Prof. Aluno:

(1)

“A Matemática é a mais simples, a mais perfeita e a mais antiga de todas as ciências.” (Jacques

Hadarmard)

Aluno:______________________________________________________________________________________

(2)

INSTRUÇÕES GERAIS

As provas são sempre individuais e sem consulta, valendo 10 (dez) pontos,

sendo liberado uso de calculadora. Em dia de prova, os celulares devem ser

desligados e guardados, o uso de aparelhos eletrônicos, materiais impressos e

comunicação entre alunos durante a prova, acarretará em nota zero na

mesma. As provas SUBSTITUTIVA e EXAME, envolvem toda a matéria do

semestre. Os horários e datas de provas não serão alterados para situações

individuais. Além das provas citadas anteriormente, não haverá trabalhos nem

outras provas para ajudar na nota.

“Existe um paralelismo fiel entre o progresso social e a atividade matemática, os países socialmente

atrasados são aqueles em que a atividade matemática é nula ou quase nula.” (Jacques Chapellon)

“Um bom ensino da Matemática forma melhores hábitos de pensamento e habilita o indivíduo a usar

melhor a sua inteligência.” (Irene de Albuquerque)

“O abandono da Matemática traz dano a todo o conhecimento, pois aquele que a ignora não pode

conhecer as outras ciências ou as coisas do mundo.” (Roger Bacon)

"Aqueles que estudam seriamente a matemática acabam tomados de uma espécie de paixão pela

mesma." (Carl Friedrich Gauss)

“Entre dois espíritos iguais, postos nas mesmas condições, aquele que sabe calcular é superior ao

outro e adquire um vigor especial.” (Pascal)

“Não há ramo da Matemática, por mais abstrato que seja, que não possa um dia vir a ser aplicado

aos fenômenos do mundo real.” (Lobachevsky)

“Toda a educação científica que não se inicia com a Matemática é, naturalmente, imperfeita na sua

base.” (Auguste Conte)

(3)

Módulo 0: Revisão de Funções

Na educação básica (ensino fundamental e médio), aprendemos que quando um valor “y” depende de outro valor “x”, dizemos que “y” está em FUNÇÃO de “x”.

Por exemplo, dado a função y = 2 ._{x + 5, determine o valor de y, quando:} 1) x for igual a 1;

2) x for igual a 0; 3) x for igual a 2,5.

Solução: 1) Quando x = 1, substituímos o x por 1 na função dada e temos: y = 2 ._{1 + 5 = 2 + 5 = 7. Ou seja, quando} x for igual a 1, y será igual a 7.

2) Quando x = 0, substituímos o x por 0 na função dada e temos: y = 2 ._{0 + 5 = 0 + 5 = 5. Ou seja, quando x for igual} a 0, y será igual a 5.

3) Quando x = 2,5, substituímos o x por 2,5 na função dada e temos: y = 2 ._{2,5 + 5 = 5 + 5 = 10. Ou seja, quando x} for igual a 2,5, y será igual a 10.

Pela resolução acima, percebemos que o valor de y, vai depender do valor atribuído a x, dessa forma, dizemos que o valor de y, está em FUNÇÃO do valor de x.

No exemplo acima, também podemos fazer a operação inversa, ou seja, fornecer o valor de y e pedir o valor de x. Por exemplo, dado a função y = 2 ._{x + 5, determine o valor de x, quando:}

4) y for igual a 7; 5) y for igual a 5; 6) y for igual a 10.

Solução: 4) Quando y = 7, substituímos o y por 7 na função dada e temos: 7 = 2 ._{x + 5 → –2x = 5 –7 → –2x = –2.} Como queremos calcular o valor de x positivo e não o valor de x negativo, multiplicamos a equação –2x = –2, por (– 1), obtendo 2x = 2, logo x = 1. Ou seja, quando y for igual a 7, x será igual a 1.

5) Quando y = 5, substituímos o y por 5 na função dada e temos: 5 = 2 ._{x + 5 → –2x = 5 –5 → –2x = 0. Como} queremos calcular o valor de x positivo e não o valor de x negativo, multiplicamos a equação –2x = 0, por (–1), obtendo 2x = 0, logo x = 0. Ou seja, quando y for igual a 5, x será igual a 0.

6) Quando y = 10, substituímos o y por 10 na função dada e temos: 10 = 2 ._{x + 5 → –2x = 5 -10 → –2x = –5. Como} queremos calcular o valor de x positivo e não o valor de x negativo, multiplicamos a equação –2x = –5, por (–1), obtendo 2x = 5, logo x = 2,5. Ou seja, quando y for igual a 10, x será igual a 2,5.

No estudo de funções, também podemos chamar “y” de “f(x)”, ou seja, y = f(x), dessa forma a função y = 2 ._{x + 5} também pode ser escrita, como f(x) = 2 ._{x + 5. E, podemos ter exercícios como por exemplo:}

Dado a função f(x) = 2 ._{x + 5, calcule:} 7) f(1);

8) x, quando f(x) = 7.

Solução: 7) Para calcular f(1), substituímos a letra “x” na função f(x) = 2 ._{x + 5 por 1, obtendo f(1) = 2}._{1 + 5 = 2 + 5} = 7

8) Como o exercício fornece f(x) = 7, substituímos o f(x) da função f(x) = 2 ._{x + 5 por 7, obtendo 7 = 2}._{x + 5 e} calculamos o valor de x, da seguinte forma –2x = 5 –7 → –2x = –2, multiplicando a equação por –1, temos 2x = 2, logo x = 1.

Na sequência, veremos exemplos de funções matemáticas, aplicadas ao curso de Administração. As funções que mais aparecem, são as do 1º grau, mas também podemos ter casos com funções quadráticas, funções exponenciais e funções logarítmicas.

Exemplos aplicados ao curso de Administração:

Dado a função q = 5000 + 200 ._{p, onde q é a quantidade e p é o preço de determinado produto, calcule:} 9) Qual a quantidade que será vendida, quando o preço for igual a R$ 5,00 ?

10) Para que o produtor consiga vender 15 000 unidades, qual deverá ser o preço?

Solução:9) Como o exercício forneceu que o preço é 5 reais, substituímos p (preço) por 5, na função dada, obtendo q = 5000 + 200 ._{5 → q = 5000 + 1000 → q = 6000}

(4)

10) Como o exercício forneceu que a quantidade é 15 000 unidades, substituímos q (quantidade) por 15 000, na função dada, obtendo 15 000 = 5000 + 200 ._{p → 15 000 - 5000 = 200p → 10 000 = 200p → p = 50}

Observação: A função matemática acima é conhecida no curso de Administração, como função oferta e, pelos cálculos, concluímos que, quando o preço pago pelo mercado for R$ 5,00 a unidade, o produtor irá ofertar para venda 6000 unidades desse produto. Mas, se o preço de mercado for em torno de R$ 50,00, o produtor irá ofertar (colocar a venda) 15 000 unidades desse produto. Essa função oferta, será estudada em detalhes, no módulo 2. Dado a função Custo total C(t) = 5000 + 200 ._{q, onde q é a quantidade produzida e C(t) é o custo total de produção} de determinado produto, calcule:

11) Qual o custo total para se produzir 10 unidades ? 12) Qual o custo total para se produzir 50 unidades ?

13) Quantas unidades serão produzidas ao custo de R$ 105 000 ?

Solução: 11) Como o exercício forneceu que a quantidade é 10 unidades, substituímos q (quantidade) por 10, na função dada, obtendo C(t) = 5000 + 200 ._{10 ou se preferirmos C(10) = 5000 + 200}._{10 → C(10) = 5000 + 2000 →} C(10) = 7000, ou seja, o custo total para se fabricar 10 unidades é R$ 7000,00.

12) Como o exercício forneceu que a quantidade é 50 unidades, substituímos q (quantidade) por 50, na função dada, obtendo C(t) = 5000 + 200 ._{50 ou se preferirmos C(50) = 5000 + 200}._{50 → C(50) = 5000 + 10 000 → C(50) = 15} 000, ou seja, o custo total para se fabricar 50 unidades é R$ 15 000,00.

13) Como o exercício forneceu que o preço é 105 000 reais, substituímos o custo total por 105 000, na função dada, obtendo 105 000 = 5000 + 200 ._q_{→ 105 000 - 5000 = 200q → q = 500, ou seja, com um custo total de 105 000} reais, é possível produzir 500 unidades.

Através de situações do cotidiano, podemos montar funções, como a Custo Total de produção, apresentada acima, para nos ajudar na tomada de decisão. Por exemplo:

14) Em uma safra, um produtor de morangos tem um custo variável de R$ 0,50 por caixa produzida (relativo a sementes, defensivos agrícolas, embalagens, etc.), além de uma despesa fixa de R$ 1.500,00 (relativo ao aluguel do terreno onde produz, ao maquinário e ao salário de empregados). Qual a fórmula matemática que relaciona o custo total de produção “C(t)”, em função da quantidade “q” produzida?

