Jogo de balanceamento de carga

Jogo de balanceamento de carga

Dados:

I n tarefas

I q máquinas

I w_i: peso da tarefa i

I s_j: velocidade da máquinaj

Cada jogador controla uma tarefa. Conjuntos de estratégiasS_i = [q]:

o jogador escolhe a qual máquina atribuir sua tarefa. Vetor de estratégias: atribuiçãoA: [n]→[q].

Custo deApara i, onde j =A(i): custo_i(A) =P

k:A(k)=j wk

sj.

Jogo de balanceamento de carga

Dados:

I n tarefas

I q máquinas

I w_i: peso da tarefa i

I s_j: velocidade da máquinaj Cada jogador controla uma tarefa.

Conjuntos de estratégiasS_i = [q]:

o jogador escolhe a qual máquina atribuir sua tarefa.

Vetor de estratégias: atribuiçãoA: [n]→[q]. Custo deApara i, onde j =A(i): custo_i(A) =P

k:A(k)=j wk

sj.

Jogo de balanceamento de carga

Dados:

I n tarefas

I q máquinas

I w_i: peso da tarefa i

I s_j: velocidade da máquinaj Cada jogador controla uma tarefa.

Conjuntos de estratégiasS_i = [q]:

o jogador escolhe a qual máquina atribuir sua tarefa.

Vetor de estratégias: atribuiçãoA: [n]→[q].

Custo deApara i, onde j =A(i): custo_i(A) =P

k:A(k)=j wk

sj.

Jogo de balanceamento de carga

Dados:

I n tarefas

I q máquinas

I w_i: peso da tarefa i

I s_j: velocidade da máquinaj Cada jogador controla uma tarefa.

Conjuntos de estratégiasS_i = [q]:

o jogador escolhe a qual máquina atribuir sua tarefa.

Vetor de estratégias: atribuiçãoA: [n]→[q].

Custo deApara i, onde j =A(i): custo_i(A) =P

k:A(k)=j wk

sj.

Caso de máquinas relacionadas

Teorema: Para o jogo de balanceamento de carga emm máquinas relacionadas, PoA(m) = Θ _{lg lg}^lgm_m

. Primeira parte(aula passada):

Mostrar que para jogosJ= (n,m,w,s) e atribuiçõesA: [n]→[m]em equilíbrio vale que

custo(A) =O lgm lg lgm

.

Segunda parte:

Apresentar jogoJ = (n,m,w,s)e

atribuiçãoA: [n]→[m]em equilíbrio tal que custo(A) = Ω lgm

lg lgm .

Caso de máquinas relacionadas

Teorema: Para o jogo de balanceamento de carga emm máquinas relacionadas, PoA(m) = Θ _{lg lg}^lgm_m

. Primeira parte(aula passada):

Mostrar que para jogosJ= (n,m,w,s) e atribuiçõesA: [n]→[m]em equilíbrio vale que

custo(A) =O lgm lg lgm

.

Segunda parte:

Apresentar jogoJ = (n,m,w,s)e

atribuiçãoA: [n]→[m]em equilíbrio tal que custo(A) = Ω lgm

lg lgm .

Da aula anterior

Instância do jogo: J = (n,m,w,s)

Velocidades das máquinas: s1 ≥s2≥ · · · ≥s_m,

eL= [1,2, . . . ,m]é a lista das máquinas em ordem de velocidade.

Parak=0,1, . . .

L_k: maior prefixo deLde máquinas com carga≥kOPT(J). SejaA^∗ uma atribuição ótima (de makespan mínimo).

Ficamos devendo a prova do seguinte:

Lema: A^∗(i)∈L_k para toda tarefa i tq A(i)∈L_k+1.

Da aula anterior

Instância do jogo: J = (n,m,w,s)

Velocidades das máquinas: s1 ≥s2≥ · · · ≥s_m,

eL= [1,2, . . . ,m]é a lista das máquinas em ordem de velocidade.

Parak=0,1, . . .

L_k: maior prefixo deLde máquinas com carga≥kOPT(J).

SejaA^∗ uma atribuição ótima (de makespan mínimo). Ficamos devendo a prova do seguinte:

Lema: A^∗(i)∈L_k para toda tarefa i tq A(i)∈L_k+1.

Da aula anterior

Instância do jogo: J = (n,m,w,s)

Velocidades das máquinas: s1 ≥s2≥ · · · ≥s_m,

eL= [1,2, . . . ,m]é a lista das máquinas em ordem de velocidade.

Parak=0,1, . . .

L_k: maior prefixo deLde máquinas com carga≥kOPT(J).

SejaA^∗ uma atribuição ótima (de makespan mínimo).

Ficamos devendo a prova do seguinte:

Lema: A^∗(i)∈L_k para toda tarefa i tq A(i)∈L_k+1.

Prova do lema

Lema: A^∗(i)∈L_k para toda tarefa i tq A(i)∈Lk+1.

Prova: SeL_k =L, nada a provar.

Sejaq máquina de menor índice em L\L_k. Temos que a carga`_q<kOPT(J).

`_A(i)≥(k+1)OPT(J) para toda tarefa i tqA(i)∈Lk+1. Sew_i ≤s_qOPT(J), então i teria incentivo para ir paraq:

`_q+w_i sq

<kOPT(J) +OPT(J) = (k+1)OPT(J)≤`_A(i), contradição.

Prova do lema

Lema: A^∗(i)∈L_k para toda tarefa i tq A(i)∈Lk+1. Prova: SeL_k =L, nada a provar.

Sejaq máquina de menor índice em L\L_k. Temos que a carga`_q<kOPT(J).

`_A(i)≥(k+1)OPT(J) para toda tarefa i tqA(i)∈Lk+1. Sew_i ≤s_qOPT(J), então i teria incentivo para ir paraq:

`_q+w_i sq

<kOPT(J) +OPT(J) = (k+1)OPT(J)≤`_A(i), contradição.

Prova do lema

Lema: A^∗(i)∈L_k para toda tarefa i tq A(i)∈Lk+1. Prova: SeL_k =L, nada a provar.

Sejaq máquina de menor índice emL\L_k.

Temos que a carga`_q<kOPT(J).

`_A(i)≥(k+1)OPT(J) para toda tarefa i tqA(i)∈Lk+1. Sew_i ≤s_qOPT(J), então i teria incentivo para ir paraq:

`_q+w_i sq

<kOPT(J) +OPT(J) = (k+1)OPT(J)≤`_A(i), contradição.

