Aproximação de Thomas-Fermi aplicada a estruturas semicondutoras delta-dopadas

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]_ n_hd\ji]pojm_n kgZiZmh_io_ ]jkZ]jn* jp ]_goZ+]jkZ]jn* \jh ]_ind]Z]_ ]_ ]jkZio_n ]_

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n_hd\ji]pojm_n ]_goZ+]jkZ]jn kj]_h n_m]_n\mdoZn]_ phZ hZi_dmZndhkg_n_ \jh hpdoj [jin

m_npgoZ]jn,Bnop]Zhjn . kmj[g_hZ ]_ pmikjwj dnjgZ]j _j kmj[g_hZ ]Z npk_m+m_]_*\jhkZmZi]j

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1-0 Fhnli]o;:Zi--- 4

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1-3 = ]_hmd]Z]_ ]_ _mnZ]im - - - 03

1-4 = ZjliqdgZ\:Zi ]_ QcigZm,C_lgd ondfdrZh]i Z ]_hmd]Z]_ ]_ _mnZ]im 04

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2-0-0 Fhnli]o;:Zi-- 1/

2-0-1 . \ih\_dni ]_ LMSZI*LVWQUO 12

2-0-2 = _koZ;:Zi ]_ QcigZm,C_lgd jZlZ ogZ ]_fnZ mdgjfdad\Z]Z - 15

2-0-3 = _mnlonolZ_f_nlihd\Z ]i ]_fnZ d]_Zf 21

2-1 RgZ ]_fnZ dmifZ]Z\ig ]daomZi]_ ]ijZhn_m _ aoh]i l_md]oZfZ\_dnZ]il 25

2-1-0 = _mnlonolZ_f_nlihd\Z ]i LMSZI*LVWQUO\ig ]daomZi]_ ]iZ]il_m 27

2-1-1 / LMSZI*LVWQUO\ig aoh]i l_md]oZfZ\_dnZ]il _ ]daomZi]_ ]ijZhn_m - 28

2-2 = moj_l,l_]_ ]_ LMSZILVWQUO+ + 31

2-2-0

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\ih\_dni ]_ moj_l,l_]_ 31

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1,1,2

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?Zg\pgjn Zpoj+\jindno_io_n

Ba_doj Pcp[idfjq+]_ EZZn

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2,/ Fiomj]pwZj,,,,,,,,,,,,,, 33

2,0 O_npgoZ]jn kZmZphZ ]_goZdnjgZ]Z, 33

2,0,/ A_goZdnjgZ]Zndhkgdad\Z]Z , 33

2,0,0 A_goZdnjgZ]Z\jh ]dapnZj ]jn ]jkZio_n _ api]j pidajmh_ ]_ Z\_doZ]jm_n, 4.

2,0,1 O_npgoZ]jn kZmZZ npk_m+m_]_]_ ]_goZn 45

IdnoZ]_ CdbpmZn

CdbpmZ0,/ + AdZbmZhZ_nlp_hZod\j ]_ pmi kjo_i\dZg npZq_,. ndno_hZnpe_dojZ _no_kjo_i\dZg

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CdbpmZ0,0 + A_ind]Z]_ ]_ \ZmbZ]_ QcjhZn+C_mhd _ Zpoj+\jindno_io_ kZmZZ \ZhZ]Z ]_

diq_mnZjiphZ c_o_mjepi\9Zj, = gdicZ kjiodgcZ]Z m_km_n_ioZ Z \jiomd[pd\9Zj ]Z np[+[Zi]Z hZdn

[ZdsZ 'm_a, W06Y(,

CdbpmZ1,/ + FgpnomZ\9Zj]_ pmi omZindnojm]_ _a_doj]_ \Zhkj8 S= ) < ;G 'm_a,W7Y(,

CdbpmZ1,0 + P_hd\ji]pojm :N4c \m_n\d]j iZ ]dm_\9Zj

7

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CdbpmZ1,1 + Bnlp_hZ dgpnomZi]jZn qZmdZnm_bdj_n]Z [Zi]Z ]_ \ji]p\9Zj ]_ pmi n_hd\ji]pojm

]_goZ+]jkZ]j,

CdbpmZ1,2 + CjmhZ kjgdbjiZg ]Z [Zi]Z ]_ \ji]p\9Zj ]_ pmi n_hd\ji]pojm ]_goZ+]jkZ]j, Ln

qZgjm_n

Bgg

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B

Z*,,, nZj _i\jiomZ]jn ZiZgdod\Zh_io_ 'm_a, W07Y(,

CdbpmZ1,3 + Bnlp_hZ ]Z [Zi]Z ]_ \ji]p:9Zj _ idq_dn]_ _i_mbdZkZmZqZmdjnqZgjm_n]_ ]dapnZj

, ]jn ]jkZio_n 'm_a, W7Y(,

CdbpmZ1,4 + ?jhkZmZ\9Zj _iom_. \Zg\pgj o_4md\j_ m_npgoZ]jn_sk_mdh_ioZdn]Z gZmbpmZ]Z

\pmqZ]_ ?+S kZmZ. n_hd\ji]pojm ]_goZ+]jkZ]j, / Z\jm]j o_jmdZ+_sk_mdh_iojn4 _noZnZodna_doj

F i g u r a 3 . 7 - Diagrarna de bandas para uma super-rede do tipo dente de serra. As fun<;oes de

anda mastradas saa para q

=

O.

As minibandas tern largura fj.En (ref.

[9]).

F i g u r a 3 . 8 - Grafico da fun<;aoF(E). Este grafico determina a estrutura de minibandas.

F i g u r a 4 . 1 - Grafico mostrando os resultados para 0 potencial de Thomas-Fermi, 0 potencial auto-consistente (indicado por circulos), eo quadrado das func;oes de onda de

Thomas-Fermi-Schrodinger para uma delta isolada simplificada. Estes resultados sao para nD

=

5.0, sem

difusao e sem 0 fundo residual de impurezas aceitadoras.

F i g u r a 4 . 2 - Comparac;ao entre a densidade de est ados de Thomas-Fermi e a densidade de

Thomas-Fermi-Schrodinger para uma delta simplificada com nD

=

5.0.

F i g u r a 4 . 3 - Comparac;ao entre 0 potencial de Thomas-Fermi na presenc;a de urn fundo de

impurezas aceitadoras com densidade 0.001 (linha pontilhada) e sem 0 fundo (linha continua).

Neste grafico, nD = 6.82 e d = 0.79.

F i g u r a 4 . 4 - Grafico mostrando os resultados para 0 potencial de Thomas-Fermi, 0 potencial

auto-consistente (indicado por circulos) e 0 quadrado das func;oes de onda de

Thomas-Fermi-Schrodinger para umadelta isolada. Estes resultados sac para nD = 6.82, ns = 6.53, nA = 0.001 e uma difusao de 0.79.

F i g u r a 4 . 5 - Ilustrac;ao da ocupa<;ao ns de cada sub-banda como func;ao da densidade de

]_ind]Z]_ ]_ \ZmbZ\Zg\pgZ]Z Zpoj+\jindno_io_h_io_ _ Z gdicZ \jiodipZ Z ]_ind]Z]_ ]_ \ZmbZ

]_ QcjhZn+C_mhd+P\cmj]dib_m, Bno_nm_npgoZ]jnnZj _i\jiomZ]jn kZmZphZ ]_goZ dnjgZ]Z\jh

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4,60*W 7

;

.,../ _ phZ ]dapnZj ]_ .,57,

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;

0,70*W 7

;

.,../* Z

;

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. _ Z _nompopmZ]_

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V

Q;".,3, PZj Zkm_n_ioZ]jn. kjo_i\dZg ]_ QcjhZn+C_mhd*. kjo_i\dZg Zpoj+\jindno_io_ '\dm\pgjn(*

R

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Z lpZg ijn ]Z Z ]dnomd[pd:oZj]_ kjmoZ]jm_n*]_k_i]_ ]jn ]_oZgc_n]Zn _nompopmZn\jh Zn lpZdn

_noZhjn omZ[ZgcZi]j,

B*

_ioZj* ]_n_eZq_go_mhjnh_oj]jn o_4md\jnkZmZ\Zg\pgZm/ kjo_i\dZg ]_

\jwwiZh_ioj, Bh kZmod\pgZm*. \jiadiZh_ioj [d]dh_indjiZg o_mi\cZhZ]j hpdoj Z Zo_iwZj iZn

pgodhZn]_\Z]Zn k_gZkjnnd[dgd]Z]_]_ npZ podgduZ:9Zj_h ]dnkjndodqjn4kod\j+_g_omjid\jn,

K_no_ omZ[Zgcj*_noZhjn dio_m_nnZ]jn_h _nop]Zmpmi odkj _nk_\dZg]_ \jiadiZh_ioj* /

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pmi odkj _nk_\dZg]_ ndno_hZ8. bZn ]_ _F_omjinlpZn_+[d]dh_indjiZg ajmhZ]j ]jkZi]j+n_ pmi

n_hd\ji]pojm kgZiZmh_io_,

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Bh /71. Cj\f Z\m_n\_iojp Z _noZodnod\Z]_ C_mhdZ _noZqdnZj*omj\Zi]j / kmj]poj ]Zn api:9j_n

]_ ji]Z kjm pmi ]_o_mhdiZio_ \cZhZ]j ]_o_mhdiZio_ ]_ PgZo_m,QZgh_oj]j ad\jp \jic_\d]j

