SEQUˆENCIAS DE AUSLANDER-REITEN Uma motiva¸c˜ao para a Teoria das Representa¸c˜oes de ´Algebras

SEQUˆ ENCIAS DE AUSLANDER-REITEN Uma motiva¸ c˜ ao para a Teoria das

Representa¸ c˜ oes de ´ Algebras

H´ector Merklen Instituto de Matem´atica e Estat´ıstica Universidade de S˜ao Paulo 2007

Resumo

Estas s˜ao as notas de um mini-curso que pretende motivar o es- tudo das representa¸c˜oes de ´algebras. Est´a destinado a alunos que j´a cursaram os primeiros cursos de ´algebra. Trabalharemos num con- texto simplificado. Muitos dos conceitos ou propriedades que ano- taremos podem ser generalizados, mas n˜ao todos eles. Para maiores esclarecimentos, o leitor deve consultar os textos usuais que contˆem as defini¸c˜oes e propriedades mais freq¨uentemente aceitas.

Rela¸c˜ao dos t´opicos:

• O contexto

• Homomorfismos irredut´ıveis e aplica¸c˜oes split e almost split

• Seq¨uˆencias de Auslander-Reiten

• O qu´ıver de Auslander-Reiten

1 O contexto

Neste mini-curso, kdenota um corpo comutativo (por exemplo, Q,R ou C).

Os k−espa¸cos vetoriais, (V,+_V, .v), pertencem a uma esp´ecie de estrutura alg´ebrica definida por duas opera¸c˜oes: +_V (soma de vetores) e . (multiplica¸c˜ao de um escalar dek por um vetor).

Defini¸c˜ao 1. (V,+_V, ._V) ´e um k−espa¸co vetorial se +_V :V ×V →V,

._V :k×V →V,

satisfazem os seguintes axiomas.

• (Ax-v 1) (V,+_V) ´e um grupo comutativo (que denotamos aditi- vamente).

• (Ax-v 2) A multiplica¸c˜ao por um escalar define um endomorfismo de V, i. e.

∀α∈k,∀a, b∈V, α.V(a+V b) =α.Va+V α.Vb;

esta associa¸c˜ao ´e um homomorfismo de an´eis, ou seja

∀α, β∈k, ∀a∈V, (α+_kβ)._Va=α._Va+_V β._Va e

(α×_kβ).Va=α.(β.Va).

• (Ax-v 3) A multiplica¸c˜ao pela unidade de k, 1k, ´e a identidade de V.

Em outras palavras, dar um k−espa¸co vetorial ´e a mesma coisa que dar um grupo, V, e uma a¸c˜ao por endomorfismos de k em V, i.

e. um homomorfismo do an´eis com 1 dekno anel dos endomorfismos do grupo V.

Exemplos 1.

1. (k,+k,×_k) ´e um k−espa¸co vetorial e, mais geralmente, kⁿ com rela¸c˜ao `a extens˜ao natural da soma e do produto ao produto cartesiano tamb´em o ´e.

2. Mn(k), o conjunto das matrizes quadradasn×ncom coeficientes em k, com as opera¸c˜oes usuais, ´e umk−espa¸co vetorial.

Observa¸c˜ao 1. No que segue, n˜ao havendo confus˜oes a temer, de- notaremos todas as opera¸c˜oes soma com o mesmo sinal, +, todos os elementos neutros de grupos aditivos com o mesmo s´ımbolo, 0, e to- das as identidades com o mesmo s´ımbolo, 1. Observamos tamb´em que, como ´e habitual, denotaremos todos os conjuntos providos de es- truturas, como (V,+, .), simplesmente pelo s´ımbolo, V, que denota o conjunto.

Observa¸c˜ao 2. Neste mini-curso vamos supor que todos os espa¸cos vetoriais considerados tˆem dimens˜ao finita.

Recordemos tamb´em a seguinte defini¸c˜ao (dek−´algebra).

Defini¸c˜ao 2. Umak−´algebra,(Λ,+,×, .), ´e um conjunto provido de uma esp´ecie de estrutura alg´ebrica definida pelas seguintes opera¸c˜oes:

• Uma soma, denotada pelo sinal +;

• uma multiplica¸c˜ao, denotada pelo sinal ×ou, n˜ao havendo con- fus˜oes a temer, denotada apenas pela justaposi¸c˜ao dos objetos;

• uma multiplica¸c˜ao por escalares de k, denotada por . ou, n˜ao havendo confus˜oes a temer, denotada apenas pela justaposi¸c˜ao dos objetos;

sujeitas aos seguintes axiomas.

• (Ax-a 1)(A,+,×) ´e um anel associativo com identidade, 1;

• (Ax-a 2)(A,+, .)´e umk−espa¸co vetorial;

• (Ax-a 3) as opera¸c˜oes + e . s˜ao compat´ıveis ou, mais precisa- mente, ∀a, b∈A,∀α∈k,

α.(a×b) = (α.a)×b=a×(α.b) ;

e este elemento pode ser denotado simplesmente porαab.

Exemplos 2.

1. Provavelmente, o exemplo mais simples dek−´algebra ´e dado pelo pr´oprio k, com ambas opera¸c˜oes × e . definidas como iguais `a multiplica¸c˜ao de k.

2. Um dos exemplos mais familiares de k−´algebra ´e a ´algebra de matrizes quadradas de grau n com coeficientes em k. Ela ´e de- notada porMn(k).

3. SeV ´e umk−espa¸co vetorial,End_k(V)(o conjunto das aplica¸c˜oes lineares deV emV), com a soma, a composi¸c˜ao e a multiplica¸c˜ao por escalares de k, ´e uma k−´algebra.

Observa¸c˜ao 3. Olhado do ponto de vista geral, nosso conceito de

´

algebra se refere `as ´algebras associativas com 1. Na defini¸c˜ao geral, o corpo k ´e substituido por um anel associativo, comutativo, com 1.

Cabe ressaltar tamb´em que (neste caso de ´algebras sobre um corpo), a dimens˜ao do espa¸co vetorial correspondente pode ser infinita.

No desenvolvimento da teoria de representa¸c˜oes de ´algebras, para a validade de um leque mais amplo das propriedades, ´e conveniente supor que o corpo k ´e algebricamente fechado e, para simplificar, o leitor pode assumir para todos os efeitos pr´aticos que k ´e o corpo C dos n´umeros complexos.

1.1 M´ odulos

Defini¸c˜ao 3. Dada a ´algebra Λ, um Λ−m´odulo, M, ´e um conjunto provido de duas opera¸c˜oes, + (soma) e . (multiplica¸c˜ao por escalares de Λ) tais que (M,+, .) satisfaz os axiomas dos espa¸cos vetoriais.

Por exemplo, tomando a multiplica¸c˜ao × como multiplica¸c˜ao por escalares, Λ ´e um m´odulo sobre ela mesma (as vezes denotado por

ΛΛ).

E f´´ acil ver ent˜ao que dar um Λ−m´odulo equivale a dar um grupo comutativo (M,+) e uma a¸c˜ao por homomorfismos do anel Λ no grupo M, i. e. um homomorfismo (de an´eis) Φ : Λ−→End(M,+).

Obviamente, a restri¸c˜ao de Φ a k faz deM umk−espa¸co vetorial e, claro, pelo axioma (Ax-a 3), a imagem de Φ fica contida no espa¸co End_k(M) das aplica¸c˜oes k−lineares de M em M. Portanto, dar um Λ−m´odulo ´e dar uma a¸c˜ao por homomorfismos do anel Λ num espa¸co vetorialM.

Neste mini-curso, iremos supor sempre que os m´odulos, M, tˆem dimens˜ao finita (sobre k), digamos m. Ent˜ao, End_k(M) ´e isomorfa `a

´

algebra de matrizesMm(k). Portanto, a imagem deste homomorfismo Φ : A −→ End(M,+) acaba sendo, salvo isomorfia, uma sub´algebra de Mm(k).

Em outras palavras, em nosso contexto simplificado, dar um Λ−m´o- dulo (em particular dar Λ = ΛΛ) ´e equivalente a dar uma ´algebra de matrizes que seja uma imagem homom´orfica de Λ. Por esta raz˜ao os Λ−m´odulos s˜ao tamb´em chamados derepresenta¸c˜oesde Λ.