Prova do lema

Lema: A^∗(i)∈L_k para toda tarefa i tq A(i)∈Lk+1. Prova: SeL_k =L, nada a provar.

Sejaq máquina de menor índice emL\L_k. Temos que a carga`_q<kOPT(J).

`_A(i)≥(k+1)OPT(J) para toda tarefa i tqA(i)∈Lk+1. Sew_i ≤s_qOPT(J), então i teria incentivo para ir paraq:

`_q+w_i sq

<kOPT(J) +OPT(J) = (k+1)OPT(J)≤`_A(i), contradição.

Prova do lema

Lema: A^∗(i)∈L_k para toda tarefa i tq A(i)∈Lk+1. Prova: SeL_k =L, nada a provar.

Sejaq máquina de menor índice emL\L_k. Temos que a carga`_q<kOPT(J).

`_A(i)≥(k+1)OPT(J) para toda tarefa i tqA(i)∈Lk+1.

Sew_i ≤s_qOPT(J), então i teria incentivo para ir paraq:

`_q+w_i sq

<kOPT(J) +OPT(J) = (k+1)OPT(J)≤`_A(i), contradição.

Prova do lema

Lema: A^∗(i)∈L_k para toda tarefa i tq A(i)∈Lk+1. Prova: SeL_k =L, nada a provar.

Sejaq máquina de menor índice emL\L_k. Temos que a carga`_q<kOPT(J).

`_A(i)≥(k+1)OPT(J) para toda tarefa i tqA(i)∈Lk+1. Sewi ≤sqOPT(J), então i teria incentivo para ir paraq:

`_q+w_i sq

<kOPT(J) +OPT(J) = (k+1)OPT(J)≤`_A(i), contradição.

Prova do lema

Lema: A^∗(i)∈L_k para toda tarefa i tq A(i)∈Lk+1. Prova: Sejaq máquina de menor índice emL\Lk. Temos que a carga`_q<kOPT(J).

Para toda tarefai tqA(i)∈L_k+1,

`_A(i)≥(k+1)OPT(J) e w_i >s_qOPT(J).

Por contradição, suponha quej =A^∗(i)6∈Lk. Então, comosj ≤sq, a carga dej em A^∗ seria

≥ wi

s_j > sqOPT(J)

s_j ≥OPT(J), contradição.

Prova do lema

Lema: A^∗(i)∈L_k para toda tarefa i tq A(i)∈Lk+1. Prova: Sejaq máquina de menor índice emL\Lk. Temos que a carga`_q<kOPT(J).

Para toda tarefai tqA(i)∈L_k+1,

`_A(i)≥(k+1)OPT(J) e w_i >s_qOPT(J).

Por contradição, suponha quej =A^∗(i)6∈Lk.

Então, comosj ≤sq, a carga dej em A^∗ seria

≥ wi

s_j > sqOPT(J)

s_j ≥OPT(J), contradição.

Prova do lema

Lema: A^∗(i)∈L_k para toda tarefa i tq A(i)∈Lk+1. Prova: Sejaq máquina de menor índice emL\Lk. Temos que a carga`_q<kOPT(J).

Para toda tarefai tqA(i)∈L_k+1,

`_A(i)≥(k+1)OPT(J) e w_i >s_qOPT(J).

Por contradição, suponha quej =A^∗(i)6∈Lk. Então, comos_j ≤sq, a carga de j em A^∗ seria

≥ wi

s_j > sqOPT(J)

s_j ≥OPT(J), contradição.

Segunda parte

Γ⁻¹ denota a inversa da função gama,Γ(k) = (k−1)!.

Lema: Existe um jogoJ = (n,m,w,s) e atribuição A: [n]→[m]

em equilíbrio tq

custo(A) ≥ 1

2 Γ⁻¹(m)−2−o(1)

OPT(J).

Prova: Sejaq =bΓ⁻¹(m/3)−1c e

sejamG0, . . . ,Gq grupos disjuntos de máquinas. GrupoG_k: _k^q!_! máquinas com velocidade 2^k,

cada uma comk tarefas de peso 2^k atribuídas por A.

Segunda parte

Γ⁻¹ denota a inversa da função gama,Γ(k) = (k−1)!.

Lema: Existe um jogoJ = (n,m,w,s) e atribuição A: [n]→[m]

em equilíbrio tq

custo(A) ≥ 1

2 Γ⁻¹(m)−2−o(1)

OPT(J).

Prova: Sejaq =bΓ⁻¹(m/3)−1c e

sejamG0, . . . ,Gq grupos disjuntos de máquinas.

GrupoG_k: _k^q!_! máquinas com velocidade 2^k,

cada uma comk tarefas de peso 2^k atribuídas por A.

Segunda parte

Γ⁻¹ denota a inversa da função gama,Γ(k) = (k−1)!.

Lema: Existe um jogoJ = (n,m,w,s) e atribuição A: [n]→[m]

em equilíbrio tq

custo(A) ≥ 1

2 Γ⁻¹(m)−2−o(1)

OPT(J).

Prova: Sejaq =bΓ⁻¹(m/3)−1c e

sejamG0, . . . ,Gq grupos disjuntos de máquinas.

GrupoG_k: ^q!_k! máquinas com velocidade 2^k,

cada uma comk tarefas de peso 2^k atribuídas porA.

Segunda parte

Lema: Existe um jogoJ = (n,m,w,s) e atribuição Aem equilíbrio tqcusto(A) ≥ ¹₂ Γ⁻¹(m)−2−o(1)

OPT(J).

Prova: Sejaq =bΓ⁻¹(m/3)−1c e

sejamG₀, . . . ,G_q grupos disjuntos de máquinas.

GrupoG_k: ^q!_k! máquinas com velocidade 2^k,

cada uma comk tarefas de peso 2^k atribuídas porA.

Total de máquinas:

q

X

k=0

|G_k|=

q

X

k=0

q! k! =q!

q

X

k=0

1

k! ≤3Γ(q+1)≤m. Completem com máquinas sem grupo e vazias de velocidade 1 (como as deG0).

Segunda parte

Lema: Existe um jogoJ = (n,m,w,s) e atribuição Aem equilíbrio tqcusto(A) ≥ ¹₂ Γ⁻¹(m)−2−o(1)

OPT(J).

Prova: Sejaq =bΓ⁻¹(m/3)−1c e

sejamG₀, . . . ,G_q grupos disjuntos de máquinas.

GrupoG_k: ^q!_k! máquinas com velocidade 2^k,

cada uma comk tarefas de peso 2^k atribuídas porA.