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_f_nlihd\Z X([)- =f_g ]dmmi+i[ndp_lZg ogZ _qjl_mmZiailgZf jZlZ Z _h_lbdZ ]_ nZf mdmn_gZ

\igi aoh\dihZf ]_ X([)- Bmn_aoh\dihZf jil moZp_r \ihn_g olh n_lgi+ ALX([)O+ko_ l_jl_m_hnZ

Zm_h_lbdZm\dh_nd\Z_ ]_ dhn_ltZi _hnl_ im _f_nlihm- ?igi _mn_jli[f_gZ hZi n_lh mifo\::Zi_qZnZ+

hZi ji]_gim ]_n_lgdhZl ogZ ailgZ _qZnZjZlZ ALX([)OU_hnl_nZhni+godnZmailgZm n_lh md]i

omZ]Zmm_h]i Z gZdmmdgjf_m]_f ZmZ ]_ QcigZm,C_lgd- KZ ZjliqdgtZi ]_ QcigZm,C_lgd im

_f_nlihm mZinlZnZ]im \igi jZlnd\ofZmdh]_j_h]_hn_m _ Z _h_lbdZ]_ dhn_ltZi _hnl_ im _f_nlihm

m_]_p_ mig_hn_

Z

_h_lbdZ _f_nlimnZnd\ZenZg[_g+ Z _h_lbdZ \dh_nd\Zji]_ m_l]_m\ldnZjil ogZ

Zjliqdgt fi\Zf [Zm_Z]Zhim l_mofnZ]im]_ _f_nlih fdpl_+

\

i[e_ndpi ]_mnZn_ildZ _ l_]ordl olh jli[f_gZ ]_ godnim _f_nlihmZ olh jli[f_gZ _kodpZf_hn_

]_ olh _f_nlih+ ih]_ ni]im im _a_dnim]_ godnim \ilj im mZidh\iljilZ]im hog jin_h\dZf

_a_ndpi-?ihmd]_l_gim olh mdmn_gZ]_ godnim _f_nlihm hogZ \ZdqZ ko_ m_gip_g mi[ Z dhafo_h\dZ]_

olh jin_h\dZf _qn_lhi

]>[)

_ nZgl_g mi[ dhafo_h\dZ]_ moZgonoZ l_jofmZi \iofig[dZhZ- QZf

mdmn_gZn_lh. EZgdfnihdZhi ]_adhd]i jil

ih]_ I _ J mZi l_mj_\ndpZg_hn_ im ij_lZ]il_m _h_lbdZ \dh_nd\Z_ _h_lbdZ jin_h\dZf ]_pd]i Zi

jin_h\dZf _qn_lhi

]>[)

_ F _ . ij_lZ]il _h_lbdZ jin_h\dZf ]_pd]i

S

dhn_lZ;:Zi

\iofig[dZhZ-=dh]Z+ pZgim \ihmd]_lZl Z \fZmm_]_ mdmn_gZm]_ godnim _f_nlihm \ig g_mgZ dhn_lZ;:Zi

\iofig[dZhZ gZm \ig

]da_l_hn_mjin_h\dZdm_qn_lhim-Bg jldh\djdi+ jZlZ _mnZ\fZmm_]_ mdmn_gZm+Z _mj_\dad\Z;:Zi]i jin_h\dZf _qn_lhi ]_n_lgdhZ

ni]Zm Zm jlijld_]Z]_m ]i mdmn_gZ:_g jZlnd\ofZl+ Z ]_hmd]Z]_ _f_nlihd\Z

X>[)

]i _mnZ]i

aoh]Zg_hnZf- Mil ionli fZ]i+ n_gim/ n_il_gZ ]_ Eic_h[_lb _ Hich bZlZhndh]i Z pZfd]Z]_ ]Z

l_]jli\Z ]_mnZZadlgZ;:Zi+io m_eZ+ko_ . jin_h\dZf+ Z g_him ]_ ogZ \ihmnZhn_+_ ]_n_lgdhZ]i

j_fZ ]_hmd]Z]_ X([)- = jlipZ ]_mn_ n_il_gZ _ a_dnZjil Z[mol]i9 ji]_gim gimnlZl ko_

X([) Zmmi\dZ]ZZi _mnZ]i aoh]Zg_hnZf \ill_mjih]_h]i Z olh jin_h\dZf _qn_lhi ]([) hZi ji]_

m_ll_jli]ord]i j_fi _mnZ]i aoh]Zg_hnZf \ill_mjih]_h]i Z olh jin_h\dZf ]'([)+ Z g_him ko_

]'>[) , ]([) ; \ihmnZhn_- W17X

?ih\fodgim+ Zmmdg+ko_ X([) ]_n_lgdhZ / _mnZ]i aoh]Zg_hnZf ]i mdmn_gZ(NCC)-A_ aZni+/

n_il_gZ ]_ Eic_h[_lb _ Hich ZadlgZ ko_ X([) ]_n_lgdhZ / jin_h\dZf+ _ / jin_h\dZf jil moZ

aoh]Zg_hnZf-2 . aoh]Zg_hnZf-2 A t e o r i a d o f u n c i o n a l d e n s i d a d e e 0 p r i n c i p i o v a r i a c i o n a l

Como virnos anteriorrnente,

\11

e

urn funcional de

n(r);

entao,

('lJIHI'lJ)

= E[ne

r)]

=

J

v(r) n(r) d r +F[n(r)].

Tambem, concluiram que E[n] assume seu valor minimo, igual itenergia do estado fundamental,

para a correta n(r) desde que a condi<;ao

N =

J

n(r) d r

Se F[n] e conhecido, 0 problema de determinar a energia e a densidade eletronica do estado

fundamental se torna simples, desde que a unica coisa que temos a fazer e minimizar 0 funcional

energia. A condi<;ao de energia minima se obtem fazendo a derivada funcional da equa<;ao (2.1)

8F

-+ v = 1 l

8n

:It

usual extrairmos de F[n] a energia coulombiana e definirmos 0funcional

] [ 1

J

...1

II...

...1

II

....•

...1

G[n

=

F n] -

2

n( r) n( r )u( r - r ) d r dr,

E(n]

=

J

v(r) n(r) d r

t~

J J

n(r) n(r')

u(11

r - r'

II)

d r

dr' tG(n).

(2.4)

It

conveniente expressar G[n] como

onde T[n]

e

a energla cinetica do sistema nao interagente e Exc[n]

e

chamado energia de

correla<;ao e troca do sistema interagente. Devemos observar que para urn n(r) arbitrario

nao podemos, a principio, dar expressao alguma para 0 termo Exc[n].

Nesta expressao, Exc[n(r)]

e

a densidade de energia de correlac:;ao e troca de urn gas de eletrons

uniforme de densidade n(r).

hT[n] _ (_)

--_-

+

</J(r )

+

Vxc r - J.l

=

0

hn(r)

</J(r)

=

v(r)

+

J

n(-r')u(11

-r - -r'

II)

d r

- hExc

vxc( r)

=

--_-hn(r)

Como foi dito anteriormente, deve existir urn potencial efetivo Vej tal que a equac:;ao de

independente. As energias

Ei

e as func;oesde onda

1/Jfr),

com

i

=

1, ... ,

N,

sao determinadas

Neste ponto devemos mencionar a aproxima<;ao usual que

e

feita quando estamos tratando

portadores num semicondutor dopado - aproximac;ao da massa efetiva. As propriedades

eletronicas de semicondutores saG determinados completamente pelos eletrons na banda de

conduc;ao e buracos na banda de valencia. Como os eletrons sao encontrados quase que

exclusivamente em niveis pr6ximos au ponto minimo da banda de conduc;ao, a relac;ao de

dispersao geralmente pode ser aproximada por uma relac;ao quadnitica, ou seja,

Como estamos trabalhando com arsen/eto de galio, 0 qual possui gap direto, podemos

es-Vma das malS import antes propriedades de semicondutor

e

a k.bilidade em mudar

considerando silieio, que e do grupo IV, incorporado ao arsenieto de galio na posic;ao do galio,

que e do grupo I I I , sobra urn eletron desta ligac;ao. Se em primeira aproxima<;ao desprezamos

a diferenc;a na estrutura cristalina gerada pela incorporac;ao do silicio pelo galio, podemos

representar a substituic;ao do galio pelo silicio acrescentando uma carga -e no sitio em que houve a troca. Esta carga fica, entao, ligada ao ion doador. Se a energia de ligac;ao do eletron na impureza

e

pequena, os niveis de energia podem ser determinados considerando 0 potencial

0- / \Zgji _F_nld\i ]Z \ZlbZ l_jl_m_hnZh]i Z dgjol_rZ _ l_]ord]i j_fZ \ihmnZhn_]d_f_nld\Z

_mnZnd\ZaL ]i

m_gd\ih]onil-1- Mi]_,m_ gimnlZl W3XomZh]i n_ildZ ]_ j_lnol[ZtZi _ Z ZjliqdgtZi ]_ [Zh]Z jZlZ[5fd\Z

ko_ olh _f_nlih hog m_gd\ih]onil ]ijZ]i _ ]_m\ldni jil ogZ _koZtZ-i ]_ P\cli]dhb_l ]i

ndji Znigi ]_ cd]lib_hdi _ \ig ogZ

gZmmZ_a_ndpZg)-BmnZm]oZmi[m_lpZtL_mhim mob_l_g l_jl_m_hnZlolh _f_nlih hZ jl_m_htZ ]_ ogZ dgjol_rZ ]_