Assim, nossa ´area de estudo e pesquisa, a Teoria de Repre- senta¸c˜oes de ´Algebras, ´e precisamente a teor´ıa dos m´odulos sobre

´

algebras.

1.2 Homomorfismos, sub-m´ odulos e m´ odulos simples.

Defini¸c˜ao 4. Seja h : N → M uma aplica¸c˜ao do Λ−m´odulo N no Λ−m´odulo M (isto ´e, N e M s˜ao m´odulos, os conjuntos N, M s˜ao os conjuntos subjacentes a esses m´odulos e h ´e uma aplica¸c˜ao entre esses conjuntos). Diz-se que h ´e um homomorphismo de Λ−m´odulos se e s´o se ela ´eΛ−linear, i.e.

h(n+n⁰) =h(n) +h(n⁰) e

h(an) =ah(n).

Da maneira usual s˜ao definidos os conceitos particulares de mono- morfismo, epimorfismo e isomorfismo e os den´ucleooukerneleimagem de um homomorfismo de m´odulos. O n´ucleo e a imagem de h s˜ao denotados, como ´e usual, por kerh e imh.

O conjunto dos Λ homomorfismos do m´odulo M no m´odulo N

´

e denotado por HomΛ(M, N) e, no caso M = N, por EndΛ(M).

Ele ´e um grupo aditivo e, a trav´es da composi¸c˜ao, recebe natural- mente estruturas independentes de m´odulo sobre as ´algebras End_Λ(N) e End^op_Λ(M). Portanto, EndΛ(M) resulta ter estrutura de an´el.

Observa¸c˜ao 4. Os Λ−m´odulos e seus homomorfismos definem uma categoria, denotada por Λ−mod, que ´e, portanto, em particular, o objeto de estudo da teoria das representa¸c˜oes de Λ.

Recordemos que umacategoria,C, ´e dada por uma fam´ılia, obC, cujos membros s˜ao chamados de objetos deCe, para cada dois objetos,

X, Y, de um conjunto, C(X, Y), cujos elementos s˜ao chamados de flechas com origem em X e com t´ermino em Y. Uma seq¨uˆencia de flechas h1, h2,· · ·, h_l se diz concatenante se o t´ermino de cada hi ´e igual ao in´ıcio deh_i+1,i= 1,· · · , l−1.

• (Ax-c 1) Para cada objeto,X, existe um elemento 1X, chamado identidade deX, pertencente a C(X, X);

• (Ax-c 2) Para cada par de flechasα, β concatenantes, quer dizer com o t´ermino da primeira igual ao origem da segunda, existe uma flecha com origem igual ao da primeira e t´ermino igual ao da segunda, chamada a composta deβ porαe denotada porβα.

(Cabe observar aqui que, usualmente, a composi¸c˜ao ´e denotada como uma multiplica¸c˜aoordenada de direita `a esquerda, de forma que o primeiro homomorfismo que se considera (α) ´e aquele que aparece como segundo fator.)

• (Ax-c 3) A composi¸c˜ao de flechas ´e associativa, desde que esteja definida.

• (Ax-c 4) Cada conjuntoC(X, Y) tem um elemento neutro `a direi- ta e um elemento neutro `a esquerda, para a composi¸c˜ao, os quais s˜ao precisamente as identidades dos objetos respectivos. (Ou seja, seα∈ C(X, Y),α=α1X = 1Yα.)

Para indicar que um objeto,α, ´e uma flecha com in´ıcioXe t´ermino Y, ´e utilizada a nota¸c˜ao α:X→Y ou a nota¸c˜ao X →^α Y.

No caso particular deC= Λ−mod, estas flechas s˜ao os Λ−homo- morfismos, i.e. C(X, Y) = HomΛ(X, Y).

Observa¸c˜ao 5. E conveniente apresentar tamb´´ em rapidamente aqui o conceito de qu´ıver (ou carc´as, ou aljava) pois ele tem um papel importante na teoria das representa¸c˜oes de ´algebras. Brevemente, dar um qu´ıver, Q, ´e a mesma coisa que dar uma categoria sem exigir o cumprimento de nenhum axioma. Ou seja, um qu´ıver ´e uma categoria sem explicita¸c˜ao de identidades nem da composi¸c˜ao de flechas.

( ´E comum chamar de v´ertices os objetos de um qu´ıver.)

Portanto, toda categoria tem um quiver subjacente (com as mes- mas flechas e objetos/v´ertices.

Reciprocamente, ´e natural definir uma categoria, C, a partir de um qu´ıver, Q: a categoria dos caminhos (orientados) de Q. Os

objetos desssa categoria s˜ao os v´ertices e os morfismos de X em Y s˜ao os caminhos (i. e. as triplas (X, s, Y) onde s ´e uma sequˆencia finita, concatenante de flechas para a qual X ´e a origem da primeira flecha e Y o t´ermino da ´ultima). A composi¸c˜ao de C ´e dada pela justaposi¸c˜ao de caminhos concatenantes. A identidade de X ´e dada pela seq¨uencia vazia, i.e. 1X = (X,∅, X). (Como j´a observamos ao falar de composi¸c˜ao numa categoria, ´e utilizada geralmente a seguinte nota¸c˜ao: ses´e a seq¨uˆenciaα1, α2,· · · , αl, a composta ´e denotada como produto ordenado de direita a esquerda: α_l.· · · .α2α1.) Costuma-se dizer que o caminho (X, s, Y) vai de X a Y ou liga X com Y.

Observa¸c˜ao 6. Sejam Q um qu´ıver finito (i.e. Q tem um n´umero finito de v´ertices e um n´umero finito de flechas) e B o conjunto de todos os caminhos de Q e consideremos o espa¸co vetorial Λ :=kQ de base B. Definimos uma multiplica¸c˜ao associativa em B da seguinte maneira.

Dados dos caminhosσ = (X;σ₁, σ₂,· · ·, σ_r;Y), τ = (Z;τ₁, τ₂,· · · , τ_s;U)∈B,

σ×τ =

(X;σ₁,· · · , σ_r, τ₁,· · · , τ_s;U) seY =Z

0 em caso contr´ario

(Geralmente, como j´a indicamos, esta multiplica¸c˜ao ´e denotada, sim- plesmente, por uma justaposi¸c˜ao (de direita a esquerda: σ×τ =τ σ.) Seja agora Λ :=kQok−espa¸co vetorial de baseB e estendamos a multiplica¸c˜ao×a Λ por linearidade. Ent˜ao, Λ ´e uma ´algebra chamada a ´algebra dos caminhosde Q.

No caso de um qu´ıver geral, resulta que a ´algebra de caminhos correspondente pode n˜ao ter um 1 e pode ter dimens˜ao infinita. Isso n˜ao acontece quando o n´umero de caminhos ´e finito, para o qual ´e necess´ario e suficiente que emQn˜ao existam circuitos orientados nem la¸cos (i. e. caminhos onde o in´ıcio coincide com o t´ermino). Neste caso, existe o 1 de Λ, que ´e igual `a soma dos caminhos triviais as- sociados aos v´ertices do qu´ıver, e, al´em disso, estes caminhos triviais formam um sistema completo de idemponentes irredut´ıveis (tamb´em chamados primitivos) ortogonais, dois a dois.

Seja Λ umak−´algebra eM um Λ−m´odulo. SejaN um Λ−m´odulo tal que, como conjunto, N ⊂M e tal que suas opera¸c˜oes estruturais,

+ e ., coincidem com as restri¸c˜oes das opera¸c˜oes estruturais de M. Nestas condi¸c˜oes, dizemos que N ´e um subm´odulo de M (nota¸c˜ao:

N < M). Em outras palavras,N < Mse e s´o se a inclus˜aoι:N →M

´

e um homomorphismo.

Qualquer que seja o m´odulo M, os subconjuntos

• {0}

e

• M

definem subm´odulos deM chamados triviais (n˜ao havendo confus˜oes a temer, o primeiro ´e sempre denotado com o mesmo s´ımbolo: 0). Os subm´odulosN diferentes de 0 e deM s˜ao ditos subm´odulos pr´oprios.

