Terceiro Exercício Programa de MAC 110 Curso BMAC e BEBMBMA
Entrega: 28/06/07
Integrais que não são fáceis ou impossíveis de se resolver analiticamente podem ser resolvidas numericamente, por meio da fragmentação da integral em uma soma. Embora a integral x(t) apresentada neste EP3 seja fácil de resolver analiticamente, vamos utilizar a funçãox(t)para então aplicarmos um método de integração numérica. Esta função foi utilizada no EP2 como uma série innita. No EP3 simularemos a integração dex(t).
Detalhes sobre método de integração número podem ser encontrados em:
http://www.if.ufrj.br/teaching/compute/node139.html
Existem vários métodos de integração numérica. Neste EP3 aproximaremos a integral pela área de um trapézio.
Z b
a
f(x)dx≈b−a 2 ·¡
f(b) +f(a)¢
Este EP3 propõe o desenvolvimento de uma função em linguagem C, que utiliza o método Regra do Trapézio para integração numérica do sistema massa- mola.
Sistema Massa-Mola
Extraído de: http://www.feiradeciencias.com.br/sala04/04_QMHS4.asp Partindo da expressãoEcin.+Epot.= (1/2)mv2+ (1/2)kx2da conservação da energia (comE= (1/2)kA2, para o caso massa-mola), obter a elongação (x) em função do tempo (t), por integração analítica.
Solução
Consideremos um corpo de massam, executando um m.h.s. à extremidade de uma mola, de massa m, como se ilustra abaixo. Lembremos que, ω é a velocidade angular,Aé a amplitude da mola,ω= 2πf,ω2=k/m, e procuremos a elongaçãox=x(t).
Separando as variáveis a m de proceder à integração, temos:
√ dx
A2−x2 =ωdt Z x
0
√ dx
A2−x2 =ω Z t
0
dt∴ arcsen x
A =ωtou x
A = senωtoux=A.sen ωt 1
Como todas as forças são conservativas, a energia mecânica se conserva, e teremos:
Ecin.+Epot.=E,
ondeEcin.= (1/2)mv2 eEpot.= (1/2)kx2. Vem:
1
2mv2+1
2kx2= 1
2kA2oum
³dx dt
´2
+kx2=kA2
∴ dx dt =±
rk m ·p
A2−x2=ωp
A2−x2
Observe que parax=A⇒v= 0e parax= 0⇒v=ωA.
Dessa forma, neste EP3 você dividirá o intervaloxemN subintervalos e cal- culará a integral da funçãof(x)usando a Regra do Trapézio. O valor devolvido da função é resultado desta integral.
O valor x e N são parâmetros da função. No programa principal deve-se lerxeN, chamar a função para o cáculo da integral e imprimir e armazenar o valor devolvido juntamente com os valores para os N subintervalos.
O trabalho deve ser submetido eletronicamente, até a data estipulada sua respectiva turma:
paca.ime.usp.br - turma do Prof. Jef
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