\ZlbZ (M \igi ogZ jZlnd\ofZ ]_ \ZlbZ *M_ gZmmZg)+ gip_h]i,m_ hi _mjZti fdpl_ hZ jl_m_htZ ]_ olh \Zgji ZnlZndpi]_ \ZlbZ _.ai- _mn__ _qZnZg_hn_/ jli[f_gZ ]i Znigi ]_ cd]lib_hdi+

_q\_ni j_fi aZni ]_ ko_/ Ji]oni *M]_p_ m_lnli\Z]i/ jil *M,/aL _ Z gZmmZj_fZ gZmtZ

_a_ndpZ-=mmdg+i lZdi ]_ >icl _a_ndpi]Z 5l[dnZ _

Zt ;

-"""-,

aL /-42

00

Z)

H*

<

-"""-, j

02-5 M J-Z)

a5

\

lZdi ]_ >icl _a_ndpi_ ]Z il]_g ]_ fLidf- S_gim+ _hnZi+ko_ Z aoht ]_ ih]Z Zmmi\dZ]Z

Z _mn__F_nlih m__mn_h]_jil godnim jZlZg_nlim ]_ l_]_ ]i \ldmnZf+/ ko_ eomndad\Z/ omZ]Z

\ihmnZhn_]d_F_nld\Z_mnZnd\Z-?ih\fodgim+ ]_mnZailgZ+ ko_ omZh]i Z Zjliqdgtt ]_ gZmmZ_a_ndpZ_ ji]_gim _fdgdhZl.

jin_h\dZf \ldmnZfdhi]Z _koZtZi ]_ P\cli]dhb_l- ?ig dmmi+/ _f_nlih m_gip_ hi \ldmnZfmig_hn_

gZmmZ]da_l_hn_-F

X([)

<

F9

CCaIX'](//

1N"ZQ'

T :V

\ilh \A Z _h_lbdZ ]_ C_lgd+R= \ihmnZhn_]_ >ifnrgZhh MEI n_gj_lZnolZ- A_m]_ ko_ JRS([)

]_j_h]_ ]Z ]_hmd]Z]_X([) / jli[f_gZ n_lh ko_ m_ll_mifpd]i Zoni,\ihmdmn_hn_g_hn_\ilh ZoqF0di

]Z _koZtZi ]_

Midmmih-PP 5ILXO

DV, JRS(l(

<

Y-:A!E'

Kin_gim ko_ jZlZ olh mdmn_gZhi _mnZ]i aoh]Zg_hnZf+/ _f_nlih \ilh _h_lbdZZ9 'gZdm ZfnZ

_h_lbdZ ]i _mnZ]i ]_ olh _f_nlih( n_lh moZaohtZi ]_ ih]Z nMd_mn_h]d]Z- ?ilh dmmi+ji]_gim

gimnlZd W18Xko_

=m_koZtL_m'1-6(+ '1-7( _'1-8( mZi\ihc_\d]Zm \igi _koZtL_mZoni,\ihmdmn_hn_m]_

Hich,PcZg-MZlZ]_n_lgdhZlgim / jin_h\dZf _a_ndpi+]_p_gim \ihc_\_l Z _h_lbdZ\dh_nd\Z]i mdmn_gZ\igi

aoh\dihZf ]Z ]_hmd]Z]_- KZ jliqdgZ m_tZi ]dm\ondgimogZ gZh_dlZ jlZnd\Z ]_ m_]_n_lgdhZl

_mn_aoh\dihZf-. , 0 3

ZjliqdgZtZi

< A 9 C L F : R ) 7 A O F D

K_mnZm_tZi+nlZnZgim ]Z ZjliqdgZ-;:Zi ]_ QcigZm,C_lgd W13X+W6Xko_ _ \ihmd]_lZ]Z Z p_lmZi

gZdmmdgjf_m]Z n_ildZ ]i aoh\dihZf ]_hmd]Z]_- =m ildb_hm ]Z n_ildZ ]i bZm]_ _f_nlihm hZi,

cigib_h_i mZi _h\ihnlZ]Zm hZ n_ildZ _mnZndmnd\Z]_ QcigZm,C_lgd Z koZf _mn_h]_Zml_fZti_m

jZlZ / bZm]_ _f_nlihm cigib_h_i jZlZ / \Zmi ]_ bZm]_ _f_nlihmhZi,

cigib_h_i-MALQC>98HHA 6/6E/.NA>< A CGBHLF<:9+Y-H R 2 1 7 8 .

NpZi]j Z ]_ind]Z]_ _g_omjid\Z\"b' ) jp / kjo_i\dZg lp_ Z b_mZ+ iZj qZiZ hpdoj m_gZodqZh_io_Zj \jhkmdh_ioj ]_ ji]Z \ZmZ\o_mdnod\j]jn _g_omjin*Z ZkmjsdhZx. ]_ QcjhZn+

C_mhdm_km_n_ioZpmi h_oj]j [ZnoZio_ _ad\d_io_, J_nhj lpZi]j oZg\ji]d\9Zj iZj n_ q_mdad\Z

kZmZZgbphZn m_bdL_n'kLg&_s_hkgj* kmjsdhj Zj ip\g_j ]_ pmi Zojhj* ji ]_ . kjo_i\dZg n_ ojmiZ

ndibpgZm(*cZ pmi m_bdh_ ]_ qZgd]Z]_ ]Z o_jmdZ]_ QcjhZn+C_mhd*. lpZg ]_ijhdiZhjn gdhdo_

_noZodnod\j]_ hpdojn _g_omjin, Bsdno_h*_ioZj* ]jdn gdhdo_n]_ qZgd]Z]_kZmZZ o_jmdZ]_ QcjhZn+

C_mhd9pmi ]_g_n _. gdhdo_]Z ]_ind]Z]_ qZmdZi]j g_ioZh_io_ _. jpomj

_

. ]_ ZgoZn]_ind]Z]_n,

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]_ bmZi]_ \ZmbZip\g_Zm

_

]Z]Z kLg&Id_[ _ Pdhji W//Y,MZmZjn ndno_hZnlp_ \jind]_mZhjn*

kj]_hjn aZu_mphZ ]_hjinomZ:9Zj ZiZgjbZ ndhkg_nh_io_ omj\Zi]j Z \ZmbZip\g_Zmk_gj iph_mj

]_ ]jZ]jm_n djiduZ]jn,

= ZkmjsdhZ:9Zj ]_ QcjhZn+C_mhd ijn ]Z Z ]_ind]Z]_ \"b' \jhj api\9Zj ]j kjo_i\dZg _a_odqj

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ZkmjsdhZ:9Zj pnZ m_gZ:9L_n]_ bZn ]_ _g_omjingj\Zgh_io_ pidajmh_9 Znndh*qZhjn \jind]_mZmpmi

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]_ind]Z]_ h_]dZ dbpZgZ

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_ oj]jn jn _noZ]jn Z\dhZ ]_no_ _noZj qZudjn, ?jh dnoj* jn _noZ]jn j\pkZ]jn kj]_h n_m

m_km_n_ioZ]jnkLg&kjiojn ij dio_mdjm]_ phZ _na_mZ]_ mZdj?"< ij _nkZ\9j]_ hjh_ioj, MjmoZioj*

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eZ,

lp_ o_hjn _nn_i\dZgh_io_ lp_ m_njgq_m

Z _lpZ\9Z,j ]_ Mjdnnji kZmZ'0,/6(, =g_h ]dnnj* jn _a_dojn]Z o_hk_mZopmZkj]_h n_maZ\dgh_io_

di\gpd]jn, ?jh dnoj*kZnnZhjn Z ]_ijhdiZm oZg_lpZ\9Z,j ]_ Mjdnnji kjm _lpZ\9Z,j ]_ Mjdnnji+

, QcjhZn+C_mhd,

= qZioZb_h ]_ n_ pnZm. ajmhZgdnhj ]Z ]_ind]Z]_ ]_ _noZ]jn

_

Z ]_ lp_ kj]_hjn ]_n\m_q_m

j hjqdh_ioj ]jn _g_omjin gdbZ]jn _ jn _g_omjin iZ \ZhZ]Z ]_ Z\phpgZ,:9Z,j\jh Zk_iZn phZ

I>HLB76G => ;B;DBGJ><: > BF?GHE:76+Q-G O

Fmjn_*

= ZkmjsdhZ:9Zj ]_ QcjhZn+C_mhd kj]_ n_m_io_i]d]Z ]Z n_bp,wio_hZi_dmZ8dhZbdi_hjn pmi

kjo_i\dZg npZq_*_j idq_g ]_ C_mhdgj\ZgduZ]j \jhj iZ adbpmZ'0,/( Z[Zdsj, Adqd]di]j / ndno_hZ

npe_dojZ _no_kjo_i\dZg _h pmi iph_mj bmZi]_ ]_ ndno_hZnh_ijm_n _ npkji]j lp_ _h \Z]Z pmi

]_no_n _g_h_iojn / kjo_i\dZg n_eZ\jinoZio_* _n\m_q_hjn Z _lpZ:9Zj ]_ P\cmj]dib_m \jhj

) "N' U.( .")