Solução: A função Custo Total C(t), é obtida, somando-se o Custo Fixo, com o produto do Custo Variável pela quantidade produzida, ou seja, C(t) = 1500 + 0,50 ._q_{, onde “q” é a quantidade de caixas de morango.}

Gráfico de uma função: o gráfico de uma função f nos dá uma imagem rica do comportamento ou da “história de vida” de uma função. O método mais comum de visualizar uma função consiste em fazer seu gráfico. A forma mais rápida de fazer um gráfico de uma função do 1º grau, a qual mais aparece na área de Administração, é determinar os pontos onde essa função “corta” os eixos “x” e “y”, por exemplo:

15) Determine os pontos onde a função y = - 2x + 20, intercepta os eixos horizontal e vertical do plano cartesiano. Solução: Como os pontos que queremos determinar estão sobre os eixos do plano cartesiano, uma das coordenadas dos pontos, será igual a zero, dessa forma:

Para achar o ponto onde o gráfico intercepta o eixo “y”, substituímos o “x” por zero na função dada:

y = - 2 ._{0 + 20 → y = 20}

Para achar o ponto onde o gráfico intercepta o eixo “x”, substituímos o “y” por zero na função dada:

0 = - 2 ._{x + 20 → 2x = 20 → x = 10}

OBS.: O primeiro cálculo não precisava ser feito, pois o gráfico da função afim (1º grau) sempre intercepta o eixo vertical, no termo independente, que no caso é 20.

Módulo 1: Função Demanda

“A Matemática é a mais simples, a mais perfeita e a mais antiga de todas as ciências.” (Jacques Hadarmard)

"Aqueles que estudam seriamente a matemática acabam tomados de uma espécie de paixão pela mesma." (Carl Friedrich Gauss) “Entre dois espíritos iguais, postos nas mesmas condições, aquele que sabe calcular é superior ao outro e adquire um vigor especial”

(Pascal)

A função demanda relaciona preços e quantidades de uma mercadoria, estudando essa relação sob o ponto de vista dos CONSUMIDORES.

A quantidade de uma mercadoria ou de um serviço que um consumidor deseja ou está disposto a consumir, em um certo período de tempo, depende de vários fatores, tais como: o preço da mercadoria, a renda do consumidor, o preço de outras mercadorias ou bens substitutos, o gosto pessoal do consumidor, o preço de outras mercadorias ou bens complementares, etc.

(5)

Como estamos interessados em estudar as aplicações das funções matemáticas elementares, vamos considerar que a quantidade demandada de uma mercadoria depende apenas do seu preço, sendo os demais fatores constantes. A representação gráfica da função demanda é geralmente chamada de curva de demanda.

Por meio de análises empíricas do comportamento dos consumidores, os economistas observaram que à medida que o preço de uma mercadoria aumenta, a sua quantidade demandada diminui. Da mesma forma, se o preço de uma mercadoria diminui, a sua quantidade demandada tende a aumentar. Essa relação é o que os economistas chamam de Lei da Demanda. Dessa forma, observou-se que a função demanda é uma função estritamente DECRESCENTE.

Observe que para um indivíduo, a demanda por uma certa mercadoria relaciona-se com o preço de acordo com a tabela abaixo.

Preço (p) 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Quantidade (q) 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 Vamos construir o gráfico da curva de demanda referente a esses dados:

O gráfico revela que a curva de demanda é na verdade uma reta, ou seja, trata-se de uma demanda linear. Observe nesse gráfico que consideramos a quantidade (q) no eixo vertical e o preço (p) no eixo horizontal. Isso indica que estamos considerando a quantidade como variável dependente e o preço como variável independente, ou seja, q = f(p).

Os economistas não fazem distinção em considerar q = f(p) ou p = f(q). Para nossos estudos, vamos admitir apenas a primeira opção, q = f(p), desta forma a quantidade está em função do preço, ou seja, a quantidade que alguém vai consumir, vai depender do preço.

Demanda individual e demanda de mercado: A demanda individual indica o quanto um determinado consumidor está propenso a consumir de um produto a certo nível de preço. Já a demanda de mercado ou demanda agregada nos mostra as quantidades nas quais esse produto é procurado, num certo período de tempo, por todos os indivíduos que compõem o mercado. A demanda de mercado depende de todos os compradores da mercadoria existentes no mercado.

Se todos os n consumidores forem idênticos, a demanda de mercado será um múltiplo da demanda individual de um consumidor:

qm = n . q

Se os consumidores tiverem funções de demanda distintas, a demanda de mercado será dada pela soma das funções demanda individuais de todos os n consumidores:

qm = q1 + q2 + ... + qn

Função demanda linear: Como admitimos que q = f(p), podemos escrever a função demanda como: q = a + b ._{p, com b}_{≠ 0}

A notação acima, usada na área de Administração, é diferente da notação y = ax + b, usada no ensino médio. Dados dois pontos do gráfico dessa função, como por exemplo (5 ; 3) e (3 ; 9), achamos o valor de “b”, através da fórmula 𝑏 =∆𝑞_∆𝑝=9−3₃₋₅=₋₂6 = −𝟑 e, substituímos o -3 e um dos pontos (5 ; 3) ou (3 ; 9), na equação: q = a + b ._p,

achamos o valor de “a”, conforme o exemplo 6, mais adiante.

Essa função só será estudada no primeiro quadrante do gráfico, pois não faz sentido pensar em preço negativo ou em quantidade negativa.

(6)

Outro detalhe importante é que, como a função demanda é sempre decrescente, o parâmetro b será negativo, ou seja, b < 0.

Resumo de Fórmulas Função Demanda: q = a + b .

_{p, com b ≠ 0 e 𝒃 =}

∆𝒒

∆𝒑 Demanda individual: qm

= n

.

q

Demanda de Mercado: qm

= q

1

+ q

2

+ ... + q

n

Exemplo 1: Suponha que existem dois indivíduos idênticos no mercado, cada um com uma demanda por uma certa mercadoria dada por q = 8 – p. Vamos obter a demanda de mercado dessa mercadoria.

Como o mercado é composto apenas por dois indivíduos (n = 2), então, substituindo “q” e “n” na fórmula (qm = n . q), temos: qm = 2.(8 – p), logo, qm = 16 – 2p

Exemplo 2: Admita que o mercado é formado por três indivíduos cujas demandas por uma certa mercadoria, num certo período de tempo, são dadas pelas funções q1 = 8 – p; q2 = 12 – 2p e q3 = 15 – 3p. Vamos obter a expressão da demanda de mercado por essa mercadoria.

Como o mercado é composto por três indivíduos com funções demanda diferentes, devemos somar as três expressões. Assim, a demanda de mercado será dada por: qm = q1 + q2 + q3 = (8 – p) + (12 – 2p) + (15 – 3p) = 8 + 12 + 15 – p – 2p – 3p

qm = 35 – 6p

Exemplo 3: Uma pesquisa sobre a demanda de mercado de um determinado produto (em função do preço) levou à uma escala de demanda que, por sua vez, proporcionou a identificação do seguinte modelo linear: q = 7800 – 35p. Tendo em vista tal modelo linear, determine o valor da demanda para o preço R$ 50,00.

Basta substituir “p” por R$ 50,00 na função q = 7800 – 35p, obtendo q = 7800 – 35 ._{50 = 6050 unidades.}

Exemplo 4: A demanda de mercado de um produto, que é vendido em pacotes, é dado em função do preço do pacote. A função que mostra tal situação é: q = 1600 – 2p. A que preço a demanda de mercado do produto será de 600 pacotes?

Basta substituir “q” por 600 na função q = 1600 – 2p, obtendo 600 = 1600 – 2p → 2p = 1600 – 600 → p = 500

Exemplo 5: Considere a função demanda dada por q = – 3.p² + 12. Determine os valores de intercepto dos eixo “p” e “q” no primeiro quadrante:

O eixo vertical “q”, é interceptado, no termo independente 12 e, o eixo horizontal “p” é determinado, substituindo “q” por 0 na função q = – 3.p² + 12, e calculando p, logo, p = 2

OBS.: Nesse exemplo, a função demanda não é um modelo linear (1º grau), mas um modelo quadrático (2º grau).

Exemplo 6: Um consumidor demanda uma certa mercadoria de acordo com preço, conforme a tabela abaixo:

p ($) 6 5 4 3 2

q 0 3 6 9 12

(7)

Queremos uma função do tipo q = a + b ._{p, ou seja, quantidade em função do preço, portanto, precisamos}

determinar os valores de “a” e “b”. Para isso escolhemos duas colunas quaisquer de valores, por exemplo:

5 3

3 9

Dessa forma, relacionando “p” e “q” com o “x” e “y” do ensino básico, temos os pontos (5 ; 3) e (3 ; 9), para acharmos o valor de “b”, fazemos: 𝑏 =∆𝑞_∆𝑝=9−3₃₋₅=₋₂6 = −𝟑

Para acharmos o termo “a”, substituímos o -3 encontrado acima e as coordenadas de um dos pontos (5 ; 3) ou (3 ; 9), na equação: q = a + b ._{p, escolhendo o ponto (5 ; 3), temos: 3 = a + (-3)}._{5 → 3 = -15 + a → a = 18}

Dessa forma, nossa função q = a + b ._{p, será q = 18 - 3p}

OBS.: Também podemos obter a função acima, resolvendo um sistema de equações.

