Exame Recuperação de um dos Testes solução abreviada

Mestrado em Eng. Electrotécnica e de Computadores (MEEC) Electromagnetismo e Óptica 2º semestre de 2014-15 ___________________________________________________ Prof. João Paulo Silva (responsável) Prof. Pedro Abreu Prof. Artur Malaquias

Avisos:

 Durante a realização do teste/exame não é permitido o uso de telemóveis e calculadoras.  Identifique claramente todas as folhas do teste/exame.

 Identifique claramente na 1ª página da resolução o teste que está a recuperar ou exame.  Inicie a resolução de cada um dos problemas numa nova página.

 Realize sempre em primeiro lugar os cálculos analíticos e só no final substitua pelos valores numéricos. _______________________________________________________________________________________

NOTA: Este documento apresenta a solução abreviada, não incluindo todos os passos e justificações que devem aparecer na resolução e que são cotados.

Problema 1

[5.0 valores]

Considere um fio finito de comprimento L, com uma distribuição uniforme de carga por unidade de comprimento λ > 0. Sabe-se que o módulo do campo eléctrico criado por esse fio num ponto sobre a mediatriz, a uma distância r do fio, é dado por:

0 1 2 2 ₄ 2 λ L E = π r _{L + r}

Determine, detalhando os cálculos:

[0.5] a) a direcção do campo nesse ponto.

Sol: Considere-se um elemento de carga dq na posição z>0 que produz um campo eléctrico dE no ponto P com componentes segundo



u



_z e segundo

u



_r. Como o ponto P está na mediatriz, para cada z>0 existe um z<0 e, como a distribuição de carga é uniforme, o elemento de carga nessa posição produz um campo eléctrico de componentes iguais mas segundo

u



_z e segundo

u



_r. As componentes verticais cancelam e o campo resultante será radial.

[0.5] b) a expressão do campo eléctrico, no limite em que o fio é infinito: L >> r. Sol: 2 2 0 0 1 1 lim 2 L ₄ r 2 r L E u u r _{L r} r











    _{ }   .

[1.0] c) usando a lei de Gauss, o campo criado por um fio infinito com uma distribuição de cargas por unidade de comprimento λ, a uma distância r do fio. Compare com o resultado da alínea b).

Exame

Recuperação de um

dos Testes

solução abreviada

Sol: Por simetria, o campo é radial. Escolhe-se uma superfície gaussiana (S) de raio r, coaxial com o cabo, de altura h. Usando a lei de Gauss e o facto de que

E





n



nas superfícies horizontais de S:

0 0 0

.

2

2

int r S

Q

h

rh

E ndS

E

E

u

r

















_

















,

que coincide com o resultado de b).

Considere agora a distribuição de cargas da figura, onde dois lados têm uma carga distribuída uniformemente λ, tendo os outros dois uma distribuição uniforme de carga –λ.

Determine, detalhando os cálculos:

[1.0] d) o campo eléctrico no centro do quadrado.

Sol: O centro está na mediatriz de todos os lados, com r = L/2. Os lados verticais (horizontais) produzem campos iguais segundo

u



_x (

u



_y). Por sobreposição: 0

(

)

2

2

_{x y}

E

u

u

L











_

_



.

[1.0] e) o potencial eléctrico no centro do quadrado, considerando que este é nulo no infinito.

Sol:Para cada elemento de carga positiva à esquerda, existe um elemento de carga de sinal oposto à direita que está à mesma distância do centro O. As contribuições para o potencial anulam-se. Aplicando o mesmo argumento para as cargas nos lados horizontais, conclui-se que



_O



0

.

[1.0] f) a energia necessária para trazer uma carga pontual q desde infinito até ao centro do quadrado. Se não completou a alínea e), considere que o potencial no centro do quadrado é ϕ0.

Sol:

W

_O



q

(



_O





_

)



0

.

_______________________________________________________________________________________

Problema 2

[5.0 valores]

A figura mostra em corte um condensador esférico constituído por um condutor maciço e homogéneo, de raio a, no qual é depositada uma carga Q e por uma superfície condutora esférica e homogénea, de raio b > a, com carga –Q . O espaço entre os condutores está preenchido por um dieléctrico de permitividade

ε

. Determine, detalhando os cálculos:

[0.5] a) a distribuição de cargas livres em superfície e/ou volume.