Total de máquinas:

q

X

k=0

|G_k|=

q

X

k=0

q!

k! =q!

q

X

k=0

1

k! ≤3Γ(q+1)≤m.

Completem com máquinas sem grupo e vazias de velocidade 1 (como as deG0).

Segunda parte

Lema: Existe um jogoJ = (n,m,w,s) e atribuição Aem equilíbrio tqcusto(A) ≥ ¹₂ Γ⁻¹(m)−2−o(1)

OPT(J).

Prova: Sejaq =bΓ⁻¹(m/3)−1c e

sejamG₀, . . . ,G_q grupos disjuntos de máquinas.

GrupoG_k: ^q!_k! máquinas com velocidade 2^k,

cada uma comk tarefas de peso 2^k atribuídas porA.

Total de máquinas:

q

X

k=0

|G_k|=

q

X

k=0

q!

k! =q!

q

X

k=0

1

k! ≤3Γ(q+1)≤m.

Completem com máquinas sem grupo e vazias de velocidade 1 (como as deG0).

A está em equilíbrio?

Sejaq =bΓ⁻¹(m/3)−1ce

sejamG0, . . . ,G_q grupos disjuntos de máquinas.

GrupoGk: ^q!_k! máquinas com velocidade 2^k,

cada uma comk tarefas de peso2^k atribuídas porA.

Carga emAde máquina emGk ék.

Então tarefa em máquina deG_k não quer mudar para máquina emG_j comj ≥k (que tem cargaj ≥k), nem para máquina deG_j com j <k, pois

j+2^k

2^j =j+2^k−j ≥j+ (k−j+1) =k+1, já que 2^t≥t+1 pra todot ≥1.

A está em equilíbrio?

Sejaq =bΓ⁻¹(m/3)−1ce

sejamG0, . . . ,G_q grupos disjuntos de máquinas.

GrupoGk: ^q!_k! máquinas com velocidade 2^k,

cada uma comk tarefas de peso2^k atribuídas porA.

Carga emAde máquina emGk ék.

Então tarefa em máquina deG_k não quer mudar para máquina emG_j comj ≥k (que tem cargaj ≥k), nem para máquina deG_j com j <k, pois

j+2^k

2^j =j+2^k−j ≥j+ (k−j+1) =k+1, já que 2^t≥t+1 pra todot ≥1.

A está em equilíbrio?

Sejaq =bΓ⁻¹(m/3)−1ce

sejamG0, . . . ,G_q grupos disjuntos de máquinas.

GrupoGk: ^q!_k! máquinas com velocidade 2^k,

cada uma comk tarefas de peso2^k atribuídas porA.

Carga emAde máquina emGk ék.

Então tarefa em máquina deG_k não quer mudar para máquina emG_j comj ≥k (que tem cargaj ≥k),

nem para máquina deG_j com j <k, pois j+2^k

2^j =j+2^k−j ≥j+ (k−j+1) =k+1, já que 2^t≥t+1 pra todot ≥1.

A está em equilíbrio?

Sejaq =bΓ⁻¹(m/3)−1ce

sejamG0, . . . ,G_q grupos disjuntos de máquinas.

GrupoGk: ^q!_k! máquinas com velocidade 2^k,

cada uma comk tarefas de peso2^k atribuídas porA.

Carga emAde máquina emGk ék.

Então tarefa em máquina deG_k não quer mudar para máquina emG_j comj ≥k (que tem cargaj ≥k), nem para máquina deG_j com j <k, pois

j +2^k

2^j =j+2^k−j ≥j+ (k−j+1) =k+1, já que 2^t≥t+1 pra todot ≥1.

Jogo e equilíbrio

Sejaq =bΓ⁻¹(m/3)−1ce

sejamG0, . . . ,Gq grupos disjuntos de máquinas.

GrupoG_k: ^q!_k! máquinas com velocidade 2^k,

cada uma comk tarefas de peso 2^k atribuídas porA.

Aé um equilíbrio de custo social q.

Vamos mostrar queOPT(J)≤2.

Considere atribuiçãoA^∗ que atribui a máquinas deG_k−1

as tarefas queAatribuiu a máquinas de G_k.

Tarefas queAatribuiu a G_k: k|G_k|= ^q!k_k! = _(k−1)!^q! =|G_k−1|. Uma tarefa em cada máquina, com custo de ₂k−1^2k =2.

Jogo e equilíbrio

Sejaq =bΓ⁻¹(m/3)−1ce

sejamG0, . . . ,Gq grupos disjuntos de máquinas.

GrupoG_k: ^q!_k! máquinas com velocidade 2^k,

cada uma comk tarefas de peso 2^k atribuídas porA.

Aé um equilíbrio de custo social q.

Vamos mostrar queOPT(J)≤2.

Considere atribuiçãoA^∗ que atribui a máquinas deG_k−1

as tarefas queAatribuiu a máquinas de G_k.

Tarefas queAatribuiu a G_k: k|G_k|= ^q!k_k! = _(k−1)!^q! =|G_k−1|. Uma tarefa em cada máquina, com custo de ₂k−1^2k =2.

Jogo e equilíbrio

Sejaq =bΓ⁻¹(m/3)−1ce

sejamG0, . . . ,Gq grupos disjuntos de máquinas.

GrupoG_k: ^q!_k! máquinas com velocidade 2^k,

cada uma comk tarefas de peso 2^k atribuídas porA.

Aé um equilíbrio de custo social q.

Vamos mostrar queOPT(J)≤2.

Considere atribuiçãoA^∗ que atribui a máquinas deGk−1

as tarefas queAatribuiu a máquinas de G_k.

Tarefas queAatribuiu a G_k: k|G_k|= ^q!k_k! = _(k−1)!^q! =|G_k−1|. Uma tarefa em cada máquina, com custo de ₂k−1^2k =2.

Jogo e equilíbrio

Sejaq =bΓ⁻¹(m/3)−1ce

sejamG0, . . . ,Gq grupos disjuntos de máquinas.

GrupoG_k: ^q!_k! máquinas com velocidade 2^k,

cada uma comk tarefas de peso 2^k atribuídas porA.

Aé um equilíbrio de custo social q.

Vamos mostrar queOPT(J)≤2.

Considere atribuiçãoA^∗ que atribui a máquinas deGk−1

as tarefas queAatribuiu a máquinas de G_k.

Tarefas queAatribuiu a G_k: k|G_k|= ^q!k_k! = _(k−1)!^q! =|G_k−1|.

Uma tarefa em cada máquina, com custo de ₂k−1^2k =2.