B 8 B + IRS g& 8 )49 /&(,

0h

7

/-.

M-M".[' "d('-+. n_B&

9

/ 7"8' 8 0",0 L

R

n_B&

7

.

A S O e a E0 , . ) AdZbmZhZ_nlp_ppdod\j]_ pmi kjo_i\dZg npZq_,

j

ndno_hZnpe_dojZ _no_kjo_i\dZg kj]_ n_m ]dqd]d]j _h k_lp_ijn ndno_hZn]_ oZhZicj mb*

= ]_ind]Z]_ _g_omjid\Z\jh npZ _skm_nnZ,j\jhj _h '0,/4( kj]_ n_mpnZ]Z kZmZn_ \Zg\pgZm

Z _nompopmZ_g_omjid\Z]Zn \ZhZ]Zn ]_ diq_mnZ,jjp ]_ Z\phpgZ:9Zj&'kLg&_s_hkgj* kZmZ[+]jkdib*

\jhj q_hjn ijn \Zkdopgjn kjno_mdjm_n(,Biom_oZioj*n_ '0,/4(

_

pnZ]Z kZmZJFP 'J_oZg+FnjgZio_+

P_hd\ji]pojm(* kjm _s_hkgj* o_hjn phZ ZkmjsdhZ,:9Z,jlp_ iZj

_

nZodnaZojmdZ9hZdn km_\dnZh_io_*

simples para a condi~ao de contorno para as func;oes de onda

e

'tPj(z

=

0)

=

O. Na figura

(2.2) mostramos uma compara<;ao entre

0

resultado auto-consistente de Thomas-Fermi para a

densidade de carga de

uma heterojun~itO, extra.Ido de Ando

[30].

- 0 6

.-

,

E

•..

•

2

-F i g u r a 2.2 - Densidade de carga de Thomas-Fermi e auto-consistente

para a camada de inversao numa heterojunc;ao. A linha pontilhada representa a contribuic;ao da sub-banda mais baixa.

POl' analogia

a

aproxima<;a.o de Thomas-Fermi, C..Paasch e H. Ubensee

[1.5]

desenvolveralll

varia rnuito nurn intervalo que

e

menor que algum comprimento caracterlstico do sistema. Eles

considerararn urn potencial tendo as seguintes caracterlsticas:

vCr)

=

{vCr)

em urn clos laclos ?a interface

-+ 00 no outro lado cia ll1terface

de alguns modelos como, por exemplo,

0

potencial triangular.

No capitulo seguinte vamos aplicar a equac;ao de Poisson- Thomas-Fermi

para urn semicondutor delta-dopado. Nesta equac;ao,

NJj

(r)

e

a densidade de doadores e

N"A

(r)

: E ] S d e T [ 1

9 ] T S F E 8 7 E [I [ A [ a U E T S c U [ I L D R [ U E c ) A L a U SE < c d a e d e a E c

; L T d E ) ; [ ] E I E c

1 , . ; [ ] E O L U d S ] [ I L T d E

1 , . , .

Fiomj]pwZj

Bno_ \Zkdopgj _ ]_]d\Z]j Z pmi odkj _nk_\dZg]_ ]jkZb_h ]_ n_hd\ji]pojm_n* ji]_ jn ]jkZio_n

nZj \jiadiZ]jn _h pmi jp hZdn kFZijn ]Z m_]_\mdnoZgdiZ]j n_hd\ji]pojm, =nndh* Z _nk_nnpmZ]Z

m_bdZj]jkZ]Z

_

\jhkZmZ]Z Zj kZmZh_omj]_ m_]_]j \mdnoZg_

_

h_ijm lp_ jpomjn \jhkmdh_iojn

m_g_qZio_ni_no_ odkj ]_ kmj[g_hZ9 kjm _s_hkgj* / \jhkmdh_ioj ]_ ji]Z ]_ QR 5b]TZVR]j kjmoZ]jm gdqm_'_g_omji jp [pmZ\j(, QZgk_madg]_ ]jkZb_h kj]_ n_mhZo_hZod\Zh_io_ ]_n+

\mdoN*k_gZ apiwZj ]_goZ ]_ AdmZ\, P_hd\ji]pojm_n \jh _no_ odkj ]_ ]dnomd[pdwZj]_ ]jkZio_n

nZj ]_ijhdiZ]jn ]_ qZmdZnajmhZn*_iom__gZn]jkZb_h+]_goZ "QRZdN)Q]_V\T'(]jkZb_h kgZiZm* ]jkZb_h+kjioZ "c_VXR)Q]_V\T'*Kj m_noZio_ ]_no_ omZ[Zgcj*pnZm_hjn Z ijh_i\gZopmZ jmdbdiZg QRZdN)Q]_V\T(S= ) Q]_V\T jp Q]_NTR[)QRZdN*

>

\jind]_mZ]j Zlpd . ndgd\dj"FV' \jhj ]jkZio_ di\jmkjmZ]j Zj Zmn_id_oj]_ bZgdj"=O7]'+

Lpomjn odkjn ]_ \mdnoZdn_ ]jkZio_n o_mind]j _nop]Z]jn \jhj* kjm _s_hkgj* FP di\jmkjmZ]j Z

FVW/5Y_ FVdi\jmkjmZ]j Z>W FPJ2L+

esquema de urn 8 -

F ET

esta mostrado abaixo.

Figura 3.1 - nustra~ao de urn transistor de efeito de campo: 6 - FET.

Os transistores de efeito de campo em geral podem ser considerados como resistencias

variaveis controiadas peios campos eletricos associ ados as junc;oes pn. Consideremos 0

dis-positivo na figura acima que possui urn contato ohmico - a fonte - em uma extremidade e

urn contato similar - 0 dreno - na outra. Os eletrons que se movem da fonte para 0 dreno

Vma importante caracteristica dos F ET8 e a sua transcondutancia (9). Ela descreve a

_

_

pmi kZmZh_omjdhkjmoZio_ Zj n_ kmje_oZmpmi \dm\pdoj, Mjm_s_hkgj* lpZi]j n_ kmje_oZ

pmi Zhkgdad\Z]jm \jh pmi 9 8H( lpZioj hZdjm Z omZin\ji]poZi\dZ* hZdjm

_

. bZicj ]_no_

Zhkgdad\Z]jm,

0 +/-0

0 M' R?+BXQ\.:' L

1[Nh 8 *B "R?+BXIZW.:' 0

*

B

! 632 !

ji ]_ BZ _IZ m_km_n_ioZh Z gZmbpmZ_/ \jhkmdh_ioj ]Z kjmoZ*?+BXZ hj[dgd]Z]_* H0 Z q_gj\d]Z]_

]j _g_omji*W .: Z \ji\_iomZ:9Z,j ]j bZn ]_ _g_omjin_QZ ]dnoZi\dZ]j kgZij ]_ ]jkZio_n dokjmoZ,

A_ Z\jm]j \jh Z _lpZ\9Z,j '1,/( Z\dhZ* pmi< ;G _ad\d_io_]_q_ kjnnpdmZgoZ]_ind]Z]_ ]_

_g_omjin_ jn _g_omjin]_q_h _noZmkm4sdhjn dokjmoZ"Q k_lp_ij(, Bh omZindnojm_n]_ _a_dojn

]_ w\Zhkj \jiq_i\djiZdn "; 8BH' Z ]dnoZi\dZQ

_

]Z jm]_h ]_ 0,,4* GZ ij [ + 9 8H _noZ ]dnoZi\dZ

_

]Z jm]_h ]_ /,,4*

>

nZ[d]j oZh[_h lp_ Z ]_ind]Z]_ ]j bZn ]_ _g_omjin_ hZdjm ij

QRZdN)Q]_V\Tlp_ _h jpomjn odkjn ]_ kjo_i\dZdn ]_ \jiadiZh_ioj, LpomZqZioZb_h ]j [ + 9 8H

_

npZ qjgoZb_h ]_ mpkopmZ]j ndno_hZ, QZh[_h* h_]d]Zn ]_ ZgoZam_lp_i\dZ o_mind]j a_doZn

\jh . [ + < ;G W/0Y,MZmZ]_o_mhdiZ]jn kZmZh_omjn]Z kjmoZ. ndno_hZm_nkji]_ iZ aZdsZ]_

:;j*

K_no_omZ[Zgcj*. kmj[g_hZ ]j [ + Q]_V\T

_

omZoZ]jnj[ . kjioj ]_ qdnoZ]_ QcjhZn+C_mhd*

o

c o n c e i t o d e

delta· doping

o

conceito biisico de 8 -

doping

em

GaAs

esta ilustrado na Figura (3.2) abaixo.

eo~oe

eoeoe

_O$Oe

eoeoe

eo®oe

t O O l]

,A •••• - •• --- •••

;a

.._--- ...•. /j

: 'Jf

I I'

. I

. ,

, I I

I

®

s,

e

G G ,

Figura 3.2 - Semicondutor GaAs crescido na dire~ao < 100>.

E

mostrada tambelll a distribui~ao de dopantes numa monocamada. do cristal.

