q satisfazem a rela¸cão (3.8), há} também um atrator não finito. Assim, são mostrados na figura 4.15 o atrator X2∗_{e sua bacia} de atra¸cão. Além disso, são mostrados os valores de X0 para os quais o atrator é não finito. Esses valores iniciais são tais que dirigem a trajetória para o intervalo (3.9) representado na figura por uma linha preta e grossa. Outras regiões que vão dirigir a trajetória para este

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4.6 An´alise da Estabilidade para t=2 e p=2 67 x * x * x * x * F (x)’ F (x)+q2 2 (A) E (B) 1 2 X2*=0,4849 3 4 X₀ 0,00 2 0,25 0,50 0,75 1,00 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 0,0 0,5 1,0 -1,0 0,5 1,0 X

Figura 4.14: (A) Solu¸cão gráfica da equa¸cão 4.2, para b=3,5 e q=0,1 (ponto c da figura 4.10A), mostrando o ponto fixo estável, X2∗ _{e sua bacia de atra¸cão que compreende todo o} intervalo de condi¸cões iniciais (B). Nestas figuras t=2.

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x * x * x * x * F (x)’ F (x)+q2 2 E X₀ X2* (A) 0,00 0,25 0,50 0,75 (B) 1 2 3 4 2 0,0 0,5 1,0 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,00 X X

Figura 4.15: (A) Solu¸cão gráfica da equa¸cão 4.2, para b=3,55 e q=0,125 (ponto d da figura 4.10A), mostrando as regiões onde o mapa Log´ıstico perturbado tem um atrator estável X2∗ e não limitado. Em (B), lacunas vazias correspondem à condi¸cões iniciais para as quais o atrator não é limitado. Nestas figuras t=2.