Análise Combinatória, Probabilidade e Aplicações - Lista 2.
Ex 1 Prove usando um argumento combinatório que:
n
X
k=1
k n
k
=n2n−1
Solução: Seja um grupo de n pessoas e as duas seguintes maneiras de se determinar o número de possíveis seleções de uma diretoria de qualquer tamanho com um diretor presidente. O lado esquerdo pode ser visto como o número de pos- síveis maneiras de se formar uma diretoria de tamanho k, k ∈ {1, ..., n} em que há um diretor presidente. O lado direito corresponde a escolha do diretor presi- dente, n possibilidades, e a posterior escolha dos membros pertencentes à diretoria, para cada um dosn−1restantes há duas possibilidades, pertencer ou não à diretoria.
Ex 2 SejaΩ = {a1, a2, ..., an}. Em quantos subconjuntos de tamanho p:
a) a1 pertence?
Temos que escolher p−1 elementos de {a2, ..., an}, logo há n−1p−1 . b) a1 não pertence?
Temos que escolher pelementos de {a2, ..., an}, logo há n−1p . c) a1 e a2 figuram?
Temos que escolher p−2 elementos de {a3, ..., an}, logo há n−2p−2 . d) Pelo menos um dos elementos a1 e a2 pertencem?
Há n−2p
subconjuntos em que não figuram a1 ea2 entre seus elementos. Há
n p
subconjutos de tamanho p. Logo o total de subconjuntos em que figura pelo menos um dos elementos a1 ou a2 é np
− n−2p . e) exatamente um dos elementos a1, a2 pertence?
O núemro de subconjuntos em que pelo menos um deles figura é np
− n−2p . O número de subconjuntos em que os elementos a1 e a2 figuram é n−2p−2
. Logo, o número de subconjuntos em que exatamente um deles figura é np
− n−2p
− n−2p−2 . Ex 3 Prove, usando um argumento combinatório, que:
n k
−
n−k k
<
n k
k2n−1
1
Ex 4 De quantos modos é possível colocar em fila h homens e m mulheres, to- dos de alturas diferentes, de modo que os homens entre si e as mulheres entre si fiquem em ordem crescente de alturas?
Solução: Uma vez escolhido o lugar dos homens, o das mulheres fica de- terminado. Feito isso, há também uma só maneira de se dispor os homens e as mulheres, que é na ordem crescente de suas alturas. Logo, temos apenas que deter- minar a escolha das posições dos homens h+mh
que obviamente é igaul ao número de maneiras de se escolher a posição das mulheres h+mm
, pois cada escolha de um deles, corresponde a nào escolha dos outros.
Ex 5De quantos modos é possível colocar em uma prateleira 5 livros de matemática, 3 de física e 2 de estatística, de modo que livros de um mesmo assunto permaneçam juntos?
Solução: Considerando os livros de um mesmo assunto como "blocos", há 5!, 3! e 2! possibilidades de permutações intra "blocos"de livros. Há também outras 3!
possibilidades de se permutarem os "blocos"entre si. Logo há5!3!2!3!possibilidades.
Ex 6 De quantos modos r rapazes e m moças podem se colocar em fila de modo que as moças fiquem juntas?
Solução: Repetindo o raciocínio do exercício quinto e considerando as moças como pertencentes a um "bloco"único, segue-se então que: há(r+ 1)! possibilidades de permutações entre os r rapazes e o "bloco"de moças, estas por sua vez, podem permutar-se de m!maneiras. Logo há (r+ 1)!m!possibilidades.
Ex 7 Uma fila de cadeiras no cinema tem 20 poltronas. De quantos modos 6 casais podem se sentar nessas poltronas de modo que nenhum marido se sente separado de sua mulher?
Solução: Imaginando cada casal como um "bloco", temos 2 possibilidades de permutação em cada bloco, e portanto 26 possibilidades em todos os "blocos".
Há também 6!possibilidades de se permutarem os casais nas posições que os mesmo ocupam. Resta saber agora, o total de possibilidades que os 6 casais podem ocu- par as 20 posições satisfazendo às condições do problema. Temos então 6 "blo- cos"representando os casais e 8 espaços vazios. Então há 146
maneiras de se escol- herem seis casais específicos para ocuparem as posições deles. Logo há 266! 146
. Ex 8 Mostre que:
n
X
k=1
n k
k2 = 2n−2n(n+ 1)
2
Solução: Seja uma empresa formada porn pessoas e que se queira escolher uma diretoria em que há um diretor e sub diretor, possivelmente sendo a mesma pessoa.
O lado esquerdo corresponde a todas as possíveis diretorias formadas da seguinte maneira: escolhem-se os k menbros da diretoria e depois o diretor e sub diretor.
Agora pensemos primeiro na escolha dos diretores e depois em todas as even- tuais possíveis diretorias. Há n2n−1 em que a mesma pessoa ocupa os cargos de diretor e sub diretor. Há n(n−1)2n−2 diretorias em qe os cargos de diretor e subdi- retor são ocupados por pessoas diferentes. Como o número de diretorias formadas a partir da escolha inicial dos diretores é a soma dessas duas possibilidades, ou seja, n2n−1+n(n−1)2n−2 = 2n−2n(n+ 1), segue-se o resultado.
Ex 9 Um conjunto A possui p elementos e um conjunto B possui n elementos.
Determine o número de funções f :A→B sobrejetoras para p=n+ 2.
Solução: Se três elementos deAtêm a mesma imagem emB temos um total de: n+23
n(n−1)! escolhas de funções.
Há dois pares de elementos de A com imagens idênticas em B temos então um total de n2 n+2
2
n
2
(n−2)! escolhas de funções.
Logo, o total de funções é:
n+ 2 3
n(n−1)! + n
2
n+ 2 2
n 2
(n−2)! = n(3n+ 1)(n+ 2)!
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Ex 10 Quantas partições de n elementos em k subconjuntos, com n1, n2, ..., nk elementos respectivamente?
Solução: Há nn
1
possibilidades de escolha para o primeiro subconjunto,
n−n1 n2
para o segundo subconjunto,..., 1 possibilidade n−n1−...−nn k−1
k
para o último subconjunto.
Logo, o total de partições é:
Pnn1,n2,...,nk = n
n1
n−n1 n2
...
n−n1−...−nk−1
nk
= n!
n1!n2!...nk!
3