Os atomos de silicio (doadores) estao, em principio, situados em urn tinico plano atomico do

cristal (plano (100)). Os doadores ionizados formam uma lami~a continua de carga positiva,

onde a frac;ao de cobertura planar pelas impurezas pode chegar a diversos doadores pOl' unidade

de area de Bohr efetiva. Como dito anteriormente, a distribuic;ao das impurezas pode ser

descrita pela fun~a.o delta de Dirac para 0 caso de nao haver grande difusao dos dopantes.

formando, assim, urn gas de eletrons quase-bidilllensiona.l no po~o de potencial produzido pela

o

potencial do b -

doping

pode ser entendido olhando para a figura (3.3), assumindo

0

Si

como dopante em

GaAs:

lIT

F i g u r a 3 . 3 - Esquema ilustrando as varias regioes da

banda de conduc;:aode urn sernicondutor delta-dopado

o

potencial devido

a

camada de dopantes ionizados e como 0 potencial de urn plano infinito

de cargas, ou seja, tipo V (regiao I da figura). Devido

a

atrac;:ao eletrostatica, os eletrons

blindarn 0 potencial da regiao I suavizando-o (regiao II). Se 0 sistema nao e neutro, 0 potencial

deve tel' a forma inclinada como a da regiao I I Ie ficando constante longe do plano de dopantes

Podemos tambem entender este potencial como 0 encurvamento do ponto

r

da banda de

condu<;ao. Se considerarmos que existe urn fundo de impurezas aceitadoras intrinsico (fundo

residual aceitador), a regiao IV do potencial deve coincidir com 0 nivel de aceitador. No caso

de desprezarmos 0fundo residual aceitador, 0potencial na regiao IV deve coincidir com 0 nivel

Como dito anteriormente, temos urn gas de eletrons quase-bidimensional sendo, assim, urn

0- J_mgi jZlZ Z \ih\_hnltZi ]_ ]iZ]il_m gi]_lZ]Z+ godnZmmo[,[Zh]Zm , io hdp_dm,mZi

i\ojZ]Zm

1- =m aoh\+:5_m]_ ih]Z mZi _mn_h]d]Zmmi[l_ im ]iZ]il_m dihdrZ]im ko_ ailgZg / jin_h\dZf

nldZhbofZl 'ndji

S(-Mi]_gim Zkod i[m_lpZl ko_+ ]_pd]i

S

jliqdgd]Z]_ \ig ko_ . _f_nlih j_lgZh_\_ ]i Znigi

]_ dgjol_rZ dihdrZ]i+ im _f_nlihm ko_ i\ojZg . _mnZ]iaoh]Zg_hnZf n_lh ogZ gi[dfd]Z]_ gZdm

[ZdqZ ko_ im _f_nlihm ko_ i\ojZg im

_mnZ]im_q\dnZ]im-= gZdil ]dad\of]Z]_ h_mn_ndji ]_ jli[f_gZ \ih\_hnlZ,m_ hZ h_\_mmd]Z]_]Z ]_n_lgdhtZi

]i jin_h\dZf _a_ndpi ko_+ _g b_lZf+

_

a_dni Zoni,\ihmdmn_hn_g_hn_- =j_mZl ]i \Zf\ofi Zoni,

\ihmdmn_hn_n_l m_gimnlZ]i _g [ilh Z\il]i \ig im l_mofnZ]im_qj_ldg_hnZdm+_mn_g_ni]i ji]_

m_nilhZl ]dmj_h]dimi+ io m_eZ+\ihmogdl olh n_gji \igjonZ\dihZf godni blZh]_

--JodnZm dhp_mndbti_mn_ild\Zm n_lh md]i a_dnZmmi[l_ Zmmo[,[Zh]Zm _f_nlihd\Zm ]_mn_ ndji

]_ jli[f_gZ- Vl_hh_l MZIS W1XomZlZg. g_ni]i Zoni,\ihmdmn_hn_jZlZ ]_n_lgdhZl im hdp_dm _f_nlihd\im jZlZ / \Zmi _g ko_ n_g,m_ \ZgZ]Z ]_ ]ijZhn_m ]daomZ'\ig ]daomZi]_ ]ijZhn_m( _

hZi,jZlZ[ifd\d]Z]_ ]Z [Zh]Z- A_bZhd W15X\Zf\ofio im hdp_dm]_ _h_lbdZ jZlZ olh gi]_fi gZdm

l_ZfdmnZ]_ 7 , LVWQUO)ih]_ _ \ihmd]_lZ]Z Z pZldZ\+:Zi]_ n_gj_lZnolZ: \ihmd]_lio nZg[_g ]idm ndjim ]_ ]dmnld[od\+:Zi]_ ]ijZhn_m9 ohdailg_ _ ndji bZommdZhZ-A_bZhd_mno]io Zdh]Z im _a_dnim

]_ godnim \iljim- Ido MZIS W20X]_m_hpifp_lZg Zmjlijld_]Z]_m _f_nlihd\Zm]_mn_mdmn_gZ+mdgo, fZh]i / jin_h\dZf ndji ]_fnZ jil ogZ ailgZ jifdbihZf _ omZlZg aoh\+:L_m]_ ih]Z ndji m_hid]Zf

(-,! • y

1 '1 ~

Figura 3.4 - Forma poligonal da banda de condu~ao de urn

sernicondutor delta-dopado. Os valores

Eo, El,

E

2, ••• sao' encontrados analiticamente.

o

fato de os eIetrons ocuparem muitos estados excitados sugere que uma aproximac;ao

semi-classica possa ser usada para descrever este tipo de problema. Esta ideia e desenvolvida nas

pr6ximas sec;oespara 0 caso de uma delta isolada e para 0 caso de multi-deltas periodicamente

espac;adas.

3.1.3

A equa~ao de Thomas-Fermi para uma delta simplificada

A teoria de Thomas-Fermi desenvolvida nesta subsec;ao se baseia no Capitulo 2 e no trabalho

desenvolvido por Ioriatti [23].

Considerar uma delta simplificada significa fazer algumas restric;oes no modelo exato; neste

caso, sac desprezados os efeitos da temperatura, a difusao dos dopantes, os efeitos de muitos

corpos, 0 fundo de impurezas aceitadoras e a nao-parabolicidade da banda.

Ao considerarmos a temperatura diferente de zero, a energia cinetica do gas de eletrons

ocupa~ao. A distribuic;ao de Fermi-Dirac nos da a probabilidade de urn estado de energia

t

estar ocupado. Esta distribuic;ao difere muito pouco nos casos de

T

=

0 (func;ao degrau)

e

T

=f

O. Desta forma, nao

e

esperado uma grande diferenc;a nos resultados ao se considerar

• A difusao dos dopantes:

Schubert mostrou usando calculo variacional [9] que pode-se definir urn semicondutor

delta-dopado como uma estrutura em que a distribuic;ao de dopantes esta confinada a uma

regiao estreita comparada com a extensao da func;ao de onda do est ado fundamental.

Por

exemplo, para uma densidade de dopantes igual a 5

X

10

12

dopantes por

cm2,

a extensao da

fun~ao de onda do estado fundamental

e

aproximadamente

50A.

Conclui-se que nao faz

diferen<;a nos resultados finais se a distribui<;ao de dopantes esta eonfinada numa regiao

de

lA

ou

20A;

ambas podem ser consideradas do tipo delta. Na se<;ao3.3 inclufmos estes

efeitos para tornar os resultados urn poueo mais realistas .

• Os efeitos de muitos corpos:

E

sabido que os efeitos de muitos eorpos, correla<;ao e troca, nao saD muito importantes

para valores da dopagem que estejam na faixa de 1012 _{a 10}13 _{doadores por cm}2

. Degani

mostrou [26] que os efeitos de muitos corp os sao menos importantes que os efeitos da

temperatura diferente de zero. Como em todo este trabalho usamos temperatura igual a

zero e densidade de doadores na faixa eitada aeima, podemos desprezar, portanto, estes

efeitos .

• 0 fundo de impurezas aeeitadoras:

Seus efeitos SaGincluidos na se<;ao3.3.

• A nao-parabolieidade da banda:

Zrenner et al [2] calcularam os numeros de ocupa<;ao para diversas sub-bandas considerando a nao parabolieidade. Pode-se notar que a altera<;ao dos resultados e muito

Nesta primeira parte consideramos que os atomos doadores estao concentrados

uniformemente em urn unico plano perpendicular

a

dire~ao de crescimento

z.

It

usada tambem

a aproxima<;ao de massa efetiva para descrever os eletrons no semicondutor.

0

fundo

nao-intencional de aceitadores e considerado desprezivel.

Se 0 raio de Bohr efetivo a(j e a energia de Bohr efetiva R*, que para GaAs SaG

98.711

e

5.87me V

respeetivamente, SaG utilizadas como unidades naturais de distancia e energia,

podemos escrever a densidade de est ados da mesma maneira

que

no Capitulo anterior,

au

D(f., r)

=

D(f.,z)

= {

2;2

(f. -

Vej(z)f/2 se

f.

2:

Vej(Z) (3.2)

o

sef.< Vej(Z)

A partir desta densidade de estados, podemos determinar a densidade eletronica pOI'

n(z) =

1

00

D(f.,z)j(f.)df.,

onde j(f.)

e

a distribuic;ao de Fermi-Dirac. Como foi dito anteriormente, trabalhamos com a

temperatura igual a zero; desta forma, a distribuic;ao de Fermi-Dirac fica sendo ()(J-l - f.), onde

()e

a func;;aodegrau. Logo, a densidade eletronica pode ser escrita como

1

1

00 ( ) 1/2

n(z)=-2 f.-Vej(Z) ()(J-l-f.)df..