Os m´odulos n˜ao nulos que n˜ao tˆem subm´odulos pr´oprios s˜ao chamados m´odulos simples. Por exemplo, seM tem dimens˜ao 1,M ´e simples.

Se h:M →N ´e um homomorfismo de Λ−m´odulos, ent˜ao ker h´e um subm´odulo deM e imh ´e um subm´odulo deN.

Se N ´e um subm´odulo de M, ent˜ao (N,+) ´e um subgrupo de (M,+) e, em conseq¨uencia, o grupo quociente (M/N,+) tem uma estrutura natural de Λ−m´odulo, sendo denominado o Λ−m´odulo quo- ciente de M por seu subm´odulo N.

1.3 Somas diretas e m´ odulos indecompon´ıveis.

E poss´ıvel generalizar para o caso de m´´ odulos a defini¸c˜ao de soma direta de k−espa¸cos vetoriais. Dado M um Λ−m´odulo e (M_i)_i=1,...,l uma fam´ılia de subm´odulos n˜ao nulos deM, dizemos queM ´e asoma diretadestes subm´odulos se cada elementomdeM´e soma de elemen- tos deles:

m=m1+m2+· · ·+m_l, com mi ∈Mi para i= 1,· · · , l e se esta decomposi¸c˜ao ´e ´unica (salvo, claro, a ordem dos somandos).

E ´´ obvio ent˜ao que se se tˆem dois m´odulos que s˜ao somas diretas de subm´odulos

M =M1+M2+· · ·+M_l e N =N1+N2+· · ·+N_l

tais que os somandos do primeiro, osM_i, s˜ao ordenadamente isomorfos aos somandos do segundo, osNi, ent˜ao M ´e isomorfo aN.

Por outro lado, dada qualquer fam´ılia de m´odulos n˜ao nulos, M₁, M₂,· · · , M_l, sempre existe um m´odulo, M, que ´e soma direta de subm´odulos ordenadamente isomorfos a eles. Para constru´ı-lo basta formar o produto cartesiano dos conjuntos M_i e definir de forma na- tural sua estrutura de m´odulo, a partir das estruturas de m´odulo de cada um deles. Assim, identificando cada mi ∈Mi com a seq¨uencia (0,0,· · · , m_i,· · · , 0), resulta cada elemento (m₁, m₂,· · · , m_l) desse produto ser igual `a soma dos m_i.

Por diversos motivos, ´e conveniente generalizar esta defini¸c˜ao para permitir o m´odulo nulo como integrante de uma soma direta. Isto se faz definindo, em geral,M ⊕0 = 0⊕M =M.

Tamb´em, por diversos motivos, ´e conveniente definir estes con- ceitos (produto, soma direta, quociente) como solu¸c˜oes de problemas universais. Em se fazendo assim, eles s´o est˜ao definidos salvo isomor- fia.

Vemos que a estrutura de m´odulo da soma diretaM dos (Mi) est´a determinada ao dizer que as inclusˆoes canˆonicas ι_i : M_i → M e as proje¸c˜oes canˆonicasπ_j :M →M_i s˜ao homomorfismos de m´odulos.

Segue da defini¸c˜ao que o espa¸co vetorial subjacente a uma soma direta de m´odulos ´e a soma direta dos espa¸cos vetoriais subjacentes a eles.

Para indicar que M ´e a soma direta dos M_i s˜ao utilizadas as nota¸c˜oes seguintes:

M =⊕^l₁Mi ou M =

l

a

1

Mi

ou, de forma menos precisa,

M =M1⊕M2⊕ · · · ⊕Ml.

E importante observar que a soma direta est´´ a definida somente a menos de isomorfia. Em outras palavras: todo m´odulo isomorfo a uma soma direta dos membros de uma certa fam´ılia ´e tamb´em uma soma direta desses m´odulos.

E conveniente ter presente tamb´´ em que a dimens˜ao (sobre k) de uma soma direta de m´odulos ´e igual `a soma das dimens˜oes destes.

Dado o m´oduloM, os subm´odulos,N, tais que existe um subm´odu- loN⁰tal queM =N⊕N⁰chamam-sesomandos diretosdeM (e diz-se queN⁰´e umcomplementodeN emM). Para indicar queN´e somando direto deM utilizamos a nota¸c˜ao N|M.

Se A ´e uma fam´ılia de Λ−m´odulos, addA denota a subcatego- ria plena de Λ−mod determinada pelas somas diretas dos somandos diretos dos m´odulos de A. Em particular, addΛ ´e a categoria dos Λ−m´odulosprojetivos.

As somas diretas de m´odulos isomorfos a ΛΛ s˜ao m´odulos proje- tivos especiais chamados dem´odulos livres.

Observa¸c˜ao 7. E f´´ acil ver que toda ´algebra) ´e isomorfa `a ´algebra oposta de sua ´algebra de endomorfismos:

Λ∼= End^op(Λ) de forma que se

Λ =⊕_iPi,

Λ ´e isomorfa ao anel de matrizes (Hom_Λ(P_j, P_i))_i,j

Os m´odulos n˜ao nulos que n˜ao tˆem somandos diretos pr´oprios se dizem indecompon´ıveis. Todo m´odulo simples ´e indecompon´ıvel e ´e f´acil provar (por exemplo, por indu¸c˜ao) que todo Λ−m´odulo n˜ao nulo,M, ´e soma direta de um n´umero finito de Λ−m´odulos indecom- pon´ıveis. Conseq¨uentemente, se denotamos por ˆIa subcategoria plena de todos os m´odulos indecompon´ıveis, Λ−mod = addˆI.

Um importante teorema, oTeorema de Krull-Schmidt, implica que duas decomposi¸c˜oes quaisquer de um m´oduloM como soma direta de m´odulos indecompon´ıveis s˜ao sempre conjugadas por uma unidade de Aut_ΛM. Conseq¨uentemente, as componentes indecompon´ıveis de M s˜ao ´unicas (salvo isomorfia).

A mesma descri¸c˜ao em termos de matrizes das aplica¸c˜oes lineares entre somas diretas de espa¸cos vetoriais aplica-se obviamente `a des- cri¸c˜ao de homomorfismos entre somas diretas de m´odulos, pois eles

tamb´em s˜ao aplica¸c˜oes lineares entre os espa¸cos vetoriais subjacentes a estes.

Mais explicitamente, um homomorfismo

h:M1⊕ · · · ⊕Mm−→N1⊕ · · · ⊕Nl

pode ser representado pela matriz retangular (h_ij)i=1,···,m;j=1,···,l (de m linhas e l colunas) onde hij = πjhιi ´e a proje¸c˜ao sobre Nj da restri¸c˜ao dehaM_i. (Reciprocamente, toda matriz dessa forma define um homomorfismo da soma direta dos M_i na soma direta dos N_j.) Costumamos chamar estes homomorfismoshij de componentesda f.

Por exemplo, a inclus˜ao canˆonica de M em M ⊕N ´e dada pela matriz

1 0

, e a proje¸c˜ao canˆonica deM⊕N sobre M ´e dada pela matriz (1,0).

Sendo que ´e muito f´acil determinar os espa¸cos de homomorfismos HomΛ(M, N) entre duas somas diretas, a partir dos espa¸cos de homo- morfismos entre os somandos, resulta que Λ−mod est´a essencialmente conhecida se se conhece a categoria dos m´odulos indecompon´ıveis.

Portanto, podemos afirmar que o objetivo da Teoria de Repre- senta¸c˜oes de ´Algebras ´e o estudo das categorias de (todos) os m´odulos indecompon´ıveis. (Na verdade, ´e suficiente tomar uma subcategoria plena definida por um representante de cada classe de isomorfia de m´odulos indecompon´ıveis. Tais categorias s˜ao todas isomorfas e uma qualquer delas ´e denotada usualmente por IndΛ).

Da´ı vem uma primeira classifica¸c˜ao das k−´algebras do ponto de vista da Teoria de Representa¸c˜oes de ´Algebras (cuja defini¸c˜ao rigorosa, infelizmente, n˜ao temos espa¸co para registrar aqui):

• Λ ´e detipo(de representa¸c˜ao)finitose s´o existe (salvo isomor- fia) um n´umero finito de Λ−m´odulos indecompon´ıveis;

• Λ ´e detipo mansose seus m´odulos indecompon´ıveis podem ser adequadamente descritos ou caracterizados;

• Λ ´e detipo selvagem se Λ n˜ao ´e mansa.