Exemplo 7: A função que relaciona os preços e quantidades de um certo produto é dada por 2q + 4p = 10. Vamos construir o gráfico dessa função demanda.

Primeiro vamos isolar a variável q: 2.q = 10 – 4p

q = (10 – 4p)/2 q = 5 – 2p

Pelo que conhecemos de função do 1º grau, sabemos que o intercepto do eixo vertical é dado pelo parâmetro a, que nesse caso vale 5. Já o intercepto do eixo horizontal, é dado pelo valor de x correspondente a y = 0, ou, no nosso caso, o valor de p correspondente a q = 0. Assim, substituindo 0 na variável q, temos:

0 = 5 – 2p 2p = 5 p = 5/2 = 2,5

Agora podemos construir o gráfico, tomando por base os interceptos do eixo horizontal e do eixo vertical. Observe abaixo que a linha do gráfico deve ficar tracejada no trecho que está fora do primeiro quadrante. Observe também o aspecto decrescente do gráfico.

Exemplo 8: Considere a função q = 10 – 2p. Para que ocorra “mercado”, as condições básicas devem ser:

- Preço maior que “zero” (p > 0);

- Demanda ou Procura pelo produto maior que “zero” (q > 0). Ao admitirmos q > 0, ocorre:

10 – 2p > 0 10 > 2p 10/2 > p 5 > p ou p < R$ 5,00

Portanto, temos que o preço do produto, nesta situação, varia entre 0 e R$ 5,00.

0 < p < R$ 5,00 Ao admitirmos p > 0, ocorre: q = 10 – 2p q + 2p = 10 2p = 10 – q p = (10 – q)/2 (10 – q)/2 > 0 10 – q > 0 . 2 10 – q > 0 10 > q ou q < 10

(8)

Portanto, temos que a demanda (procura) pelo produto, nesta situação, varia entre 0 e 10

unidades. 0 < q < 10 unidades

Logo, para haver mercado, deve ocorrer, variação do preço: 0 < p < R$ 5,00 e variação da demanda: 0 < q < 10 unidades.

Exercícios do Módulo 1

1) Dado a função demanda q = 300 – 5p, determine a quantidade da demanda para o preço R$ 3,00. a)285 unidades b)297 unidades c)259 unidades

d)279 unidades e)280 unidades

2) Uma pesquisa sobre a demanda de mercado de um determinado produto (em função do preço) levou à uma escala de demanda que, por sua vez, proporcionou a identificação do seguinte modelo linear: q = 4300 – 35p. Tendo em vista tal modelo linear, determine o valor da demanda para o preço R$ 43,00.

a)2700 unidades b)2975 unidades c)2597 unidades d)2795 unidades e)2870 unidades

3) A demanda de mercado de um produto, que é vendido em pacotes, é dada em função do preço do pacote. A função que mostra tal situação é: q = 4200 – 15p. A que preço a demanda de mercado do produto será de 1500 pacotes?

a)R$ 180,00 b)R$ 190,00 c)R$ 165,00 d)R$ 175,00 e)R$ 200,00

4) A demanda de mercado de um produto, que é vendido em pacotes, é dada em função do preço do pacote. A função que mostra tal situação é: q = 3500 – 10p. A que preço a demanda de mercado do produto será de 1000 pacotes?

a)250 reais b)450 reais c)200 reais d)400 reais e)350 reais

5) Considere que a função demanda de um consumidor individual é dada por q = 40 - 20.p Se existem 100 consumidores dessa mercadoria no mercado, obtenha a função demanda agregada.

a)qm = 4000 - 2000.p b)qm = -400 + 200.p c)qm = -4000 + 2000.p d)qm = 2000 - 4000.p e)qm = 4000 + 2000.p

6) Um consumidor tem função demanda individual de uma mercadoria dada por q = 20 - 10.p. Outro consumidor tem função demanda individual da mesma mercadoria dada por q = 30 - 20.p. Obtenha a função demanda de mercado para essa mercadoria.

a)qm = 50 - 30.p c)qm = -50 - 30.p c)qm = -50 + 30.p c)qm = 50 + 30.p c)qm = 30 - 50.p

7) Considere a função demanda dada por q = – 3.p² + 12. Assinale a opção que apresenta o valor de intercepto do eixo p no primeiro quadrante:

a)p = 2 b)p = 3 c)p = 4 d)p = 5 e)p = 6

8) Considere a função demanda dada por q = – p² – p + 72. Assinale a opção que apresenta o valor de intercepto do eixo p no primeiro quadrante:

a)p = 2 b)p = 4 c)p = 5 d)p = 6 e)p = 8

9) Dado a função demanda q = 100 – 10p, identifique os pontos onde ela intercepta os eixos horizontal “p” e vertical “q”, ou seja, o par ordenado (p , q).

a)(10 , 100) b)(100 , 10) c)(100 , 100) d)(10 , 10) e)(100 , -10) 10) Determine a função demanda, na qual o gráfico passa pelos pontos (5 ; 3) e (3 ; 9).

a)q = 12 – 4.p b)q = 18 – 4.p c)q = 12 – 3.p d)q = 18 – 3.p e)q = 12 – 6.p 11) Um consumidor demanda uma certa mercadoria de acordo com preço, conforme a tabela abaixo:

p ($) 6 5 4 3 2

q 0 3 6 9 12

Assinale a alternativa que apresenta corretamente a expressão algébrica da função demanda dessa mercadoria. a)q = 18 – 3.p b)q = 12 – 4.p c)q = 18 – 4.p d)q = 12 – 3.p e)q = 12 – 6.p

12) Sabendo-se que a demanda de mercado de um determinado produto é definida por q = 500 – 10p, sendo p o preço de venda do produto, podemos afirmar que a demanda será menor que 200 unidades, se:

a)R$ 10,00 < p < R$ 15,00 b)p = R$ 20,00 c)R$ 25,00 < p < R$ 30,00 d)p = R$ 30,00 e)p > R$ 30,00

(9)

Módulo 2: Função oferta

“Na maior parte das ciências, uma geração põe abaixo o que a outra construiu, e o que uma estabeleceu a outra desfaz. Somente na Matemática é que cada geração constrói um novo andar sobre a antiga estrutura.” (Hermann Hankel)

De que irei me ocupar no céu, durante toda a eternidade, se não me derem uma infinidade de problemas de matemática para resolver?” (Augustin Louis Cauchy) “Arquimedes será lembrado enquanto Ésquilo foi esquecido, porque os idiomas morrem, mas as idéias matemáticas permanecem. Imortalidade pode ser uma idéia tola, mas provavelmente um matemático tem a melhor chance que pode existir de obtê-la.”

(G.H.Hardy)

A função oferta relaciona preços e quantidades de uma mercadoria, estudando essa relação sob o ponto de vista dos PRODUTORES.

Entendemos a função oferta como a quantidade de um bem ou serviço que os produtores ou fabricantes (vendedores) estão dispostos a ofertar a um dado nível de preço, em um certo período de tempo. Assim, podemos escrever:

q = f(p)

No qual q representa a quantidade ofertada e p representa o preço de uma mercadoria. Em uma análise meramente lógica ou baseada no bom senso, podemos afirmar que:

(i) Um aumento dos preços irá provocar um aumento na quantidade ofertada, isto é, se a um preço p1 a quantidade ofertada for q1, a um preço p2 > p1 a quantidade ofertada será q2 > q1. Resumidamente, temos:

p2 > p1 à q2 > q1

(ii) Uma queda nos preços irá provocar uma diminuição na quantidade ofertada, isto é, se a um preço p1 a quantidade ofertada for q1, a um preço p2 < p1 a quantidade ofertada será q2 < q1. Resumidamente, temos:

p2 < p1 à q2 < q1

Mas você poderia perguntar: porque os vendedores ofertam maior quantidade de um produto quando o seu preço aumenta? A resposta a esse questionamento pode ser melhor entendida se tomarmos um exemplo no mercado agrícola. Imagine que os preços do milho, por exemplo, aumentam no mercado internacional e, por consequência, no mercado interno também. Os produtores agrícolas ficam incentivados a produzirem mais milho, pois assim podem obter mais lucro, visto que os preços estão altos. Da mesma forma, se o preço de um produto agrícola cair, os produtores irão ficar inclinados a produzir menos, buscando plantar outros produtos que dêem a eles melhores retornos financeiros.