271" Vej(z)

1 ( )3/2

n(z)

=

371"2 J-l - Vej(Z) ,

E

facil notal' que, em geral, este result ado nao pode ser exato, ja que quando Vej(z)

>

J-l,

nao podemos usa-lo; 0 melhor que podemos fazer neste caso

e

impor que n(z)

=

0 nesta regiao

classicamente proibida.

Observemos que isto nao esta de acordo corn a mecanica quantica,

pois as func;6es de onda dos eh~trons podem ter uma amplitude diferente de zero nesta regiao.

Em

nosso caso, nao temos este tipo de problema, pois, como sabemos, nao existem estados

ocupados com energia maior que a energia de Fermi.

o

potencial efetivo

Vej

que devemos calcular para transformar

este problema de muitos

corpos num problema equivalente de urn corpo e a soma do potencial de Hartree com

0

potencial

de correla<;ao e troca (Capitulo 2) a qual sera desprezado.

0 potencial de Hartree

e

devido

a

intera<;ao eletrostatica dos eletrons entre si e com

0

plano de dopantes ionizados . Este potencial

atua como uma blindagem do potencial externo

0

qual

e

devido ao plano de doadores ionizados.

Uma vez determinada a densidade eletronica, podemos calcular Vef usando a equa<;ao de Poisson

abaixo: .

d

2 ve

f = -811" [n( z) - Nfj (z)] , dz2

onde n(z)

e

a densidade eletronica de Thomas-Fermi determinada anteriormente e Nfj(z)

e

a

Como dito anteriormente, podemos representar a distribui<;ao de dopantes pela fun<;ao delta

de Dirac, ou seja, Nfj(z)

=

nDt5(z), onde nD

e

a densidade areal de impurezas que, no sistema

de unidades escolhido,

e

dada como 0 numero de doadores pOI'unidade de area de Bohr efetiva.

Substituindo a densidade eletronica de Thomas-Fermi e a densidade de impurezas

ioniza-das da equa<;ao de Poisson, encontramos uma equa<;ao diferencial de segunda ordem, a qual

chamaremos equa<;ao de Poisson- Thomas-Fermi:

d2vef 8 ( )3/2

-- = -- jJ. - Vef(Z)

+

811"nDt5(z).

Esta equac;ao

e

valida para

J1

>

Vej(z).

Para

J1

<

Vej(z),

a equac;ao de Thomas-Fermi fica

d}vej

=

0

dz

2 _'

ja que nao existe est ados ocupados com energia maior que

J1.

Existem tres tipos de solu~oes da equa~o (3.5) (nos

itens

abaixo, estamos denotando por

ns

0

numero de eIetrons por unidade de area de Bohr efetiva):

1. Quando

0

sistema nao

e

neutro, ou seja,

nD

>

ns.

Isto significa que nem todos os atomos

doadores foram ionizados implicando em

d~:t

>

0, para

z

-t 00

2. Quando 0 sistema

e

neutro, ou seja, nD = ns. Neste caso, todos os atomos doadores estao ionizados e contribuem corn apenas urn eletron. Assim, d~:f = 0, para Z - 00 3. Solu<.;oesonde nD

<

ns. Esta classe de solu<.;oes

e

impossivel de ocorrer neste tipo de

problema. Neste caso, d~:f

<

0, para Z _ 00

Estamos interessados na segunda classe dentre estas possiveis solu<.;oes,ou seja, trataremos

o sistema como neutro. Resolvemos a equa<.;ao(3.5) usando quadraturas - multiplicando ambos

os lados da equa<.;aopor

d~:!

e integrando ern z - e imponpo as seguintes condi<.;oesde contorno:

• neutralidade de carga:

d~:!

= 0, para z _ 00

• presen<.;a do plano de doadores ionizados, gerando urn campo eletrico constante:

411'nD, para Z - 0+

dve! _

dz

-02

Vej(Z) - /-l = -

(olzl

+

ZO)4

Tendo calculado

0

potencial, podemos calcular a energla do estado fundamental

deste

sistema.

Usando a expressao (2.4) desprezando

0

termo de correla<;ao e troca, escrevemos

a energia como funcional da densidade eletronica; encontramos, assim,

~ J

[31l"2n(z)]2/3n(z)dz

+

41l"nD

J

Izln(z)dz

--21l"

J J

n(z)n(z')lz

- z'ldzdz'.

(3.7)

Como feito no capitulo anterior, tomando a derivada funcional desta expressao podemos mostrar

a equa<;ao de Thomas-Fermi.

Alem disso, usando a densidade de Thomas-Fermi ca1culada em

(3.3) e resolvendo as integrais, encontramos a energia do estado fundamental:

502

Eo = 9~4 nD· "'0

baixa ordem na densidade de energia cinetica de Thomas-Fermi. Tomando 0 segundo termo na

expansao ern gradientes da energia cinetica como feito em [29], sua densidade fica:

() 3( 2 )2/3 1 Idnjdz/

2

t n = - 31l' n n

+

---5 36 n

Introduzindo est a corre~ao na equa~ao (3.7), encontramos uma corre~ao para a energia do

estado fundamental, que

e

502

flEo

=

-7 2nD·

Zo

Nesta expressao, como Zo f"V n[}/5, entao flEa f"V n~5.

Neste ponto se torna necessario fazermos uma compara~ao entre a corre~ao na energia do

estado fundamental flEo, calculada acima, e a energia de correla~ao e troca as quais estamos

desprezando. Entao, usando a aproxima~ao de densidade local, encontramos (Capitulo II) uma

expressao para a energia de correl~ao e troca. Como mostrado ern [29], a densidade de energia

esta energia e observamos que ela

e ""

n~5,

ou seJa, da mesma ordem que

ti.E

o.

Desde

que desprezamos os termos de correla~ao e troca, devemos tambem desprezar esta corre~ao.

Conc1uimos, com isto, que a aproxima<;ao de Thomas-Fermi

e

equivalente

it

aproximaA;ao de

Hartree.

Como dito anteriormente,

0

problema de muitos corp os fica reduzido ao problema de urn unico

eletron se movendo num potencial efetivo

Vej(z),

0

qual foi determinado em (3.6).

_2

En(Ii) = t:n

+ ]{

I I'

onde

K

I I e 0 vet or de onda paralelo ao plano x, y e

r//

= (x, y), ou sej a, 0 eletron e livre na dire<;ao paralela ao delta. A e a area da amostra por unidade de area de Bohr efetiva e 'Pn( z)

e t:n sa-o obtidos resolvendo-se a equa<;ao de Schrodinger unidimensional:

Notemos que na equa<;ao (3.6) podemos, sem perda de generalidade, tomar J1,

=

0, pois caso

Como

0

potencial

e

par, as fun<;oesde onda sao pares ou impares. Desta forma, podemos fazer

z

positivo e tirarmos

0

modulo na equa<;ao (3.10).

Vamos procurar soluc;oes exatas para a equac;ao (3.10) aClma. Para isto, definimos uma

nova variavel

x

=

{i(az

+

zo),

onde

~

=

J-tn/a.

Com isto, a equa<;ao (3.10)

e

escrita como

(3.11 )

~

1

00

dx'

'P( x) = y'\( x) sen[J x ,\( x')

1 '

~

1

00

dx'

'P(x)=y'\(x)cos[J x '\(x')]'

onde a constante J e ,\(x) sac desconhecidos e devemos, portanto, determimi-los. Para

determinarmos J, n6s usamos 0 fato de que

e

0 Wronskiano de duas solu~oes linearmente

Sabemos que 'P(x) ~ 0 se x ~ 00; entao, da soluc;ao do tipo cosseno concluimos que a

forma assint6tica de ,\(x) deve ser tal que

Com esta informac;ao sobre a forma assint6tica de '\(x) , podemos eliminar a solu~ao do tipo

As condi~6es de contorno para as fun~6es de onda sao

dt.p(

z)

I

-d -

=

0, para estados pares

z

z=o

t.p(z

=

0)

=

0, para estados impares.

Assim,

z

=

0

=?

x

=

.jf,zo;

logo, encontramos

J

OO

dx'

J

_..fi.zo

\( ')

=

mr,

n

=

1,2,3, ...

1\ X

(3.12)

para estados impares, e

1

00 dx'

r;

J

y'izo

>.(x')

=

mr

+

arctan(2J 1>"(V~zo), n

=

1,2,3, ...

para estados pares. Estas rela<;oes sao as regras de quantiza<;ao de Bohr-Sommerfeld para 0

Temos ainda que determinar J e >.(x) que ate entao sao desconhecidos. Substituindo a

fun<;ao de onda na equa<;ao de Schrodinger, ficamos com a equa<;ao diferencial dada a seguir

-detalhes estao contidos no Apendice II.