2 Homomorfismos irredut´ıveis e apli- ca¸ c˜ oes split (ou cindidas) e almost split (ou quase cindidas)

E bom enfatizar que o essencial em uma categoria´ C ´e sua fam´ılia de morfismos. Com efeito, de alguma maneira eles caracterizam tamb´em os objetos j´a que estes s˜ao dados pelas identidades.

Podemos diminuir um pouco o tamanho dessa fam´ılia reduzindo-a ao conjunto formado tomando um objeto representativo de cada classe de isomorfia e considerando a subcategoria plena, ˆC, definida por esses objetos, que se costuma chamar o esqueleto deC. A vantagem ´e clara:

os morfismos de ˆC tamb´em formam um conjunto.

No caso das categorias de m´odulos, este conjunto, para as opera-

¸

c˜oes + e × (soma e composi¸c˜ao), tem um tipo de estrutura que parece muito com a estrutura de anel. A not´oria diferen¸ca ´e que essas opera¸c˜oes est˜ao definidas s´o parcialmente: a soma pode ser feita somente para dois homomorfismos entre os mesmos m´odulos e a composta s´o est´a definida em caso de morfismos concatenados. Con- seq¨uentemente, n˜ao h´a um 1 mas uma infinidade de elementos neutros unilaterais, 1_X, um para cada objeto, X.

O estudo de Λ−mod com rela¸c˜ao `a soma de morfismos ´e relativa- mente simples j´a que todos os HomΛ(X, Y) s˜ao grupos comutativos. A enorme dificultade no estudo da categoria Λ−mod tem raiz no estudo da multiplica¸c˜ao (i. e. da composi¸c˜ao de morfismos).

Um paralelo pode ser feito com o anelZdos n´umeros inteiros (ou, mais geralmente, com outros dom´ınios como os an´eis de polinˆomios sobre um corpo). O comportamento de Z com rela¸c˜ao a + ´e simples:

(Z,+) ´e um grupo abeliano. O dif´ıcil ´e o estudo da estrutura (Z,×).

E isso ´e reconhecidamente assim apesar de existir um elemento neu- tro e de existirem somente dois elementos invers´ıveis (duas unidades, como se costuma dizer): 1 e -1. A grande ferramenta auxiliar de que se disp˜oe ´e dada pelas propriedades dos n´umeros primos, ou dos irredut´ıveis.

No caso dos homomorfismos de m´odulos, devem se considerar, para cada elemento neutro unilateral, 1M, os homomorfismos invers´ıveis lateralmente, `a esquerda e `a direita. Em outras palavras, dado o

m´odulo M, devem se considerar todos os homomorfismos, f, com in´ıcio em M, tais que existe g verificando gf = 1 = 1M e todos os homomorfismos, g, com t´ermino em M, tais que existe f verificando gf = 1. Obviamente, eles se apresentam em pares: para cada f que admite um inverso `a esquerda existe ogtal quegf = 1 eg´e invers´ıvel

`

a direita.

Modernamente, e especialmente em casos mais gerais que as cate- gorias de m´odulos, osf com inverso `a esquerda se chamamse¸c˜oes, e os g com inverso `a direita, retra¸c˜oes. Um exerc´ıcio f´acil mostra que um monomorfismof :M →N ´e uma se¸c˜ao se e s´o se,M|N, i.e. se, salvo isomorfia, M =N⊕N⁰ ef = (1,0)^t(isto ´e: uma componente de f ´e um isomorfismo e a outra ´e igual a 0), ou quef ´e uma se¸c˜ao se e s´o se ´e uma inje¸c˜ao num somando direto. Analogamente, um epimorfismog´e uma retra¸c˜ao se e s´o se ´e uma proje¸c˜ao num somando direto. Por causa disto, os homomorfismos que s˜ao se¸c˜oes se diz que s˜ao monomorfismos split ou cindidos, e os que s˜ao retra¸c˜oes, epimorfismos split ou cindidos.

E se diz apenas “split” ou “cindido” quando o morfismo ´e ou uma coisa ou a outra. Tamb´em se costuma dizer “f ´e split” ou “f cinde” em vez de dizer “f ´e cindido”.

Para estudar “fatora¸c˜oes” de homomorfismos (para a composi¸c˜ao), digamos: f = hlhl−1· · ·h2h1, uma primeira medida simplificadora ´e considerar somente fatora¸c˜oes pr´oprias onde todos os m´odulos inter- medi´arios s˜ao indecompon´ıveis (isto ´e fatora¸c˜oes como essa “percor- rendo” m´odulos indecompon´ıveis) e onde nenhum dos “fatores” cinde.

Com efeito, fatora¸c˜oes impr´oprias, ou triviais, sempre s˜ao poss´ıveis e n˜ao permitem obter nenhuma informa¸c˜ao espec´ıfica. Por exemplo, sef :M →N e se, digamos,h1h2= 1M, ent˜aof = (f h1)h2: qualquer homomorfismo se fatora tendo como fator `a direita um monomorfismo que cinde (ou, claro, tendo como fator `a esquerda um epimorfismo que cinde). Por este motivo, todas as fatora¸c˜oes f = hg onde g ´e um monomorfismo que cinde ou h ´e um epimorfismo que cinde s˜ao chamadas triviais. E um homomorfismo (com o in´ıcio ou o t´ermino indecompon´ıvel) ´e, por defini¸c˜ao, irredut´ıvel se e s´o se n˜ao cinde e s´o admite fatora¸c˜oes triviais (deve se especificar “que n˜ao cinde”

pois para todos os homomorfismos cindidos vale que toda fatora¸c˜ao ´e trivial).

Uma expectativa (exagerada) seria esperar que, dada uma ´algebra Λ, todos os homomorfismos pudessem ser decompostos em um produto

essencialmente ´unico de homomorfismos irredut´ıveis. Esta expectativa em geral n˜ao acontece e s´o pode acontecer em situa¸c˜oes altamente excepcionais. Mas sim ´e verdade que, no caso de algumas ´algebras interessantes, todo morfismo pode ser fatorado numa composta de irredut´ıveis.

Exerc´ıcios 1.

1. Mostre que os homomorfismos irredut´ıveis ou s˜ao monomorfis- mos ou s˜ao epimorfismos.

2. Seja M →^f B um morfismo irredut´ıvel com B indecompon´ıvel e M = M1⊕M2 (somandos diretos diferentes de 0). Ent˜ao a restri¸c˜ao de f a cada um destes somandos ´e tamb´em um ho- momorfismo irredut´ıvel. Em outras palavras, componentes de irredut´ıveis s˜ao irredut´ıveis.

3. Vale a propriedade an´aloga para morfismos irredut´ıveisA→^f M, com A indecompon´ıvel.

Resta ainda o problema de decidir se os morfismos irredut´ıveis existem ou n˜ao.

Auslander e Reiten consideraram os homomorfismosalmost split, ou homomorfismosquase cindidos.

Dado um m´odulo indecompon´ıvel, B, ´e f´acil ver que se, por ex- emplo, g : E → B ´e um epimorfismo que cinde, ent˜ao, para cada h : X → B, sempre existe ˆh : X → E tal que h = gˆh. Em outras palavras, quandog ´e um epimorfismo que cinde, todo homomorfismo com t´ermino enB “se levanta” a E atrav´es deg.

Tamb´em ´e claro que, se h : X → B ´e uma retra¸c˜ao (i. e. um epimorfismo cindido com h⁰ tal que hh⁰ = 1_B), ele se levanta a E atrav´es de g (i. e. existe esse ˆh) se e s´o se g ´e uma retra¸c˜ao, pois gˆh=h implicag(ˆhh⁰) =hh⁰ = 1_B.

