MAP0216 Introdu¸c˜ao `a An´alise Real 2o Semestre de 2007 3a Prova

MAP0216 Introdu¸c˜ao `a An´alise Real

2o Semestre de 2007 3a Prova

Ser˜ao consideradas para nota quest˜oes cujos valores que somem no m´aximo 10 pontos.

Quest˜ao 1 (1.0 pontos) Em cada item, decida se existe ou n˜ao um tal subconjuntoX. Justifique.

(a) SubconjuntoX ⊂R limitado, n˜ao vazio, sem supremo.

(b) SubconjuntoX ⊂Q n˜ao vazio, limitado inferiormente, sem ´ınfimo em Q.

Quest˜ao 2 (1.0 pontos) Em cada item, dˆe um exemplo do que se pede.

Justifique.

(a) Fun¸c˜oesf, g: [−1,1]→R limitadas superiormente tais que sup(f+g) = (supf) + (supg).

(b) Fun¸c˜oesh, k: (0,1)→Restritamente positivas, tais quehekn˜ao tˆem supremo em (0,1) mas hk tem supremo em (0,1).

Quest˜ao 3 (1.5 pontos) Em cada um dos itens abaixo, dˆe um exemplo do que se pede. Justifique.

(a) Sequˆencia de n´umeros reais sem subsequˆencia convergente.

(b) Sequˆencia de n´umeros reais limitada n˜ao convergente.

(c) Sequˆencia de n´umeros reais n˜ao convergente que tem uma subsequˆencia convergente paraβ e tal que qualquer outra subsequˆencia convergente tenha limite igual aβ.

Quest˜ao 4 (2.0 pontos) Mostre que cada uma das sequˆencias de n´umeros reais abaixo ´e convergente.

(a) x_n= ⁿ⁺³_n √ⁿ

n², n∈N. (c) z_n= ³ⁿ_n3²+4n⁺⁵ⁿ⁺²²+1 e^cosn, n∈N.

(b) yn= ³ⁿ_2n²2⁺⁵ⁿ⁺²+4n+1, n∈N. (d) wn= ₂¹2 +₃²3 +· · ·+_(n+1)ⁿn+1, n∈N.

1

Quest˜ao 5 (1.0 pontos) Decida se cada uma das sequˆencias de n´umeros reais abaixo converge. Justifique.

(a) xn=¹₂ +_n³ⁿ, n∈N.

(b) yn= ^qn |sin^nπ₄ |, n∈N.

Quest˜ao 6 (1.0 pontos)Seja (x_n)n∈N uma sequˆencia de n´umeros reais con- vergente. Sejayn= max{x₁, x2, . . . , xn}.

Mostre que (yn)n∈N ´e convergente.

Quest˜ao 7 (1.5 pontos) Decida se cada uma das s´eries de n´umeros reais ´e ou n˜ao convergente. Justifique.

(a) ^P∞_n=1 √ⁿ

n. (b) ^P∞_n=1²_n!ⁿ. (c) ^P∞_n=1(2n−1)²ⁿⁿ n.

Quest˜ao 8 (1.0 ponto)Sejam (an)n∈Ne (bn)n∈Nduas sequˆencias de n´umeros reais positivos tais que as s´eries^P∞_n=1an e ^P∞_n=1bn convergem.

Mostre que a s´erie ^P∞_n=1a_nb_n converge.

Quest˜ao 9 (2.0 pontos)Em cada item, determine o maior intervalo aberto (a, b), onde a, b ∈ R∪ {−∞,∞} tal que para cada x ∈ (a, b) a s´erie dada converge. Justifique.

(a) ^P∞_n=1(2 + 3x)ⁿ. (b) ^P∞_n=1 ^(2+3x)_n ⁿ. (c) ^P∞_n=1n(2 + 3x)ⁿ. Quest˜ao 10 (1.0 ponto) Seja (a_n)n∈N uma sequˆencia de n´umeros reais po- sitivos tais que √ⁿ

a_n→ρ6= 0 quando n→ ∞.

Mostre que para cada x ∈ (−1/ρ,1/ρ), a s´erie ^P∞_n=1anxⁿ converge, e que sex /∈[−1/ρ,1/ρ], ela n˜ao converge.

Quest˜ao 11 (1.0 ponto) Sejaf(x) = lnx.

Estude, em fun¸c˜ao dex, a convergˆencia da s´erie de Taylor def ao redor de x= 1, isto ´e, da s´erie

∞

X

n=1

f⁽ⁿ⁾(x)

n! (x−x)ⁿ.

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