Na prática, podemos observar os efeitos da função oferta no Brasil no mercado de açúcar e de etanol. Os produtores de cana de açúcar podem destinar seu produto para a produção de açúcar ou de etanol, mas eles sempre vão preferir destinar o seu produto para a opção que estiver mais valorizada, ou seja, que pagar o melhor preço, em detrimento da outra opção menos valorizada, com menor preço de mercado. Por isso, frequentemente vemos surgir crises no abastecimento de etanol no mercado interno, pois isso sempre acontece quando o preço do açúcar sobe nos mercados internacionais.

Admitindo, então, o fato de que as quantidades ofertadas aumentam quando os preços aumentam e, analogamente, diminuem quando os preços caem, podemos entender que a função oferta, que relaciona preços e quantidades, é uma função estritamente crescente.

Os estudiosos de Economia não fazem distinção em relacionar preços e quantidades como q = f(p) ou p = f(q). Para fins didáticos, em nossos estudos vamos considerar apenas a primeira opção, ou seja, a quantidade (q) é a variável dependente (y) e o preço (p) é a variável independente (x).

Numa análise mais aprofundada do comportamento do mercado, podemos entender que existem outros fatores que podem influenciar a quantidade ofertada a um certo nível de preço.

Poderíamos citar fatores tais como os preços dos insumos, os preços dos bens substitutos, os problemas climáticos ou sazonais tais como a falta ou excesso de chuva, etc. Entretanto, como nosso objetivo é estudar as aplicações das principais funções matemáticas elementares, vamos desconsiderar esses fatores e focar nosso estudo apenas nas variáveis preço e quantidade.

Existem várias funções matemáticas que podem ser usadas para modelizar a função oferta, tais como a função do 1º grau, a função quadrática, etc. O que determina a melhor função a ser usada são os dados reais, ou seja, pode-se fazer um estudo gráfico do comportamento dos preços e quantidades para avaliar qual modelo matemático é mais adequado aos valores observados.

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A avaliação da melhor função matemática adequada a um conjunto de dados reais é tarefa da Estatística, ou melhor, da Estatística Econômica e da Econometria. Em nossos estudos, vamos considerar que a função matemática é dada a priori, evitando a necessidade de termos de testar uma série de modelos.

Modelo Linear da Função Oferta: Como admitimos que q = f(p), podemos escrever: q = a + b.p, com b ≠ 0

Devemos também chamar a atenção para o fato de que essa função só será estudada no primeiro quadrante do gráfico, pois não faz sentido pensar em preço negativo nem quantidade negativa.

Outro detalhe importante é que, como a função oferta é sempre crescente, o parâmetro b será positivo, ou seja, b > 0.

Oferta de mercado de uma mercadoria: também chamada de oferta agregada de uma mercadoria, fornece as quantidades da mercadoria que são ofertadas, num dado período de tempo, aos vários preços alternativos, por todos os produtores dessa mercadoria que operam no mercado. A oferta de mercado depende dos mesmos fatores que determinam a oferta dos produtores individuais, sendo, portanto, obtida com base na função oferta individual dos produtores.

Se todos os produtores forem idênticos, ou seja, se tiverem a mesma função oferta individual, para se obter a função oferta de mercado, basta tomar a função oferta individual e multiplicá-la pelo número de produtores.

Se os produtores forem diferentes, ou seja, se tiverem funções oferta individuais distintas, a função oferta de mercado será dada pela soma algébrica das funções oferta individuais dos produtores.

Exemplo 1: Considere que a função oferta de uma mercadoria por um produtor individual é dada por q = -40 + 20.p Se existem 100 produtores dessa mercadoria no mercado, vamos obter a função oferta agregada:

qm = 100.(-40 + 20.p)

qm = -4000 + 2000.p

Exemplo 2: Um produtor tem função oferta individual de uma mercadoria dada por q = -20 + 10.p. Outro produtor tem função oferta individual da mesma mercadoria dada por q = -30 + 20.p. Vamos obter a função oferta de mercado para essa mercadoria.

Como os produtores têm funções oferta diferentes para a mesma mercadoria, a função oferta de mercado será obtida com a soma das funções oferta individuais, ou seja:

qm = (-20 + 10.p) + (-30 + 20.p)  qm = -50 + 30.p

Exemplo 3: A função que relaciona os preços e quantidades de um certo produto é dada por 2q – 4p = 12. Vamos construir o gráfico dessa função oferta.

Primeiro vamos isolar a variável q:

2q = 12 + 4p  q = (12 + 4p)/2  q = 6 + 2p

Pelo que conhecemos de função do 1º grau, sabemos que o intercepto do eixo vertical é dado pelo parâmetro a, que nesse caso vale 6. Já o intercepto do eixo horizontal, é dado pelo valor de x correspondente a y = 0, ou, no nosso caso, o valor de p correspondente a q = 0. Assim, substituindo 0 na variável q, temos:

0 = 6 + 2p 2p = -6 p = -6/2 = -3

Apesar do intercepto do eixo horizontal ser negativo, isso só servirá como referência para a construção do gráfico. Observe abaixo que a linha do gráfico deve ficar tracejada no trecho que está fora do primeiro quadrante. Observe também o aspecto da função crescente.

Uma outra forma de se construir o gráfico de uma função oferta é simplesmente atribuir zero para as duas variáveis, calculando o valor da outra.

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Exemplo 4 Considere a função q = – 8 + 2p, onde p é o preço por unidade do bem ou serviço e q é a correspondente oferta de mercado. A partir de que preço os produtores vão oferecer esse bem ou serviço?

Para que ocorra “mercado”, o produto deve ser oferecido para venda, portanto: (q > 0) Ao admitirmos q > 0, ocorre:

– 8 + 2p > 0  2p > 8  p > 8/2  p > R$ 4,00

Portanto, temos que o preço do produto, nesta situação, deverá ser maior que R$ 4,00. Ou seja, o produto será oferecido ao cliente, somente, com preços maiores do que R$ 4,00.

Exemplo 5: Uma certa mercadoria tem seus preços e quantidades ofertadas dados pela tabela abaixo:

q 10 25 40 55

p 4,50 4,80 5,10 5,40 Determine a expressão da função oferta relacionada a esses dados:

Esse tipo de exercício costuma ser resolvido por sistemas de equações do 1º grau, mas também pode ser resolvido do seguinte modo: para encontrar o valor de b que é taxa de variação da função, basta dividir uma variação de q (delta

q) pela mesma variação sofrida por p ( delta p). Depois, tendo o valor de b em mãos, basta pegar uma informação da tabela e achar o valor de a. q = a + b ._{p e}_{𝒃 =}∆𝒒

∆𝒑Logo, a resposta será: q = 50.p – 215.

1) Suponha que existem dois indivíduos idênticos no mercado, cada um com uma função oferta dada por uma certa mercadoria por q = 8 + p. Obtenha a função oferta de mercado dessa mercadoria.

a)qm = 2 + 16p b)qm = -16 – 2p c)qm = -16 + 2p d)qm = 16 – 2p e)qm = 16 + 2p

2) Admita que o mercado é formado por três indivíduos cujas ofertas por uma certa mercadoria, num certo período de tempo, são dadas pelas funções q1 = 8 + p; q2 = 12 + 2p e q3 = 15 + 3p. Obtenha a expressão da oferta de mercado por essa mercadoria.

a)qm = 35 + 6p b)qm = 35 – 6p c)qm = -35 – 6p d)qm = -35 + 6p e)qm = 6 – 35p

3) Dado a função oferta q = 50 + 215p, determine a quantidade ofertada (vendida) quando o preço for igual a R$ 10,00.

a)2000 b)2100 c)2200 d)2300 e)2400 4) Considere a função oferta q = – 15 + 2p. A que preço a oferta será de 30 unidades?

a)R$ 22,50 b)R$ 65,00 c)R$ 45,00 d)R$ 75,00 e)R$ 25,50

5) Considere a função oferta dada por q = p² – 1. Essa função intercepta o eixo horizontal (p), no primeiro quadrante, no ponto correspondente a p igual a:

a)1 b)2 c)2,5 d)3 e)4

6) Considere a função oferta dada por q = p² – 2p – 8. Essa função intercepta o eixo horizontal (p), no primeiro quadrante, no ponto correspondente a p igual a:

a)1 b)2 c)2,5 d)3 e)4

7) Uma certa mercadoria tem seus preços e quantidades ofertadas dados pela tabela abaixo:

q 10 25 40 55

p 4,50 4,80 5,10 5,40 Assinale a expressão correta da função oferta relacionada a esses dados:

a)q = 50.p + 215 b)q = 50.p – 215 c)q = -50.p + 215 d)q = -50.p + 150 e)q = 150.p – 200

8) Um produtor oferta uma certa mercadoria de acordo com o preço, conforme a tabela abaixo:

p ($) 6 5 4 3 2

q 80 60 40 20 0

Assinale a alternativa que apresenta corretamente a expressão algébrica da função oferta referente a esses dados. a)q = 20 + 10p b)q = 2 + 10p c)q = -20 + 20p d)q = -40 + 20p e)q = 20 + 40p

9) Considere a função oferta q = – 15 + 1,5p. Para quais valores de p (preço) não haverá oferecimento do produto?

