Esta 2a
. Lista de Exerc´ıcios dever´a ser entregue completamente resolvida no dia da segunda prova
(1)Prove que, se as semirretas que cont´em os segmentosBCeAC, sendoBC∩AC={C}, s˜ao ambas paralelas a uma retan, ent˜ao a bissetriz do ˆanguloACBb ´e perpendicular `a retan.
(2) Mostre que se uma retatcorta duas retasr esformando ˆangulos colaterais internos cuja soma das medidas ´eπ rad, ent˜ao ress˜ao retas hiperparalelas.
(3)Dadas duas retas paralelas←→AΩ,←BΩ→e quatro pontosA′,B′,C′ eD′, se ocorrer que AB≡A′B′,A′Bb′C′≡ABΩb e
B′Ac′D′≡BAΩ, ent˜ao as retas que cont´emb A′D′ eB′C′ s˜ao paralelas.
(4)Quando os ˆangulos ordin´arios do triˆanguloABΩs˜ao iguais, dizemos que o triˆangulo generalizado ´e is´osceles. Prove que, em tais triˆangulos, se M´e o ponto m´edio deAB, ent˜ao a retaMΩ´e perpendicular aAB. Inversamente, mostre que, se M´e o ponto m´edio de um segmentoABeMΩ´e perpendicular aAB, ent˜aoABΩ´e is´osceles.
(5) Dados os triˆangulos generalizadosABΩ eA′B′Ω′, nos quaisA′Bb′Ω′ ≡AbBΩeAB > A′B′, mostre queB′Ac′Ω′ >
BAΩ.b
(6) Mostre que se uma reta “entra” em um triˆangulo generalizadoAΩ1Ω2 por um de seus v´ertices, ent˜ao essa reta
intersecta o lado oposto a esse v´ertice.
(7) Mostre que se uma reta intersecta um dos lados de um triˆangulo generalizadoAΩ1Ω2 e n˜ao passa por nenhum
de seus v´ertices, ent˜ao essa reta intersecta um dos outros dois lados.
(8)Mostre que se uma reta “entra” em um triˆangulo generalizado Ω1Ω2Ω3por um de seus v´ertices, ent˜ao essa reta
intersecta o lado oposto a esse v´ertice.
(9)Mostre que se uma reta intersecta um dos lados de um triˆangulo generalizado Ω1Ω2Ω3e n˜ao passa por nenhum
de seus v´ertices, ent˜ao essa reta intersecta um dos outros dois lados.
(10) Seja ABCD um quadril´atero tal queAb ≡Bb s˜ao retos. Mostre que, se os outros dois ˆangulos s˜ao congruentes, ent˜ao ABCD´e quadril´atero de Saccheri.
(11)Prove que, em um quadril´atero de Lambert, os lados adjacentes ao ˆangulo agudo s˜ao maiores do que os respectivos lados opostos. Com esse resultado, responda e justifique:
O que ´e maior: a base ou o topo de um quadril´atero de Saccheri?
(12)Prove que o segmento ligando os pontos m´edios de dois lados de um triˆangulo hiperb´olico ordin´ario ´e menor do que a metade do terceiro lado.
(13)Sejam ABCum triˆangulo hiperb´olico ordin´ario e rreta que passa pelos pontos m´edios de ABeAC. Considere D, E∈r tais queBD⊥r eCE⊥r. Prove queBCED´e um Quadril´atero de Saccheri. Como consequˆencia, prove que a reta perpendicular a BCpassando pelo seu ponto m´edio ´e perpendicular ar.
(14) Sejam ABCum triˆangulo hiperb´olico ordin´ario er reta que passa pelos pontos m´edios de AB eAC. Suponha que existam D, E∈rtais queDB⊥BCeEC⊥BC. Prove queDECB´e um Quadril´atero de Saccheri.
(15)Prove que a reta ligando os pontos m´edios dos lados congruentes de um Quadril´atero de Saccheri ´e perpendicular `a reta ligando os pontos m´edios dos outros dois lados, e que, ela divide ao meio as diagonais do quadril´atero.
(16)Prove que as bissetrizes dos ˆangulos de um triˆangulo hiperb´olico ordin´ario s˜ao concorrentes em um ´unico ponto no interior do triˆangulo.
(17)Mostre que o comprimento de uma circunferˆencia ´e maior do que seis vezes o seu raio. (obs.: n˜ao ´e para utilizar a f´ormula de comprimento de circunferˆencia hiperb´olica)
(19)Mostre que“Dado um ponto em uma de duas retas hiperparalelas, existe sobre a outra um e somente um ponto que lhe ´e correspondente”.
(20)Mostre que “Se trˆes pontos P,Q e Rest˜ao em trˆes retas concorrentes em um ponto e, se Pcorresponde a Q e Q corresponde a R, ent˜ao os trˆes pontos n˜ao s˜ao colineares”.
