Assessoria de 2008 ATEMÁTICA SPE

(1)

EDITORIAL

Caros colegas:

É com grande satisfação que estamos enviando, por e-mail, aos professores

das escolas conveniadas com o Sistema de Ensino Positivo, uma edição extra do

Jornal da Matemática em comemoração às 20 edições anteriores. Nessa edição,

contemplamos e resgatamos todos os desafios propostos nos jornais da 1.ª a 20.ª

edição.

Esperamos ter colaborado com o trabalho em sala de aula.

Abraços e até a próxima edição do Jornal da Matemática em 2009!

Assessoria de Matemática

Anvimar Gasparello

agasparello@positivo.com.br

Carlos Henrique Wiens

cwiens@positivo.com.br

Isabel Lombardi

ilombardi@positivo.com.br

Paulo César Sanfelice

psanfelice@positivo.com.br

Vera Petronzelli

vpetronzelli@positivo.com.br

Tel.: 0800-725-3536

Home Page:

www.portalpositivo.com.br/spe/matematica

EXTR A

2 0 0 8

ATEMÁTICA

Assessoria de

(2)

DESAFIO Nº 1

Dizem que um homem pediu um milagre para Santo Antônio:

- Multiplique por dois o dinheiro que tenho que dou R$ 20,00 para obras

de caridade.

O milagre aconteceu e o homem pagou a promessa. Achou tão bom que

pediu o mesmo milagre para São João. De novo o milagre aconteceu e, outra

vez, o homem doou R$ 20,00 para as obras de caridade. Então pediu o milagre

para São Pedro. Novamente seu pedido foi atendido e ele doou R$20,00.

Mas, com muita surpresa, o homem constatou que tinha ficado sem

dinheiro.

Quantos reais o homem tinha no início da história?

RESPOSTA:

Chamando de “x” o dinheiro que o homem possuia antes do milagre de Santo Antônio e de “y” o dinheiro com o qual ele ficou após seu patrimônio ter dobrado e ter feito a doação de R$ 20,00. Temos então que: 2x – 20 = y

Agora “y” representa o dinheiro que o homem possuia na segunda vez e “z” o dinheiro que ele tinha após São João ter realizado o milagre e o homem ter doado os R$ 20,00.

Temos então que: 2y – 20 = z

Agora “z” representa o dinheiro que o homem possuia na segunda vez e “w” o dinheiro que ele tinha após São Pedro ter realizado o milagre e o homem ter doado os R$ 20,00, ou seja, R$ 0,00.

Temos então que: 2z – 20 = w 2z – 20 = 0 2z = 20 z = 10 Se z = 10, temos: 2y – 20 = 10; 2y = 30 y = 15 Se y = 15, temos: 2x – 20 = 15 2x = 35 x = 17,50

Sendo assim, o homem tinha no início da história R$ 17,50.

DESAFIO N

o

2 Um senhor, vendedor de ovos, negociou os últimos ovos à 3 compradores.

Para um deles, ele venderia metade do total de ovos, mais meio ovo. Para

outro, ele venderia metade dos ovos restantes mais meio ovo e para o terceiro

comprador ele venderia a metade dos ovos restantes mais meio ovo. Assim,

acabariam todos os ovos. Se o senhor realizou todas as vendas, sem quebrar

nenhum ovo, quantos ovos ele negociou?

(3)

RESPOSTA: Início: x ovos 1º comprador: x/ 2 + 0,5 Restaram: x - (x/ 2 + 0,5) = x/ 2 - 0,5 2º comprador: (x/ 2 - 0,5) / 2 + 0,5 = x/ 4 + 0,25 Restaram: x/2 - 0,5 - (x/ 4 + 0,25) = x/ 4 - 0,75 3º comprador: (x/ 4 - 0,75) / 2 + 0,5 = x/ 8 + 0,125 Como todos os ovos foram vendidos:

x = x/ 2 + 0,5 + x/ 4 + 0,25 + x/ 8 + 0,125 8x = 7x + 7

x = 7 ovos

Ele negociou 4 ovos com o 1º comprador, 2 ovos com o 2º comprador e 1 ovo com o 3º comprador, totalizando 7 ovos.