Dica: para não haver oferecimento do produto, devemos ter: 𝑞 ≤ 0.

a)0 ≤ p ≤ R$ 10,00 b)0 ≤ p ≤ R$ 15,00 c)R$ 1,50 ≤ p ≤ R$ 10,00 d)p ≥ R$ 10,00 e)p ≥ R$ 20,00

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10) Considere a função oferta q = – 12 + 3p. Quais os preços onde a oferta do produto existirá e será menor que 15 unidades? Dica: Devemos realizar 2 cálculos, para existir oferta do produto, devemos ter: 𝑞 > 0. E para a oferta ser menor que 15, devemos ter 15 > q.

a)R$ 4,00 < p < R$ 9,00 b)p ≥ R$ 9,00 c)p ≤ R$ 15,00 d)0 < p < R$ 9,00 e)p ≤ R$ 27,00 11) Considere a função oferta q = – 20 + 4p. Para que preços haverá oferecimento do produto (q > 0)?

a)p > R$ 20,00 b)p > R$ 4,00 c)p > R$ 25,00 d)p > R$ 5,00 e)p > R$ 16,00

Respostas dos Exercícios do Módulo 2: 1)e 2)a 3)c 4)a 5)a 6)e 7)b 8)d 9)a 10)a 10)d

Módulo 3: Ponto de Equilíbrio

“O abandono da Matemática traz dano a todo o conhecimento, pois aquele que a ignora não pode conhecer as outras ciências ou as coisas do mundo.” (Roger Bacon)

“Existe um paralelismo fiel entre o progresso social e a atividade matemática, os países socialmente atrasados são aqueles que a atividade matemática é nula ou quase nula.” (Jacques Chapellon)

É o ponto onde as funções demanda e oferta são iguais, como as duas funções utilizam as variáveis “q” e “p”, vamos diferenciá-las aqui por demanda = qd e oferta = qs, o “s” vem do inglês “sale” (ofertar, vender).

Vimos nos módulos anteriores que existem duas funções que relacionam os preços e as quantidades de uma mercadoria:

a) a oferta de mercado é uma função que indica a quantidade de uma mercadoria que os produtores estão dispostos a ofertar a um certo nível de preço;

b) a demanda de mercado é uma função que indica a quantidade de uma mercadoria que os consumidores estão dispostos ou desejam consumir a um certo nível de preço.

Agora, vamos pensar na seguinte questão: seria possível a oferta dos produtores ser igual à demanda de mercado dos consumidores por uma mercadoria a um certo nível de preço?

Como vimos, a função oferta é uma função estritamente crescente e a função demanda é uma função estritamente decrescente. Sendo assim, se colocássemos essas duas funções em um mesmo gráfico, haveria um ponto de interseção entre elas?

Caso exista esse ponto de interseção, o que ele significa?

O equilíbrio: a palavra equilíbrio pode ter diversas interpretações. Em geral, o dicionário associa equilíbrio à idéia de estabilidade, harmonia, justeza. No que diz respeito à Economia, o equilíbrio se refere às condições do mercado, as quais, uma vez atingidas, tendem a persistir. Isso ocorre quando a quantidade ofertada de uma mercadoria se iguala à sua quantidade demandada num mesmo período de tempo. Geometricamente, o equilíbrio ocorre na interseção das curvas de demanda e oferta de mercado.

Sobre essa interseção, este ponto, se existir, é único, pois a curva de demanda é decrescente e a curva de oferta é crescente. Assim, neste ponto a quantidade que os consumidores desejam comprar é exatamente igual à quantidade que os produtores desejam vender. Existe uma coincidência de desejos.

No ponto de equilíbrio não existem pressões para alterações nos preços, pois os planos dos vendedores são consistentes com os planos dos compradores.

O preço e a quantidade referentes ao ponto de equilíbrio são chamados de preço de equilíbrio e quantidade de equilíbrio, respectivamente.

Um equilíbrio é considerado estável se qualquer desvio em relação a esta posição provocar a interferência de forças do mercado que fazem com que preços e quantidades retornem à condição de equilíbrio inicial.

Se houver uma tendência a preços e/ou quantidades se afastarem da condição de equilíbrio, então este é dito instável.

Uma análise econômica das condições fora do ponto de equilíbrio revelam que há um intervalo no qual ocorre excesso de demanda e outro intervalo no qual ocorre excesso de oferta. Essa análise pode ser feita por meio dos preços ou das quantidades.

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Se analisarmos pelos preços, um preço maior do que o preço de equilíbrio indica que há mais oferta dos produtores do que demanda dos consumidores, ou seja, há um excesso de oferta.

Por outro lado, um preço menor do que o preço de equilíbrio indica que há mais demanda dos consumidores do que oferta dos produtores, ou seja, há um excesso de demanda. A análise feita por meio das quantidades é análoga a essa.

Determinação do ponto de equilíbrio: o ponto de equilíbrio pode ser determinado geometricamente, traçando-se os gráficos das funções oferta e demanda o obtendo-se o seu ponto de interseção. Entretanto, uma determinação algébrica pode ser mais eficiente. Para isso, basta igualarmos as quantidades ofertada e demandada, dadas por suas respectivas funções. Matematicamente, isso equivale a resolver um sistema formado por duas equações e duas incógnitas.

Podemos obter o equilíbrio trabalhando com funções lineares (do 1º grau), quadráticas (do 2º grau), exponenciais ou logarítmicas. Vejamos alguns exemplos de aplicação:

Exemplo 1: Considere que a quantidade demandada (qd) e a quantidade ofertada (qs) são dadas em relação aos preços pela tabela abaixo:

Preço (p) qd qs 3 120 30 4 100 40 5 80 50 6 60 60 7 40 70 8 20 80

Observe que, ao nível de preço igual a 6, as quantidades demandada e ofertada se igualam. Este, portanto, é o ponto de equilíbrio. Observe também que:

_ preço > 6 ocorre excesso de oferta _ preço < 6 ocorre excesso de demanda

Exemplo 2: As leis de oferta e de demanda de uma determinada mercadoria são dadas respectivamente por qS = 120 + 6.p e qd = 400 – 8p. Vamos obter o ponto de equilíbrio algebricamente e vamos representá-lo num gráfico.

Como as funções dadas já estão com as quantidades isoladas no membro da esquerda, podemos simplesmente igualar as duas funções: qs = qd 120 + 6.p = 400 – 8.p 6.p + 8.p = 400 – 120 14.p = 280 p = 280/14 = 20

Portanto, o preço de equilíbrio é 20. Para obter a quantidade de equilíbrio, basta substituir esse valor na função oferta ou na função demanda:

qS = 120 + 6.p à qs = 120 + 6.20 = 120 + 120 = 240

qd = 400 – 8.p à qd = 400 – 8.20 = 400 – 160 = 240

Observe que os dois resultados são iguais. Pelos cálculos, podemos então observar que o ponto de equilíbrio é: PE(p = 20; q = 240).

Pode-se também obter o gráfico das duas funções e localizar o PE geometricamente.

Exemplo 3: Dadas as funções q = 40 – 2p e q = –15 + 3p, encontrar PE (preço de equilíbrio) e QE (quantidade de equilíbrio). 40 – 2p = –15 + 3p 40 + 15 = 3p + 2p 55 = 5p 55 : 5 = p 11 = p p = R$ 11,00 (PE)

Escolher uma das funções para encontrar QE, por exemplo, q = 40 – 2p, onde: q = 40 – 2.(11) = 40 – 22 = 18 unidades (QE).

1) Sabemos que preços elevados de um produto possibilitam a obtenção de maior lucro e, por isso, para o vendedor, quanto mais alto o preço do produto oferecido, maior será o seu lucro. No entanto, não podemos esquecer que a procura pelo produto está vinculada, também, ao seu preço de venda e ocorre de maneira inversa ao seu oferecimento. Assim, quanto maior o preço, maior será o oferecimento do produto, porém, menor será a sua procura. Daí vem a importância de um ponto de Equilíbrio. A condição matemática que traduz tal raciocínio é:

a) Quantidade demandada > quantidade ofertada. b) Quantidade demandada < quantidade ofertada. c) Quantidade demandada = quantidade ofertada.

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d) Quantidade demandada é nula. e) Quantidade ofertada é nula.