Auslander e Reiten observaram que existem homomorfismos n˜ao cindidos, digamos g : E → B, tais que todos os morfismos que n˜ao s˜ao retra¸c˜oes (i. e. que n˜ao s˜ao epimorfismos cindidos) h : X → B se levantam a E. Eles os chamaram de “quase cindidos `a direita”

(ou almost split `a direita). Por exemplo, seB ´e um m´odulo projetivo indecompon´ıvel e se E ´e seu ´unico subm´odulo maximal (i. e. o radical

de B), ent˜ao a inclus˜ao natural E ,→ B ´e um homomorfismo quase cindido `a direita.

O grande m´erito deles foi provar que estes morfismos quase cindidos

`

a direita sempre existem e que, no caso em que B n˜ao ´e projetivo, sempre s˜ao epimorfismos n˜ao cindidos (cf. a se¸c˜ao seguinte).

Dualmente, podem-se introduzir (e pode-se provar que sempre ex- istem se a origem ´e indecompon´ıvel) os morfismos quase cindidos `a esquerda. Um morfismof :A→E´e quase cindido `a esquerda quando ele n˜ao cinde e quando todo homomorfismoh:A→Xque n˜ao ´e uma se¸c˜ao (i.e. que n˜ao ´e um monomorfismo que cinde) se estende a E atrav´es def, quer dizer, existe ˆh:E→X tal queh= ˆhf.

Dizemos, simplesmente, que um morfismo ´e almost split quando ele ´e ou almost split `a direita ou almost split `a esquerda.

Entre os homomorfismos almost split tˆem especial interesse os que s˜ao minimais. O morfismo quase cindido `a direita g : E → B ´e minimal se, para todo morfismog<sup>0</sup> :E<sup>0</sup> → B quase cindido `a direita, tem-se que dim(E)≤dim(E⁰). Tamb´em, um morfismo quase cindido

`

a esquerda f :A→E ´e minimal se, entre todos eles, ´e um no qualE tem dimens˜ao m´ınima.

Exerc´ıcios 2.

1. Mostre que seg:E →B (comB indecompon´ıvel) ´e almost split

`

a direita minimal e seu´e um endomorfismo deEtal quegu=g, ent˜ao u´e um automorfismo.

2. Mostre que seg:E →B (comB indecompon´ıvel) ´e almost split

`

a direita minimal, ent˜ao a restri¸c˜ao de g a todo somando direto n˜ao nulo de E ´a n˜ao nula.

3. Mostre que dois homomorfismos almost split `a direita minimais com t´ermino no mesmo m´odulo indecompon´ıvel, B, sempre s˜ao isomorfos.

4. Enuncie e prove os enunciados duais dos anteriores para o caso de morfismos almost split `a esquerda minimais.

Outra das grandes descobertas de Auslander e Reiten ´e que os morfismos quase cindidos cont´em, por assim dizer, todos os morfismos irredut´ıveis saindo ou chegando a um m´odulo indecompon´ıvel. Este

´

ultimo fato ´e f´acil de provar.

Dados um m´odulo B indecompon´ıvel, um morfismo g : E → B quase cindido `a direita, e um morfismo h :X → B irredut´ıvel, desde que existe ˆhtal queh=gˆh, temos que ˆhcinde e, portanto,h´e isomorfa a uma componente de g. Dualmente, dados A indecompon´ıvel, f : A → E quase cindido, e h : A → X irredut´ıvel, se deduz que h ´e isomorfa a uma componente de f.

Por outro lado, tamb´em ´e verdade que toda componente de um morfismo almost split minimal ´e irredut´ıvel. Para provar isso pode- mos limitarmos ao caso da direita pois o outro ´e tratado dualmente.

Consideremos primeiro um morfismo galmost split `a direita minimal e suponhamos que n˜ao ´e irredut´ıvel. Ent˜ao, existe uma fatora¸c˜ao pr´opria g = h1h2, como h1 no ´e uma retra¸c˜ao, existe h⁰ tal que h₁ = gh⁰. Mas ent˜ao g = g(h⁰h₂) implica que h⁰h₂ ´e um automor- fismo, com o qual h₂ ´e uma se¸c˜ao,contradic¸˜ao! A partir daqui, a afirma¸c˜ao resulta do provado no primeiro dos Exerc´ıcios 1.

3 Seq¨ uˆ encias de Auslander-Reiten

Recordemos que dar uma seq¨uˆencia exata de m´odulos ´e dar um par de homomorfismos, (f, g) tais que f :A → E ´e um monomorfismo e g:E →B um epimorfismo, cujo n´ucleo coincide com a imagem def. Usualmente as seq¨uˆencias exatas s˜ao representadas por um diagrama do tipo seguinte.

0→A→^f E →^g B →0.

E conveniente observar que, como para todo homomorfismo de´ m´odulos vale que a dimens˜ao do dom´ınio ´e a soma das dimens˜oes da imagem e do kernel, para toda seq¨uˆencia exata como acima,

dimE= dimA+ dimB.

Exemplos 3.

1. Dados dois m´odulos, M₁, M₂ a seq¨uˆencia 0→M1

ι1

→M1⊕M2 π2

→M2 →0,

onde ι1 ´e a inclus˜ao canˆonica, ι1(m) =m+ 0, e π2 a proje¸c˜ao canˆonica,π2(m+n) =n, ´e uma seq¨uˆencia exata trivial chamada seq¨uˆencia cindida de M₁ e M₂;

2. ´E claro que em toda seq¨uˆencia exata como 0 → A →^f E →^g B → 0, o ´ultimo m´odulo, B, ´e isomorfo ao quociente de E por f(A). Costumamos dizer, simplesmente, que B ´eE/A. E, dado qualquer monomorfismo f :A→E (resp. epimorfismo,g:E → B) ele define uma seq¨uˆencia exata 0 → A →^f E ^can→ E/A → 0 (resp. 0→kerg ,→E →^g B→0).

Observa¸c˜ao 8. No que segue deveremos mencionar repetidas vezes os Λ−m´odulosinjetivose portanto ´e conveniente identificarlos de al- guma forma. (Os alunos que j´a estudaram algo de ´algebra homol´ogica devem estar familiarizados com este conceito.) Uma forma simples de fazer isto ´e a seguinte. Dada a k−´algebra Λ o dual de seu espa¸co vetorial subjacente tamb´em admite, naturalmente, uma estrutura de k−´algebra, a qual ´e denotada por Λ^op. A dualidade de espa¸cos vetori- ais define ent˜ao uma dualidade de categorias entre Λ−mod e Λ^op−mod (que ´e igual a sua pr´opria inversa) e, precisamente, os correspondentes (i.e. os duais) dos Λ^op−m´odulos projetivos s˜ao os Λ−m´odulos inje- tivos.

Defini¸c˜ao 5. Uma seq¨uˆencia exata(f, g)como acima (que n˜ao cinde)

´

e uma seq¨uˆencia de Auslander-Reiten se:

1. A eB s˜ao indecompon´ıveis;

2. f ´e almost split `a esquerda minimal;

3. g ´e almost split `a direita minimal.

E bom observar que toda seq¨´ uˆencia exata com t´ermino num pro- jetivo (resp. com in´ıcio num injetivo) cinde.

Costumamos abreviar dizendo, ´e uma seq¨uˆencia ARS em vez de ´e uma seq¨uˆencia de Auslander-Reiten.

Observa¸c˜ao 9. A defini¸c˜ao original de Auslander-Reiten n˜ao ´e esta mas ´e logicamente equivalente a esta.

Auslander, Reiten, a maioria de seus alunos e muitos outros mate- m´aticos deram e d˜ao a estas seq¨uˆencias o nome mais t´ecnico de seq¨uˆen- cias almost split ou seq¨uˆencias quase cindidas. N´os preferimos o termo anotado acima em homenagem a eles.

Em 1975 Auslander e Reiten demonstraram o seguinte resultado fundamental (o enunciado deles ´e mais geral pois, como j´a advertimos n´os trabalhamos num contexto simplificado). A demonstra¸c˜ao n˜ao cabe no espa¸co destas notas e, mesmo se couber, exige conhecimentos mais avan¸cados que os que estamos anotando aqui.

Teorema 1.

Seja Λ uma k−´algebra.

• Para cada Λ−m´odulo indecompon´ıvel n˜ao projetivo, B, existe uma seq¨uˆencia ARS com t´ermino em B.