Sol: Condutor em equilíbrio electrostático implica que só há cargas distribuídas em superfície:

2

,

2

.

4

4

a b

Q

Q

a

b















Sol: Por simetria esférica, os campos são radiais. Para r<a, está-se dentro de um condutor em equilíbrio electrostático, pelo que

D





0,

E





0

.

Para a<r<b, escolhe-se uma superfície gaussiana (S), esférica, de raio r, concêntrica com a figura. Obtém-se:

2 livre 2

4

.

4

_r S

D

Q

r

D ndS

Q

r

D



E

u







_











_



_





.

Para r>b, a carga interior é Q – Q = 0, pelo que

D





0,

E





0

.

[1.0] c) a densidade e o valor total da carga de polarização para r = a+_{. Determine também a densidade e o} valor total da carga de polarização para r = b–_{. Compare as cargas totais de polarização obtidas nas} duas superfícies. Determine a densidade volúmica de carga de polarização no dieléctrico, bem como a carga total do dieléctrico.

Sol: Só há vector polarização dentro do dieléctrico, pelo que

0 0 2

4

r

P

D

u

r

Q













_{ }



_{ }

_





, 0 0

.

.

0

pol

P

D

liv



 





 

 













 











.

A normal exterior em r=a+ _(r=b– _{) coincide com}

r

u





(

u



_r). Logo, pol 0 0 2 pol 0 0 2 ( ) . | 4 ( ) . | 4 pol ext r a a pol ext r b b Q Q Q a P n a b P n b Q Q Q









                                    ,

Pelo que

Q

diel.



Q

_apol



Q

_bpol



0.

[1.0] d) a diferença de potencial entre os condutores e a capacidade do condensador. Utilize a capacidade para calcular a energia armazenada no condensador.

Sol: Escolhendo um percurso de integração segundo

u



_r, entre r = a e r = b, temos,

2 2

( )

( )

.

4

,

4

.

2

8

b a E

Q b a

Q

ab

V

a

b

E d

C

ab

V

b a

Q

Q b a

U

C

ab











































_





.

[1.0] e) a densidade de energia no dieléctrico, usando-a para determinar a energia total do sistema. Compare com o que obteve na alínea d).

Sol: Temos: 2 ₂ 2 2 2

2

|

|

2

4

4

8

b E _a

Q

b a

U

E

dV

dr

r

r

a

Q

b















_



_



















,

que coincide com o resultado da alínea anterior.

_______________________________________________________________________________________

Problema 3

[5.5 valores]

Num circuito eléctrico colocado no ar utiliza-se um cabo cilíndrico de cobre, de raio R1, cuja condutividade eléctrica é σC, a permitividade eléctrica ε0 e a susceptibilidade magnética χm = –a (o cobre é diamagnético). Admita que o comprimento ℓ do cabo é muito maior que todos os raios envolvidos no problema. Sabendo

que o campo eléctrico no interior do cabo é constante e dado por E = E u_{0 0} _z, determine, detalhando os cálculos (quando aplicável, em termos de E0):

[0.5] a) a corrente eléctrica I existente no cabo. Sol: secção do condu 2 2 1 o 0 t 0 1 r

.

c c z c

J







E







E u





I



_

J n S





d



J



R





E



R

.

[0.5] b) a resistência eléctrica do cabo.

Sol: ₂ 1 1 1 c c R S R



 

    .

[0.5] c) a potência dissipada por efeito de Joule. Sol:

P



R

I

2



 

_c

R

₁2

E

₀2



.

[2.0] d) a expressão do vector de indução magnética B em todos os pontos do espaço, em termos da corrente I.

Sol: Por simetria, o campo tem a direcção de

u



_, em coordenadas cilíndricas. Escolhendo uma curva fechada circular (Γ), de raio r, no plano perpendicular a

u



_z e com centro no eixo do cilindro, tem-se:

1 atrav ₂ 1 2

2

.

I

r

H d

i

_r

R

r

R

H

I

r

R



_

















_{ }







 



. No interior do material (r<R1) B



H 



₀(1a H)    ; no vácuo (r>R1) B



₀H   . Como tal, 0 1 0 1 2 1

2

(1

)

2

1

u

B

a

u

I

r

R

r

I r

r

R

R

 

















 

















.