DESAFIO N

o

3 Uma caixa d’água tem o espaço interno na forma de um cubo com 1 metro de

aresta. Retira-se um litro de água dessa caixa. Conseqüentemente o nível da

água baixa. De quantos milímetros baixa esse nível?

RESPOSTA:

Lembrar: 1m = 10 dm, 1 dm3 = 1 litro e 1 dm = 100 mm V = volume de água deslocado igual a 1 litro.

h = quanto baixou o nível da água.

O volume de água retirado (1 litro) corresponde ao volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões 10 dm, 10 dm e h dm. Como o volume de um paralelepípedo retângulo corresponde ao produto das suas dimensões, temos:10 . 10 . h = 1 ⇒_{100 . h = 1}⇒_{h = 0,01 dm ou 1 mm}

DESAFIO N

o

4 Existem 9 números de um algarismo, 90 de dois algarismos, 900 números de

três algarismos, etc. Pense agora em números que tenham o último algarismo

da direita representando o total de algarismos dos números. Por exemplo o

número 9074. O algarismo 4 indica o número de algarismos que compõem

esse número. Quantos números desse tipo existem?

(4)

RESPOSTA:

Números com 1 algarismo e que tenham o algarismo 1 no final: Apenas o 1

Total: 1 número

Números com 2 algarismos e que tenham o algarismo 2 no final: Temos o 12, 22, 32, 42,52,62,72,82,92

Total : 9 números

Números com 3 algarismos e que tenham o algarismo 3 no final: Temos o 103, 113, 123, 133, 143, 153, 163, 173, 183, 193, 203, 213, 223, 233, 243, 253, 263, 273, 283, 293, ....

903, 913, 923, 933, 943, 953, 963, 973, 983, 993 Total : 90 números

Números com 4 algarismos: 900 números Números com 5 algarismos: 9 000 números Números com 6 algarismos: 90 000 números Números com 7 algarismos: 900 000 números Números com 8 algarismos: 9 000 000 números Números com 9 algarismos: 90 000 000 números

Logo 90 000.000 + 9 000 000 + 900 000 + 90 000+ 9 000 + 900 + 90 + 9 + 1 = 100 000 000

DESAFIO N

o

5 SUA MENTE É CAPAZ DE DECODIFICAR A MENSAGEM?

M473M471C0 (53N54C1ON4L):

4S V3235 3U 4C0RD0

M310 M473M471C0.

D31X0 70D4 4 4857R4Ç40 N47UR4L D3 L4D0

3 M3 P0NH0 4 P3N54R 3M NUM3R05,

C0M0 53 F0553 UM4 P35504 R4C10N4L.

540 5373 D1550, N0V3 D4QU1L0...

QU1N23 PR45 0NZ3...

7R323N705 6R4M45 D3 PR35UNT0...

M45 L060 C410 N4 R34L

3 C0M3Ç0 4 F423R V3R505

H1NDU-4R481C05

RESPOSTA: Matemática Sensacional Às vezes eu acordo meio matemático. Deixo toda a abstração de lado e me ponho a pensar em números, como se fosse uma pessoa racional.

(5)

São sete disso, nove daquilo... quinze pras onze... trezentos gramas de presunto...

mas logo caio na real e começo a fazer versos

hindu-arábicos

DESAFIO N

o

6 Quatro pessoas são interrogadas pela polícia, sob suspeita de terem cometido

um roubo.

-

Eu não fui, diz Eduardo.

-

Foi o Fábio, afirma Heitor.

-

Foi o Paulo, garante Fábio.

-

O Heitor está mentindo, diz Paulo.

Sabendo que somente um deles mentiu e que somente um deles cometeu o

roubo, quem é o ladrão?

Explique sua resposta.

RESPOSTA:

Quem mentiu foi Heitor e o ladrão é Paulo.

DESAFIO N

o

7 Quando a forma a seguir for dobrada de modo a formar um cubo, qual dos

cubos (A, B, C, D ou E) ela irá resultar?

(6)

Retirado do livro Treinando seu cérebro: centenas de jogos e passatempos para exercitar sua mente. - Rio de Janeiro: Reader’s Digest, 2002.