Jogo e equilíbrio

Sejaq =bΓ⁻¹(m/3)−1ce

sejamG0, . . . ,Gq grupos disjuntos de máquinas.

GrupoG_k: ^q!_k! máquinas com velocidade 2^k,

cada uma comk tarefas de peso 2^k atribuídas porA.

Aé um equilíbrio de custo social q.

Vamos mostrar queOPT(J)≤2.

Considere atribuiçãoA^∗ que atribui a máquinas deGk−1

as tarefas queAatribuiu a máquinas de G_k.

Tarefas queAatribuiu a G_k: k|G_k|= ^q!k_k! = _(k−1)!^q! =|G_k−1|.

Uma tarefa em cada máquina, com custo de ₂k−1^2k =2.

Conclusão

G0, . . . ,G_q grupos de máquinas comq =bΓ⁻¹(^m₃)−1c.

GrupoG_k: ^q!_k! máquinas com velocidade 2^k,

cada uma comk tarefas de peso 2^k atribuídas porA.

Aé um equilíbrio de custo social q e OPT(J)≤2.

Preço da anarquia deste jogo: ≥ ^q₂ = ^{bΓ−1(m/3)−1c}₂ ComoΓ⁻¹(m)= Θ _{lg lg}^lgm_m

,

existemc em0 tq Γ⁻¹(m)≥c(_{lg lg}^lgm_m

,param≥m0. Então, param≥3m₀, o preço da anarquia é

≥ bΓ⁻¹(m/3)−1c

2 ≥ bc(_{lg lg}^lgm/3_m/3

−1c

2 = Ω lgm

lg lgm .

Conclusão

G0, . . . ,G_q grupos de máquinas comq =bΓ⁻¹(^m₃)−1c.

GrupoG_k: ^q!_k! máquinas com velocidade 2^k,

cada uma comk tarefas de peso 2^k atribuídas porA.

Aé um equilíbrio de custo social q e OPT(J)≤2.

Preço da anarquia deste jogo: ≥ ^q₂ = ^{bΓ−1(m/3)−1c}₂

ComoΓ⁻¹(m)= Θ _{lg lg}^lgm_m ,

existemc em0 tq Γ⁻¹(m)≥c(_{lg lg}^lgm_m

,param≥m0. Então, param≥3m₀, o preço da anarquia é

≥ bΓ⁻¹(m/3)−1c

2 ≥ bc(_{lg lg}^lgm/3_m/3

−1c

2 = Ω lgm

lg lgm .

Conclusão

G0, . . . ,G_q grupos de máquinas comq =bΓ⁻¹(^m₃)−1c.

GrupoG_k: ^q!_k! máquinas com velocidade 2^k,

cada uma comk tarefas de peso 2^k atribuídas porA.

Aé um equilíbrio de custo social q e OPT(J)≤2.

Preço da anarquia deste jogo: ≥ ^q₂ = ^{bΓ−1(m/3)−1c}₂ ComoΓ⁻¹(m)= Θ _{lg lg}^lgm_m

,

existemc em0 tq Γ⁻¹(m)≥c(_{lg lg}^lgm_m

,param≥m0.

Então, param≥3m₀, o preço da anarquia é

≥ bΓ⁻¹(m/3)−1c

2 ≥ bc(_{lg lg}^lgm/3_m/3

−1c

2 = Ω lgm

lg lgm .

Conclusão

G0, . . . ,G_q grupos de máquinas comq =bΓ⁻¹(^m₃)−1c.

GrupoG_k: ^q!_k! máquinas com velocidade 2^k,

cada uma comk tarefas de peso 2^k atribuídas porA.

Aé um equilíbrio de custo social q e OPT(J)≤2.

Preço da anarquia deste jogo: ≥ ^q₂ = ^{bΓ−1(m/3)−1c}₂ ComoΓ⁻¹(m)= Θ _{lg lg}^lgm_m

,

existemc em0 tq Γ⁻¹(m)≥c(_{lg lg}^lgm_m

,param≥m0. Então, param≥3m₀, o preço da anarquia é

≥ bΓ⁻¹(m/3)−1c

2 ≥ bc(_{lg lg}^lgm/3_m/3

−1c

2 = Ω lgm

lg lgm .

Tempo de convergência

No caso demáquinas relacionadas,

não se conhece resultado como o para máquinas idênticas.

Mas podemos computar um equilíbrio eficientemente.

Algoritmo LPT (largest processing time): Atribua tarefas em ordem decrescente de peso, pondo-as em máquinas que minimizem o seu custo. Teorema: A atribuição calculada por LPT é um equilíbrio. Prova: Por indução no número de tarefas (colocadas). Após colocarmos a última tarefa, apenas outras tarefas da mesma máquina podem ter se tornado insatisfeitas.

Tempo de convergência

No caso demáquinas relacionadas,

não se conhece resultado como o para máquinas idênticas.

Mas podemos computar um equilíbrio eficientemente.

Algoritmo LPT (largest processing time): Atribua tarefas em ordem decrescente de peso, pondo-as em máquinas que minimizem o seu custo. Teorema: A atribuição calculada por LPT é um equilíbrio. Prova: Por indução no número de tarefas (colocadas). Após colocarmos a última tarefa, apenas outras tarefas da mesma máquina podem ter se tornado insatisfeitas.

Tempo de convergência

No caso demáquinas relacionadas,

não se conhece resultado como o para máquinas idênticas.

Mas podemos computar um equilíbrio eficientemente.

Algoritmo LPT (largest processing time):

Atribua tarefas em ordem decrescente de peso, pondo-as em máquinas que minimizem o seu custo. Teorema: A atribuição calculada por LPT é um equilíbrio. Prova: Por indução no número de tarefas (colocadas). Após colocarmos a última tarefa, apenas outras tarefas da mesma máquina podem ter se tornado insatisfeitas.

Tempo de convergência

No caso demáquinas relacionadas,

não se conhece resultado como o para máquinas idênticas.

Mas podemos computar um equilíbrio eficientemente.

Algoritmo LPT (largest processing time):

Atribua tarefas em ordem decrescente de peso,

pondo-as em máquinas que minimizem o seu custo. Teorema: A atribuição calculada por LPT é um equilíbrio. Prova: Por indução no número de tarefas (colocadas). Após colocarmos a última tarefa, apenas outras tarefas da mesma máquina podem ter se tornado insatisfeitas.

Tempo de convergência

No caso demáquinas relacionadas,

não se conhece resultado como o para máquinas idênticas.