Como dito anteriormente, J

e

0 Wronskiano da equa<;ao diferencial (3.10) e, portanto, nao

depende de x, ou seja, 0 lado direito da equa<;ao (3.14)

e

uma constante. Para determinarmos

J, podemos tomar a func;ao do lado direito num ponto qualquer - por exemplo, x

=

1. Assim,

Para determinarmos >.(x), temos que resolver a equac;ao diferencial de segunda ordem

nao-linear e nao-homogenea (3.14). Para facilitar, fazemos a derivada com relac;ao a x desta expressao e ficamos com uma equac;ao diferencial linear de terceira ordem e homogenea:

. ---;rc~o"i~;;;C;l,

0

-, Scr.y\ro DE a\BLlO 1- •

\

'-~ Y r_iI ,-'r .,

I ,",' ~~

MZlZl_mifp_l _mnZ_koZt+ ondfdrZgim. g_ni]i ]_ Cli[_hdom W5X-Bmn_g_ni]i jlij5_ ogZ

m_ld_]_ jin_h\dZm \igi mifotZi ]Z _koZtZi ]da_l_h\dZf- = m_ld_]_ jin_h\dZm

=a4V

>X _X _ ogZ

m_ld_]_ JZ\IZoldh l_jl_m_hnZh]i ogZ mifo?:Zi]Z _koZ\:Zi ]da_l_h\dZf+]_m]_ ko_ m_eZZhZfdnd\Z

_g ] ; L- P_ Z mifo?:Zi hZi _ ZhZfdnd\Z_g ] ; /+ ]_p_gim jlijil ogZ m_ld_]_ IZol_hn ]Z ailgZ

=2a4*T

>X _X ih]_ g_Z il]_g ]i jifi- K_mn_\Zmi+ZhZfdmZh]iZmmdhbofZld]Z]_m]Z

_koZ\:Zi ]da_l_h\dZfko_ ]_m_eZgiml_mifp_l+jlijigim Z m_bodhn_mifo?:ZijZlZ 5"H'2

//

<(K) ; ]= KU]/U)

,//

ko_ ]_p_ m_l\ihp_lb_hn_ G]) ] 4< /+//- Po[mndnodh]i_mnZ_qjl_mmZi_g '2-04(+ \c_bZgim Z ogZ

ailgofZ ]_ l_\ill_h\dZ ]_ nl_mn_lgim ']_nZfc_m ]_mn_]_m_hpifpdg_hni _mnZihi =j_h]d\_ FFF(

]Z]Z jil

1O

, 1&

Xb1-/U"/U

*

/(

*

0Za7Uc.

fi 1h,f ?h

//

<(K) ; KE >XLK2X

*

(,V\_,2XO + \ig >\ ;

0-H7b

' Mi]_gim p_l ko_ <(K) ,- // m__ ,- //+ \igi l_ko_ld]i Zhn_ldilg_hn_- ?Zf\ofZgim im

v\i_ad\d_hn_m]Z m_ld_jil g_di ]_ alZ\:5_m\ihndhoZ]Zm '=j_h]d\_

FFF(-?ig Z ]_n_lgdhZ\:Zi ]_ =' _) \ih\fodgim Z mifot ]i jli[f_gZ+ jidm \igi aid ]dni+ Z jZlndl

]_ 5"H' \Zf\ofZgim D_+ \ig dmni+MW"]'+ =m Zoni,_h_lbdZm]i ]_fnZ mZi ]_n_lgdhZ]Zm Z jZlndl

'2-02(-2-1

RgZ ]_fnZ dmifZ]Z\ig

]daomZi]_ ]ijZhn_m _ aoh]i

l_md]oZf

Z\_dnZ]il

K_mnZjZln_ ]i nlZ[Zfci dhnli]ordgim ]idm _a_dnimdgjilnZhn_m hi ailgZfdmgi ]_m\ldni hi

?Zjdnofi 1 _ hZ m_tZi Zhn_ldil: mZi _f_m9im _a_dnim]Z ]daomZi ]im ]ijZhn_m _ ]Z _qdmn_h\dZ

]_ olh aoh]i l_md]oZfZ\_dnZ]il- A_mnZailgZ+ nilhZgim im l_mofnZ]imolh jio\i gZdml_ZfdmnZm+

eZ ko_ _mn_m_a_dnimmZidhnldhmd\imZ ZgimnlZml_Zdm\l_m\d]Zm_lh

fZ[ilZn5ldi-NoZh]i ]dr_gim ko_ im ]ijZhn_m _mnZi fi\ZfdrZ]im _lh ogZ ohd\Z \ZgZ]Z ]i \ldmnZf

m_gd\ih]onil _mnZgim+i[pdZg_hn_+ him l_a_ldh]i Z ogZ ZjliqdgZtZi- BmnZZjliqdgZ-;:Zi ji]_

hZi m_l[iZ m_+\igi \ig_hnZgim hZ m_tZi Zhn_ldil+Z aohtZi ]_ ih]Z ]i _mnZ]i aoh]Zg_hnZf

m__mn_h]_l Zn_ olh \_lni pZfil fdgdn_ko_ ]_j_h]_ ]Z ]_hmd]Z]_ ]_ ]ijZhn_m- KZ adbolZ '2-4(

gimnlZgim olh _m[iti _mko_gZnd\i ]_ olh m_gd\ih]onil ]_fnZ ]ijZ]i ih]_ Zmdgjol_rZm+ h_mn_

\ZmiDQ)_mnZifi\ZfdrZ]Zm hog ohd\i jfZhi- KZ adbolZ'2-4( _mnZ gimnlZ]i nZg[_g / jin_h\dZf

\ig

]daomZi-,]%

m--

+&

Q,",,

Nllllll

,

B+

PPPP

-V%V----m---

-m-

-...-6 2/. GFb:

3: PP

N.

CdbolZ 2-4 , Bmko_gZ]Z [Zh]Z ]_ \ih]o\:Zi _ hdp_dm ]_ _h_lbdZjZlZ pZldimpZfil_m]_ ]daomZi ]im ]ijZhn_m

Jodnim nlZ[Zfcim ]_m_hpifpd]im h_mnZ fdhcZ n_lh Zmmogd]i ko_ Z ]dmnld[odtZi ]_ ]ijZhn_m

_mn_eZhog ohd\i jfZhi- Mil ionli fZ]i+ _qdmn__pd]_h\dZm_qj_ldg_hnZdm]_ ko_ _mnZ]dmnld[odtZi

m__mn_h]_+hZ p_l]Z]_+ jil ZfbohmjZlZg_nlim ]_ l_]_ ]i \ldmnZfW2X_ W1/X-BmnZko_mnZi ]Z

]daomZiaid ]dm\ond]Zjil I__ MZISW05Xko_ \ih\fodo ko_ mi[ \_lnZm\ih]dtL_m ]_ \l_m\dg_hni ]i \ldmnZfogZ ]daomZi ]_ 015

5

i\illdZ- Vl_hh_l MZIS W0X\ih\fodlZg ko_ ogZ ]daomZi]_ 084

5

i\ill_ _g m_lhd\ih]onil ZfnZg_hn_

?jiomZmdZh_io_ Z _no_nomZ[Zgcjn\doZ,]jn Z\dhZ,*P\cp[_mo Rd NZW6Y]_hjinomZmZh lp_ nj[ \ji]d\94_n ]_ \m_n\dh_ioj ZkmjkmdZ]Zn_ kjnndq_g\m_n\_mpmi n_hd\ji]pojm ]_goZ ]jkZ]j ij lpZg

jn ]jkZio_n _no_eZh gj\ZgduZ]jn _h phZ hjij\Z,hZ,]Z,, P\cp[_mo hjnomjp oZh[_h* pnZi]j phZ

o_\id\Z \cZhZ]Z ?+S '\ZkZ\doZi\dZ+qjgoZb_h(* lp_ Z ]dapnZj iZj _ m_g_qZio_iZ npZ ZhjnomZ,

R

kmj[g_hZ _noZiZ dio_mkm_oZ\9Zj]Zn h_]d]Zn ]_ ?+S, Zn lpZdn m_lp_m_h/ \jic_\dh_ioj \dZ

_nompopmZ]_ np[+[Zi]Zn, Bg_ \jhkZmjp jn m_npgoZ,]jn]j k_madg]_ ?+S o_jmd\j _ _sk_mdh_ioZg

_i\jiomZi]j . bmZad\j]Z adbpmZ'1,4( Z[Zdsj,

-$ /. ,

-V

_0. V . Fjg _4/ . V V

_j

/./ /&.

7( 2 -Q5Q V _/. 8G ?G F:g ,7 _-, V ,

-% F Q F {{

-?Lm\?M&Gg-QO=:9,,XL" ' Ajm=KQM8P "&" 'FL"**w+&(

A S O e a E 1 , 4 ) ?jhkZmZ:9Z,j_iom_. ],g\pgj o_jmd\j_ m_npgoZ]jn

numa camada de espessura d, ou seja, a densidade de dopantes

e

uma constante. Degani [26]

considera tambem 0 caso da distribui<;ao de dopantes com uma forma Gaussiana e mostra que

a diferen<;a deste caso com 0 de distribui<;ao constante com rela<;ao aos nfveis de energia e

a

3 . 2 . 1 A e s t r u t u r a e l e t r o n i c a d o

delta-doping

c o m d i f u s a o d e

d o a d o r e s

de Schrodinger e de Poisson- Thomas-Fermi. 0 que se altera com a inclusao da difusao dos

dopantes e a parte da equac;ao de Poisson-Thomas-Fermi que descreve a inter~ao dos eletrons

~I

_{dz z=o}

=0

: campo eletrico nulo no centro da distribui<;ao de dopantes

~I

_{dz z=oo} =0

Vej (z) = 0, Z -+ 00 : escolhemos a origem sob a banda de cond w;ao que

e

0 valor assint6tico de Vej(

z)

Calculado 0 potencial efetivo, 0 substituimos na equac;ao de Schrodinger e novamente por

metodos numericos podemos resolve-la encontrando, assim, os auto-valores e as auto-energias.

o

delta-doping

c o m f u n d o r e s i d u a l a c e i t a d o r e d i f u s a o d e

d o p a n t e s

o

fundo residual do tipo-p

e

uma dopagem intrinsica do material introduzida nao

intencionalmente no crescimento. Este fundo de dopantes aceitadores tern urn efeito prejudicial

a

mobilidade eletronica. Alem disso, ele exerce influencia sobre os niveis de energia do delta e,

assim, na quantidade de carga contida em cada sub-banda. Nao consideramos aqui os efeitos

do espalhamento dos eletrons por estas impurezas, mas a diminui<;ao dos numeros de ocupa<,;ao

o

fato de 0 movimento na dire<;aoz estar ligado tanto ao potencial das impurezas residuais

quanto ao potencial criado pelos pr6prios eletrons significa que a distribui<;ao de carga modifica

o potencial do delta.