(21)E verdade que´ “Se trˆes pontos P,Qe R est˜ao em trˆes retas duas a duas hiperparalelas e, se Pcorresponde a Q e Q corresponde a R, ent˜ao os trˆes pontos n˜ao s˜ao colineares”? Justifique.
(22)Mostre que “Se trˆes pontos P,Q e Rest˜ao em trˆes retas concorrentes em um ponto e, se Pcorresponde a Q e Q corresponde a R, ent˜ao Pcorresponde a R”.
(23)Mostre que“Sejam trˆes pontos P,Qe Rem trˆes retas r, s, tduas a duas hiperparalelas. Se r, s, tpossuem uma perpendicular em comum e, se P corresponde a Q e Q corresponde a R, ent˜ao Pcorresponde a R”.
(24)Considere a seguinte tabela:
Trigonometria Hiperb´olica Trigonometria Euclidiana cosh2(x) −senh2(x) =1 cos2(x) +sen2(x) =1
1−tgh2(x) =sech2(x) 1+tg2(x) =sec2(x)
senh(x±y) =senh(x)cosh(y)±cosh(x)senh(y) sen(x±y) =sen(x)cos(y)±cos(x)sen(y)
cosh(x±y) =cosh(x)cosh(y)±senh(x)senh(y) cos(x±y) =cos(x)cos(y)∓sen(x)sen(y)
tgh(x±y) = tgh(x)±tgh(y)
1±tgh(x)tgh(y) tg(x±y) =
tg(x)±tg(y)
1∓tg(x)tg(y)
senh2x 2
= cosh(x) −1
2 sen
2x
2
= 1−cos(x)
2
cosh2x 2
= cosh(x) +1
2 cos
2x
2
= 1+cos(x)
2
tgh2x 2
= cosh(x) −1
cosh(x) +1 tg
2x
2
= 1−cos(x)
1+cos(x)
tghx 2
= senh(x)
cosh(x) +1 =
cosh(x) −1
senh(x) tg
x
2
= sen(x)
1+cos(x)=
1−cos(x)
sen(x)
senh(x) =2senhx 2
coshx 2
sen(x) =2senx 2
cosx 2
cosh(x) =cosh2x 2
+senh2x 2
cos(x) =cos2x
2
−sen2x
2
senh(x)±senh(y) =2senh
x±y 2
cosh
x∓y 2
sen(x)±sen(y) =2sen
x±y 2
cos
x∓y 2
cosh(x) +cosh(y) =2cosh
x+y 2
cosh
x−y 2
cos(x) +cos(y) =2sen
x+y 2
cos
x−y 2
cosh(x) −cosh(y) =2senh
x+y 2
senh
x−y 2
cos(x) −cos(y) = −2sen
x+y 2
sen
x−y 2
Sendo senh(x) = e
x−e−x
2 e cosh(x) =
ex+e−x
(25)Sejam r uma reta com pontos ideaisΩeΩ′ eHum horoc´ırculo com centro emΩpassando por C∈r. Sejam
A∈Htal queAΩ⊥AΩ′ eB∈AC⌢ sendoB6=A.
(i)Considere a reta s⊥BΩemB. Mostre quer∩s6=∅. (fa¸ca uma figura com os dados do exerc´ıcio)
(ii)Considere E∈r tal queBE⊥r. Sendo a,seS os comprimentos de BE,BC⌢ eAC, respectivamente, mostre que⌢ s=Ssenh(a).
(26) (i)Por que n˜ao ´e poss´ıvel definir um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais no plano hiperb´olico exa-tamente como se define no plano euclidiano? Dˆe um exemplo de par ordenado de n´umeros reais que n˜ao poderia ser representado como um ponto do plano hiperb´olico, caso o sistema de coordenadas definido no plano hiperb´olico seja cartesiano ortogonal.
(ii)Fixemos o sistema de coordenadas hiperb´olicas (veja teoria). SejaPum ponto do plano hiperb´olico ePx ePyas
proje¸c˜oes ortogonais dePnos eixosOxeOy, respectivamente. Mostre qued(P, Px)> d(O, Py).
(27) Fixemos o sistema de coordenadas hiperb´olicas (ver teoria). Chamemos os pontos ideais do eixo Ox deΩ+ e Ω−.
(i)SejaHum horoc´ırculo com centro emΩ+ passando porO. SejaA∈Htal que AΩ+⊥AΩ−. Mostre que a reta AΩ+ ´e paralela ao eixoOy. (fa¸ca uma figura com os dados do exerc´ıcio)
(ii)Mostre que a equa¸c˜ao de uma curva equidistante de Ox´ey=k, sendo|k|a distˆancia da curva ao eixoOx.
(iii)Mostre que a equa¸c˜ao de uma retarperpendicular ao eixoOx´ex=k, sendo|k|a distˆancia do pontoPxao ponto
O, sendoPxproje¸c˜ao ortogonal deP∈r qualquer no eixoOx.
(iv) Mostre que a equa¸c˜ao de um horoc´ırculo H com centro em Ω+ passando por A = (a, 0), sendo a > 0, ´e ex−acosh(y).