Mas podemos computar um equilíbrio eficientemente.

Algoritmo LPT (largest processing time):

Atribua tarefas em ordem decrescente de peso, pondo-as em máquinas que minimizem o seu custo.

Teorema: A atribuição calculada por LPT é um equilíbrio. Prova: Por indução no número de tarefas (colocadas). Após colocarmos a última tarefa, apenas outras tarefas da mesma máquina podem ter se tornado insatisfeitas.

Tempo de convergência

No caso demáquinas relacionadas,

não se conhece resultado como o para máquinas idênticas.

Mas podemos computar um equilíbrio eficientemente.

Algoritmo LPT (largest processing time):

Atribua tarefas em ordem decrescente de peso, pondo-as em máquinas que minimizem o seu custo.

Teorema: A atribuição calculada por LPT é um equilíbrio.

Prova: Por indução no número de tarefas (colocadas). Após colocarmos a última tarefa, apenas outras tarefas da mesma máquina podem ter se tornado insatisfeitas.

Tempo de convergência

No caso demáquinas relacionadas,

não se conhece resultado como o para máquinas idênticas.

Mas podemos computar um equilíbrio eficientemente.

Algoritmo LPT (largest processing time):

Atribua tarefas em ordem decrescente de peso, pondo-as em máquinas que minimizem o seu custo.

Teorema: A atribuição calculada por LPT é um equilíbrio.

Prova: Por indução no número de tarefas (colocadas).

Após colocarmos a última tarefa, apenas outras tarefas da mesma máquina podem ter se tornado insatisfeitas.

Tempo de convergência

No caso demáquinas relacionadas,

não se conhece resultado como o para máquinas idênticas.

Mas podemos computar um equilíbrio eficientemente.

Algoritmo LPT (largest processing time):

Atribua tarefas em ordem decrescente de peso, pondo-as em máquinas que minimizem o seu custo.

Teorema: A atribuição calculada por LPT é um equilíbrio.

Prova: Por indução no número de tarefas (colocadas).

Após colocarmos a última tarefa, apenas outras tarefas da mesma máquina podem ter se tornado insatisfeitas.

LPT devolve um equilíbrio

Algoritmo LPT (largest processing time):

Atribua tarefas em ordem decrescente de peso, pondo-as em máquinas que minimizem o seu custo.

Teorema: A atribuição calculada por LPT é um equilíbrio.

Prova: Por indução no número de tarefas (colocadas).

Sejat a última tarefa, ej^∗ a máquina a que foi atribuída.

Apenas tarefas alocadas aj^∗ podem estar insatisfeitas.

Sejai <t uma tarefa alocada a j^∗. Lembre-se quewi ≥wt. Então ^`(j_s^∗)

j∗ ≤ ^`(j)+w_s ^t

j ≤ ^`(j)+w_s ⁱ

j , para todo j em [m] Logoi está satisfeita e a atribuição está em equilíbrio.

LPT devolve um equilíbrio

Algoritmo LPT (largest processing time):

Atribua tarefas em ordem decrescente de peso, pondo-as em máquinas que minimizem o seu custo.

Teorema: A atribuição calculada por LPT é um equilíbrio.

Prova: Por indução no número de tarefas (colocadas).

Sejat a última tarefa, ej^∗ a máquina a que foi atribuída.

Apenas tarefas alocadas aj^∗ podem estar insatisfeitas.

Sejai <t uma tarefa alocada a j^∗. Lembre-se quewi ≥wt.

Então ^`(j_s^∗)

j∗ ≤ ^`(j)+w_s ^t

j ≤ ^`(j)+w_s ⁱ

j , para todo j em [m] Logoi está satisfeita e a atribuição está em equilíbrio.

LPT devolve um equilíbrio

Algoritmo LPT (largest processing time):

Atribua tarefas em ordem decrescente de peso, pondo-as em máquinas que minimizem o seu custo.

Teorema: A atribuição calculada por LPT é um equilíbrio.

Prova: Por indução no número de tarefas (colocadas).

Sejat a última tarefa, ej^∗ a máquina a que foi atribuída.

Apenas tarefas alocadas aj^∗ podem estar insatisfeitas.

Sejai <t uma tarefa alocada a j^∗. Lembre-se quew_i ≥w_t. Então ^`(j_s^∗)

j∗ ≤ ^`(j)+w_s ^t

j ≤ ^`(j)+w_s ⁱ

j , para todo j em [m]

(onde`(j) é a soma dos pesos das tarefas atribuídas aj).

Logoi está satisfeita e a atribuição está em equilíbrio.

LPT devolve um equilíbrio

Algoritmo LPT (largest processing time):

Atribua tarefas em ordem decrescente de peso, pondo-as em máquinas que minimizem o seu custo.

Teorema: A atribuição calculada por LPT é um equilíbrio.

Prova: Por indução no número de tarefas (colocadas).

Sejat a última tarefa, ej^∗ a máquina a que foi atribuída.

Apenas tarefas alocadas aj^∗ podem estar insatisfeitas.

Sejai <t uma tarefa alocada a j^∗. Lembre-se quewi ≥wt. Então ^`(j_s^∗)

j∗ ≤ ^`(j)+w_s ^t

j ≤ ^`(j)+w_s ⁱ

j , para todo j em [m]

Logoi está satisfeita e a atribuição está em equilíbrio.

Jogo de balanceamento de carga

Dados:

I n tarefas

I q máquinas

I w_i: peso da tarefa i

I sj: velocidade da máquinaj

Jogo com estratégias mistas

ConjuntoS = [q]e cada jogador escolhe uma distribuição de probabilidadeσ_i em S. Vetor de estratégias mistas: σ = (σ1, . . . , σn)

Custo deσ para i: custo_i(σ) =P

A∈Sⁿcusto_i(A)Pr_σ[A].

Jogo de balanceamento de carga

Dados:

I n tarefas

I q máquinas

I w_i: peso da tarefa i

I sj: velocidade da máquinaj Jogo com estratégias mistas

ConjuntoS = [q]e cada jogador escolhe uma distribuição de probabilidadeσ_i em S.

Vetor de estratégias mistas: σ = (σ1, . . . , σn)

Custo deσ para i: custo_i(σ) =P

A∈Sⁿcusto_i(A)Pr_σ[A].

Jogo de balanceamento de carga

Dados:

I n tarefas

I q máquinas

I w_i: peso da tarefa i

I sj: velocidade da máquinaj Jogo com estratégias mistas

ConjuntoS = [q]e cada jogador escolhe uma distribuição de probabilidadeσ_i em S.