RESPOSTA:

A figura A não pode ser a correta, pois, apesar da face com a circunferência branca ser adjacente à face com triângulos (branco e preto), deve estar ligada ao triângulo preto e não ao triângulo branco.

A figura B não pode ser a correta, pois na perspectiva que é apresentada, a face com retângulos (branco e preto) deveria ser inferior e não superior como aparece.

A figura C não pode ser a correta, pois a face com as diagonais traçadas é oposta à face com a circunferência preta e não adjacente, como mostrada nessa perspectiva.

Não pode ser a figura E, pois a face com quadradinhos (dois pretos e dois brancos) é oposta à face com a circunferência branca e não adjacente, como mostrada nessa perspectiva.

Então, por eliminação só pode ser a figura D.

DESAFIO Nº 8

PENTAMINÓS

Observe os diferentes modelos de pentaminós e, em seguida, utilizando-se de

todas as peças, construa:

(7)

-

uma estrutura que apresente internamente apenas uma figura vazada e na forma

retangular ou

-

um retângulo que apresente internamente apenas uma figura vazada (qualquer

forma) ou

-

um retângulo que apresente internamente apenas uma figura vazada e na forma

retangular.

Obs.: As figuras são apenas ilustrativas.

RESPOSTA:

DESAFIO Nº 9

Encontre três números formados por três algarismos, de modo que:

2ª construção: Um retângulo que apresenta internamente apenas uma figura vazada.

3ª construção: Um retângulo que apresenta internamente apenas uma figura vazada e na forma retangular.

1ª construção: Uma estrutura que apresenta internamente apenas uma figura vazada e na forma retangular.

(8)

- os três números sejam consecutivos;

- o primeiro número seja múltiplo de 7;

- o segundo número seja múltiplo de 9;

- e, o terceiro número seja múltiplo de 11.

RESPOSTA: Requisitos:

1º) Números consecutivos: x; x + 1; x + 2, no qual x deverá ser dividido por 7, x + 1 por 9 e x + 2 por 11.

2º) Números formados por três algarismos, então deveremos procurar o intervalo que x deverá obedecer.

Se o 1º número deve ser múltiplo de 7, então: 7x, desta forma o valor mínimo de x será 15, pois 7x 15 = 105, este valor de x valerá para os outros números: múltiplo de 9, 9 x 15 = 135 e múltiplo de 11, 11 x 15 = 165.

O valor máximo de x será 90. Para isso usamos o requisito: múltiplo de 11, então 11x 90 = 990, conseqüentemente 7 x 90 = 630, 9 x 90 = 810.

Os três números consecutivos estão entre 165 e 630.

Devemos encontrar três números que tenham resto 0, 1 e 2 em relação ao múltiplo de 7. Devemos encontrar dois números que tenham resto 0 e 1 em relação ao múltiplo de 9. Devemos encontrar um número que tenha resto 0 em relação ao múltiplo de 11.

E que sejam consecutivos.

E que satisfaçam estes quatro novos requisitos, simultaneamente.

Múltiplos de 7, que comecem a partir de 165, (165/7 ≈ 23) então 7 x 23 = 161, só poderá ser o próximo: 168

168,175,182,189,196,203,210,217,224,231,238,245,252,259,266,273,280,287,294,301,308,315,322,3 29,336,343,350,357

Múltiplos de 9 maiores que 165: (165/9 ≈ 18) então 9 x 18 = 162, só poderá ser o próximo : 171 171,180,189,198,207,216,225,234,243,252,261,270,279,288,297,306,315,324,333,342,351.

Observe que 224, 225 287, 288 350, 351

Agora temos que encontrar os múltiplos de 11, que se encaixam numa destas seqüências. Caso não teh, deveremos encontrar mais múltiplos até 630.

Múltiplos de 11 maiores que 165: (165 / 11 = 15) então:

165,176,187,198,209,220,231,242,253,264,275,286,297,308,319,330,341,352

Desta forma os três números consecutivos, formados por 3 algarismos, sendo que o primeiro é múltiplo de 7, o segundo múltiplo de 9 e o terceiro múltiplo de 11 são: 350, 351 e 352.

DESAFIO Nº 10

Como você faria para saber quantos dígitos tem a potência

₂

64

, sem usar a

calculadora?