2) Determinar o preço de equilíbrio e a quantidade de equilíbrio no seguinte caso: q = 20 – 2p e q = –10 + 2p. a)p = q = 5 b)p = q = 7,5 c)p = 5; q = 7 d)p = 7,50; q = 5 e)p = q = 17,5

3) Determinar o preço de equilíbrio e a quantidade de equilíbrio no seguinte caso: q = 60 – 2p e q = –12 + p. a)p = 12,00; q = 24 b)p = q = 12 c)p = 24; q = 12 d)p = q = 24 e)p = q = 16

4) Os preços e as quantidades referentes a uma mercadoria são relacionados por meio das seguintes funções: p – q = –6 e 2p + q = 12. Assinale a alternativa que apresenta corretamente os valores de preço e quantidade de equilíbrio.

a)p = 4 e q = -10 b)p = 12 e q = 6 c)p = 2 e q = 8 d)p = 1 e q = 7 e)p = 3 e q = 9

5) Considere as seguintes funções que relacionam preços e quantidades: q = –p² –3p + 54 e q – p = 9. Assinale a alternativa que apresenta corretamente os valores de preço e quantidade de equilíbrio.

a)p = 7 e q = 16 b)p = 6 e q = 15 c)p = 2 e q = 12 d)p = 4 e q = 13 e)p = 5 e q = 14

6) As funções demanda e oferta de um bem são dadas por: q = -2p + 50 e q = 0,5.p + 25. O ponto de equilíbrio se dá ao nível de:

a)p = 30 e q = 80 b)p = 10 e q = 30 c)p = 50 e q = 25 d)p = 25 e q = 50 e)p = 50 e q = 80

7) Determinar o preço de equilíbrio (PE) e a quantidade de equilíbrio (QE) no seguinte caso: q = 42 – 2p e q = –12 + p:

a)p = q = 6 b)p = 18,00; q = 6 c)p = 6,00; q = 18 d)p = q = 10 e)p = q = 8

8) Os preços e as quantidades referentes a uma mercadoria são relacionados por meio das seguintes funções: (i) p + q = 9 e (ii) q – 3p = 5. Assinale a alternativa que apresenta corretamente a identificação das funções:

a) (i) é função demanda e (ii) é função oferta. b) (i) é função oferta e (ii) é função demanda. c) (i) e (ii) são funções oferta.

d) (i) e (ii) são funções demanda.

e) (i) e (ii) podem ser funções oferta ou demanda, indistintamente.

9) Considere as seguintes funções demanda e oferta: q = 16 – p² e q = –3,5 + 3,5.p. A quantidade de equilíbrio dessas funções é:

a)3 b)4 c)5 d)6 e)7

10) Sejam as funções demanda q = 34 – 5.p e oferta q = –8 + 2.p, o ponto de equilíbrio ocorre ao nível de q igual a: a)6 b)4 c)10 d)2 e)5

11) A função que relaciona preços e quantidades de uma certa mercadoria é 4p + 2q = 15, sendo p = preço e q = quantidade. Assinale a alternativa correta a respeito dessa função.

a)é uma função demanda. b)é uma função oferta. c)é uma função receita. d)é uma função custo. e)é uma função lucro.

12) Um produto tem seus preços e quantidades relacionados por meio das seguintes funções: p – q = 2 e p + 4q = 12. É correto afirmar que o ponto de equilíbrio se dá ao nível de preço igual a:

a)1 b)2 c)3 d)4 e)5

13) Considere as seguintes funções que relacionam preços e quantidades: q = -p² + 49 e q = 4p + 37. Assinale a alternativa correta: (Dica: monte uma tabela, onde a primeira coluna será o peço e as outras duas as funções e, analise a tabela, verificando o que ocorre com as funções, quando o preço estiver acima e abaixo do ponto de equilíbrio)

a)para p > 1 ocorre excesso de oferta. b)para p > 2 ocorre excesso de oferta. c)para p > 5 ocorre excesso de demanda. d)para p > 2 ocorre excesso de demanda.

e)para p > 1 ocorre excesso de demanda.

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Módulo 4: Função custo total

“Um bom ensino da Matemática forma melhores hábitos de pensamento e habilita o indivíduo a usar melhor a sua inteligência.” (Irene de Albuquerque)

“Há uma razão que explica a elevada reputação da Matemática, é que ela leva para as ciências naturais exatas uma certa proporção de segurança que, sem ela, essas ciências não poderiam obter.” (Albert Einstein)

A função custo está relacionada aos gastos efetuados por uma empresa, indústria ou loja, na produção ou aquisição de algum produto. Todo custo, em geral, possui dois componentes: um fixo e outro variável. Neste módulo, vamos estudar como o custo se relaciona com as quantidades produzidas na forma de uma função matemática.

Representamos a função custo total por meio da seguinte expressão:

Ct = Cf + Cv

Na qual: Ct é o custo total Cf é o custo fixo Cv é o custo variável

Os custos fixos independem da quantidade produzida e estão sempre presentes na linha de produção, como salários e aluguel. Em termos relativos, quanto maior for o volume de produção ou venda, menores serão os custos fixos por unidade.

Cf = K (K>0)

(Sendo K uma constante de produção)

Como o custo fixo é constante, se quisermos representá-lo graficamente, teremos que fazê-lo por meio do gráfico da função constante, que é uma reta paralela ao eixo horizontal. Veja o exemplo abaixo:

Já o custo variável tem relação direta com o nível de produção e, quando zero unidades é produzida, o custo variável é zero. Os custos variáveis compreendem a matéria-prima e as embalagens, entre outros itens.

O custo variável de um produto pode ser obtido multiplicando-se seu custo unitário de produção pela quantidade produzida, ou seja:

Cv = pu . q

No qual

pu é o preço de custo ou o custo unitário de produção q é a quantidade produzida, que aqui é considerada variável

Cv é o custo variável de produção

Podemos ilustrar a relação entre o custo total, o custo fixo e o custo variável por meio de um gráfico genérico:

Observe que a função custo total somente é definida no primeiro quadrante do sistema de eixos, pois não faz sentido pensarmos em custo negativo ou quantidades negativas.

Podemos inferir também que a função custo depende diretamente das parcelas de custo fixo e custo variável nas quais incorre a produção de um determinado bem. A função de custo representa o custo total da empresa na produção de um item e é uma função estritamente crescente.

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Podemos, finalmente, escrever a função custo total como: Ct = Cf + Cv Ct = Cf + pu.q

Custo médio: para melhor avaliação de custos por parte do empresário, é importante que ele saiba o custo médio por unidade fabricada de sua linha de produção.

O custo médio total da produção é obtido por meio da divisão do custo total pelo número de unidades produzidas: Cm = Ct/q

Exemplo 1: Uma indústria fabrica um determinado componente e trabalha com um custo fixo de R$20.000,00. Se o preço unitário de produção do componente é de R$500,00, pede-se:

a) a expressão algébrica da função custo total;

Conforme o enunciado, podemos observar que o custo fixo é 20.000, ou seja: Cf = 20.000.

Já o custo unitário de produção do componente é de 500, logo o custo variável é: Cv = pu.q = 500.q

Sendo assim, o custo total, que é dado pela soma do custo fixo com o custo variável será: Ct = Cf + Cv

Ct = 20.000 + 500.q

b) o gráfico dessa função.

O gráfico dessa função é uma reta, que corta o eixo vertical no ponto equivalente a y = 20.000. Para traçar a reta, precisamos de mais um ponto. Para isso, podemos atribuir um valor para q, digamos q = 10: Ct = 20000 + 500.10  Ct =

20000 + 5000 = 25000

Exemplo 2: O preço unitário de produção de uma mercadoria é de R$ 12,00 e o custo fixo associado à produção é de R$ 60,00. Se o preço de venda é de R$ 20,00/unidade, identificar a função Custo Total.

Solução: Ct = 60 + 12.q

1) Sabendo que a função Custo Total Ct = 1450 + 6.q está associada à produção de um determinado bem, determine o Custo Total referente à produção de 135 unidades.

a)R$ 2260,00 b)R$ 196.560,00 c)R$ 1456,00 d)R$ 810,00 e)R$ 7590,00

2) Sabe-se que a função Custo Total Ct = 3400 + 12.q está associada à produção de um determinado bem. Qual a produção necessária para se ter um Custo Total de R$ 28.000,00 ?

a)37.000 unidades produzidas b)33.600 unidades produzidas c)233 unidades produzidas d)2050 unidades produzidas e)1390 unidades produzidas

3) Um taxista cobra uma taxa fixa, chamada de bandeirada, no valor de R$15,00. Além disso, ele cobra R$0,80 por quilômetro rodado. Considerando como x o número de quilômetros rodados, assinale a alternativa que apresenta corretamente a função custo total de uma corrida de taxi:

a)Ct = 15 + 0,80.x b)Ct = 0,80 + 15.x c)Ct = 20 + x d)Ct = 15 + x e)Ct = 15 + 15x

4) Considere a função custo total dada por: Ct = 8000 + 50.q. Assinale a alternativa que apresenta corretamente a expressão algébrica do custo total médio:

a)Cm = 50 + 8000/q b)Cm = 800 + 5/q c)Cm = 8000q + 50 d)Cm = 50/q + 8000 e) Cm = 50q + 8000q²

5) Uma empresa fabrica uma determinada mercadoria e trabalha com um custo fixo de R$20.000,00 e um custo unitário de produção de R$150,00. Para essa empresa, assinale a opção que apresenta corretamente o custo total ao nível de produção de 100 unidades:

(17)

6) Dado que os custos fixos são 100 e que os custos variáveis são 2 por unidade, assinale a alternativa correta em relação à função custo total:

a)para uma produção de 50 unidades, o custo total é de 100. b)para uma produção de 200 unidades, o custo total é de 500. c)o custo total de 400 refere-se à produção de 300 unidades. d)o custo total de 150 refere-se à produção de 50 unidades. e)se nada for produzido, o custo total será nulo.