(28)Sezez′ s˜ao n´umeros complementares, mostre que:
(i)ez=cotghz′
2
(ii)senh(z)senh(z′) =1 (iii)cosh(z) =cotgh(z′) (iv)tgh(z) =sech(z′)
(29)Mostre que seθ:R→R´e aFun¸c˜ao ˆAngulo de Paralelismo Estendida eθ(h) =α, ent˜ao cos(α) =tgh(h).
(30)Considere um triˆangulo com lados medindo2,3e4unidades de comprimento hiperb´olico. Calcule o comprimento das trˆes alturas, a medida dos trˆes ˆangulos internos, o raio da circunferˆencia inscrita e a ´area do triˆangulo.
(31)E poss´ıvel construir um quadril´atero regular com ˆangulos internos medindo´ 45◦? Justifique.
No caso afirmativo:
Quanto ´e o comprimento dos lados desse quadril´atero? Quanto ´e o raio do c´ırculo inscrito nesse quadril´atero? Quanto ´e o raio do c´ırculo circunscrito a esse quadril´atero? Quanto ´e a ´area desse quadril´atero?
(32)Na figura abaixo temos dois horoc´ırculos concˆentricos com centro no ponto idealB=Ω, algumas retas, semirretas e segmentos hiperb´olicos. Sabe-se que os comprimentos dos arcos de horoc´ırculosAJ,EG eEF s˜ao, respectivamente, 0, 4;0, 7e1, 0.
(i)Pede-se o comprimento dos segmentos GJ,FL,EA,AC,CJ,GI, FH,AKeKL.
(ii)Pede-se a medida, em graus, dos ˆangulosIGB,b ACBb eAKB.b
(33)Na figura abaixoG´e um ponto ideal:
(34)Na figura abaixo,EHmede uma unidade de comprimento hiperb´olico eB=Ω´e ponto ideal. Calcule a ´area do triˆanguloLMBe o raioOHdo c´ırculo inscrito ao triˆangulo.
Algumas F´ormulas Trigonom´etricas Hiperb´olicas
(Teorema de Pit´agoras Hiperb´olico) Se ABC ´e um triˆangulo retˆangulo ordin´ario hiperb´olico sendo c a medida da hipotenusa,aebmedidas dos catetos, ent˜ao:
cosh(c) =cosh(a)cosh(b).
SeABC´e um triˆangulo ordin´ario hiperb´olico com lados medindoa, b, ce ˆangulos internosα, β, γsendo “αoposto ao lado a”, “βoposto ao ladob” e “γoposto ao lado c”, ent˜ao:
(Lei dos Senos)
senh(a)
sen(α) = senh(b)
sen(β) = senh(c)
sen(γ) .
(Primeira Lei dos Cossenos)
cosh(a) =cosh(b)cosh(c) −senh(b)senh(c)cos(α)
cosh(b) =cosh(a)cosh(c) −senh(a)senh(c)cos(β)
cosh(c) =cosh(a)cosh(b) −senh(a)senh(b)cos(γ)
.
(Segunda Lei dos Cossenos)
cosh(a) = cos(senβ)cos(β)(γsen)+(cosα)(α) ; cosh(b) =
cos(α)cos(γ)+cos(β)
sen(α)sen(γ) ; cosh(c) =
cos(α)cos(β)+cos(γ)
sen(α)sen(β)
Fun¸c˜ao ˆAngulo de Paralelismo Estendida:
θ: R −→ R
h 7−→ arccos(tgh(h)) ou
θ: R −→ R
h 7−→ 2arctg e−h
Horoc´ırculos:
Na figura abaixoHeH′ s˜ao horoc´ırculos de centroΩe raios CΩeC′Ω, respectivamente:
W
H
Hʹ
Cʹ Bʹ
C B
A
D
E F y
x u
a
s
sʹ p/4
TemosAC⌢ =1. SeBC⌢ =seB⌢′C′ =s′, ent˜ao:
eu=cosh(y) ; s=tgh(y) ; s=senh(a) ; s′ =sex
Equa¸c˜oes no sistema de coordenadas hiperb´olicas:
Equa¸c˜ao do horoc´ırculo que passa porP= (k, 0)e centro no ponto ideal de orienta¸c˜ao positiva do eixoOx:
ex−k =cosh(y).
- Equa¸c˜ao da reta paralela aos eixos coordenados:
1o
. quadrante: e−x=tgh(y)
2o
. quadrante: ex=tgh(y)
3o
. quadrante: ex= −tgh(y)
4o
Nome:
Preencha cada campo com “sim” ou “n˜ao”.
Fazer um exerc´ıcio pode ser por meio de c´opia e n˜ao significa que ele tenha sido entendido. Campos em branco na coluna do “Fiz?” ser˜ao interpretados como exerc´ıcios n˜ao feitos. Estas tabelas dever˜ao ser entregues em separado no dia da primeira prova, al´em da lista de exerc´ıcios.
Seja sincero em suas respostas.