(9)

RESPOSTA:

- De 20 a 23, as potências são formadas por 1 algarismo. (20 =1, 21=2, 22=4, 23=8)

- De 24 a 26, as potências são formadas por 2 algarismos. (deve-se resolver para mostrar para go

aluno)

- De 25 a 29, as potências são formadas por 3 algarismos. (idem ao anterior)

Assim:

- De 20 a 29, as potências são formadas por até 3 algarismos.

- De 230 a 239, as potências são formadas por até12 algarismos.

Portanto: O resultado de 264 tem 20 algarismos.

DESAFIO Nº 11

Este cubo, quando completo, possui 1000 cubinhos. Quantos cubinhos faltam

para completá-lo?

Fonte: www.aulis.de

RESPOSTA:

(10)

DESAFIO Nº 12

Um cachorro persegue uma lebre. Enquanto o cachorro dá 5 pulos, a lebre dá 8

pulos. Porém, dois pulos de cachorro valem 5 pulos de lebre. Sendo a

distância entre os dois igual a 36 pulos de cachorro, qual deverá ser o número

de pulos que o cachorro deve dar para alcançar a lebre?

RESPOSTA:

Temos uma relação inversamente entre os pulos do cachorro e os da lebre, sabendo que um pulo da lebre é igual a 2/5 pulos do cachorro.

Temos:

Número de pulos Valor do pulo

5 2

Faltam 10 cubinhos. Faltam 4 cubinhos.

Faltam 2 cubinhos.

Para completar os 1000 cubos, faltam: 45 cubos azuis + 19 cubos amarelos + 10 cubos vermelhos + 4 cubos verdes + 2 cubos azuis 80 cubos

(11)

8 5

Sabendo que a relação entre os pulos é inversa, aplicamos uma multiplicação inversa, multiplicaremos os 5 pulos do cachorro pelo valor do pulo da lebre 5 e multiplicaremos os 8 pulos da lebre pelo valor do pulo do cachorro 2. Teremos que 5 x 5 = 25 ( para o cachorro) e 8 x 2 = 16 (para a lebre ), em cada instante o cachorro estará tirando uma diferença de 25 -16 = 9 pulos. Lembrando que a distância entre eles é 36 pulos de cachorros, o cachorro terá que percorrer essa distância 36 / 9 = 4 vezes até alcançar a lebre. Vamos agora, multiplicar o fator do cachorro (25) por 4 teremos 25 x 4 = 100 pulos .

DESAFIO Nº 13

Qual símbolo completa logicamente este quadro? Justifique sua resposta.

Fonte: Berloquin P. 100 jogos lógicos. Coleção O prazer da matemática. Lisboa: Gradiva, 1990.

RESPOSTA:

O símbolo que completa logicamente este quadro é o X. Observe a seqüência: Triângulo

Triângulo, mais

Triângulo, mais, triângulo invertido Triângulo, mais, triângulo invertido, xis Triângulo, mais, triângulo invertido, xis, bola

Triângulo, mais, triângulo invertido, xis, bola, retângulo deitado

Triângulo, mais, triângulo invertido, xis, bola, retângulo deitado, quadrado

Triângulo, mais, triângulo invertido, xis, bola, retângulo deitado, quadrado, retângulo em pé.

DESAFIO Nº 14

Uma empresa fabrica biscoitos de forma circular com 10 cm de diâmetro e

embala em dois tipos de caixas (vista superior):

(12)

As duas caixas, possuem no centro, um biscoito circular de chocolate. Quais as

dimensões das caixas e quais os diâmetros dos biscoitos de chocolate?

RESPOSTA:

1. A medida do diâmetro de dois biscoitos coincide com a medida do lado da caixa quadrada. Assim, o lado da caixa quadrada mede 20 cm.

2. Considere o triângulo retângulo com vértice no centro de 3 circunferências, os catetos medindo 10 cm e hipotenusa 10 + d, onde d é o diâmetro do biscoito de chocolate.