7) Sabendo que a função custo total Ct = 1700 + 10.q está associada à produção de um determinado bem, determine o custo total referente à produção de 150 unidades.

a)R$ 256.500,00 b)R$ 1500,00 c)R$ 3200,00 d)R$ 1850,00 e)R$ 2200,00

8) Sabe-se que a função custo total Ct = 2000 + 15.q está associada à produção de um determinado bem. Qual a produção necessária para se ter um Custo Total de R$ 5000,00 ?

a)77.000 unidades produzidas b)200 unidades produzidas c)3000 unidades produzidas d)333 unidades produzidas e)250 unidades produzidas

9) Considere a função custo total dada por: Ct = 8000 + 50.q. Em relação ao gráfico dessa função, é correto afirmar que:

a)é uma função decrescente que corta o eixo vertical ($) no ponto 8000. b)é uma função crescente que corta o eixo vertical ($) no ponto 8000. c)é uma função crescente que corta o eixo horizontal (q) no ponto 8000. d)é uma função crescente que corta o eixo horizontal (q) no ponto 8000. e)é uma função crescente que corta o eixo vertical ($) no ponto 50.

10) Dado que os custos fixos são 1.000 e que os custos variáveis são 4 por unidade, assinale a alternativa correta em relação à função custo total:

a)para uma produção de 100 unidades, o custo total será de 1.200. b)para uma produção de 50 unidades, o custo total será de 200. c)o custo total de 2.000 está relacionado à produção de 250 unidades. d)o custo total de 3.000 está relacionado à produção de 1.000 unidades. e)se não houver produção, o custo total será de 1.004.

Respostas dos Exercícios do Módulo 4: 1)a 2)d 3)a 4)a 5)e 6)b 7)c 8)b 9)b 10)c

Módulo 5: Função Receita Total (R

T

)

“A matemática é a única atividade humana INFINITA. É concebível que a humanidade possa chegar a conhecer toda a física ou toda a biologia, porém é certo que nunca será capaz de descobrir tudo na matemática, porque o tema é INFINITO. Os próprios números são INFINITOS.” (Paul Erdos)

“Não há ramo da Matemática, por mais abstrato que seja, que não possa um dia vir a ser aplicado aos fenômenos do mundo real.” (Lobachevsky)

As receitas dependem de quantidades de mercadorias vendidas, ou de serviços prestados e dos preços dessas mercadorias ou serviços. Em linguagem matemática:

Rt = p . q

Na fórmula acima, Rt = receita total obtida com a venda de um produto ou serviço; p = preço unitário de venda do produto ou serviço; q = quantidade vendida do produto ou serviço prestado.

As receitas são geradas pelas atividades-fim a que uma empresa se dedica. Dessa forma, se uma empresa foi constituída para vender mercadorias que ela fabrica, essa é sua fonte de receitas. Por outro lado, se seu fim é a prestação de serviços, daí advêm seus recursos. De um modo geral, as receitas vão depender das quantidades de mercadorias vendidas ou dos serviços prestados e dos preços dessas mercadorias ou serviços.

Vamos focar nossos estudos em uma empresa genérica que comercializa um tipo de produto apenas, em intervalos de tempo nos quais os preços são constantes. A função receita total representa o faturamento bruto da empresa e depende do número de vendas de determinado produto.

Função Linear: a função Receita total é linear, isto é, ela não tem o termo constante, independente da variável. Isso quer dizer que seu gráfico é uma linha reta que corta o eixo y na origem (0, 0). Isso parece bastante lógico, pois se pensarmos que a quantidade vendida é zero, não haverá receita alguma para a empresa.

Também devemos observar que, sendo o preço constante, a variável é a quantidade (x) e a receita total (y). Como o preço é obrigatoriamente um valor positivo, essa função é estritamente crescente, ou seja, quanto maior for a quantidade vendida, maior será a receita auferida pela empresa.

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Rt = R1 + R2 + ... + Rn Rt = p1.q1 + p2.q2 + ... + p3.q3

Rt = ∑ pi.qi

Usualmente consideramos a variável receita, em unidades monetárias ($) no eixo vertical e a variável quantidade (q), em unidades simples no eixo horizontal. O gráfico genérico de uma função receita típica é:

Exemplo resolvido: Considere um produto que é vendido por $20,00. Vamos obter a função receita total associada à esse produto e vamos representá-la em um gráfico.

Primeiro vamos obter a função receita total, que é dada por Rt = pv.q

Substituindo o preço unitário de venda, temos: Rt = 20.q

Para fazer o gráfico, vamos construir uma tabela na qual atribuiremos alguns valores convenientes para q e calcularemos a Rt correspondente:

q 0 1 2 3 4 5

Rt 0 20 40 60 80 100

Agora vamos colocar esses valores no gráfico:

1) Considere a função RT = 15.q, onde o preço é fixo (R$15,00) e "q" é a quantidade de produtos vendidos (0 ≤ q ≤ 250 unidades). Qual a quantidade de produtos vendidos quando a Receita Total atinge o valor de R$ 1125,00?

a) 75 unidades vendidas b)16875 unidades vendidas c)3750 unidades vendidas d)375 unidades vendidas e)200 unidades vendidas

2) Considere a função RT = 10.q, onde o preço é fixo (R$10,00) e "q" é a quantidade de produtos vendidos (0 ≤ q ≤ 120 unidades). Qual o valor recebido pela venda de 60 produtos?

a)R$ 600,00 b)R$ 1200,00 c)R$ 10,00 d)R$ 5,00 e)R$ 100,00

3) A função receita total para um certo produto é: Rt = 12.q. Dessa forma, podemos dizer que o preço unitário de venda desse produto é:

a)8 b)12 c)1 d)6 e)não é possível identificar o preço de venda

4) Em algumas situações, é possível encontrarmos o preço e a quantidade relativos a um produto relacionados por meio de uma expressão algébrica. Esse tipo de expressão (que relaciona preços e quantidades) geralmente diz respeito à teoria da demanda. Considere que os preços e quantidades de um certo produto relacionam-se por meio da expressão p + 0,2.q = 100. Isolando o preço nessa expressão e substituindo na expressão algébrica da receita total, obtemos uma função quadrática. Assinale a opção que apresenta corretamente essa expressão:

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d)Rt = 50.q – 0,4.q² e)Rt = 80.q – 0,2.q²

5) Uma loja de departamentos vendeu no mês passado 80 televisores a $1.500,00 por unidade e 50 geladeiras ao preço unitário de $1.200,00. Qual a receita total do departamento auferida pela venda dos dois eletrodomésticos?

a)R$120.000,00 b)R$100.000,00 c)R$180.000,00 d)R$140.000,00 e)R$200.000,00

a)1600 unidades vendidas b)57 unidades vendidas c)14592 unidades vendidas d)896 unidades vendidas e)88 unidades vendidas

a)3000 unidades vendidas b)980 unidades vendidas c)50 unidades vendidas d)400 unidades vendidas e)790 unidades vendidas

8) Assinale a alternativa correta em relação ao gráfico da função receita total: a)É uma reta crescente que passa no ponto (0, 0);

b)É uma reta decrescente que passa no ponto (0, 0); c)É uma reta crescente que passa no ponto y = pV; d)É uma reta decrescente que passa no ponto y = pV; e)É uma função constante que passa no ponto (0, 0).

9) Uma empresa comercializa um produto a um preço de venda de R$80,00. A quantidade relacionada a uma receita total auferida pela empresa de R$16.000,00 é de:

a)100 unidades b)180 unidades c)120 unidades d)200 unidades e)240 unidades

10) A função receita total para um certo produto é: Rt = 80.q. e a função custo total é Ct = 100 + 40.q. Dessa forma, podemos dizer que o preço unitário de venda desse produto é:

a)80 b)40 c)100 d)20 e)não é possível identificar o preço de venda

Respostas dos Exercícios do Módulo 5: 1)a 2)a 3)b 4)a 5)c 6)b 7)c 8)a 9)d 10)a

Módulo 6: A Função Lucro

“A matemática apresenta invenções tão sutis que poderão servir não só para satisfazer os curiosos, como também para auxiliar as artes e poupar trabalho aos homens.” (Descartes)

“Sem a matemática, não poderia haver astronomia; sem os recursos maravilhosos da astronomia, seria completamente impossível a navegação. E a navegação foi o fator máximo do progresso da humanidade.” (Amoroso Costa)

É uma função obtida ao subtrair a função custo, da função receita.