• Para cadaΛ−m´odulo indecompon´ıvel n˜ao injetivo,A, existe uma seq¨uˆencia ARS com in´ıcio por A.

Pelo visto nos exerc´ıcios 1 e 4 de Exerc´ıcios 2, a seq¨uˆencia ARS terminando em B (resp. comen¸cando em A) ´e ´unica salvo isomorfia.

Corol´ario 1. Na defini¸c˜ao 5, basta exigir apenas a propriedade 1 s´o para A (resp. s´o para B) e, conjuntamente, a propriedades 2 (resp. a propriedade 3).

Demonstra¸c˜ao. Com efeito, seja 0 → A →^f E →^g B → 0 uma seq¨uˆencia exata comB indecompon´ıvel egalmost split `a direita mini- mal e seja 0→A^{0 f}

0

→E^{0 g}

0

→B →0 uma seq¨uˆencia ARS terminando em B. Comog⁰´e isomorfa ag, temos que a primeira seq¨uˆencia ´e isomorfa

`

a segunda. Ent˜ao, A ´e indecompon´ıvel e, como f⁰ ´e almost split `a esquerda minimal,f tamb´em ´e almost split `a esquerda minimal.

Exemplos 4.

1. Se Λ = k (os m´odulos s˜ao os espa¸cos vetoriais e todos s˜ao m´odulos livres e, portanto, projetivos), n˜ao existem seq¨uˆencias ARS em Λ−mod.

2. Seja Q o quiver 1 →^α 2. Existem exatamente trˆes caminhos neste qu´ıver: os dois caminhos triviais, 1 e 2, e o caminho com- posto somente pela flecha α, de modo que a ´algebra de camin- hos de Q, Λ = kQ, tem dimens˜ao 3. Se denotamos com P₁ o m´odulo (simples) de base 1 e com P2 o m´odulo (indecompon´ıvel) de base {1, α} vemos que Λ =P1⊕P2 e que eles s˜ao os proje- tivos indecompon´ıveis. Sendo P₁ o radical de P₂, temos que a multiplica¸c˜ao por α, f, ´e o ´unico homomorfismo irredut´ıvel com t´ermino em P2. Conseq¨uˆentemente,f ´e o morfismo almost split

`

a esquerda minimal com in´ıcio emP₁, de forma que 0→P₁ →^f P₂ ^can→ P₂/P₁ →0

´e uma ARS.

Observa¸c˜ao 10. A existˆencia e unicidade (salvo isomorfia) das seq¨uˆencias ARS implica que existem duas quase-correspondˆencias-biun´ıvocas en- tre classes de isomorfia de m´odulos indecompon´ıveis (chamadas de transla¸c˜oes de Auslander-Reiten).

Cada m´odulo indecompon´ıvel n˜ao projetivo, B, determina, salvo isomorfia, um m´odulo indecompon´ıvel, A: aquele tal que ´e o in´ıcio de uma ARS que termina em B (o qual n˜ao ´e injetivo), e vice-versa.

Ent˜ao, se considerarmos estes m´odulos como representantes de suas classes de isomorfia, podemos dizer que a cada B indecompon´ıvel, n˜ao projetivo, corresponde um ´unico A indecompon´ıvel, n˜ao injetivo. E, analogamente, que a cadaA indecompon´ıvel n˜ao injetivo, corresponde desta forma um ´unico B indecompon´ıvel n˜ao projetivo. A primeira

“correspondˆencia” costuma ser denotada porτΛ ou, simplesmente, por τ e ela ´e chamada de transla¸c˜ao de Auslander-Reiten. A segunda que mencionamos ´e sua “inversa” e portanto ´e denotada por τ⁻¹.

Consideremos uma seq¨uˆencia ARS de m´odulos 0→A→^f E→^g B →0

e consideremos uma decomposi¸c˜ao deE em soma direta de somandos indecompon´ıveis:

E=⊕^l₁E_i.

Pelo que j´a sabemos, as restri¸c˜oes deg a cada um dosE_i,g_i, definem morfismos irredut´ıveis com t´ermino B e essas gi, i = 1,· · ·, l, salvo

isomorfia, s˜ao todos os homomorfismos irredut´ıveis com t´ermino em B. Analogamente, as componentes de f correspondentes a cada Ei

definem, salvo isomorfia, todos os morfismos irredut´ıveis com in´ıcio em A. Conseq¨uentemente, a menos de isomorfia, existe uma corres- pondˆencia biun´ıvoca entre esses morfismos irredut´ıveis e, portanto, existe o mesmo n´umero de morfismos irredut´ıveis com t´ermino no m´odulo indecompon´ıvel n˜ao projetivo B = τ⁻¹A que de morfismos irredut´ıveis com in´ıcio no m´odulo indecompon´ıvel n˜ao injetivo A = τ B.

4 O qu´ıver de Auslander-Reiten

Como j´a dissemos, dada a k−´algebra Λ, a teoria das representa¸c˜oes de ´algebras tem como objetivo essencial o estudo da categoria IndΛ das classes de isomorfia dos Λ−m´odulos indecompon´ıveis.

Para avan¸car um pouco nessa dire¸c˜ao, precisamos de alguns detal- hes que anotaremos a seguir sem demonstra¸c˜oes.

E importante estar ciente de que como no termo do meio de uma´ seq¨uˆencia ARS podem aparecer somandos diretos indecompon´ıveis iso- morfos entre si, dados dois m´odulos indecompon´ıveis, salvo isomorfis- mos, pode existir mais de um homomorfismo irredut´ıvel com in´ıcio em um e t´ermino no outro (cf. o exemplo 1 de Exemplos 5).

SejamM, N dois m´odulos indecompon´ıveis. Ent˜ao Hom_Λ(M, N) ´e umk−espa¸co vetorial de dimens˜ao finita e os homomorfismos n˜ao iso- morfismos de origemM e t´erminoN formam um subespa¸co denotado por rad_Λ(M, N) ou, n˜ao havendo confus˜oes a temer, por rad(M, N).

Interessa considerar a cadeia dos subespa¸cos rad^m(M, N) gerados pelas composi¸c˜oes de seq¨uˆencias de irredut´ıveis de comprimento m com in´ıcio em M e t´ermino em N. E claro que todos os morfismos ir-´ redut´ıveis est˜ao em rad(M,N) mas n˜ao em rad²(M, N), motivo pelo qual o quociente rad(M,N)/rad²(M, N) := Irr(M, N) ´e chamado de espa¸co dos morfismos irredut´ıveis com in´ıcio em M e t´ermino em N. Defini¸c˜ao 6. Dada a k−´algebra Λ e fixada uma categoria de in- decompon´ıveis, IndΛ, chama-se qu´ıver de Auslander-Reiten ou AR-quiver de Λ, o qual ´e denotado por Γ_Λ, ou simplesmente por Γ, o qu´ıver definido como segue.

• Os v´ertices de Γ_Λ s˜ao os objetos de IndΛ;

• Dados dois v´erticesM, N o conjunto de flechas com in´ıcio M e t´erminoN tem tantos elementos como a dimens˜ao de Irr(M, N) (i. e. est´a em correspondˆencia biun´ıvoca com uma base deste espa¸co).

Para dizer que M (resp. que α) ´e um v´ertice (resp. uma flecha) do AR-quiver Γ escreveremosM ∈Γ (resp. α∈Γ).

Observa¸c˜ao 11. Junto com o AR-quiver s˜ao considerados alguns de seus subquivers que tambˆem s˜ao importantes na teoria, como:

• A parte est´avel, Γs, de Γ ´e o subquiver cujos v´ertices s˜ao m´odulos indecompon´ıveis de IndΛ que n˜ao s˜ao nem projetivos nem injetivos.

As “correspondˆencias”τ e sua “inversa”τ⁻¹definem permuta¸c˜oes (i.e. correspondˆencias biun´ıvocas) da parte est´avel do AR-quiver de Γ, Γs, inversas entre si. S˜ao chamadas detransla¸c˜oesde Γ_Λ. Costuma-se fazer referˆencia a este fato dizendo que o AR-qu´ıver

´e um qu´ıver com transla¸c˜ao.