Vetor de estratégias mistas: σ = (σ1, . . . , σn)

Custo deσ para i: custo_i(σ) =P

A∈Sⁿcusto_i(A)Pr_σ[A].

Jogo de balanceamento de carga

Dados:

I n tarefas

I q máquinas

I w_i: peso da tarefa i

I sj: velocidade da máquinaj Jogo com estratégias mistas

ConjuntoS = [q]e cada jogador escolhe uma distribuição de probabilidadeσ_i em S.

Vetor de estratégias mistas: σ = (σ1, . . . , σn)

Custo deσ para i: custo_i(σ) =P

A∈Sⁿcusto_i(A)Pr_σ[A].

Exemplo

Duas máquinas idênticas,

duas tarefas de peso 2, duas de peso 1.

3 4

Pior equilíbrio de estratégias puras tem makespan 4. Vetor de estratégias mistas: cada tarefa escolhe a máquina uniforme e independentemente.

E[`(j)] = 2·2·1

2 +2·1·1 2 = 4

2 +2 2 = 3

Exemplo

Duas máquinas idênticas,

duas tarefas de peso 2, duas de peso 1.

3 4

Pior equilíbrio de estratégias puras tem makespan 4.

Vetor de estratégias mistas: cada tarefa escolhe a máquina uniforme e independentemente.

E[`(j)] = 2·2·1

2 +2·1·1 2 = 4

2 +2 2 = 3

Exemplo

Duas máquinas idênticas,

duas tarefas de peso 2, duas de peso 1.

3 4

Pior equilíbrio de estratégias puras tem makespan 4.

Vetor de estratégias mistas: cada tarefa escolhe a máquina uniforme e independentemente.

E[`(j)] = 2·2·1

2 +2·1·1 2 = 4

2 +2 2 = 3

Exemplo

Duas máquinas idênticas,

duas tarefas de peso 2, duas de peso 1.

Vetor de estratégias mistas: cada tarefa escolhe a máquina uniforme e independentemente.

E[`(j)] = 2·2·1

2 +2·1·1 2 = 4

2 +2 2 = 3

Custocij para tarefa i ficar numa máquina específicaj: c_i^j = E[`(j)]+1

2 ·2 = 4 se w_i =2

= E[`(j)]+1

2 ·1 = 3,5 se w_i =1 Independe doj, por isso é um equilíbrio.

Exemplo

Duas máquinas idênticas,

duas tarefas de peso 2, duas de peso 1.

Vetor de estratégias mistas: cada tarefa escolhe a máquina uniforme e independentemente.

E[`(j)] = 2·2·1

2 +2·1·1 2 = 4

2 +2 2 = 3 Custocij para tarefa i ficar numa máquina específicaj:

c_i^j = E[`(j)]+1

2 ·2 = 4 se w_i =2

= E[`(j)]+1

2 ·1 = 3,5 se wi =1

Independe doj, por isso é um equilíbrio.

Exemplo

Duas máquinas idênticas,

duas tarefas de peso 2, duas de peso 1.

Vetor de estratégias mistas: cada tarefa escolhe a máquina uniforme e independentemente.

E[`(j)] = 2·2·1

2 +2·1·1 2 = 4

2 +2 2 = 3 Custocij para tarefa i ficar numa máquina específicaj:

c_i^j = E[`(j)]+1

2 ·2 = 4 se w_i =2

= E[`(j)]+1

2 ·1 = 3,5 se wi =1 Independe doj, por isso é um equilíbrio.

Exemplo

Duas máquinas idênticas,

duas tarefas de peso 2, duas de peso 1.

Vetor de estratégias mistas: cada tarefa escolhe a máquina uniforme e independentemente.

Este é umequilíbrio.

Qual é o makespan esperado? 1

16(2·6+4·5+6·4+4·3) = 1

16(32+36) = 4,25 Isso é pior que o pior vetor de estratégias puras.

Exemplo

Duas máquinas idênticas,

duas tarefas de peso 2, duas de peso 1.

Vetor de estratégias mistas: cada tarefa escolhe a máquina uniforme e independentemente.

Este é umequilíbrio.

Qual é o makespan esperado?

1

16(2·6+4·5+6·4+4·3) = 1

16(32+36) = 4,25 Isso é pior que o pior vetor de estratégias puras.

Exemplo

Duas máquinas idênticas,

duas tarefas de peso 2, duas de peso 1.

Vetor de estratégias mistas: cada tarefa escolhe a máquina uniforme e independentemente.

Este é umequilíbrio.

Qual é o makespan esperado?

1

16(2·6+4·5+6·4+4·3) = 1

16(32+36) = 4,25

Isso é pior que o pior vetor de estratégias puras.

Exemplo

Duas máquinas idênticas,

duas tarefas de peso 2, duas de peso 1.

Vetor de estratégias mistas: cada tarefa escolhe a máquina uniforme e independentemente.

Este é umequilíbrio.

Qual é o makespan esperado?

1

16(2·6+4·5+6·4+4·3) = 1

16(32+36) = 4,25 Isso é pior que o pior vetor de estratégias puras.

Quão pior pode ser?

mmáquinas idênticas(velocidade 1) e n tarefas de peso 1

Cada tarefa escolhe uma máquina com probabilidade 1/m. Novamente é um equilíbrio.

O ótimo édn/me e omakespan esperado? Balls and bins:

cada uma den bolas independentemente é colocada em um demcompartimentos escolhido uniformemente. Quantas bolas no compartimento mais cheio?

Isso é exatamente omakespan esperado!

Quão pior pode ser?

mmáquinas idênticas(velocidade 1) e n tarefas de peso 1 Cada tarefa escolhe uma máquina com probabilidade 1/m.

Novamente é um equilíbrio.

O ótimo édn/me e omakespan esperado? Balls and bins:

cada uma den bolas independentemente é colocada em um demcompartimentos escolhido uniformemente. Quantas bolas no compartimento mais cheio?

Isso é exatamente omakespan esperado!

Quão pior pode ser?

mmáquinas idênticas(velocidade 1) e n tarefas de peso 1 Cada tarefa escolhe uma máquina com probabilidade 1/m.

Novamente é um equilíbrio.

O ótimo édn/me e omakespan esperado? Balls and bins:

cada uma den bolas independentemente é colocada em um demcompartimentos escolhido uniformemente. Quantas bolas no compartimento mais cheio?

Isso é exatamente omakespan esperado!

Quão pior pode ser?

mmáquinas idênticas(velocidade 1) e n tarefas de peso 1 Cada tarefa escolhe uma máquina com probabilidade 1/m.

