Aula 6
Derivadas Direcionais e o
Vetor Gradiente
MA211 - Cálculo II
Marcos Eduardo Valle
Departamento de Matemática Aplicada
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade Estadual de Campinas
Derivadas Direcionais
Suponha que desejamos calcular a taxa de variação de z = f (x), x = (x1,x2, . . . ,xn),no pontoa = (a1,a2, . . . ,an)na
direção de um vetor unitáriou = (u1, . . . ,un).
Lembre-se que um vetoru é unitário se kuk = 1.
Exemplo 1
Suponha que f (a) é a temperatura no ponto a numa sala com ar-condicionado mas com a porta aberta. Se movemos na direção da porta, a temperatura irá aumentar. Porém, se movemos na direção do ar-condicionado, a temperatura irá diminuir.
A taxa de variação de z = f (x) em a na direção de u é a derivada direcional. Note que derivada direcional de depende tando do pontoa como da direção u na qual afastamos de a.
Definição 2
Derivada Direcional Seja f : D → R uma função de n variáveis, isto é, D ⊆ Rn. Considere um pontoa no interior de D e u ∈ Rn
um vetor com kuk = 1. A derivada direcional de f em a na direçãou é
Duf (a) = lim
h→0
f (a + hu) − f (a)
h ,
se esse limite existir.
Observação
A distância entrea e a + hu é |h|. Logo, o quociente f (a + hu) − f (a)
h
representa a taxa média de variação de f por unidade de distância sobre o segmento de reta dea à a + hu.
Derivada Direcional e as Derivadas Parciais
A derivada direcional generaliza as derivadas parciais no seguinte sentido. A derivada direcional de f ema na direção da i-ésima componente da base canônica, ou seja,
ei = (0, . . . , 0, 1
|{z}
i-ésima componente
,0, . . . , 0)
é a derivada parcial de f ema com respeito à xi, ou seja,
Deif (a) =
∂f ∂xi
Derivadas Parciais e a Derivada Direcional
Considere a função g : R → R dada porg(h) = f (a + hu). Por um lado, note que
g0(0) = lim h→0 g(h) − g(0) h =h→0lim f (a + hu) − f (a) h =Duf (a). Por outro lado, da regra da cadeia concluímos que
g0(h) = ∂f ∂x1 dx1 dh + ∂f ∂x2 dx2 dh + . . . + ∂f ∂xn dxn dh. Agora,x(h) = a + hu = (a1+hu1,a2+hu2, . . . ,an+hun). Logo, dx1 dh =u1, dx2 dh =u2, . . . , dxn dh =un. Portanto, tem-se g0(0) = ∂f ∂x1 a u1+ ∂f ∂x2 a u2+ . . . + ∂f ∂xn a un = n X j=1 ∂f ∂xj a uj.
Teorema 3
Se f é uma função diferenciávelema, então f tem derivada direcional para qualquer vetor unitáriou e
Duf (a) = n X j=1 ∂f ∂xj a uj Observação:
Qualquer vetor unitáriou ∈ R2pode ser escrito como u = (cos θ, sen θ), para algum angulo θ. Nesse caso,
Teorema 3
Se f é uma função diferenciável, então f tem derivada direcional para qualquer vetor unitáriou e
Duf (x) = n X j=1 ∂f ∂xj uj Observação:
Qualquer vetor unitáriou ∈ R2pode ser escrito como u = (cos θ, sen θ), para algum angulo θ. Nesse caso,
Vetor Gradiente
A derivada direcional de f na direçãou pode ser escrita em termos do seguinte produto escalar
Duf (x) = n X j=1 ∂f ∂xj uj = ∂f ∂x1 , ∂f ∂x2 , . . . , ∂f ∂xn | {z } vetor gradiente ·u.
Definição 4 (Vetor Gradiente)
O gradiente de uma função f , denotado por ∇f ougrad f , é a função vetorial cujas componentes são as derivadas parciais, ou seja, ∇f = ∂f ∂x1 , ∂f ∂x2 , . . . , ∂f ∂xn .
Vetor Gradiente
A derivada direcional de f na direçãou pode ser escrita em termos do seguinte produto escalar
Duf (x) = n X j=1 ∂f ∂xj uj = ∂f ∂x1 , ∂f ∂x2 , . . . , ∂f ∂xn | {z } vetor gradiente ·u =∇f · u.
Definição 4 (Vetor Gradiente)
O gradiente de uma função f , denotado por ∇f ougrad f , é a função vetorial cujas componentes são as derivadas parciais, ou seja, ∇f = ∂f ∂x1 , ∂f ∂x2 , . . . , ∂f ∂xn .
Interpretação do Vetor Gradiente
Sabemos que o produto escalar de dois vetoresa e b satisfaz: a · b = kakkbk cos θ,
em que θ é o angulo entrea e b. Assim, podemos escrever Duf = ∇f ·u = k∇f k kuk
|{z}
=1
cos θ = k∇f k cos θ.