• Para cada v´ertice N n˜ao projetivo existe em IndΛ uma ´unica seq¨uˆencia ARS com t´ermino em N. Considerando uma decom- posi¸c˜ao do termo do meio em soma direta de indecompon´ıveis, vemos que esta seq¨uˆencia ARS define um subqu´ıver de Γ_Λ que ´e da forma

•

//

////

////

////

•

@

@@

@@

@@

• GG

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~~

~~

~~

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@@

@@ •

•

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~~

~~

~~

Estes subqu´ıvers do qu´ıver de Auslander-Reiten definidos pelas ARS’s s˜ao chamados malhas oumeshes.

• A existˆencia de um passeio (i.e. uma seq¨uˆencia de flechas n˜ao necessariamente concatenantes entre dois v´ertices do AR-quiver)

´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia. Os subqu´ıvers definidos por suas

classes de equivalˆencia s˜ao chamadas componentes conexas de Γ.

Ao desenhar o diagrama do AR-quiver ΓΛ costuma-se ligar dois v´ertices com uma linha pontilhada quando eles se correspondem pela transla¸c˜ao. Por exemplo, uma parte de um tal quiver pode aparecer como segue.

•

@

@@

@@

@@

•

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~~

~~

~~

@

@@

@@

@@ •

•

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~~

~~

~~

•

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~~

~~

~~

Vemos que este diagrama exibe duas malhas. A primeira (`a es- querda, abaixo) tem apenas um v´ertice no meio e a outra tem dois.

Freq¨uentemente os diagramas dos AR-quivers s˜ao constru´ıdos colo- cando no lugar do v´ertice um n´umero (que indica a dimens˜ao) ou um diagrama de Hasse do m´odulo indecompon´ıvel correspondente. Por ex- emplo, o diagrama precedente apareceria como segue (se as dimens˜oes forem as indicadas).

3 >

>>

>>

>>

2

@@

>>

>>

>>

> 2

1

@@

1

@@

Deve se observar que, para cada malha, a soma dos n´umeros inter- medi´arios (por exemplo 3+1 no caso da malha de cima) deve ser igual

`

a soma dos n´umeros nos extremos (2+2 no caso).

Diz-se que uma ´algebra Λ ´e indecompon´ıvel (como anel) se ela n˜ao

´

e isomorfa ao produto cartesiano de dois an´eis (associativos, com 1).

Se Λ ´e produto cartesiano de uma fam´ılia de ´algebras (Λ_i)_i, seu AR- quiver ´e uni˜ao disjunta dos AR-quivers das Λi’s. ´E claro que, se Λ ´e indecompon´ıvel e se todos os projetivos indecompon´ıveis (ou, equiva- lentemente, todos os injetivos indecompon´ıveis) de IndΛ est˜ao ligados

por morfismos irredut´ıveis, ent˜ao todos eles (resp. todos esses inje- tivos) pertencem `a mesma componente conexa do AR-quiver. Sabe-se que isto acontece no caso das ´algebras heredit´arias (ver defini¸c˜ao na sub-sec¸c˜ao 4.1).

Diz-se que Λ ´e uma ´algebra b´asica se, em toda decomposi¸c˜ao de Λ como soma direta de indecompon´ıveis, dois somandos quaisquer nunca s˜ao isomorfos (i.e. cada projetivo indecompon´ıvel aparece como somando direto da ´algebra com multiplicidade 1). Pode se provar que toda ´algebra, Λ, ´e Morita-equivalente a uma ´algebra b´asica, Λ⁰. Mais precisamente: dada Λ existe uma ´algebra Λ⁰, e esta ´e ´unica a menos de isomorfia, tal que Λ−mod ´e uma categoria equivalente a Λ⁰−mod.

Em outras palavras, se Λ ´e b´asica a categoria Λ−mod determina Λ salvo isomorfia. Isto quantifica melhor a importˆancia da teoria de representa¸c˜oes de ´algebras como ferramenta para o estudo das ´algebras em si.

Estes fatos fazem com que, na teoria das representa¸c˜oes de ´algebras, estas s˜ao sempre supostas indecompon´ıveis e b´asicas.

N´os adotaremos esta conven¸c˜ao de aqui em diante.

Exemplo. As ´algebras de caminhos de um qu´ıver conexo sempre s˜ao indecompon´ıveis e b´asicas.

Os m´odulos ligados a projetivos pela aplica¸c˜ao iterada da transla¸c˜ao de Auslander-Reiten s˜ao chamados tradicionalmente depr´e-projeti- vos. Alguns autores mais modernos, atendendo a outros aspectos, preferem cham´a-los dep´os-projetivos.

Quando todos os projetivos (resp. injetivos) pertencem a uma mesma componente de Γ, ela cont´em todos os pr´e-projetivos (resp. to- dos os pr´e-injetivos). Esta componente ´e chamada depr´e-projetiva (resp. de pr´e-injetiva). ´E poss´ıvel provar que, se Λ ´e heredit´aria, ela est´a constitu´ıdaexclusivamente por pr´e-projetivos (resp. pr´e-inje- tivos).

Infelizmente n˜ao temos nenhuma possibilidade de desenvolver to- dos os detalhes nem todas as demonstra¸c˜oes.

4.1 AR-quivers de ´ algebras heredit´ arias

Queremos apresentar aqui um exemplo bastante interessante: um al- goritmo para a constru¸c˜ao da componente pr´e-projetiva do AR-quiver de uma ´algebra heredit´aria.

Diz-se que Λ ´e heredit´aria se todo subm´odulo de um projetivo

´

e projetivo (ou, equivalentemente, todo quociente de um injetivo ´e injetivo). Anotemos algumas propriedades de ´algebras heredit´arias que precisaremos na nossa apresenta¸c˜ao. A ´algebra ser´a denotada por Λ, seu AR-quiver por Γ, o subquiver dos projetivos por P e a componente pr´e-projetiva porP.

• A dimens˜ao do radical de um projetivo indecompon´ıvel de di- mens˜ao d´e d−1.

• Todo morfismo irredut´ıvel X → Y com t´ermino num projetivo indecompon´ıvel (resp. com in´ıcio num injetivo indecompon´ıvel)

´e um monomorfismo (resp. um epimorfismo) comX projetivo e somando direto do radical deY (resp. comY injetivo e somando direto deX/socY).

Conseq¨uentemente, n˜ao podem existir circuitos orientados no qu´ıverP.

A seguir, vamos considerar diversos subquivers de Γ. (Todos ser˜ao subqu´ıvers plenos e, portanto, podem ser definidos por seus respectivos conjuntos de v´ertices.)

Se Q ´e um subquiver de Γ denotamos por ϕ(Q) o conjunto das fontes deQ, i.e. dos v´ertices que n˜ao s˜ao t´ermino de nenhuma flecha.

Como P n˜ao tem circuitos orientados, ϕ(P) n˜ao ´e vazio e, como Λ

´

e heredit´aria, cada indecompon´ıvel projetivo que ´e uma fonte tem dimens˜ao 1 (i.e. ´e um m´odulo simples).

A seguir, definimos por indu¸c˜ao uma seq¨uˆencia (Q_n)_n de subqui- vers de Γ. Nesta defini¸c˜ao usamos a seguinte nota¸c˜ao. τ⁻¹\(ϕ(Qn))

´

e o quiver cujos v´ertices e flechas s˜ao: os v´ertices de τ⁻¹(ϕ(Q_n)), as flechas com t´ermino nesses v´ertices e os v´ertices que s˜ao os in´ıcios dessas flechas.

• Q₀ =P ;

• Q₁ =Q₀\ϕ(Q₀)∪τ⁻¹\(ϕ(Q₀));

• Q₂ =Q₁\ϕ(Q₁)∪τ⁻¹\(ϕ(Q₁));

• supondo queQ_nj´a foi definido,Q_n+1=Q_n\ϕ(Q_n)∪τ⁻¹\(ϕ(Q_n)).

O que pretendemos ´e provar que P=

∞

G

0

Qn (∗),

ou seja que o processo descrito ´e equivalente, na verdade, a um al- goritmo (possivelmente infinito) para construir a componente pr´e- projetiva de uma ´algebra heredit´aria.