Novamente é um equilíbrio.

O ótimo édn/me e omakespan esperado?

Balls and bins:

cada uma den bolas independentemente é colocada em um demcompartimentos escolhido uniformemente. Quantas bolas no compartimento mais cheio?

Isso é exatamente omakespan esperado!

Quão pior pode ser?

mmáquinas idênticas(velocidade 1) e n tarefas de peso 1 Cada tarefa escolhe uma máquina com probabilidade 1/m.

Novamente é um equilíbrio.

O ótimo édn/me e omakespan esperado?

Balls and bins:

cada uma den bolas independentemente é colocada em um demcompartimentos escolhido uniformemente.

Quantas bolas no compartimento mais cheio? Isso é exatamente omakespan esperado!

Quão pior pode ser?

mmáquinas idênticas(velocidade 1) e n tarefas de peso 1 Cada tarefa escolhe uma máquina com probabilidade 1/m.

Novamente é um equilíbrio.

O ótimo édn/me e omakespan esperado?

Balls and bins:

cada uma den bolas independentemente é colocada em um demcompartimentos escolhido uniformemente.

Quantas bolas no compartimento mais cheio?

Isso é exatamente omakespan esperado!

Quão pior pode ser?

mmáquinas idênticas(velocidade 1) e n tarefas de peso 1 Cada tarefa escolhe uma máquina com probabilidade 1/m.

Novamente é um equilíbrio.

O ótimo édn/me e omakespan esperado?

Balls and bins:

cada uma den bolas independentemente é colocada em um demcompartimentos escolhido uniformemente.

Quantas bolas no compartimento mais cheio?

Isso é exatamente omakespan esperado!

Delimitação inferior no PoA

Balls and bins:

cada uma den bolas independentemente é colocada em um deq compartimentos escolhido uniformemente.

Proposição:

O valor esperado da ocupação máxima éΘ ^lnq

ln 1+^q_nlnq .

Teorema: Para todo q, existe uma instânciaJ do jogo de

balanceamento de carga comq máquinas idênticas e n =q tarefas que tem um equilíbrio de Nash mistoP com

custo(P) = Ω _{ln ln}^lnq_q

OPT(J).

Delimitação inferior no PoA

Balls and bins:

cada uma den bolas independentemente é colocada em um deq compartimentos escolhido uniformemente.

Proposição:

O valor esperado da ocupação máxima éΘ ^lnq

ln 1+^q_nlnq .

Teorema: Para todo q, existe uma instânciaJ do jogo de

balanceamento de carga comq máquinas idênticas e n =q tarefas que tem um equilíbrio de Nash mistoP com

custo(P) = Ω _{ln ln}^lnq_q

OPT(J).

Delimitação inferior no PoA

Balls and bins:

cada uma den bolas independentemente é colocada em um deq compartimentos escolhido uniformemente.

Proposição:

O valor esperado da ocupação máxima éΘ ^lnq

ln 1+^q_nlnq .

Teorema: Para todo q, existe uma instânciaJ do jogo de

balanceamento de carga comq máquinas idênticas e n =q tarefas que tem um equilíbrio de Nash mistoP com

custo(P) = Ω _{ln ln}^lnq_q

OPT(J).

Delimitação superior no PoA

Teorema: Considere uma instância J do jogo

de balanceamento de carga comq máquinas idênticas e sejaP um equilíbrio de Nash do jogo. Vale que

custo(P) =O _{ln ln}^lnq_q

OPT(J).

Prova: Lembre-se quecusto(P) =E[max_j∈[m]`(j)]. Primeiramente,E[`(j)]≤ 2−_m+1²

OPT(J).

Relembremos resultado para o jogocom estratégias puras: Teorema: Para o jogo de balanceamento de carga

emm máquinas idênticascom estratégias puras, PoA(m) = 2−_m+1²

.

Delimitação superior no PoA

Teorema: Considere uma instância J do jogo

de balanceamento de carga comq máquinas idênticas e sejaP um equilíbrio de Nash do jogo. Vale que

custo(P) =O _{ln ln}^lnq_q

OPT(J).

Prova: Lembre-se quecusto(P) =E[max_j∈[m]`(j)].

Primeiramente,E[`(j)]≤ 2−_m+1²

OPT(J).

Relembremos resultado para o jogocom estratégias puras: Teorema: Para o jogo de balanceamento de carga

emm máquinas idênticascom estratégias puras, PoA(m) = 2−_m+1²

.

Delimitação superior no PoA

Teorema: Considere uma instância J do jogo

de balanceamento de carga comq máquinas idênticas e sejaP um equilíbrio de Nash do jogo. Vale que

custo(P) =O _{ln ln}^lnq_q

OPT(J).

Prova: Lembre-se quecusto(P) =E[max_j∈[m]`(j)].

Primeiramente,E[`(j)]≤ 2−_m+1²

OPT(J).

Relembremos resultado para o jogocom estratégias puras: Teorema: Para o jogo de balanceamento de carga

emm máquinas idênticascom estratégias puras, PoA(m) = 2−_m+1²

.

Delimitação superior no PoA

Teorema: Considere uma instância J do jogo

de balanceamento de carga comq máquinas idênticas e sejaP um equilíbrio de Nash do jogo. Vale que

custo(P) =O _{ln ln}^lnq_q

OPT(J).

Prova: Lembre-se quecusto(P) =E[max_j∈[m]`(j)].

Primeiramente,E[`(j)]≤ 2−_m+1²

OPT(J).

Relembremos resultado para o jogocom estratégias puras:

Teorema: Para o jogo de balanceamento de carga emm máquinas idênticascom estratégias puras,

PoA(m) = 2−_m+1² .

Relembrando...

Teorema: Para o jogo de balanceamento de carga emm máquinas idênticascom estratégias puras,

PoA(m) = 2−_m+1² .

Prova: JogoJ = (n,m,w) e atribuiçãoA: [n]→[m].

j^∗: máquina com carga máxima em A i^∗: tarefa mais leve em j^∗

`(j): carga da máquinaj emA

Se sói^∗ em j^∗, então custo(A) =OPT(J)e nada a provar.

Senãow_i^∗ ≤ ¹₂custo(A).

Não há máquina com carga menor que`(j^∗)−wi^∗

(oui^∗ teria incentivo para ir para tal máquina).

Relembrando...