LUCRO = RECEITA TOTAL - CUSTO TOTAL

A função lucro está relacionada aos valores arrecadados pela atividade-fim da empresa (receitas) e aos gastos efetuados (custos) por ela, seja uma indústria, uma loja revendedora ou uma firma de prestação de serviços.

A função lucro diz respeito ao lucro líquido das empresas, lucro oriundo da subtração entre a função receita e a função custo.

Se olharmos a função custo total mais atentamente, poderemos observar que ela agrega dois tipos de custos: os custos explícitos e os custos implícitos. Custos explícitos são os custos que a empresa incorre de fato, isto é, são pagos monetariamente. Custos implícitos (ou custos de oportunidade) são os custos que a empresa incorre quando faz uma opção por um projeto ao invés de, por exemplo, aplicar seu capital nos investimentos disponíveis do mercado financeiro.

Essa diferenciação de custos tem como consequência duas diferentes abordagens quanto ao lucro da empresa: Lucro Econômico: refere-se à Receita Total menos Custo Total (incluindo os custos de oportunidade).

Lucro Contábil: registra apenas os Custos Explícitos, ignorando os custos de oportunidade.

No Brasil, em geral, o lucro econômico é menor que o lucro contábil, devido às altas taxas de juros que prevalecem no mercado financeiro. Essas altas taxas geram oportunidades de ganhos excessivos em Finanças em detrimento da área de projetos empresariais produtivos.

Como vimos, há uma diferença entre a visão econômica (do economista) e a visão contábil (do contador) na sua avaliação no tocante ao lucro obtido por uma empresa. O objetivo das firmas é de maximizar os lucros, dados pela receita total menos o custo total. Dessa forma, na visão do economista e do administrador, quando se analisa o

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comportamento de uma empresa faz-se necessário incluir todos os custos de oportunidade de produção. Porém, na avaliação do contador, os custos da empresa são aqueles que efetivamente impactaram o seu caixa.

Sabemos que a Receita total é uma função crescente, pois quanto maior a quantidade vendida, maior será o valor arrecadado pela empresa. Da mesma forma, também sabemos que a função Custo total é uma função crescente, pois quanto maior a quantidade produzida, maior será o custo total de produção. De maneira análoga, a função Lucro total também será crescente, visto que quanto maior for a quantidade vendida de um produto, maior será a parcela de lucro da empresa.

Entretanto, a função Lucro total difere em um aspecto importante das funções Receita total e Custo total. Enquanto não faz sentido pensarmos em receita negativa ou em custo negativo, em relação ao lucro, é importante sabermos que existe lucro negativo, também chamado de prejuízo. Assim, se no gráfico representarmos o lucro no eixo vertical, a função lucro total poderá ser definida nos quadrantes I e IV do sistema de eixos, conforme esquema abaixo:

Exemplo resolvido: Um produto é vendido por R$160,00. Seu custo unitário de produção é de R$100,00. Os custos fixos associados à produção somam R$12.000,00. Pede-se:

a) A função Lucro Total.

Para obter a função Lucro total, precisamos da função receita total e da função custo total. A função receita total é dada por: Rt = pv.q, como o preço de venda é de 160, temos: Rt = 160.q

A função custo total é dada por Ct = Cf + Cv, o custo fixo é de 12.000. Já o custo variável é dado por: Cv = pu.q, o preço

unitário de custo é de 100, logo o custo variável será: Cv = 100.q Substituindo na expressão do custo total, temos: Ct = 12000 + 100.q

A função lucro total é dada por: Lt = Rt – Ct  Lt = 160.q – (12000 + 100.q)  Lt = 160.q – 12000 – 100.q Lt = 60q – 12000

b) O gráfico da função Lucro total.

Essa é uma função do 1º grau, logo seu gráfico é uma reta. Para obtê-lo, podemos atribuir dois valores quaisquer para q e calcular o Lt correspondente. Para q = 100  Lt = – 6000. E, para q = 300 

Lt = 6000. Vamos colocar esses valores no gráfico:

c) O nível de produção para o qual o lucro é nulo.

Pelo gráfico, podemos ver que o lucro é nulo para q = 200. Mas, independente de termos visto isso no gráfico, podemos obter esse resultado algebricamente. Para isso, basta substituir Lt = 0 na função lucro total:

Lt = 60q – 12000

0 = 60q – 12000 12000 = 60q q = 12000/60 = 200

OBS.: O item acima também pode ser resolvido fazendo Rt = Ct, pois resultado da empresa é nulo (não tem lucro nem prejuízo), quando o total de receitas é igual ao total de custos.

1) O preço de venda de uma mercadoria de consumo é de R$200,00. Sendo o custo fixo dessa indústria igual a R$18.000,00 e o preço unitário de produção é de R$120,00, assinale a opção que apresenta o lucro referente à venda de 600 unidades dessa mercadoria.

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2) Uma empresa vende um produto por $20,00 a unidade. Sendo $12,00 o seu custo unitário e $1.000,00 o custo fixo, assinale a opção que apresenta corretamente a função lucro total dessa empresa.

a)LT = 8.q – 1000 b)LT = 20.q – 1000 c)LT = 12.q – 1000 d)LT = 8.q + 1000 e)LT = 1000 – 8.q

3) Uma empresa trabalha com função receita total dada por RT = 40.q e função custo total dada por CT = 4000 + 30q. Assinale a opção que apresenta a quantidade referente ao lucro igual a zero para essa empresa.

a)q = 200 b)q = 300 c)q = 400 d)q = 500 e)q = 600

4) Um fabricante vende a unidade de um certo produto a R$100,00. O custo total consiste em uma parte fixa de R$8.000,00 e um custo unitário de produção de R$60,00. Assinale a opção que apresenta corretamente o lucro correspondente à venda de 200 unidades desse produto.

a)R$0,00 b)R$1.000,00 c)R$5.000,00 d)R$2.400,00 e)R$1.800,00

5) Um empresário deseja obter um lucro total de R$20.000,00 ao mês. O preço de venda é de R$12,00 e o custo unitário de produção é de R$8,00. Se o custo fixo é de R$8.000,00 , assinale a alternativa que apresenta a produção mensal para que o empresário alcance o lucro pretendido.

a)4.000 b)6.000 c)7.000 d)8.000 e)9.000

6) Uma mercadoria é vendida por R$500. Seu custo de produção por unidade é de R$300. Calcula-se que as despesas fixas da empresa somam R$10.000. Sendo assim, assinale a alternativa que apresenta corretamente a função Lucro total da empresa.

a)L = 100.00 + 800q b)L = 10.000 – 800q c)L = 800q – 10.000 d)L = 10.000 + 200q e)L = 200q – 10.000

7) Um produto é vendido a R$600 e o seu custo de produção por unidade é de R$400. Os custos fixos associados à produção são de R$2.000. Nesse contexto, assinale a alternativa que apresenta corretamente o valor do lucro para uma produção/venda de 20 unidades.

a)2.000 b)4.000 c)1.600 d)1.200 e)1.000

Respostas dos Exercícios do Módulo 6: 1)d 2)a 3)c 4)a 5)c 6)e 7)a

Módulo 7: Ponto de Nivelamento (Break Even Point - BEP)

“A Matemática é a inabalável base das ciências e a abundante fonte do progresso nos negócios humanos.” (Barrow)

“A escada da sabedoria tem os degraus feitos de números.” (Blavatsky)

As funções Custo total e Receita total, são crescentes e, mesmo assim costumam ter um ponto comum (BEP), o qual determina valores, nos quais uma empresa tem lucro ou prejuízo.

Para uma empresa, é fundamental fazer uma análise criteriosa de seus custos e de suas receitas. Sabemos que um dos objetivos mais importantes de uma empresa é o de gerar lucro para seus proprietários ou acionistas. Com base nesse fato, a empresa deve fazer análises operacionais de modo a buscar eficiência na obtenção de resultados. O ponto de nivelamento, ou Break Even Point (BEP), que é uma importante ferramenta para se gerenciar as metas de uma empresa, representa o ponto no qual as receitas totais se igualam aos custos totais.

RT = CT

Tanto a função Custo total quanto a função Receita total são crescentes, mas elas tem um ponto em comum, que é o BEP.

Graficamente, podemos observar o ponto de nivelamento na interseção das curvas de receita e custo:

Analisando o gráfico, vemos que para quantidades menores que o BEP, o custo é maior do que a receita, o que acarreta prejuízo. Para quantidades maiores que o BEP, a receita é maior do que o custo, o que resulta em lucro. No BEP, as receitas e os custos se igualam, o que pode ser interpretado como lucro nulo.