Aplicando Pitágoras, temos:

(

)

(

)

2 2 2 2 10 10 10 20 100 0 800 20 2 20 20 2 10 2 1 2 d d d d d + = + + − = ∆ = ∴ ∆ = − + = ∴ = −

3. A caixa circular tem raio

10

2 d

+

.Logo:

(

)

10 5 2

5 5 2

5

5 2 1

r

= +

−

=

+ ∴ =

+

DESAFIO Nº 15

OCTÓGONO AMOROSO

Um grupo de amigos formado por 4 meninos (André, Beto, Cláudio e Diego) e 4

meninas (Tina, Patrícia, Viviane e Rita) não se desgrudam. Todos amam

alguém do grupo, mas esses amores não são correspondidos. Veja:

• André ama a menina que gosta do menino que ama Patrícia

• Beto não é amado por Tina

• Cláudio gosta da menina que ama Diego

• O menino que é amado por Viviane não ama Tina

(13)

Quem ama quem?

Adaptado de: Eduardo Veloso e José Paulo Viana. Desafios 3. Cidade: Afrontamento,1991.

RESPOSTA:

Pela primeira afirmação, temos:

1 - André menina menino Patrícia Pela terceira afirmação, temos:

2 - Cláudio menina Diego Pela última afirmação, temos:

3 - Rita menino menina Beto Invertendo esta última, obtemos:

4 - Beto menina menino Rita Juntando 1 e 2, temos:

5 – André menina menino Patrícia Cláudio menina Diego Encaixando 4 nesta junção, obtemos:

6 – André menina Beto Patrícia Cláudio Rita Diego

Faltam 2 meninas: Tina e Viviane. Como a segunda afirmação do enunciado diz que Beto não é amado por Tina, então Viviane ama Beto. Logo:

7 – André Viviane Beto Patrícia Cláudio Rita Diego Portanto, Diego ama Tina e esta ama André, completando o octógono:

8 – André Viviane Beto Patrícia Cláudio Rita Diego Tina CONCLUSÃO:

ANDRÉ AMA VIVIANE VIVIANE AMA BETO BETO AMA PATRÍCIA PATRÍCIA AMA CLÁUDIO CLÁUDIO AMA RITA RITA AMA DIEGO DIEGO AMA TINA TINA AMA ANDRÉ

DESAFIO Nº 16

QUEM SOU EU?

Se o meu quatro fosse um nove

E o meu seis fosse um três

Aquilo que sou apenas valeria

Menos um da metade que eu seria...

Tenho três dígitos

Só três numa fila...

Então, quem sou eu,

Quem é que adivinha?

Adaptado de: Eduardo Veloso e José Paulo Viana. Desafios 3. Cidade: Afrontamento,1991.

(14)

DESAFIO Nº 17

A IDA AO MUSEU

Quatro amigos vão visitar um museu e um deles resolve entrar sem pagar.

Aparece um guarda que quer saber qual deles entrou sem pagar.

-

Eu não fui, diz Bernardo.

-

Foi o Carlos, diz o Mário.

-

Foi o Pedro, diz o Carlos.

-

O Mário não tem razão, diz o Pedro.

Só um deles mentiu.

Quem entrou sem pagar?

Adaptado de: Eduardo Veloso e José Paulo Viana. Desafios 3. Cidade: Afrontamento, 1991.

RESPOSTA: Só um deles mentiu.

Se Bernardo mentiu então Mário e Carlos mentiram. (F) Se Mário mentiu então Pedro entrou sem pagar. Se Carlos mentiu então Mário entrou sem pagar. Se Pedro mentiu então Carlos mentiu. (F) Supostos caloteiros: Pedro e Mário

Se Pedro entrou sem pagar então Mário mente.

Se Mário entrou sem pagar então ele e Mário mentem. (F) Resposta: Pedro entrou sem pagar e o mentiroso é o Mário.

DESAFIO Nº 18

QUANTO TEMPO DUROU O TELEFONEMA?

Em Nova Iorque são 7h da manhã quando é meio-dia em Portugal. Susana, em

Portugal, telefonou para Billy Jo, em Nova Iorque. Quando o telefonema

começou o relógio de Susana marcava 18h 45min, quando terminou, o relógio

de Billy Jo marcava 14h 23min. Quantos minutos durou esse telefonema?

Adaptado de: Vivien Lucas. Um problema por dia: questões matemáticas para todos os dias do ano escolar. Editora: Replicação. Lisboa, 2003.