A presenc;a do fundo residual aceitador desloca 0 nivel de Fermi para 0 nivel de aceitadores

jei que, exceto pela dopagem do delta, 0 semicondutor

e

dopado com aceitadores. Tais estados

sao ocupados por eletrons tornados do po<,;odo delta, produzindo uma regiao de cargas negativas

A maneira de se calcular 0 potencial e a mesma como feita ate agora, com exce<;ao do

numero de eletrons que e alterado (isto e, nao temos 0 numero de eletrons igual ao numero

de doadores mas sim menor), pois os aceitadores tomam eletrons do poc,:o. Diminuindo-se 0

numero de eletrons no poc,:o, os efeitos de blindagem do potencial extemo sao amenizados e,

portanto, 0 poc,:o deve se tomar muito mais profundo. Devemos, entao, introduzir na equa<;ao

Neste ponto se faz necessaria a seguinte observac,:ao: de uma forma especifica, devenamos

escrever a densidade de dopantes no semicondutor de uma maneira mais rigorosa; aSSlm,

onde R represent a os sitios efetivamente ocupados pelo aceitador ionizado. Estes sitios sao

distribuidos de forma rand6mica no plano x, y e nao rand6mica ao longo do eixo z. A aproxima<;ao usual em semicondutores dopados e fazer-se uma media espacial da densidade

de impurezas; assim temos

que esta densidade esteja distribuida sobre to do 0 volume da amostra uniformemente. Desta

?jhj ]doj Zio_mdjmh_io_*/ hdh_mj ]_ _F_omjinij ]_goZiZj _ hZdn dbpZgZj iph_mj W : ]_

Zojhjn ]jZ]jm_n* kjdn \Z]Z Zojhj Z\_doZ]jmojhZ pmi _g_omji, SZhjn npkjm lp_ \Z]Z dhkpm_uZ

Z\_doZ]jmZojh_ pmi _g_omji]j kjwj9 kj]_hjn* _ioZj* _n\m_q_m/ iph_mj \c ]_ _F_omjinm_noZio_n

]_ ]_kg_:9Z,jB7+ Bno_\dg_pgj _ a_dojij =k_i]d\_ FS*ji ]_ \jind]_mZhjn lp_ oj]jn jn Z\_doZ]jm_n

_noZj djiduZ]jn _iom_j 8 . _ j 8 Z4+.2Znndh*

B7 8

=8

T )

8

7)

3\W 7

ji]_ 8T _ Z _i_mbdZ]j TOZ]j DZ=n, ?jhj 8T

z

87) qZhjn npkjm8T * 87 d 8Tf = _i_mbdZ

]j TOZkZmZ. DZ=n _ /3/7,.-3,65,

MZmZm_njgq_mZ _lpZ:9Z,j ]da_m_i\dZg'1,0.( ]_q_hjn ]_o_mhdiZmZn \ji]dwL_n ]_ \jiojmij

kZmZ. kjo_i\dZg fR="j'* ?Zg_pgZhjn oZh[_h ij =k_i]d\_ FS . \Zhkj _F_omd\j]j ndno_hZ

kZmZqZgjm_n]_ j oZdnlp_ jR+.

8n9

j

8n9

Z4+.( ji ]_ V_ _. oZhZicj ]Z \ZhZ]Z ]_ Z\phpgwZj,

+*

PZ[_i]j+n_ . \Zhkj _F_omd\j_h j

;

jR+. j[o_hjn dh_]dZoZh_io_ Z \ji]dwZj ]_ \jiojmij kZmZ j kjo_i\dZg8

VB

_{Qj j3]} ;.

?jh dnoj*kj]_hjn ]_o_mhdiZm. kjo_i\dZg _a_odqj]Z hZi_dmZhZdn b_mZgkjnndq_g]_iomj ]j

+hj]_gj kmjkjnoj,

KjqZh_io_ \jh . kjo_i\dZg \Zg\pgZ]j* kj]_hjn m_njgq_mZ _lpwZj ]_ P\cmj]dib_m _

=Jh ]Z _nompopmZ]_ np[+[Zi]Zn _ ]Zn Zpoj+api:9L_n* \Zg\pgZhjn oZh[_h . iph_mj ]_

j\pkZ:9Zj ]_ \Z]Z np[+[Zi]Z "\V'!

:

o_hk_mZopmZadidoZG kj]_hjn \Zg\pgZm\V dio_bmZi]j / kmj]poj ]Z ]dnomd[pd:9Zj]_ C_mhd+AdmZ\_ Z ]_ind]Z]_ ]_ _noZ]jn iZn qZmdZq_dnR\RbTVN_j* Bno_ \ZF\pgj _ Zkm_n_ioZ]j ij =k_i]d\_ S _ m_npgoZ_h

>5H K '+-,7-

9N

W !8 **> W0

*

_ A8G,W D

B 0/mE( !

_a_odqZ,A_q_hjn ijoZm Zlpd lp_ jn idq_dn]_ _i_mbdZoZh[_h n_ Zgo_mZh\jh Z o_hk_mZopmZ*

phZ q_u lp_ . kjo_i\dZg _ Zgo_mZ]j,= G 8 .* Z _lpZ:9Zj Z\dhZ n_ m_]pu Z

Kj \Zkdopgj n_bpdio_ Zkm_n_ioZhjn m_npgoZ]jn\ji\m_ojn ]Z _nompopmZ]_ np[+[Zi]Zn*

iph_mjn ]_ j\pkZ:9Zj* api:94_n]_ ji]Z _ ]_ind]Z]_ ]_ \ZwbZ,

1 , 1 , . - F [ V F L S d [I L c e ] L a ) a L I L

V

= kd+dh_dmZkmjkjnoZ ]_ phZ npk_m+m_]_ajd a_doZZ \_m\Z ]_ 0. Zijn ZomZ,nkjm BnZfd _ Qnp W00Y,

BnoZkmjkjnoZ \jindno_ ]_ pmi n_hd\ji]pojm \jh \ZhZ]Zn ]_ ]jkZio_n odkj+i _ odkj+k jp _io\dj

Zgo_miZi]j Z \jhkjnd:9Zj ]j n_hd\ji]pojm Zj gjibj ]Z ]dm_:9Zj]_ \m_n\dh_ioj b_mZi]j* Znndh*

pmi kjo_i\dZg k_md4]d\j i_noZ ]dm_:9Zj, K_no_ odkj ]_ _nompopmZ. k_mdj]j ]j kjo_i\dZg kj]_

qZmdZmZ kZmodm]_ kjp\Zn ]_u_iZn ]j kZmZh_omj]_ m_]_ ]j \mdnoZg9\jh dnoj*_ ]_ n_ _nk_mZm

lp_ n_eZkjnndq_gZ j[n_mqZ:9\dj]_ Zgbpin _a_dojnlpZiod\jn ]_k_i]_io_n ]Zn \ZmZ\o_mdnod\Zn]Z

npk_m+m_]_,

P_bpi]j BnZfd W0/Y*Z d]_dZ]_ npk_m+m_]_j\jmm_p lpZi]j n_ _noZqZ_nop]Zi]j opi_gZh_ioj

m_nnjiZio_ _h kj:9jn _ [Zmm_dmZn]_ kjo_i\dZg, = npk_m+m_]_ajd \jind]_mZ]Z phZ _so_inZj

iZopmZg]_ _nompopmZn]pkgZn 'kjm _s_hkgj* kj:9j lpZiod\j ]pkgj(, =n kmjkmd_]Z]_n4kod\Zn]_

Estes sac os principais requisitos a fim de se obter emissao estimulada

(laser).

Nesta parte do trabalho estamos interessados em super-redes de

delta-doping.

Existem dois

tipos de camadas delta-dopadas

peri6dicas:

1.

Vma

sequencia peri6dica de camadas delta.-dopadas com"

0

mesmo tipo de dopante e

separadas pOl' regioes nao dopadas. exceto pela, c10pagem residual intrinsica. Este tipo de

estrutura

e

denotada pOl'

8i8i;

alternadamente e separadas por regioes lIilO dopa.das. Este tipo de super-rede

e

cha.mado

dente de serra e esta esquematizado na figura (:3.7).

.;1 1 1

+:

I I ) :

- .~Ul ,

£c

.~"1lI

+~"CIl'

, , " "I I I_z

[ y

F i g u r a 3 . 7 - Diagrama de bamlas para. uma super-rede do tipo