Cabe registrar que existem rela¸c˜oes profundas deste algoritmo com os prim´ordios da teoria das representa¸c˜oes de ´algebras heredit´arias:

funtores de reflex˜ao cl´assicos, funtores de Coxeter, formas quadr´aticas, sistemas de ra´ızes, grupo de Weyl, etc.

Antes de escrever a demonstra¸c˜ao, vamos desenvolver um exemplo simples. Neste exemplo colocaremos a dimens˜ao do m´odulo no lugar do v´ertice correspondente.

Sabe-se que a ´algebra do quiver • ← • ← •´e heredit´aria e que seu AR-quiver, Q0, dos projetivos indecompon´ıveis ´e

3

2

@@

1

@@

.

Este quiver tem exatamente uma fonte e vemos queQ1´e o seguinte 3

2

@@

>>

>>

>>

>

1 .

Finalmente,Q₁ tamb´em tem uma s´o fonte e resulta que Q₂ ´e 3

>

>>

>>

>>

2

1

@@

.

Este quiver tem duas fontes. Vemos que a primeira corresponde a um m´odulo injetivo, pois nele tem in´ıcio somente uma flecha cujo t´ermino ´e um indecompon´ıvel com dimens˜ao menor. Portanto, Q3 ´e o quiver

2 >

>>

>>

>>

1 .

O algoritmo termina aqui pois este quiver tem uma ´unica fonte, que

´

e um injetivo.

Asssim, a uni˜ao de Q0,Q1,Q2 e Q3 ´e 3

>

>>

>>

>>

2

@@

>>

>>

>>

> 2

>

>>

>>

>>

1

@@

1

@@

1 que ´e exatamente o AR-quiver de nossa ´algebra.

Exerc´ıcios 3.

1. Com as nota¸c˜oes acima, mostrar que todo m´odulo de P ´e o t´ermino de um caminho orientado come¸cando num projetivo.

( Sugest˜ao para uma demonstra¸c˜ao: DadoM ∈P, definir ˆd(M) como o comprimento de um passeio de comprimento m´aximo que liga M a um projetivo. Seja M tal que todo indecompon´ıvelN dePcom ˆd(N)<d(Mˆ ) tem a propriedade do enunciado. Basta provar que M tamb´em satisfaz a propriedade. Considere-se um passeio de um projetivo at´e M com comprimento m´aximo. Se

M ´e projetivo, ou se a ´ultima flecha deste passeio tem t´ermino em M, ou se o indecompon´ıvel anterior a M no passeio, N, ´e projetivo, ent˜ao a prova ´e imediata. Portanto, podemos supor que essa ´ultima flecha tem in´ıcio em M e t´ermino em N, e que N n˜ao ´e projetivo. Segue que τ⁻¹(N) satisfaz a propriedade, o que fornece um caminho de um projetivo at´e M.)

2. Com as nota¸c˜oes acima, mostre que todo m´odulo de P ´e fonte de algum Q_n. (Sugest˜ao para a demonstra¸c˜ao: usar o resultado do exerc´ıcio precedente.)

3. Mostre que o algoritmo de constru¸c˜ao de P termina (i. e. P ´e finita) quando algum qu´ıver, digamos,Q_n ´e vazio. Isto acontece quando todas as fontes de um dos qu´ıvers s˜ao m´odulos injetivos.

A partir deste lugar, cada novo qu´ıver ´e obtido simplesmente deletando as fontes do precedente.

Para que o algoritmo termine ´e suficiente que Λ seja de tipo de representa¸c˜ao finito. Por outro lado, ´e poss´ıvel provar que se o AR-quiver de uma ´algebra tem uma componente com um n´umero finito de indecompon´ıveis, ent˜ao ela ´e de tipo finito. Portanto o t´ermino de nosso algoritmo ´e tamb´em condi¸c˜ao necess´aria para isto.

Prova de (*). A prova ´e baseada no resultado do segundo exerc´ıcio de 3. DadoM ∈P, seM ´e projetivo,M ∈Q₀. SeM n˜ao ´e projetivo, τ(M) ´e fonte de, digamos,Q_n, e, portanto, est´a emQ_n+1. Seja agora αuma flecha deP. Se o t´ermino deαest´a emP,α∈Q0. Se o t´ermino de α´eM ∈Q_n, n˜ao projetivo, ent˜ao, pela pr´opria defini¸c˜ao, α∈Q_n.

Exemplos 5.

1. Seja Λ a ´algebra de Kronecker sobre k. Isto ´e, Λ ´e definida pela nota¸c˜ao

k S 0 k

,

onde S ´e um Λ−m´odulo de dimens˜ao 2. Isso significa que Λ ´e o conjunto de todas as matrizes da forma

a (b, c)

0 d

, com a, b, c, d∈k.

Os projetivos indecompon´ıveis s˜ao determinados pelas colunas de Λ, de forma que o primeiro deles, P1, tem dimens˜ao 1 (´e simples) e o segundo,P2, tem dimens˜ao 3.

Sendo

Λ∼= End^op_Λ(P₁⊕P₂)∼=

∼=

End^op(P1) Hom(P1, P2) Hom(P₂, P₁) End^op(P₂)

(ver observa¸c˜ao 7) vemos que S ´e isomorfo a HomΛ(P1, P2).

E f´´ acil ver queS´e um ideal bilateral de Λ e, mais precisamente, que ´e o radical de Jacobson de Λ e o radical do projetivo P₂. Tendo dimens˜ao 2, temos que ele ´e isomorfo `a soma direta de duas c´opias de P1.

Portanto, o AR-quiver dos projetivos ´e 3

1

<D

Este qu´ıver tem uma ´unica fonte e vemos que ela inicia uma seq¨uˆencia ARS cujo termo do meio tem dimens˜ao 6 (por ser soma direta de duas c´opias do segundo projetivo). Realizando nossa contru¸c˜ao, vemos queP´e um qu´ıver infinito porque a seq¨uˆencia das dimens˜oes cresce indefinidamente:

3

"

>>

>>

>>

>

>>

>>

>>

> 7

"

>>

>>

>>

>

>>

>>

>>

> 11

'H

HH HH HH H

HH HH HH

HH · · · ·

1

<D

5

<D

9

;C~

~~

~~

~~

~~

~~

~~

~ 13 · · ·

· · · 2n−1

!)K

KK KK KK KK

KK KK KK KK

K · · ·

· · · 2n+ 1 · · ·

2. Seja agora Λ uma ´algebra heredit´aria cujo AR-quiver dos proje- tivos ´e o seguinte.

5

4

OO

3

OO

1

@@

1

^^>>>

>>>>

e realizemos a constru¸c˜ao da componente P. O quiver obtido ´e o seguinte.

5

))S

SS SS SS SS SS SS SS SS SS

S 1

))S

SS SS SS SS SS SS SS SS SS

S 1

))S

SS SS SS SS SS SS SS SS SS

S 1

4

OO ))SSSSSSSSSSSSSSSSSSSS 6

OO ))SSSSSSSSSSSSSSSSSSSS 2

OO ))SSSSSSSSSSSSSSSSSSSS 2

OO

3

OO ;;;;;;;;;;;;;;;;;

++X

XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX

X 5

OO ;;;;;;;;;;;;;;;;;

++X

XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX

X 7

OO ;;;;;;;;;;;;;;;;;

++X

XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX

X 3

OO

1 ffMMMMM

MMMMMMMM

2 ffMMMMM

MMMMMMMM

3 ffMMMMM

MMMMMMMM

4 ffMMMMM

MMMMMMMM 1

GG

2 GG

3 GG

4 GG

e, como se vˆe, ´e um quiver finito.

Deste resultado deduzimos que esta ´algebra ´e de tipo finito. Seu AR-quiver tem 4 c´opias do quiver dos projetivos (um total de 20 m´odulos indecompon´ıveis), sendo que a ´ultima dessas c´opias, como podemos ver pelas dimens˜oes, ´e o AR-quiver dos m´odulos injetivos.

Para referˆencias e para avan¸car mais na teoria, pode-se con- sultar

M. Auslander, I. Reiten e S.Smal∅, Representation Theory of Artin Algebras, Cambridge Univ. Press, 1995.

I. Assem, A. Skowro´nski e D. Simson,Elements of the Representation Theory of Associative Algebras, Cambridge Univ. Press, 2005.