Cálculo II. Derivadas Parciais

Cálculo II

(I)

Definição



_{Se f é uma função de duas variáveis, suas}

derivadas parciais são as funções f

e f

definidas por

(

, )

( , )

( , )

lim

f x

h y

f x y

f x y

h







( ,

)

( , )

( , )

lim

f x y

h

f x y

f

x y

h

 



Para calcular a derivada parcial

Para achar f

, olhe y como constante e

diferencie f (x,y) com relação a x.

2.

Para achar f

, olhe x como constante e

Notações

_{Se z = f (x,y) escrevemos}

( , )

f x y



f

f

x







x

f x y

( , )







z

x









f



D f



D f

( , )

f

x y



f

f

y







y

f x y

( , )







z

y









f



D f



D f

Exemplo 1



Se determine e

f

(2,1)

(2,1)

y

Interpretação Geométrica das Derivadas

Parciais

Exemplo 1



Se ache e



e interprete esses números como

inclinações.

2 2

( , )

4

2

Exemplo 3

Se , calcule e .

f

x





f

y





Funções de mais de uma

variável



_{Se u é uma função de n variáveis,}

, sua derivada parcial em



_{relação à i-ésima variável x}

é

1 2

( ,

,

)

u



f x x



x

Exemplo 1

Derivadas parciais de 2ª ordem

_{Se z = f (x,y) usamos as notações}

 

f



f



f

f

x

x

 

_

_



_

_



_



_

f

x







z

x







 

f



f



f

f

y

y





 



_

_



_



_

f

y







z

y







 

f



f



f

f

x

y





 



_

_



_



_

f

x y





 

z

x y





 

 

f



f



f

f

y

x

 

_

_



_

_



_



_

f

y x





 

z

y x





 

Exemplo 2



Determine as derivadas parciais de segunda

ordem de

f x y

( , )



x



x y



2

y

Teorema de Clairaut



_{Suponha que f seja definida em uma bola}

aberta D que contém o ponto (a,b). Se as

funções f

e f

forem ambas contínuas

em D, então

( , )

( , )

x y yx

Derivadas de ordem 3

f

 

f



f

y

y x





 



_

_



_

 

_

f

y x





 

Exemplo 3

Exemplo 2



Determine as derivadas parciais de

Diferenciabilidade

 Lembre-se que uma função f de uma variável é

chamada de diferenciável em x₀ se tiver uma

derivada em x_0, isto é, se o limite existir.

 A função f que for diferenciável em um ponto x₀

tem duas propriedades importantes:

1. f(x) é contínua em x₀

2. O gráfico de y=f(x) tem uma reta tangente

 Queremos ampliar a noção de diferenciabilidade para funções de 2 variáveis, de tal forma que seja válido um análogo natural destas 2 propriedades. Mais precisamente, quando f(x,y) for diferenciável

em (x_0, y₀) vamos querer que:

 f(x,y) é contínua em (x_0, y₀)

 A superfície z=f(x,y) tem um plano tangente não vertical em (x_0, y₀)

 Seria razoável imaginar que uma função f de 2 variáveis pudesse ser chamada de diferenciável

em (x_0, y₀) se as duas derivadas parciais

existirem em (x_0, y₀). Infelizmente esta condição

não é forte o suficiente para satisfazer nossos objetivos, uma vez que há funções que tem derivadas parciais em um ponto, mas não são contínuas naquele ponto.

Diferenciabilidade

 Sabemos que o gráfico de uma função derivável

constitui uma curva que não possui pontos

angulosos, isto é, uma curva suave. Em cada ponto do gráfico temos uma reta tangente única.



Similarmente, queremos caracterizar uma

função diferenciável de duas variáveis

f(x,y) pela

suavidade do seu gráfico

. Em

cada ponto (xo, yo, f(xo,yo)) do gráfico de

f deverá existir um único plano tangente,

que represente uma “boa aproximação” de

f perto de (xo,yo).



Para entendermos o que significa uma

“boa aproximação” para a função f perto

de (xo,yo) vamos trabalhar com:

 Assim na situação que existir o plano tangente

ao gráfico de z=f(x,y) no ponto (x_0, y₀,f (x_0, y₀)),

esse plano será dado pela equação (7).

 De maneira informal, dizemos que f(x,y) é diferenciável em (x_0, y₀) se o plano dado pela equação (7) nos fornece uma boa aproximação para f(x,y) perto de (x_0, y₀). Ou seja quando (x,y) se aproxima de (x_0, y₀), a diferença entre f(x,y) e z=h(x,y) se aproxima mais rapidamente de zero. Temos a seguinte definição.

 É importante ressaltarmos os seguintes pontos sobre a definição de diferenciabilidade:

a) Para provar que uma função é diferenciável em (x_0,

y₀) usando a definição, devemos mostrar que as derivadas parciais existem em (x_0, y₀), e além disso , que o limite da equação (8) é zero.

b) Se uma das derivadas parciais não existe no ponto

(x_0, y₀) f não é diferenciável neste ponto;

c) Se o limite dado na equação (8) for diferente de

zero ou não existir, f não é diferenciável no ponto (x_0, y₀), mesmo se existirem as derivadas parciais nesse ponto.

 Condições suficientes para a diferencibilidade

Teorema1: Se f tiver derivadas parciais de primeira ordem em cada ponto de alguma região circular centrada em (x_0,

y₀), e se essas derivadas parciais forem contínuas em (x_0, y₀), então f é diferenciável em (x_0, y₀).

Relações entre a diferenciabilidade e a continuidade

Teorema 2: Se f é diferenciável em (x_0, y₀), então f é contínua em (x_0, y₀),

O Teorema 2 afirma que para uma função de duas variáveis

diferenciabilidade implica em continuidade. Contudo somente a existência das derivadas parciais em um ponto não implica na diferenciabilidade nesse ponto.

 OBSERVAÇÕES

 Uma função f(x,y) é diferenciável se suas derivadas parciais são contínuas;

 Uma função de duas ou mais variáveis pode ter

derivadas parciais de 1ª ordem num certo ponto sem ser contínua nesse ponto. Isso pode parecer paradoxal quando comparado com o que ocorre com as funções de uma variável, que sendo deriváveis, são também contínuas.

 No entanto, o paradoxo é apenas aparente em face da seguinte observação.

 A existência da derivada f_x(x_0,y₀) só implica na continuidade da função f(x, _,y₀ ) da única variável x, em x=x_0, isto é , a continuidade de f(x,y) no ponto P₀ =(x_0,y₀) ao longo de y= y_0.

Do mesmo modo, a existência da derivada f_y(x_0,y₀) só garante a continuidade da função f(x,y) no ponto P₀ =(x_0,y₀) ao longo da reta de x= x_0.

Ao longo de qualquer outra reta ou curva pelo ponto P_{0 o} comportamento da função pode ser bastante diferente.