O valor máximo de cos θ é 1, e isso ocorre quando θ = 0. Logo,
Teorema 5
O valor máximo da derivada direcional Duf de uma função diferenciável é k∇f k e ocorre quandou tem a mesma direção e sentido que ∇f .
Em outras palavras, a maior taxa de variação de f (x) ocorre na direção e sentido do vetor gradiente.
Em R
2...
Considere uma função f de duas variáveis x e y e uma curva de nível dada pelo conjunto dos pontos
{r(t) = (x(t), y (t)) : f (x(t), y (t)) = k }.
Se P = (x (t0),y (t0)), então pela regra da cadeia, temos que
∂f ∂x dx dt + ∂f ∂y dy dt =0 ⇐⇒ ∇f (x0,y0) ·r 0(t 0) =0, em que x0=x (t0), y0=y (t0)e r0(t0) = (x0(t0),y0(t0))é o vetor
tangente a curva de nível em P.
Conclusão:
O vetor gradiente ∇f (x0,y0), além de fornecer a direção e
sentido de maior crescimento, é perpendicular à reta tangente à curva de nível de f (x , y ) = k que passa por P = (x0,y0).
Em R
3...
O vetor gradiente ∇F (x0,y0,z0), além de fornecer a direção e
sentido de maior crescimento, é perpendicular ao plano tangente à superfície de nível de F (x , y , z) = k que passa por P = (x0,y0,z0).
O plano tangente à superfície F (x , y , z) = k em P = (x0,y0,z0)
é dado por todos os vetores que partem de (x0,y0,z0)e são ortogonais ao gradiente ∇F (x0,y0,z0), ou seja, a equação do
plano tangente é:
∇f (x0,y0,z0) · (x − x0,y − y0,z − z0) =0.
A reta normal a superfície F (x , y , z) = k em P = (x0,y0,z0)é
dada pelo gradiente ∇F (x0,y0,z0), ou seja,
(x − x0,y − y0,z − z0) = λ∇f (x0,y0,z0), λ ∈ R.
Alternativamente, suas equações simétricas são x − x0 Fx(x0,y0,z0) = y − y0 Fy(x0,y0,z0) = z − z0 Fz(x0,y0,z0) .
Exemplo 6
Determine a derivada direcional Duf (x , y ) se f (x , y ) = x3− 3xy + 4y2, eu é o vetor unitário dado pelo ângulo θ = π/6. Qual será Duf (1, 2)?
Exemplo 6
Determine a derivada direcional Duf (x , y ) se f (x , y ) = x3− 3xy + 4y2, eu é o vetor unitário dado pelo ângulo θ = π/6. Qual será Duf (1, 2)?
Resposta: Duf (x , y ) = 1 2 3√3x2− 3x + (8 − 3√3)y ) e Duf (1, 2) = 13 − 3 √ 3 2 .
Exemplo 7
Determine a derivada direcional da função f (x , y ) = x2y3− 4y ,
Exemplo 7
Determine a derivada direcional da função f (x , y ) = x2y3− 4y ,
no ponto P = (2, −1) na direção do vetorv = 2i + 5j. Resposta:
Duf (2, −1) = 32 √
Exemplo 8
Se
f (x , y , z) = x sen yz,
a) determine o gradiente de f ,
b) determine a derivada direcional de f no ponto (1, 3, 0) na direçãov = i + 2j − k.
Exemplo 8
Se
f (x , y , z) = x sen yz,
a) determine o gradiente de f ,
b) determine a derivada direcional de f no ponto (1, 3, 0) na direçãov = i + 2j − k.
Resposta:
a) O gradiente de f é
∇f (x, y , z) = (sen yz, xz cos yz, xy cos yz). b) A derivada direcional é Duf (x , y , z) = 3 −√1 6 = − r 3 2.
Exemplo 9
Suponha que a temperatura no ponto (x , y , z) do espaço seja dada por
T (x , y , z) = 80
1 + x2+2y2+3z2,
em que T é medida em graus Celsius e x , y e z em metros. Em que direção no ponto (1, 1, −2) a temperatura aumenta mais rapidamente? Qual é a taxa máxima de aumento?
Exemplo 9
Suponha que a temperatura no ponto (x , y , z) do espaço seja dada por
T (x , y , z) = 80
1 + x2+2y2+3z2,
em que T é medida em graus Celsius e x , y e z em metros. Em que direção no ponto (1, 1, −2) a temperatura aumenta mais rapidamente? Qual é a taxa máxima de aumento? Resposta: A temperatura aumenta mais rapidamente na direção −i − 2j + 6k e a taxa de aumento é
5 8
√
Exemplo 10
Determine as equações do plano tangente e da reta normal no ponto (−2, 1, −3) ao elipsoide
x2
4 +y
2+z2
Exemplo 10
Determine as equações do plano tangente e da reta normal no ponto (−2, 1, −3) ao elipsoide
x2
4 +y
2+z2
9 =3.
Resposta: A equação do plano tangente é
3x − 6y + 2z + 18 = 0. As equações simétricas da reta normal são
x − 2 −1 = y − 1 2 = z + 3 −23 .