Prova: JogoJ = (n,m,w) e atribuiçãoA: [n]→[m].

j^∗: máquina com carga máxima em A i^∗: tarefa mais leve em j^∗

`(j): carga da máquinaj emA w_i^∗ ≤ ¹₂custo(A).

Não há máquina com carga menor que`(j^∗)−w_i^∗. Ou seja, para todoj ∈[m],

`(j) ≥ `(j^∗)−w_i^∗ ≥ custo(A)−1

2custo(A) = 1

2custo(A) e

OPT(J) ≥ P

i∈[n]wi

m =

P

j∈[m]`(j) m

≥ custo(A) + (m−1)custo(A)/2

m = (m+1)custo(A)

2m

Relembrando...

Prova: JogoJ = (n,m,w) e atribuiçãoA: [n]→[m].

j^∗: máquina com carga máxima em A i^∗: tarefa mais leve em j^∗

`(j): carga da máquinaj emA w_i^∗ ≤ ¹₂custo(A).

Não há máquina com carga menor que`(j<sup>∗</sup>)−w<sub>i</sub><sup>∗</sup>. Ou seja,`(j) ≥ ¹₂custo(A) para todo j ∈[m] e

OPT(J)≥ (m+1)custo(A)

2m ,

donde se conclui que

custo(A) ≤ 2− 2 m+1

OPT(J).

Adaptação de parte da prova

Jogo de balanceamento de cargacom estratégias mistas jogoJ= (n,m,w), vetor de estratégias mistas P

j^∗: máquina com cargaesperadamáxima em P i^∗: tarefa com prob. positiva emj^∗ epi^∗j^∗wi^∗ mínimo.

`(j): carga da máquinaj emP (variável aleatória) custo(P) =E[`(j^∗)] ep_i^∗_j^∗w_i^∗ ≤ ¹₂custo(P). Não há máquina com

cargaesperadamenor que E[`(j^∗)]−pi^∗j^∗wi^∗

(oui^∗ teria incentivo para ir para tal máquina).

Adaptação de parte da prova

Jogo de balanceamento de cargacom estratégias mistas jogoJ= (n,m,w), vetor de estratégias mistas P j^∗: máquina com carga esperadamáxima em P

i^∗: tarefa com prob. positiva emj^∗ epi^∗j^∗wi^∗ mínimo.

`(j): carga da máquinaj emP (variável aleatória) custo(P) =E[`(j^∗)] ep_i^∗_j^∗w_i^∗ ≤ ¹₂custo(P). Não há máquina com

cargaesperadamenor que E[`(j^∗)]−pi^∗j^∗wi^∗

(oui^∗ teria incentivo para ir para tal máquina).

Adaptação de parte da prova

Jogo de balanceamento de cargacom estratégias mistas jogoJ= (n,m,w), vetor de estratégias mistas P j^∗: máquina com carga esperadamáxima em P i^∗: tarefa com prob. positiva emj^∗ epi^∗j^∗wi^∗ mínimo.

`(j): carga da máquinaj emP (variável aleatória) custo(P) =E[`(j^∗)] ep_i^∗_j^∗w_i^∗ ≤ ¹₂custo(P). Não há máquina com

cargaesperadamenor que E[`(j^∗)]−pi^∗j^∗wi^∗

(oui^∗ teria incentivo para ir para tal máquina).

Adaptação de parte da prova

Jogo de balanceamento de cargacom estratégias mistas jogoJ= (n,m,w), vetor de estratégias mistas P j^∗: máquina com carga esperadamáxima em P i^∗: tarefa com prob. positiva emj^∗ epi^∗j^∗wi^∗ mínimo.

`(j): carga da máquinaj emP (variável aleatória)

custo(P) =E[`(j^∗)] ep_i^∗_j^∗w_i^∗ ≤ ¹₂custo(P). Não há máquina com

cargaesperadamenor que E[`(j^∗)]−pi^∗j^∗wi^∗

(oui^∗ teria incentivo para ir para tal máquina).

Adaptação de parte da prova

Jogo de balanceamento de cargacom estratégias mistas jogoJ= (n,m,w), vetor de estratégias mistas P j^∗: máquina com carga esperadamáxima em P i^∗: tarefa com prob. positiva emj^∗ epi^∗j^∗wi^∗ mínimo.

`(j): carga da máquinaj emP (variável aleatória) custo(P) =E[`(j^∗)]e p_i^∗_j^∗w_i^∗ ≤ ¹₂custo(P).

Não há máquina com

cargaesperadamenor que E[`(j^∗)]−pi^∗j^∗wi^∗

(oui^∗ teria incentivo para ir para tal máquina).

Adaptação de parte da prova

Jogo de balanceamento de cargacom estratégias mistas jogoJ= (n,m,w), vetor de estratégias mistas P j^∗: máquina com carga esperadamáxima em P i^∗: tarefa com prob. positiva emj^∗ epi^∗j^∗wi^∗ mínimo.

`(j): carga da máquinaj emP (variável aleatória) custo(P) =E[`(j^∗)]e p_i^∗_j^∗w_i^∗ ≤ ¹₂custo(P).

Não há máquina com

cargaesperadamenor que E[`(j^∗)]−pi^∗j^∗wi^∗

(oui^∗ teria incentivo para ir para tal máquina).

Adaptação de parte da prova

Jogo de balanceamento de cargacom estratégias mistas jogoJ= (n,m,w), vetor de estratégias mistas P j^∗: máquina com carga esperadamáxima em P i^∗: tarefa com prob. positiva emj^∗ ep_i^∗_j^∗w_i^∗ mínimo.

`(j): carga da máquinaj emA (variável aleatória) custo(P) =E[`(j^∗)]e p_i^∗_j^∗w_i^∗ ≤ ¹₂custo(P).

Para todoj ∈[m],

E[`(j)] ≥ E[`(j^∗)]−p_i^∗_j^∗wi^∗ ≥ custo(P)−1

2custo(P) = 1

2custo(P).

Adaptação de parte da prova

Jogo de balanceamento de cargacom estratégias mistas jogoJ= (n,m,w), vetor de estratégias mistas P j^∗: máquina com carga esperadamáxima em P i^∗: tarefa com prob. positiva emj^∗ ep_i^∗_j^∗w_i^∗ mínimo.

`(j): carga da máquinaj emA (variável aleatória) custo(P) =E[`(j^∗)]e p_i^∗_j^∗w_i^∗ ≤ ¹₂custo(P).

Para todoj ∈[m],

E[`(j)] ≥ E[`(j^∗)]−p_i^∗_j^∗wi^∗ ≥ custo(P)−1

2custo(P) = 1

2custo(P).