Admita agora que envolve o cabo de raio R1 por uma coroa cilíndrica coaxial, com o mesmo comprimento, de raios R2 e R3.

[0.5] e) Que corrente eléctrica I2 tem de circular no condutor externo por forma a anular o campo magnético na região r > R3? Diga se este resultado depende do material condutor que compõe o cabo externo ser cobre ou outro?

Sol: Escolhendo uma curva fechada circular (Γ), de raio r>R3, no plano perpendicular a

u



_z e com centro no eixo do cilindro, tem-se:

2 2

0 H2 r



H d. I I I I 

   

 

_

   .

Este resultado não depende do material do condutor externo.

[1.5] f) Suponha que se retira o cabo interior. Determine a força

que o cabo cilíndrico exterior com corrente I2 provoca num filamento condutor, de comprimento ℓ, com uma corrente I’, colocado de forma paralela aos cabos, a uma distância d << ℓ do cabo exterior, como ilustrado na figura.

Sol: Havendo apenas o condutor exterior e por analogia com a alínea d), obtém-se na posição r = R3+d do filamento

0 2 2 3 1 2 I B u d R 





   _

,

que é constante em todos os pontos do filamento. A força sobre o filamento é





0 2 mag _filamento 2 3

2

r

I I

F

I

d

B

u

R

d





  





 











_





. _______________________________________________________________________________________

Problema 4

[4.5 valores]

Um laser emite radiação electromagnética polarizada e monocromática com uma potência P = 1.2 mW. Esta radiação viaja no vazio sob forma de onda electromagnética plana e incide com um ângulo de incidência θi na

superfície plana de um vidro que possui um índice de refracção

n =

3

. O campo eléctrico da onda pode ser descrito através das componentes paralela

|| 

E e perpendicular E ao plano de incidência, que coincide com o plano da página. Sabe-se que:

            _{ }  2  _{ }      || 0 || 0 E = E  sin ω t k r u E = E  sin ω t_ k r u_   ,













7

1

3

-1

=

×10

+

[m ]

3

2

2





_π

k .r

x

y

. Determine, justificadamente:

[1.0] a) a direcção de propagação e o tipo de polarização da onda.

Sol: A fase da onda contém

.

10

7

1

3

3

2

2

x y z

k r

k x k y

k z





x

y





 





 





_





_





 

, donde 7

1

3

10

3

2

x

2

y

k











_

u



u





_







_

_

e

1

3

2

2

|

|

x y k

k

u

u

u

k

















.

Como

E



_||está em fase com E_a polarização é linear.

[1.0] b) a frequência da onda e a permitividade eléctrica do vidro. Sol:

1

_vazio

1

3 10

8

10

7

5 10 Hz

14

2

2

.

3

f

v

k



















.

No vidro µ= µ0, pelo que:

vidro r r r r

3

vidro

3

0

.

n

























[1.0] c) a intensidade I da onda, em função de E0. Sabendo que a secção do feixe laser é

A =





10 m

6 2

e que P = I A, determine E0.

Sol: E2  E_||2 E_2 5E₀2sin2

 



,

 

2 2 2 0 0 0 0

5

5

sin

2

P

I

S

E H

A

Z

E

E

Z





















,

donde E

0

= 240 Vm

–1

.

[1.0] d) a expressão das duas componentes do campo magnético da onda incidente: B_|| e B, em função de E0

.

Sol: Da figura resulta que

u

k



u

||



u



,

u

k



u



 

u

||













, donde:





 

7 ||

8 10 sin(

. ) 2

T

k

u

E

B

t

k r

u

u

c



 





 









_



_

_

_

.

[0.5] e) qual teria de ser o ângulo de incidência para que uma das componentes do campo eléctrico da onda reflectida desaparecesse. Que componente desapareceria?

Sol: Quando o ângulo incidente coincide com o ângulo de Brewster desaparece a componente paralela da onda reflectida. Isso ocorre para

 

2 1

arctan

arctan

3

/ 3

B

n

n







_



_











.

ang cos sin

6  3 2 1 2 3 / 4

arctan(

)

4_{5 5}3 4  2 2 22 4 / 3

arctan(

)

3₅ 4₅ 3  1 2 ₂3 0 0 0 120 ( ) 1 k H u E Z E B v Z 







      _   _{ } 